-学年高一数学 第二章 第2节《对函数的进一步认识》(第3课时)目标导学 北师大版必修1

高一数学教案：对函数的进一步认识
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本文题目：高一数学教案：对函数的进一步认识
学时: 1 学时
【学习引导】
一、自主学习
1. 阅读课本P32P33
2. 回答问题
(1)课本内容分成几个层次?每个层次的中心内容是什幺?
(2)层次间有什幺联系?
(3)什幺是映射?什幺是一一映射原像和像分别指什幺?。

word函数的概念教学目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间〞的符号表示某些集合．教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.函数模型思想及函数概念：①给出第一节生活中的变量关系三个实例略．②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化X 围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数〔function 〕，记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值X 围A 叫作定义域〔domain 〕，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域〔range 〕.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值．求223,{1,0,1,2}y x x x =-+∈-值域.例1：见课本27页例12.区间及写法：① 概念：设,a b 是两个实数，且a b <，那么： {}[,]x a x b a b ≤≤=叫闭区间； {}(,)x a x b a b <<=叫开区间；{}[,)x a x b a b ≤<= ； {}(,]x a x b a b <≤= ；都叫半开半闭区间．② 符号：“∞〞读“无穷大〞；“－∞〞读“负无穷大〞；“+∞〞读“正无穷大〞 ③ 练习用区间表示：R 、{x|x ≥a}、{x|x>a}、{x|x ≤b}、{x|x<b}④ 用区间表示：函数y ＝x 的定义域，值域是． 〔观察法〕3.小结：函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示三、巩固练习：1. 函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)2. 探究：举例日常生活中函数应用模型的实例. 什么样的曲线不能作为函数的图象？3. 课堂作业：。

2.2.3 映射教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．教学重点：映射的概念．教学难点：理解概念．教学过程：一、复习准备：1. 举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；2. 讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？3. 导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）.二、讲授新课：1. 教学映射概念：①先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意{1,4,9}A=, {3,2,1,1,2,3}B=---，对应法则：开平方；{3,2,1,1,2,3}A=---，{1,4,9}B=，对应法则：平方；{30,45,60} A=︒︒︒,1{}2B=, 对应法则：求正弦；②定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:f A B→为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“:f A B→”关键: A中任意，B中唯一；对应法则f.③分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？④讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一）一对多是映射吗？举例一一映射的实例（一对一）2.教学例题：①出示例1. 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？A={P | P是数轴上的点}，B=R；A={三角形}，B={圆}；A={P| P是平面直角体系中的点}，{(,)|,}B x y x R y R=∈∈；A={高一某班学生}，B= ？（师生探究从A到B对应关系→辨别是否映射？一一映射？小结：A中任意，B中唯一）②讨论：如果是从B到A呢？③练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则:21f x x→+；*,{0,1}A N B==，对应法则:2f x x→除以得的余数；A N=，{0,1,2}B=，:3f x x→被除所得的余数；设111{1,2,3,4},{1,,,}234X Y==:f x x→取倒数；{|2,},A x x x NB N=>∈=，:f x x→小于的最大质数3. 小结：映射概念.三、巩固练习： 1. 练习：书P33,1、2、3、4题； 2.课堂作业：书P34 3，B组1、2题.1。

