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高等数学二

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高等数学〔二〕

- 1 - 第一章 函数、极限和连续

第一节 函 数

一、函数的概念

1. 函数的定义 〔了解〕

设在某个变化过程中有两个变量x和y，变量y随变量x的变化而变化。当变量x在一个非空实数集合D上取某一个数值时，变量y依照某一对应规则f总有唯一确定的数值与之对应，则称变量y是变量x的函数，记为D)(x )(xfy，其中x叫做自变量，y叫做因变量或函数。

数集D称为这个函数的定义域，记为D或)(fD。

当x取定值x0时所对应的y的数值)(00xyf或|0xxy，称为当xx0时，函数)(xfy的函数值。

全体函数值的集合Dxxfyy),(|称为函数)(xfy的值域，记为Z或)(fZ。

2.分段函数 〔了解〕

函数不能用一个统一的公式表示出来，必须要用两个或两个以上的公式来表示，这类函数称为分段函数。形如：

DDxxgxxfy21 )( )(

例如：

1 , 1 , 1x32xxxy

就是定义在 , 内的分段函数。

3.隐函数 〔了解〕

函数y与自变量x的对应规则用一个方程0),(yxF表示的函数，称为隐函数。

例如0422yx就是一个隐函数。

4.反函数 〔了解〕

二、函数的简单性质

1.函数的单调性 〔了解〕

设函数)(xfy在区间b , a内有定义，如果对于b , a内的任意两点21xx，

假设恒有)()(21xfxf,则称)(xf在区间b , a内单调增加；

假设恒有)()(21xfxf,则称)(xf在区间b , a内单调减少；

假设恒有)()(21xfxf,则称)(xf在区间b , a内严格单调增加；

假设恒有)()(21xfxf,则称)(xf在区间b , a内严格单调减少。

2.函数的奇偶性： 〔了解〕

设函数)(xfy的定义区间D关于原点对称〔即假设Dx，则有Dx〕。如果对

于定义区间内的任意点x，恒有)()(xfxf，则称)(xf为D内的偶函数；如果恒有)()(xfxf，则称)(xf为D内的奇函数。

偶函数：)()(xfxf

奇函数：)()(xfxf 高等数学〔二〕

- 2 -

3.函数的周期性 〔了解〕

周期函数：)()(xfTxf， , x

周期：T——最小的正数

4.函数的有界性 〔了解〕

Mxf)(，),(bax

三、基本初等函数

1.常数函数： y=c ， (c为常数)

2.幂函数： y=xn , (n为实数)

3.指数函数： xya (a＞0、a≠1)

4.对数函数： logayx ,(a＞0、a≠1)

5.三角函数： y=sin x , y=con x

y=tan x , y=cot x

y=sec x , y=csc x

6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x

y=arctan x, y=arccot x

四、复合函数和初等函数

1.复合函数

(x)u , )(ufy

X x, )]([xfy

2.初等函数 〔了解〕

由基本初等函数经过有限次的四则运算〔加、减、乘、除〕和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数

第二节 极 限

一、极限的概念

1.数列的极限:

定义 对于数列{}nx，如果当n时，数列nx无限地趋于一个固定的常数A，则称n趋于无穷大时，数列{}nx以常数A为极限，或称数列{}nx收敛于A，记作

Axnnlim 或 Axn〔当n时〕

称数列{}nx以常数A为极限;或称数列{}nx收敛于A.

定理: 假设{}nx的极限存在{}nx必定有界.

2.函数的极限：

⑴当x时，)(xf的极限：

AxfAxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim

高等数学〔二〕

- 3 - ⑵当0xx时，)(xf的极限：〔重点〕

Axfxx)(lim0

左极限：Axfxx)(lim0

右极限：Axfxx)(lim0

⑶函数极限存在的充要条件：

AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000

二、无穷大量和无穷小量

1、无穷大量： )(limxf

称在该变化过程中)(xf为无穷大量。

X在某个变化过程是指：

,,,xxx

000,,xxxxxx

2、无穷小量： 0)(limxf

称在该变化过程中)(xf为无穷小量。

3、无穷大量与无穷小量的关系：

定理：)0)((,)(1lim0)(limxfxfxf

4、无穷小量的比较：0lim,0lim

⑴假设0lim,则称β是比α较高阶的无穷小量；

⑵假设clim〔c为常数〕，则称β与α同阶的无穷小量；

⑶假设1lim，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；

⑷假设lim,则称β是比α较低阶的无穷小量。

定理：假设：；，2211~~

则：

2121limlim

三、夹逼性定理

1、数列极限存在的判定准则：

设： zxynnn 〔n=1、2、3…〕

且：azynnnnlimlim

则：axnnlim

2、函数极限存在的判定准则：

设：对于点x0的某个邻域内的一切点

〔点x0除外〕有：

)()()(xhxfxg 高等数学〔二〕

- 4 - 且：Axhxgxxxx)(lim)(lim00

则：Axfxx)(lim0

四、极限的运算规则〔重点〕

假设：BxvAxu)(lim,)(lim

则：①BAxvxuxvxu)(lim)(lim)]()(lim[

②BAxvxuxvxu)(lim)(lim)]()(lim[③BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim )0)((limxv

