北师大版九年级数学上册第一章 1.1 菱形的性质与判定 同步练习题
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北师大版九年级数学上册第一章 1.1 菱形的性质与判定 同步练习题
第1课时 菱形的性质
一、选择题
1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D)
A．两组对边分别相等
B．两条对角线相等
C．四个内角都是直角
D．每一条对角线平分一组对角
2．菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是(D)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，四边形ABCD是边长为5 cm的菱形，其中对角线BD与AC交于点O，BD＝6 cm，则对角线AC的长度是(A)
A．8 cm B．4 cm C．3 cm D．6 cm
4．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF等于(A)
A．60° B．55° C．45° D．30°
二、填空题
5．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是(－5，4)．
6．如图，在菱形ABCD中，∠C＝45°，DE是AB边上的高，BE＝2，则AB的长是4＋22．
7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝50°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为105°．
8．如图，点E，F在菱形ABCD的对角线BD上，BE＝DF，∠ABC＝60°，∠BAE＝35°，那么∠ECF的度数是50度．
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经过t s△DEF为等边三角形，则t的值为43．
三、解答题
10．如图，在菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：AE＝BF；
(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC.
∴∠A＝∠CBF.
∵BE⊥AD，CF⊥AB，
∴∠AEB＝∠BFC＝90°.
∴△AEB≌△BFC(AAS)．∴AE＝BF.
(2)∵点E是AD的中点，且BE⊥AD，
∴直线BE为AD的垂直平分线．∴BD＝AB＝2.
11．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接CG.
(1)求∠CBG的度数；
(2)求证：BG＋DG＝CG.
解：(1)连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∠BCD＝∠A＝60°.
∴△ABD是等边三角形．
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴DE⊥AB，BF⊥AD.∴DE⊥CD，BF⊥BC.
∴∠CDG＝∠CBG＝90°. (2)证明：在Rt△CDG和Rt△CBG中，CG＝CG，CD＝CB，
∴Rt△CDG≌Rt△CBG(HL)．
∴∠DCG＝∠BCG＝12∠BCD＝30°，BG＝DG.
∴BG＝DG＝12CG.
∴BG＋DG＝CG.
12．如图1，在菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连接CE，CF.
(1)求证：CE＝CF；
(2)如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB＝2∠ECB，求证：CH＝AH＋AB.
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD.
∵点E，F分别为AB，AD的中点，
∴BE＝12AB，DF＝12AD.∴BE＝DF.
在△BCE和△DCF中，BC＝DC，∠B＝∠D，BE＝DF，
∴△BCE≌△DCF(SAS)．
∴CE＝CF.
(2)延长BA与CF相交于点G，
∵四边形ABCD是菱形， ∴AF∥BC，AB∥CD.
∴∠G＝∠FCD.
∵点F为AD的中点，
∴AF为△GCB的中位线．∴AG＝AB.
∵△BCE≌△DCF，∴∠ECB＝∠DCF.
∵∠CHB＝2∠ECB，∴∠CHB＝2∠G.
∵∠CHB＝∠G＋∠HCG，∴∠G＝∠HCG.
∴GH＝CH.
∴CH＝AH＋AG＝AH＋AB.
13．如图，AC，BD为菱形ABCD的对角线，∠BAD＝60°，点E，F分别在AD，CD边上，且∠EBF＝60°.
(1)求证：△BEF是等边三角形；
(2)当∠ABE＝15°时，AB＝1＋3，求BE的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AB∥DC.
又∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ADC＝120°.
∴AB＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°.
∴∠ABD＝∠EBF＝∠BDC＝60°.
∴∠ABE＝∠DBF，∠BAE＝∠BDF＝60°.
∴△ABE≌△DBF(ASA)． ∴BE＝BF.
∴△BEF是等边三角形．
(2)过点E作EH⊥AB于点H，在AB上截取GB＝GE，∴∠EGH＝30°.
设HE＝x，
在Rt△GHE中，∠EGH＝30°，
∴GE＝BG＝2x，HG＝3x.
在Rt△AHE中，∠BAD＝60°，∴AH＝33x.
∵AB＝AH＋HG＋BG＝1＋3，
∴33x＋3x＋2x＝1＋3.解得x＝3－32.
∴HE＝3－32，BH＝3＋32.
∵BE2＝HE2＋BH2，
∴BE2＝(3－32)2＋(3＋32)2.∴BE＝6.
第2课时 菱形的判定
1．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有(C)
A．AC⊥BD B．AB＝BC
C．AC＝BD D．∠1＝∠2
2．如图，顺次连接四边形ABCD各中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是(D)
A．AB∥DC B．AB＝DC
C．AC⊥BD D．AC＝BD
3．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是(A)
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
4．如图，已知∠A，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；分别以点B，D为圆心，线段AB的长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所得四边形ABCD为菱形，判定依据是四条边都相等的四边形是菱形．
5．如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD.若从以下三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是②(填序号)．
6．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝10，AC＝12，当BD＝16时，▱ABCD是菱形．
7．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是③(只填写序号)．
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝50 cm，∠A＝60°，点D从C点沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从A点沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是t s(0＜t≤252)，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.当t＝253_s时，四边形AEFD菱形．
9．在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为(－3，0)，(x，y)，(0，4)，(－6，z)．若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则z的值为4或438．
10．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD.求证： (1)△AED≌△CFD； (2)四边形ABCD是菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C.
在△AED和△CFD中，
∠A＝∠C，AE＝CF，∠AED＝∠CFD，
∴△AED≌△CFD(ASA)．
(2)∵△AED≌△CFD，∴AD＝CD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
11．如图，在▱ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP，BQ，PQ.
(1)求证：△APD≌△BQC；
(2)若∠ABP＋∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠ADP＝∠DBC.
∵CQ∥DB，∴∠BCQ＝∠DBC.
∴∠ADP＝∠BCQ.
又∵DP＝CQ，∴△APD≌△BQC(SAS)． (2)∵CQ∥DB，且CQ＝DP，
∴四边形CQPD是平行四边形．
∴CD＝PQ，CD∥PQ.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.∴AB＝PQ，AB∥PQ.
∴四边形ABQP是平行四边形．
∵△APD≌△BQC，∴∠APD＝∠BQC.
∵∠APD＋∠APB＝180°，∠ABP＋∠BQC＝180°，∴∠ABP＝∠APB.∴AB＝AP.
∴四边形ABQP是菱形．
12．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD，O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：
(1)∠BOD＝∠BCD；
(2)四边形OBCD是菱形．
证明：(1)延长OA到E.
∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.
又∵∠BOE＝∠ABO＋∠BAO，∴∠BOE＝2∠BAO.
同理可得∠DOE＝2∠DAO.
∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)，即∠BOD＝2∠BAD.
又∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠BCD.
(2)连接OC.
∵BC＝CD，OB＝OD，OC＝OC，