【必修1 】第二章函数第二节对函数的进一步认识(3)学时: 1学时【学习引导】一、自主学习1. 阅读课本P32—P332. 回答问题（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？（2）层次间有什么联系？（3）什么是映射？什么是一一映射原像和像分别指什么？（4）函数和映射有什么区别和联系？3. 完成P33练习.4. 小结.二、方法指导本节通过简单的对应图示了解一一映射的概念，同学们在学习应该认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式. 于此同时同学们的观察能力、判断能力、论述能力都得应该到相应的提高.【思考引导】一、提问题1.函数有哪几要素?2.函数是一种特殊的映射，特殊在哪里?二、变题目1.在M到N的映射中，下列说法正确的是（）A．M中有两个不同的元素对应的象必不相同B．N中有两个不同的元素的原象可能相同C．N中的每一个元素都有原象D．N中的某一个元素的原象可能不只一个2. 设A,B是两个集合,并有下列条件:①集合A中不同元素在集合B中有不同的像;②集合A,B是非空的数集;③集合B中的每一个元素在A中都有原像;④集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一的像. 使对应ƒ成为从定义域A到值域B上的函数的条件是( ).A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④3. 集合A,B是平面直角坐标系中的两个点集,给定从A到B的映射y) (2x＋2y,x y),则(5,2)的原像是.ƒ: (x,4.已知A＝B＝R,x∈A,y∈B,ƒ:x→y＝a x＋b,若1, 8的原像相应是3和10,则5在ƒ下的像是.【总结引导】1. 在理解映射的概念时，应抓住集合A中的任何一个元素在集合B中都有惟一的元素和它对应，或者说A中的每个元素在B中都有惟一的象；在理解一一映射的概念时，应抓住三点：①A到B是映射，②A中每个不同元素在B中有不同的象，③B 中的每一个元素在A 中都有原象；或者抓住两点：①A 到B 是映射，②B 到A 也是映射.2. 函数的实质就是一一对应，一一映射不等同于一一对应.3．映射必须满足的条件是：（1） ；(2) ；(3) .【拓展引导】一、课外作业：P 34 A 组 3二、课外思考： 1．已知从A 到B 的映射是21x x →+，从B 到C 的映射是12y y →-，其中,,A B C R ⊆，则从A 到C 的映射是___________．2.下列对应是不是从A 到B 的映射，为什么？（1）A ={全体正实数} , B =R ,对应法则是“求平方根”.（2）A ={x | －2≤x ≤2 } , B={y |0≤y ≤1} ,对应法则是“平方除以4”（3）A = {x |0≤x ≤2 } , B ={y |0≤y ≤1 } ,对应法则是f ：x → y = (x －2) 2 ,(其中x ∈A ,y ∈B ) .（4）A = {x| x ∈N } , B = { －1 ,1 } ,对应法则f ：x →y = (－1) x ,其中x ∈A ,y ∈B .（5）A = {平面内的圆},B = {平面内的矩形} 对应法则是“作圆的内接矩形”撰稿：黄福萍 审稿：宋庆参考答案【思考引导】二，变题目1. A2. D3. (2,1) (1,2) (-1,-2) (-2,-1)4. 3【拓展引导】 1. 12x x →- 2. (1)错 ，因为像不唯一（2）对 ，（4）错 ，当x=0时，在B 中没有与其对应的元素(5 ) 错 ，应为一个圆中不止有一个内接矩形。

陕西省石泉县高中数学第二章函数 2.2 对函数的进一步认识 2.2.2 函数解析式的求法教案北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省石泉县高中数学第二章函数 2.2 对函数的进一步认识 2.2.2 函数解析式的求法教案北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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§2.3函数解析式的求法教学目标:（1）学生掌握函数解析式的三种常见求法：待定系数法，换元法，方程法。

（2）提升学生的观察能力，加深对函数概念的理解。

教学重点：对f 的了解,用多种方法来求函数的解析式 教学难点：待定系数法、换元法、解方程组法等方法的运用。

教学方法：讲练结合发教学过程一． 点拨精讲1. 待定系数法(1)适用条件：已知函数类型(2）具体步骤：设：根据已知函数类型,设函数解析式; 列：根据已知条件，列出待定系数的方程组;求：求出待定系数；写：写出函数解析式。

2.换元法（1）适用条件:不清楚函数类型，已知 (2)具体步骤：设:设新元，注意新元的取值范围； 换：将已知解析式用新元表示;(0)y kx k =≠正比例函数：(0)ky k x =≠反比例函数：+(0)y kx b k =≠一次函数： 2+(0)y ax bx c a =+≠二次函数： (())()f g x f x 的解析式，求的解析式。