推论：①)]()()(lim[21xuxuxun

)(lim)(lim)(lim21xuxuxun

②)(lim)](lim[xucxuc

③nnxuxu)]([lim)](lim[

五、两个重要极限〔重点〕

1．1sinlim0xxx 或1)()(sinlim0)(xxx

2．exxx)11(lim exxx10)1(lim

第三节 连 续

一、函数的边续性

1、函数在0x处连续

定义1 设函数)(xf在点0x的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量0()xxxx趋于0时，相应的函数该变量0(()())yyfxfx也趋于0，即

0)]()([limlim0000xfxxfyxx，

则称函数)(xf在点0x处连续。

定义2 设函数)(xf在点0x的某个邻域内有定义，如果当0xx时，函数()fx的极限值存在，且等于0x处的函数值0()fx，即

)()(lim00xfxfxx

则称函数)(xf在点0x处连续。

2、左连续、右连续

定义 设函数()yfx，如果)()(lim00xfxfxx，则称函数()fx在点0x处左连续；

设函数()yfx，如果)()(lim00xfxfxx，则称函数()fx在点0x处右连续。

3、函数在0x处连续的必要条件：

定理：)(xf在0x处连续)(xf在0x处极限存在

4、函数在0x处连续的充要条件：

定理： )()(lim)(lim)()(lim00000xfxfxfxfxfxxxxxx

5、函数在ba,上连续 高等数学〔二〕

- 5 - 定义 如果函数)(xf在(,)ab上每一点都连续，则称)(xf在(,)ab内连续。如果)(xf在(,)ab内连续，且在左端点xa处)(xf右连续，即)()(limafxfax；在右端点xb处)(xf左连续，即)()(limbfxfbx，则称函数)(xf在[,]ab上连续。

二、函数的间断点

假设)(xf在0x处不连续，则0x为)(xf的间断点。

间断点有三种情况：

1o)(xf在0x处无定义；

2o)(lim0xfxx不存在；

3o)(0xf在0x处有定义，且)(lim0xfxx存在，但)()(lim00xfxfxx。

三、函数在0x处连续的性质

1、连续函数的四则运算

设)()(lim00xfxfxx，)()(lim00xgxgxx

1o )()()]()([lim000xgxfxgxfxx

2o )()()]()([lim000xgxfxgxfxx

3o )()()()(lim000xgxfxgxfxx 0)(lim0xgxx

2、复合函数的连续性〔了解〕

)]([),(),(xfyxuufy )]([)(lim),()(lim0)(000xfufxxxuxx

则：)]([)](lim[)]([lim000xfxfxfxxxx

3、反函数的连续性〔了解〕

)(),(),(001xfyxfxxfy

)()(lim)()(lim011000yfyfxfxfyyxx

四、函数在],[ba上连续的性质

1、最大值与最小值定理：

)(xf在],[ba上连续)(xf在],[ba上一定存在最大值与最小值。

2、有界定理：

)(xf在],[ba上连续)(xf在],[ba上一定有界。

3、介值定理：

)(xf在],[ba上连续在),(ba内至少存在一点

0)(f，使得：cf)(，

其中：Mcm

推论〔零点定理〕：

)(xf在],[ba上连续，且)(af与)(bf异号

在),(ba内至少存在一点c，使得：0)(f。

4.初等函数的连续性：

初等函数在其定域区间内都是连续的。

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成考高数二大纲

成考高数二大纲

成考高数二大纲

摘要：

一、成人高考高数二考试大纲概述

1.考试目标

2.考试形式与结构

3.考试内容与要求

二、高数二考试内容详解

1.函数与极限

1.函数

2.极限

2.导数与微分

1.导数

2.微分

3.积分

1.不定积分

2.定积分

4.向量代数与空间解析几何

1.向量代数

2.空间解析几何

5.多元函数微分学

1.多元函数的导数与微分 2.隐函数的微分法

6.多元函数积分学

1.二重积分

2.三重积分

7.无穷级数

1.级数的收敛性

2.级数的求和

8.常微分方程

1.一阶微分方程

2.二阶及高阶微分方程

正文：

【成人高考高数二考试大纲概述】

成人高考高数二考试主要针对报考高等教育的成人学生，旨在测试他们在高等数学方面的基本知识、基本理论和基本技能。考试形式为笔试，满分为

150 分，考试时间为 150 分钟。试卷分为选择题、填空题、解答题等题型。

【高数二考试内容详解】

1.函数与极限

函数是高等数学的基础概念，表示两个变量之间的关系。极限则是研究函数在某一点附近的行为，包括左右极限、极限的性质等。

2.导数与微分

导数是描述函数在某一点处斜率的概念，而微分则是导数的逆运算，用于研究函数在某一点处的局部性质。 3.积分

不定积分和定积分是积分的两种形式。不定积分用于求解函数的导数，而定积分则用于求解函数在某一区间上的面积、体积等。

4.向量代数与空间解析几何

高等数学二教材公式大全

高等数学二教材公式大全

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高等数学二是一门重要的学科，涵盖了许多重要的公式和定理。本文将为您提供一个高等数学二教材公式大全，帮助您复习和掌握这些基本的数学工具。以下是这些公式的分类和详细介绍：

