三角形内切圆的性质及应用来看这样一道几何题.题1如图1所示，ABC△的内切圆⊙I与三边分别切于点FED、、，直线DICIBI、、分别与EF交于点KNM、、，直线BN与CM交于点P，直线AK与BC交于点G，过点I且垂直于PG的直线与过点P垂直于PB的直线交于点Q.证明：直线BI平分PQ.【分析】此题表面上复杂，但经过一番抽丝剥茧，最终可以归纳成数个结论的嵌套，实质上难度不大.但是，这些结论在解题中却有着广泛的应用，更是可以成为某些问题的突破口.下面依次分析.我们看到，本题图形复杂，一些点的位置难以看清.接下来将重新描述它们的位置，以期起到简化问题的效果.结论1点I为BCP△的垂心.证明首先，我们知道四边形BINF内接于圆，这是导角容易得到的.因此，°90=∠=∠BNIBFI.同理，°90=∠IMC，故点I为垂心，证毕.结论2点G为边BC中点.证明延长DK交内切圆于S，过点S作其切线与三角形两边相交.我们考虑圆外切四边形BCXY.根据牛顿定理，点K为CYBX、的交点.而又BCXY//，可知G为边BC中点，这一点不难通过比例线段得到.证毕.于是，我们可以将点A和内切圆删除，这并不影响原题的结论.这样一来，原题的图形也就得到了极大的简化.之后的步骤并不复杂.对于正式的证明本文从略，由于它并不是重点.题1的价值在于它引出了结论1和结论2，尤其是前者，在解题中应用广泛.一般来说，对于涉及内切圆两切点连线的问题，结论1就提供了很好的思路.作出题1中的BCP△作为辅助线，并寻找相似三角线和四点共圆等往往能奏效.性质1的等价形式有时也被使用.推论在图1中，延长CM交AB于点R，则MRCM=.下面给出了一些具体的例子以体现上述结论的应用.例1如图2，在ABC△中，ACAB>，内切圆⊙I于边ABCABC、、分别相切于点FED、、，M是边BC的中点，BCAH⊥于点H，BAC∠的平分线AI分别于直线DFDE、交于点LK、.证明：KHLM、、、四点共圆.【分析】根据推论，自然联想到延长CH与对边相交.这样一来就不难处理了.证明我们不难知道CLNL=，因此，有BNML//.这样一来可知ABCLMC∠=∠.另一方面，由于CDCE=，再结合AK平分BAC∠，可知LMCABCAKE∠=∠=∠.这样就证明了原题.例2如图3，M为BC中点，AM与EF交于点N.两条角平分线分别与EF交于点YX、.证明：NXNYACAB=.【分析】根据提供的思路，我们仍然作出图中所示的辅助线.利用垂心的性质，可发现一组角平分线，恰能将所求比例的左边转化到一个三角形的两边.进而，只需证明其与原三BA
EFDOABC三角形的内切圆
——与内切圆半径有关的计算
【学习目标】
1．理解三角形内切圆的有关概念。
2．掌握三角形的内心的位置、数量特征。
3．会求三角形的内切圆半径，会利用内心的相关性质解决计算问题。
【预备知识】
1.内切圆的有关概念 _________________________叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是__________________________的交点。
2.内切圆的性质
（Ⅰ）内心的性质：_____________________________的距离相等。
（Ⅱ） 设S是△ABC面积，a, b，c是三角形三边长，r为三角形内切圆半径,则三角形面积与其内切圆半径的关系为：S=______________
特别地，直角三角形三边长与内切圆半径关系为： r=______________
3. 切线长定理
经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。从圆外一点引圆的两条切线，__________________，________________________________。
4.如何求一个三角形的面积
△ABC中a，b，c是三角形的三边长，2abcp
方法① 海伦公式()()()Sppapbpc
方法② bcarrrDEFIBACCABD【中考衔接】
(天津中考)已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8。
（Ⅰ）如图①，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1；
（Ⅱ）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2；
（Ⅲ）如图③，当n大于2的正整数时，若半径rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On
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专业技术参考资料 EFDOABC三角形的内切圆
——与内切圆半径有关的计算
【学习目标】
1．理解三角形内切圆的有关概念。
2．掌握三角形的内心的位置、数量特征。
3．会求三角形的内切圆半径，会利用内心的相关性质解决计算问题。
【预备知识】
1.内切圆的有关概念 _________________________叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是__________________________的交点。
2.内切圆的性质
（Ⅰ）内心的性质：_____________________________的距离相等。
（Ⅱ） 设S是△ABC面积，a, b，c是三角形三边长，r为三角形内切圆半径,则三角形面积与其内切圆半径的关系为：S=______________
特别地，直角三角形三边长与内切圆半径关系为： r=______________
3. 切线长定理
经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。从圆外一点引圆的两条切线，__________________，________________________________。
4.如何求一个三角形的面积
△ABC中a，b，c是三角形的三边长，2abcp
方法① 海伦公式()()()Sppapbpc
方法② bcarrrDEFIBACCABDWORD格式整理
专业技术参考资料 【中考衔接】
(天津中考)已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8。
（Ⅰ）如图①，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1；
三角形的内切圆
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：三角形内切圆的概念及内心的性质．因为它是三角形的重要概念之一．
难点：①难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆；②画三角形内切圆，学生不易画好．
2、教学建议
本节内容需要一个课时．
（1）在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质；
（2）在教学中，类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，展开活动式教学．
教学目标：
1、使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；
2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题水平；
3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动．
教学重点：
三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质．
教学难点：
三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质．
教学活动设计 （一）提出问题
1、提出问题：如图，你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆？想一想，怎样画?
2、分析、研究问题：
让学生动脑筋、想办法，使学生理解作三角形内切圆的实际意义．
3、解决问题：
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切．
引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分析，寻找作法．
提出以下几个问题实行讨论：
①作圆的关键是什么?
②假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件?
③这样的点I应在什么位置?
④圆心I确定后半径如何找．
A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师指导下完成．
完成这个题目后，启发学生得出如下结论： 和三角形的各边都相切的圆能够作一个且只能够作出一个．
（二）类比联想，学习新知识．
1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
