丢番图方程整数解方法

求不定方程整数解的常用方法

不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括：

(1)分离整数法

此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.

例1求不定方程025yxx的整数解

解已知方程可化为

因为y是整数，所以23x也是整数.

由此

x+2=1，-1，3，-3，即

x=-1，-3，1，-5，

相应的.0,2,0,4y

所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).

(2)辗转相除法

此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：

第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式);

第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;

第三步，用辗转相除法解不定方程.

例2求不定方程2510737yx的整数解.

解因为251)107,37(,所以原方程有整数解.

用辗转相除法求特解:

从最后一个式子向上逆推得到

所以

则特解为

通解为

或改写为

(3)不等式估值法

先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围. 例3求方程1111zyx适合zyx的正整数解.

解因为

所以

所以

即

所以

所以.32zz或

当2z时有

所以

所以

所以42y

所以;46,43或相应地或xyy

当3z时有

所以

所以

所以.3;3,3xyy相应地

所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(zyx

(4)逐渐减小系数法

此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.

例4求不定方程2510737yx的整数解.

解因为251)107,37(，所以原方程有整数解.

有10737，用y来表示x，得

则令

由4<37,用m来表示y,得

令.4,4tmZtm得将上述结果一一带回，得原方程的通解为

注解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求cbyax的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.

对于二元一次不定方程cbyax来说有整数解的充要条件是cba),(. (5)分离常数项的方法

对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.

例5求不定方程14353yx的整数解.

解原方程等价于

因为

所以

所以原方程的通解为.,32851Zttytx

(6)奇偶性分析法

从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n2或)(12Znn代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.

例6求方程32822yx的正整数解.

解显然yx,不妨设

因为328是偶数，所以x、y的奇偶性相同，从而yx是偶数.

令

则1u、.0,111vuZv且

所以

代入原方程得

同理，令

2211211(2,2uvvuuvu、)0,222vuZv且

于是，有

再令

得

此时，3u、3v必有一奇一偶，且

取,5,4,3,2,13v得相应的

所以，只能是.4,533vu

从而

结合方程的对称性知方程有两组解.18,2,2,18

(7)换元法

利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的. 例7求方程7111yx的正整数解.

解显见，.7,7yx为此，可设,7,7nymx其中m、n为正整数.

所以原方程7111yx可化为

整理得

所以

相应地

所以方程正整数解为.56,8,14,14,8,56

(8)构造法

构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.

例8已知三整数a、b、c之和为13且bcab，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c的值.

解由题意得acbcba213，消去b得acca213

整理得到关于c的一元二次方程

因为

因,0a

若,916,014425,12cccca或解得则有符合题意，此时

若17a时，则有,01692cc无实数解，故;17a

若16a时，则有,09102cc解得,91cc或符合题意，此时

综上所述，a的最大值和最小值分别为16和1，相应的b与c的值分别为.9316491214cbcbcbcb或和或

(9)配方法

把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法. 例9若.,24522的值求xyyxyxyx

解由题意

即

所以

所以23211xyyx

(10)韦达定理

韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如ba、ba形式的式子，最后用韦达定理.

例10已知p、q都是质数，且使得关于x的二次方程051082pqxqpx至少有一个正整数根，求所有的质数对.,qp

解设方程的两根分别为1x、,212xxx

由根与系数关系得

因为p、q都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数.

所以

所以.5,5,5,1521qppqpqpqxx

①当1521pqxx时，即,10815qppq因为p、q均是质数，所以,1081015qpppq故此时无解.

②当5521pqxx时，即,1085qppq所以,85810qp因为p、q都是质数，且,810qp所以

解得符合条件的质数对为.3,7,qp

③当pqxx521时，即,1085qppq所以,157qp满足条件的质数对.

④当qpxx521时，即,1085qpqp所以,113qp于是.3,11,3,7,qpqp或

综上所述，满足条件的质数对为.3,11,3,7,qpqp或

(11)整除性分析法

用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.

例11在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线kkxyxy或3的交点为整数时，k的值可以取

A.2个B.4个C.6个D.8个

解当1k时，直线13xyxy与平行，所以两直线没有交点;

当0k时，直线轴即与xyxy03交点为整数;

当1k、0k时，直线kkxyxy与3的交点为方程组kkxyxy3的解，解得

因为x、y均为整数,

所以1k只能取4,2,1

解得

综上，答案为C.

(12)利用求根公式

在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.

例12已知k为整数，若关于x的二次方程01322xkkx有有理根，求k值.

解因为0k，所以01322xkkx的根为

由原方程的根是有理根，所以5222k必是完全平方式.

可设,52222mk则,52222km即

因为m、k均是整数,所以

522122kmkm,122522kmkm

112522kmkm,522122kmkm

解得,02或k因为,0k所以k的值是-2.

(13)判别式法

一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式acb42的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.

例13求方程431112xyyx的整数解.