一、微分与积分基本公式

1. 基本导数公式

- `(c)' = 0`，其中c是常数。

- `(x^n)' = nx^(n-1)`，其中n是常数。

- `(sinx)' = cosx`

- `(cosx)' = -sinx`

- `(tanx)' = sec^2x`

2. 基本积分公式

- `∫c dx = cx + C`，其中c是常数，C是积分常数。

- `∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C`，其中n不等于-1，C是积分常数。

- `∫sinx dx = -cosx + C`

- `∫cosx dx = sinx + C`

- `∫sec^2x dx = tanx + C`

二、微分方程公式 1. 一阶微分方程公式

- `dy/dx + P(x)y = Q(x)`，其中P(x)和Q(x)是已知函数。

- `y = (e^(-∫P(x)dx))(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx + C`，其中C是常数。

2. 高阶微分方程公式

- `y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)`，其中p(x)，q(x)和g(x)是已知函数。

- `y = y_c + y_p`，其中y_c是齐次方程的通解，y_p是特解。

三、级数公式

1. 等比数列公式

- `S_n = a(1 - q^n)/(1 - q)`，其中a是首项，q是比值，n是项数。

- `S = a/(1 - q)`，当0

2. 幂级数收敛公式

- `R = 1/lim(n→∞)|(a_n/a_(n+1))|`，其中R是收敛半径。

四、曲线的参数方程公式

1. 直角坐标与参数方程之间的转换公式

- `x = f(t)`，其中x是直角坐标，f(t)是参数方程的x分量。

高数二真题及答案解析

高数二真题及答案解析

高数二真题及答案解析

高等数学二是高等数学的一门重要课程，它主要涉及到微积分的相关知识和技巧。通过学习高等数学二，可以为后续的数学学科打下坚实的基础，并在实际问题的解决过程中发挥重要作用。本文将就高等数学二的一道真题进行分析和解答，希望能对大家的学习有所帮助。

真题：设f(x)在区间[-1,1]上连续，在(-1,1)内可导，且f'(x)在(-1,1)内变号，试证存在c∈(-1,1)使得f(c)=0。

解析：首先，我们要清楚题目所给出的条件以及需要证明的结论。题目给出f(x)在区间[-1,1]上连续，在(-1,1)内可导，且f'(x)在(-1,1)内变号，我们需要证明存在一个点c∈(-1,1)，使得f(c)=0。

为了证明这个结论，我们可以运用罗尔定理。罗尔定理是微积分中的一个重要定理，它给出了连续函数在某个区间内取得最值的条件。根据罗尔定理，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且在区间的两个端点上取得相等的函数值，那么在开区间内至少存在一个点c，使得f'(c)=0。

回到我们的题目，我们可以设函数g(x)=f(x)-kx，其中k是一个常数。由于f(x)在区间[-1,1]上连续，并在(-1,1)内可导，而kx是一条直线，所以g(x)也具备这两个条件。另外，由于f'(x)在(-1,1)内变号，那么在区间的两个端点上，f'(x)的值必然相等，即f'(-1)=f'(1)。

根据罗尔定理的条件，我们可以得知，在开区间(-1,1)内存在一个点c，使得g'(c)=0。接下来，我们来求解g'(x)。

根据求导法则，我们可以得到g'(x)=f'(x)-k。由于g'(c)=0，所以f'(c)=k。

继续推导，我们知道根据题目给定的条件，f'(x)在(-1,1)内变号，即f'(x)在开区间(-1,1)内有正有负的取值。而根据上面我们得到的等式f'(c)=k，可以推断出k的符号是正或负。

《高等数学II》教学大纲

《高等数学II》教学大纲

1 《高等数学II》课程教学大纲

一、课程基本信息

课程代码：

课程名称：高等数学II

英文名称：Higher mathematics II

课程类别：公共课

学 时：64

学 分：4

适用对象: 理工科专业

考核方式：考试

先修课程：高等数学I

二、课程简介

《高等数学II》是高等学校理工科专业学生的必修课。通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后续课程和获得进一步的数学知识奠定必要的基础。通过知识内容的传授，培养学生的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。其具体内容包括：空间解析几何与向量代数；多元函数微积分学（多元函数微分学、重积分、曲线积分和曲面积分）；无穷级数。

Higher mathematics II is a compulsory course for students majoring in science and

engineering in institutions of higher learning. Through learning of this course, make the

students master the basic concepts of higher mathematics and the basic theory and basic

computing skills, for learning the follow-up courses and further the mathematics knowledge

to lay the necessary foundation. Through the knowledge content of teaching, cultivate

students' operation ability, abstract thinking ability, logical reasoning ability, space