【最新】2019秋广东省深圳市南山区高二上册期末数学试卷(有答案)

1 广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设命题P：∀∈R，2+2＞0．则￢P为（ ）

A． B．

C． D．∀∈R，2+2≤0

2．（5分）等差数列{an}前n项和为Sn，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（ ）

A．10 B．9 C．6 D．5

3．（5分）“”是“”的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件

4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与﹣互相垂直，则的值是（ ）

A．1 B． C． D．

5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb的最大值是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．

8．（5分）已知数列{an}：a1=1，，则an=（ ）

A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣7

9．（5分）若直线2a+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆2+y2﹣2﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（ ）

A．2﹣ B．﹣1 C．3+2 D．3﹣2

10．（5分）设，y满足约束条件，则=﹣2y的取值范围为（ ） 2 A．（﹣3，3） B．[﹣3，3] C．[﹣3，3） D．[﹣2，2]

11．（5分）如图过拋物线y2=2p（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（ ）

A．y2= B．y2=3 C．y2= D．y2=9

12．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC= ．

14．（5分）已知数列{an}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为

．

15．（5分）设不等式（﹣a）（+a﹣2）＜0的解集为N，若∈N是的必要条件，则a的取值范围为 ．

16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为

．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）已知正项数列{an}的前n项的和为Sn，且满足：，（n∈N+）

（1）求a1，a2，a3的值

（2）求数列{an}的通项公式．

18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．

（1）求角B的值； 3 （2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．

19．（12分）已知递增的等比数列{an}满足：a2•a3=8，a1+a4=9

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列，求数列{bn}的前n项的和Tn．

20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）设直线l：y=+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线+2y=0上时，求直线l的方程．

21．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．

（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；

（2）证明：CD∥EF

（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．

22．（12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．

（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．

4 广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设命题P：∀∈R，2+2＞0．则￢P为（ ）

A． B．

C． D．∀∈R，2+2≤0

【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，

即￢P：，

故选：B

2．（5分）等差数列{an}前n项和为Sn，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（ ）

A．10 B．9 C．6 D．5

【解答】解：公差d=﹣2，S3=21，

可得3a1+×3×2×（﹣2）=21，

解得a1=9，

故选：B．

3．（5分）“”是“”的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件

【解答】解：当+2π时，满足但不一定成立，即充分性不成立，

当时，成立，即必要性成立，

则“”是“”的必要不充分条件，

故选：C

4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与﹣互相垂直，则的值是（ ） 5 A．1 B． C． D．

【解答】解：+=（3，1，6），﹣=（2﹣1，，4﹣2），

∵+与﹣互相垂直，∴3（2﹣1）++6（4﹣2）=0，

解得=，

故选：D．

5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，

AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，

可得：13=9+AC2+3AC，

解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．

故选：A．

6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，

解得=．

故选：D．

7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb的最大值是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．

【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴lga＞0，lgb＞0

∴lga•lgb≤（ ）2=（ ）2=1

当且仅当a=b=10时等号成立

即lga•lgb的最大值是1 6 故选B．

8．（5分）已知数列{an}：a1=1，，则an=（ ）

A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣7

【解答】解：由，

得an+1+3=2（an+3），

∵a1+3=4≠0，

∴数列{an+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，

则，

∴．

故选：A．

9．（5分）若直线2a+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆2+y2﹣2﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（ ）

A．2﹣ B．﹣1 C．3+2 D．3﹣2

【解答】解：由题意可得直线2a+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆2+y2﹣2﹣4y﹣6=0的圆心（1，2），

故有2a+2b=2，即a+b=1．

再根据 +=+=3++≥3+2=2+2，当且仅当=时，取等号，

故+的最小值是3+2，

故选：C．

10．（5分）设，y满足约束条件，则=﹣2y的取值范围为（ ）

A．（﹣3，3） B．[﹣3，3] C．[﹣3，3） D．[﹣2，2]

【解答】解：由=﹣2y得y=，

作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：

平移直线y=， 7 由图象可知当直线y=，过点C（3，0）时，直线y=的截距最小，此时最大，

代入目标函数=﹣2y，得=3，

∴目标函数=﹣2y的最大值是3．

当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，

此时最小，

由，得，即B（1，2）

代入目标函数=﹣2y，得=1﹣2×2=﹣3

∴目标函数=﹣2y的最小值是﹣3．

故﹣3≤≤3，

故选：B

11．（5分）如图过拋物线y2=2p（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（ ）

A．y2= B．y2=3 C．y2= D．y2=9

【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，

设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，

由定义得：|BD|=a，

故∠BCD=30°， 8 在直角三角形ACE中，

∵|AF|=3，|AC|=3+3a，

∴2|AE|=|AC|

∴3+3a=6，从而得a=1，

∵BD∥FG，

∴，

求得p=，

因此抛物线方程为y2=3，

故选：B

12．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，

∴bcsinA=bc=，

∴bc=3，①

又a=2，A是锐角，

∴cosA==，

∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，

即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，

∴b+c=2②