导数的应用一---函数的单调性 学案
- 格式：docx
- 大小：388.80 KB
- 文档页数：12
全国名校高考数学优质学案经典课时训练专题汇编（附详解）
导数的应用一---函数的单调性
【学习目标】
1. 理解函数的单调性与其导数的关系。
2. 掌握通过函数导数的符号来判断函数的单调性。
3. 会利用导数求函数的单调区间。
【要点梳理】
要点一、函数的单调性与导数的关系
我们知道，如果函数()fx在某个区间是增函数或减函数，那么就说()fx在这一区间具有单调性，先看下面的例子：
函数2()43yfxxx的图象如图所示。考虑到曲线()yfx的切线的斜率就是函数()fx的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即'()0fx时，()fx为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即'()0fx时，()fx为减函数。
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数)(xfy在某个区间内有导数，则在这个区间上，
①若()0fx，则()fx在这个区间上为增函数；
②若()0fx，则()fx在这个区间上为减函数；
③若恒有0)(xf，则()fx在这一区间上为常函数.
反之，若()fx在某区间上单调递增，则在该区间上有()0fx恒成立（但不恒等于0）；若()fx在某区间上单调递减，则在该区间上有()0fx恒成立（但不恒等于0）．
要点诠释：
1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上()0fx，即切全国名校高考数学优质学案经典课时训练专题汇编（附详解）
线斜率为正时，函数()fx在这个区间上为增函数；当在某区间上()0fx，即切线斜率为负时，函数()fx在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2.若在某区间上有有限个点使'()0fx，在其余点恒有'()0fx，则()fx仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上，()0fx()fx在这个区间上为增函数；
()0fx()fx在这个区间上为减函数，但反之不成立。
3. ()fx在某区间上为增函数在该区间()0fx；
()fx在某区间上为减函数在该区间()0fx。
在区间(a,b)内，'()0fx（或0)(xf）是)(xf在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！
例如：32()'()30'(0)0,'()0(0)fxxfxxffxx，，而f(x)在R上递增.
4.只有在某区间内恒有0)(xf，这个函数)(xfy在这个区间上才为常数函数.
5.注意导函数图象与原函数图象间关系.
要点二、利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数()yfx在区间（a，b）内可导，
（1）如果恒有'()0fx，则函数()fx在（a，b）内为增函数；
（2）如果恒有'()0fx，则函数()fx在（a，b）内为减函数；
（3）如果恒有'()0fx，则函数()fx在（a，b）内为常数函数。
要点诠释： 全国名校高考数学优质学案经典课时训练专题汇编（附详解）
（1）若函数()fx在区间（a，b）内单调递增，则'()0fx，若函数()fx在（a，b）内单调递减，则'()0fx。
（2）'()0fx或'()0fx恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：()agx或()agx。
要点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数()fx的定义域；
（2）求导数'()fx；
（3）在函数()fx的定义域内解不等式'()0fx或'()0fx；
（4）确定()fx的单调区间。或者：
令'()0fx，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即()fx的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()fx的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内()fx的符号。
要点诠释：
1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。
2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。
【典型例题】
类型一：求函数的单调区间
例1、确定函数32()267fxxx的单调区间.
