北京海淀高三第一学期期末数学文试题与答案
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北京海淀高三第一学期期末数学文试题与答案
北京海淀高三第一学期期末数学文试题与答案
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北京海淀高三第一学期期末数学文试题与答案
北京海淀高三第一学期期末数学文试题与答案
海淀区高三年级第一学期期末练习
数学（文）答案及评分参照
一、 （共 8 小 ，每小 5 分，共 40 分）
（ 1）B （ 2）D （3）A （4） D
（ 5）B （ 6）C （7） C （8）A
二、填空 （共 6 小 ，每小 5 分，共 30 分。有两空的小 ，第一空 2 分，第二空 3 分）
（9） ( 1 ,0) （10）3 （11） 8
2
（ 12） 2 （ 13） 1 ； 4 （14） ( ,1][1, )
2 3
三、解答 （共 6 小 ，共 80 分）
（ 15）（共 13 分）
解：（Ⅰ） 的 是 π
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 3 .
4
. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 x0 的 是
3 π
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
f (x) cos(πx ) .
1,1]， 3
因 x [
2 3
因此 π π π 2π
6 x
3 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
3
1
因此 当 π π 0
，即 x ， f (x) 获得最大 1； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 x 3 3
当 π π 2π
x 1
f ( x) 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分 ，即 ， 获得最小 .
x 3 3 3 2
（ 16）（共 13 分）
解：（Ⅰ）抽取的 5 人中男同学的人数 5 3，女同学的人数 5 2 . 30 20
50 50
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
（Ⅱ） 3 名男同学 A1 , A2 , A3 ， 2 名女同学 B1, B2 . 从 5 人中随机 出 2 名同学，全部可能的 果有
A1A2, A1A3, A1B1, A1B2 , A2 A3, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2 , B1B2 ，共 10 个 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 北京海淀高三第一学期期末数学文试题与答案
用C 表示：“ 出的两名同学中恰有一名女同学” 一事件， C中的 果有 6 个，它 是：
A1B1, A1B2, A2 B1, A2 B2 , A3 B1, A3 B2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
因此 出的两名同学中恰有一名女同学的概率 6 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 P(C) .
10 5
（Ⅲ） s12 s22 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分
（ 17）（共 14 分）
明：（Ⅰ）在菱形 BB1C1C 中， BC ∥ B1C1 .
因 BC ? 平面 AB1C1 ， B1C1 ì平面 AB1C1 ，
因此 BC // 平面 AB1C1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
（ Ⅱ） 接 BC1 .
在正方形 ABB1 A1 中， AB ^ BB1 .
因 平面 AA1B1B 平面 BB1C1C ，平面 AA1 B1B 平面 BB1C1C BB1 ， AB ì平面 ABB1 A1 ，
因此 AB ^ 平面 BB1C1C . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 C C1
因 B1C ì平面 BB1C1C ，
因此 AB^ B1C. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 B B 1
A A1
在菱形 BB1C1C 中， BC1 ^ B1C .
因 BC1 ì 平面 ABC1 ， AB ì平面 ABC1 ， BC1 AB= B，
因此 B1C ^ 平面 ABC1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
因 AC1 ì平面 ABC1 ，
因此 B1C AC1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
（Ⅲ） E, F , H , G 四点不共面 . 原由以下： ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分 北京海淀高三第一学期期末数学文试题与答案
因 E,G 分 是 B1C, B1C1 的中点，
因此 GE ∥ CC1. C C1
同理可 ： GH ∥ C1 A1 . E G
因 GE ì平面 EHG ， GH ì平面 EHG ， GE GH = G ， CC1 ì 平面 B B 1
H
AAC1 1C ， A1C1 ì平面 AAC1 1C ， A F A1
因此 平面 EHG ∥平面 AAC1 1C .
因 F 平面 AAC1 1C ，
因此 F 平面 EHG ，即 E, F , H ,G 四点不共面 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分
（ 18）（共 13 分）
解：（Ⅰ）由 意可知 M 的 准方程 ： x2 2
2 y 1， a2, b 1 .
因此M 的 2 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
因 c a2 b2 1，
因此 c 2 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 e ，即 M 的离心率 .
a 2 2
（Ⅱ）若 C ,O , D 三点共 ，由 CD 是 段 AB 的垂直均分 可得：
OA OB . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
由（Ⅰ）可得 A(0,1) ， B(x0 , y0 ) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
因此 x02 y02 1. ①
又因 x02 2 y02 2 ， ② ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
由①②可得： x0 0, x0 0, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分 （舍），或 y0 1 y0 1. 北京海淀高三第一学期期末数学文试题与答案
x0 0, 0 ， 然 足 意 . 当 ，直 l 的方程 x
y0 1
因此 存在直 l 使得 C, O, D 三点共 ，直 l 的方程 x 0 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分
（ 19）（共 13 分）
（Ⅰ）解： ex x ex ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分 f '( x) .
x2
因 切 ax y 0 原点 (0,0) ，
ex0
ex0 ex0
因此 x0 x0 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分 x02 x0
解得： x0 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
x x 2
（Ⅱ） 明： g(x) f ( x) e2 ( x 0) ， g '(x) e (x x 4 2x) .
x x
令 g '(x) ex ( x2 2x) 0 ，解得 x 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 x 4
x 在 (0, ) 上 化 ， g '( x), g(x) 的 化状况以下表
x (0, 2) 2
g '( x) - 0
g( x) ↘ e2
4
因此 当 x 2 ， g (x) 获得最小 e2 .
4
因此 当 x 0 ， g (x) ? e2 1，即 f (x)
4 (2,+ ? )
+
↗
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
x . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
（Ⅲ）解：当 b 0 ，会集 { x R f ( x) bx 0} 的元素个数 0；
当 0 b e2 R f (x) bx 0} 的元素个数 1； ，会集 { x
4
当 b e2 ，会集 { x R f ( x) bx 0} 的元素个数 2； 4 北京海淀高三第一学期期末数学文试题与答案
当 b e2 R f ( x) bx 0} 的元素个数 3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分 ，会集 { x
4
（20）（共 14 分）
解：（Ⅰ）因 a1 1 ， 2an 1 2an p ，
因此 2a2 2a1 p 2 p ， 2a3 2a2 p 2 2p .
因 S3 12 ，
因此 2 2 p 2 2 p 6 3 p 24 ，即 p 6 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
因此 an 1 an 3(n 1,2,3, ) .
因此 数列 { an} 是以 1 首 ， 3 公差的等差数列 .
因此 S 1 n n(n 1) 3 3n2 n
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 n 2 2 .
（Ⅱ）若数列 { an } 是等比数列， a22 a1a3 .
由（Ⅰ）可得： (1 p )2 1 (1 p) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
2
解得： p 0.
当 p 0 ，由 2an 1 2an p 得： an 1 an 1.
然，数列 { an } 是以 1 首 ， 1 公比的等比数列 .
因此 p 0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
（Ⅲ）当 p 0 ，由（Ⅱ）知： 1( 1,2,3, ) .
an n
因此 1 1(n 1,2,3, ) ，即数列 { 1 } 就是一个无 等差数列 .
an an
因此 当 p 0 ，可以获得 足 意的等差数列 .
当 p 0 ，因 a1 1， 2an 1 2an p ，即 an an p
1 ，
2
因此 数列 { an} 是以 1 首 ， p 公差的等差数列 .
2
因此 an p p
.
n 1
2 2