化：将用新元表示的函数解析式化简;写：写出函数解析式。

3.方程组法（1）适用条件： （2）具体步骤:换：根据已知条件，写出与已知方程相似的方程;解：解方程组；写：写出函数解析式.二． 典例精讲例1。

2.3 映射1．了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是否为映射．2．理解映射与函数的区别与联系．1．映射设两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的_________元素x，B中总有_______的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为_______，B中的元素y称为x的_______，记作f：x→y.映射是对应，但对应不一定是映射，即映射是特殊的对应．【做一做1－1】给出下列4个对应，是映射的是( )．A．③④B．①②C．②③D．①④【做一做1－2】在映射f：A→B中，下列说法中不正确的为( )．①集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应．②集合B中至少存在一个元素在集合A中无原像．③集合B中可能有元素在集合A中无原像．④集合B中可能有元素在集合A中的原像不止一个．A．①②B．②③C．③④D．①④2．一一映射当映射f：A→B满足：(1)A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；(2)__________中的不同元素的____也不同；(3)B中的每一个元素都有__________，那么就称映射f：A→B是——映射，——映射也叫作一一对应，一一映射是特殊的__________．映射和一一映射的区别与联系【做一做2】下列对应是集合M到集合N的一一映射的是( )．A．M＝N＝R，f：x→y＝－1x，x∈M，y∈NB．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈NC．M＝N＝R，f：x→y＝1|x|＋x，x∈M，y∈ND．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N3．函数与映射函数是特殊的映射，对于映射f：A→B，当两个集合A，B均为非空________时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是________，而映射不一定是函数．在函数中，________的集合称为函数的定义域，________的集合称为函数的值域．【做一做3】下列对应为A到B的函数的是( )．A．A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|B．A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝xD．A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0答案：1．每一个唯一原像像【做一做1－1】 C【做一做1－2】A2．(2)A像(3)原像映射【做一做2】D用排除法，选项A中集合M的元素0，在f下，N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；选项B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故排除B；选项C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，应排除；故选D.3．数集映射原像像【做一做3】D由函数的定义可知，对于选项A,0∈R，且|0|＝0B，故A项中的对应不是A到B的函数；对于选项B,0∈Z，且02＝0N＋，故B项中的对应不是A到B的函数；对于选项C，当x＜0时，如－2∈Z，但－2无意义，故C项中的对应不是A到B的函数；对于选项D，是多对一的情形，符合函数的定义，是A到B的函数．1．映射f：A→B到底是什么？怎样理解映射的概念？剖析：对于映射这个概念，可以从以下几点来理解：①映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往是不一样的；③映射要求对集合A 中的每一个元素在集合B 中都有像，并且像是唯一的；A 中两个(或多个)元素可能有相同的像，这样集合A 中元素的任意性和在集合B 中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；映射允许集合B 中存在元素在A 中没有原像，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”．2．如何理解一一映射的概念？剖析：(1)一对一：一一映射f ：A →B 中，要求原像不同，像也不同．集合A 中不同的元素在集合B 中有不同的像，集合B 中的元素都有不同的原像．(2)可逆性：若映射f ：A →B 是一一映射，则集合B 到集合A 的映射一定是一一映射f ′：B →A .题型一 判断映射【例1】下列对应是不是从A 到B 的映射？(1)A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：x →|x |；(2)A ＝{x |x ≥2，x ∈N ＋}，B ＝{y |y ≥0，y ∈Z }，f ：x →y ＝x 2－2x ＋2；(3)A ＝{x |x ＞0}，B ＝{y |y ∈R }，f ：x →y ＝±x .分析：从定义出发来判断．从集合A 到集合B 的映射，是指按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应．反思：映射应满足存在性：集合A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素；唯一性：集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与之对应．