九年级数学上册 第二章 第14-15课时《一元二次方程》小结与复习教案 (新版)湘教版
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第14-15课时 第《一元二次方程》
预设
目标 1、一元二次方程的相关概念；
2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；
3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；
4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；
5、构造一元二次方程解决简单的实际问题；
教学
重难点 重点：运用知识、技能解决问题。
难点：解题分析能力的提高．
教具
准备
教法
学法 合作，探究，讨论
教
学
过
程 一、知识梳理
1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一
个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法
4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△=
b2-4ac，当⊿>0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿<0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。
5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）
当⊿=b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x=242bbaca；若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2=ab，x1•x2=ac。
若一元二次方程2x+px+q=0的两根为1x、2x，则：x1＋x2==
-p ， x1•x2= q 。
6、一元二次方程的应用。
二、基本知识训练
1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是【 】
A．2210xx B．20axbxc
C．(1)(2)1xx D．223250xxyy
4、咸宁市2009年平均房价为每平方米2000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为2000（1+x）2=2420，此方程适宜用直接开平方法解。
5、用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【 】
A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16
6、若一元二次方程022mxx有实数解，则m的取值范围是【 】
A．1-m B． 1m C．4m D． 21m
三、典型例题分析
【例1】用适当的方法解下列方程：
⑴x2﹣4x+2=0 ⑵ 1222xxx
【例2】已知x是一元二次方程x2+2x-8＝0的根，求代数式)252(6332xxxxx的值．
【例3】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m-1＝0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若2 (x1+x2)+ x1x2+10=0，求m的值.
【例4】如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求ab＋ba的值；
（3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
【例5】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售。
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元。
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。
四、经典考题训练
1、下列方程，是一元二次方程的是 。
①3x2+x=20， ②2x2-3xy+4=0， ③412xx，
④ x2=0， ⑤ 0432xx
2、方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则
m= 。
3、已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为 -2，则实数k的值为【 】
A．1 B．1 C．2 D．2
4、关于x的二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为【 】
A、1 B、1 C、1或1 D、0.5
5、方程2310xx的解是 ． 6、已知关于x的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程： ．
7、如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是 ．
8、已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）= ．
9、若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是 ．
10、用适当的方法解下列方程：
⑴x2-2x-3=0 ⑵x(x-2)+x-2=0
⑶（x+1）(x-1)+2(x+3)=8 ⑷x2-3x-1=0
11、先化简，再求值：
2221111aaaaa，其中a是方程62xx的根．
12、已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
13、已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，求2112xxxx的值.
14、已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且1222xx，求m的值，并求出此时方程的两根．
15、阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到_ _ __的目的，•体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0．
16、如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
板
书
设
计 一元二次方程的应用
例1 例2 例3
例4 例5
学生练习
作业 教材第56--58页：复习题
教学反思