【解析】2'()6126(2)fxxxxx。
令'()0fx，得x＜0或x＞2，
∴当x＜0或x＞2时函数()fx是增函数。 全国名校高考数学优质学案经典课时训练专题汇编（附详解）
因此，函数()fx的单调增区间为（－∞，0）和（2，+∞）。
令'()0fx，得0＜x＜2。
∴函数()fx在（0，2）上是减函数，其单调递减区间为（0，2）。
【总结升华】（1）解决此类题目，关键是解不等式'()0fx或'()0fx。
（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”。
举一反三：
【变式1】
求下列函数的单调区间：
（1）32()2fxxxx
（2）2()32ln(0)fxxxx；
（3）()sin(1cos)(02)fxxxx；
【答案】
（1）2'()341fxxx。
令3x2―4x+1＞0，解得x＞1或13x。
因此，y=x3－2x2+x的单调递增区间为（1，+∞）和1(,)3。
再令3x2－4x+x＜0，解得113x。
因此，y=x3－2x2+x的单调递减区间为1,13。
（2）函数的定义域为（0，+∞），
2231'()62xfxxxx。 全国名校高考数学优质学案经典课时训练专题汇编（附详解）
令'()0fx，即23120xx， 结合x＞0，可解得33x；
令'()0fx，即23120xx， 结合x＞0，可解得303x。
∴()fx的单调递增区间为3,3，单调递减区间为30,3。
（3）2'()cos(1cos)sin(sin)2coscos1fxxxxxxx2(cos1)(cos1)xx。
∴0≤x≤2π，∴使'()0fx的13x，2x，353x，
则区间[0，2π]被分成三个子区间。如表所示：
x 0 … 3 … π … 53 …
2
'()fx + 0 － 0 － 0 +
()fx
所以函数()sin(1cos)fxxx（0≤x≤π）的单调递增区间为0,3和5,23，单调递减区间为5,33。
例2. 求函数3yxax （a∈R）的单调区间。
【解析】 2'3yxa
① 当a≥0时，y＇≥0，函数3yxax在（－∞，+∞）上为增函数。
② 当a＜0时，令3x2+a=0得33ax，
∴y＇＞0的解集为33,,33aa。 全国名校高考数学优质学案经典课时训练专题汇编（附详解）
y＇＜0的解集为33,33aa。
∴函数3yxax的单调增区间是3,3a和3,3a，
减区间是33,33aa。
综上可知：当a≥0时，函数3yxax在（－∞，+∞）上单调递增。
当a＜0时，函数3yxax在3,3a和3,3a上单调递增，在33,33aa上单调递减。
【总结升华】
（1）解决此类题目，关键是解不等式'()0fx或'()0fx，若'()fx中含有参数，往往要分类讨论。
（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域，再在定义域的范围内写出单调区间，即定义域优先考虑的原则。
举一反三：
【变式】已知函数f(x)＝ex－ax－1，求f(x)的单调增区间。
【答案】 f′(x)＝ex－a，
若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，
若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥ln a.
∴当a≤0时，即f(x)递增区间是R；当a>0时，f(x)的递增区间是[ln a，＋∞)．
类型二：判断、证明函数的单调性
例3．当0x时，求证：函数21()ln2fxxxx是单调递减函数. 全国名校高考数学优质学案经典课时训练专题汇编（附详解）
【解析】 22213()11124'()1xxxxxfxxxxxx
0x，213()024x，
∴'()0fx
故函数()fx在(0)，上是单调递减函数.
【总结升华】 判断、证明函数的单调性的步骤：
1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号,下结论。
举一反三：
【变式1】当0x时，求证：函数21()ln(1)2fxxxx是单调递减函数.
【答案】22111'()1111xxfxxxxx
0x，∴10x，20x，
∴'()0fx
故函数()fx在(0)，上是单调递减函数.
【变式2】
设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（
）
【答案】D ()fx()fx()yfx()yfxy
x O y
x O y
x O y
x O
A． B． C． D． 全国名校高考数学优质学案经典课时训练专题汇编（附详解）
【变式3】(2015 陕西)设()sinfxxx，则()fx（ ）
A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数
C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数
【答案】B
【解析】由于()sinfxxx的定义域为R，且满足()sin()fxxxfx，
可得()fx为奇函数。
再根据'()1cos0fxx，可得()fx为增函数，
故选B。
例4．已知函数323()31fxaxxa, 讨论函数()fx的单调性.
【解析】由题设知220,()363()afxaxxaxxa．
令122()00,fxxxa得．
（i）当a>0时，
若(,0)x，则()0fx，所以()fx在区间)0,(上是增函数；
若2(0,)xa，则()0fx，所以()fx在区间2(0,)a上是减函数；
若2(,)xa，则()0fx，所以()fx在区间2(,)a上是增函数；
（ii）当a＜0时，
若2(,)xa，则()0fx，所以()fx在区间2(,)a上是减函数；
若2(,0)xa，则()0fx，所以()fx在区间2(,0)a上是增函数；
若(0,)x，则()0fx，所以()fx在区间(0,)上是减函数．
【总结升华】 （1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于0