题型二 求某一映射中的像或原像【例2】 已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的对应的元素和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54在A 中的对应元素．分析：把x ＝2代入对应关系中可求得在B 中对应的元素，⎝⎛⎭⎫32，54在A 中对应的元素可通过列方程组解出．反思：求某一映射中的像或原像，要准确地利用映射的关系，恰当地列出方程或方程组．题型三 求映射的个数问题【例3】 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－1,0,1}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )，求映射f ：A →B 的个数．分析：A 中元素在f 下对应B 中的一个、两个或三个，并且满足f (a )＋f (b )＝f (c )，需分类讨论．反思：理解映射的概念是解决本题的关键；另外，依映射的定义，若集合A 中有m 个不同元素，集合B 中有n 个不同元素，则A 到B 共有n m 个映射，B 到A 共有m n 个映射．答案：【例1】 解：(1)中，当x ＝0∈A 时，|x |＝0B ，即A 中的元素0按对应法则f ：x →|x |在B 中没有像，∴(1)不是映射．(2)中，∵y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥0，∴对任意的x ，总有y ≥0.又当x ≥2，且x ∈N ＋时，x 2－2x ＋2必为整数，即y ∈Z .由A ＝{x |x ≥2，x ∈N ＋}，B ＝{y |y ≥0，y ∈Z }知，当x ∈A 时，x 2－2x ＋2∈B ，∴对A 中每一个元素x ，按对应法则f ：x →y ＝x 2－2x ＋2，在B 中都有唯一的y 与之对应，∴(2)是映射．(3)中，对任意的x ∈A ＝{x |x ＞0}，按对应法则f ：x →y ＝±x ，存在两个y ∈B ＝{y |y ∈R }，即y ＝x 和y ＝－x 与之对应，∴(3)不是映射．【例2】 解：将x ＝2代入对应关系，可求出其在B 中的对应元素为(2＋1,3)． 由⎩⎨⎧ x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12. 所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎫32，54在A 中的对应元素为12. 【例3】 解：(1)当A 中三个元素都是对应0时，则f (a )＋f (b )＝0＋0＝0＝f (c )有1个映射．(2)当A 中三个元素对应B 中两个元素时，满足f (a )＋f (b )＝f (c )的映射有4个，分别为1＋0＝1,0＋1＝1，(－1)＋0＝－1，0＋(－1)＝－1.(3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时，有2个映射，分别是(－1)＋1＝0,1＋(－1)＝0.因此满足题设条件的映射有7个．1 设集合A＝{a，b，c}，集合B＝R，以下对应关系中，一定能建立集合A到集合B 的映射的是( )．A．对集合A中的数开平方B．对集合A中的数取倒数C．对集合A中的数取算术平方根D．对集合A中的数立方2 已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A 中的元素的映射f的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是( )．A．4 B．5 C．6 D．73 设集合A，B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在f下，像(2,1)的原像为( )．A．(3,1) B.31,22⎛⎫⎪⎝⎭C.31,22⎛⎫-⎪⎝⎭D．(1,3)4 设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的一一映射的个数为__________．5 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？(1)A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7,8,9}，对应关系f：x→2x＋1；(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系是“作圆的内接矩形”；(3)A＝{1,2,3,4}，B＝1111,,,234⎧⎫⎨⎬⎩⎭，对应关系f：x→1x.答案：1．D当a＜0时，对a开平方或取算术平方根均无意义，则A，C项错；当a ＝0时，对a取倒数无意义，则B项错；由于任何实数都有立方，并且其立方仅有一个，所以对集合A中的数立方能建立映射．2．A∵a∈A，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．3．B∵2,1,x yx y+=⎧⎨-=⎩∴3,21.2xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故应选B.4．6集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，根据一一映射的定义可知从A到B的一一映射有6个．5．解：(1)是映射也是函数，但不是一一映射．因为数集A中的元素x按照对应关系f：x→2x＋1和数集B中的元素2x＋1对应，这个对应是数集A到数集B的映射，也是函数．但B中的元素4,6,8没有原像，不能构成一一映射．(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射．因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应．(3)是A到B的映射，也是函数和一一映射．。

2.2 对函数的进一步认识学习目标：（1）会求一些简单函数的定义域和值域；（2）掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；（3）会解决一些函数记号的问题。

重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题。

难点：对函数记号的理解。

学习过程（一）、基础习题练习1．说出下列函数的定义域与值域： 835y x =+； 243y x x =-+； 2143y x x =-+；2．已知1()1f x x =-，求f ， ((3))f f ， (())f f x ； 3．已知0(0)()(0)1(0)x f x x x x π<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，（1）作出()f x 的图象；（2）求(1),(1),(0),{[(1)]}f f f f f f -- 的值（二）典题探析例1．已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2, 求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]．例2．求下列函数的定义域。

（1）0y =（2）223y x x =+-；例3．若函数y =的定义域为Ｒ，求实数a 的取值范围． （[]1,9a ∈）例4． 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x 分钟，两种通讯方式的费用分别为12,y y （元）．（1）．写出12,y y 与x 之间的函数关系式？（2）．一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？（3）．若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？答案提示:1. 答案：5{|}3x R x ∈≠-；R ；{|1x R x ∈≠且3}x ≠2. 答案：(2)21f =+，((3))2f f =-，1(())2x f f x x-=-． 3.答案：（1） ；（2）(1)2f =，(1)0f -=，(0)f π=，{[(1)]}1f f f π-=+．例1．解析：[()]4()34(43)31615f f x f x x x =+=++=+22[()]4()34()343f g x g x x x =+=+=+222[()][()](43)16249g f x f x x x x ==+=++2224[()][()]()g g x g x x x ===例2．解析：（1）由{10x x x +≠>得01x x <≠-且，∴函数的定义域为(,1)(1,0)-∞--（2）由{2240230x x x -≥+-≠得22x x ≥≤-或3,1x x ≠-≠∴函数的定义域为(,3)(3,2][2,)-∞---+∞。

陕西省石泉县高中数学第二章函数2.2 对函数的进一步认识2.2.3 映射教案北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省石泉县高中数学第二章函数2.2 对函数的进一步认识2.2.3 映射教案北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为陕西省石泉县高中数学第二章函数2.2 对函数的进一步认识2.2.3 映射教案北师大版必修1的全部内容。

§2.3 映射一．三维目标：1．知识与技能：（1）了解映射的概念及表示方法;（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．2．过程与方法：(1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合;（2）通过实例进一步理解映射的概念；(3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．3．情态与价值：映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．二．教学重难点教学重点：映射的概念教学难点：映射的概念三．学法与教学方法1．学法：通过丰富的实例,学生进行交流讨论和概括；从而完成本节课的教学目标；2．教学方法：探究交流法。

四．教学过程（一)创设情景,揭示课题复习初中常见的对应关系:1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点p和它对应；2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(,x y）和它对应；3．对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应;4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5．函数的概念．(二)研探新知1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合"，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．2．先看几个例子，两个集合A 、B 的元素之间的一些对应关系： （1）开平方；（2）求正弦;(3)求平方；（4）乘以2． 归纳引出映射概念：一般地,设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．记作“f ：A →B ” 说明：(1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的映射与B 到A 的映射是截然不同的，其中f 表示具体的对应法则,可以用多种形式表述． （2)“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个;二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思． (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维例1．下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1)A=｛|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={|P P 是平面直角坐标中的点｝，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;(3）A={三角形}，B={|},x x 是圆对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A=｛|x x 是新华中学的班级}，}{|,B x x =是新华中学的学生对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．思考：将(3）中的对应关系f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；(4)中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f ：B →A 是从集合B 到集合A 的映射吗？ 例2．在下图中，图(1)，（2),（3），（4）用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则,是不是映射？是不是函数关系？A 开平方B A 求正弦 B（1） （2）A 求平方B A 乘以2 B（3） （4)（四）巩固深化，反馈矫正1、画图表示集合A 到集合B 的对应（集合A,B 各取4个元素） 已知：(1）}}{{1,2,3,4,2,4,6,8A B ==,对应法则是“乘以2”； (2）A={|x x ＞}0，B=R,对应法则是“求算术平方根”；94 13 －3 2 －2 1 －1300 450 600 90012223211 －1 2－2 3－3 1 2 31 2 3 4 5 61 4 9（3）{}|0,A x x B R =≠=，对应法则是“求倒数"；（4){0|0A α=∠＜}}{090,|1,B x x α∠≤=≤对应法则是“求余弦”． 2．在下图中的映射中，A 中元素600的象是什么？B 中元素2的原象是什么？ A 求正弦 B（五）归纳小结提出问题：怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射,你能归纳出几个“标准”呢？师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是A 集合中的元素都要有象,但B 中元素未必要有原象；二条是A 中元素与B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式． （六)设置问题，留下悬念．1．由学生举出生活中两个有关映射的实例．2．已知f 是集合A 上的任一个映射，试问在值域f (A ）中的任一个元素的原象，是否都是唯一的？为什么？3．已知集合}{}{,,1,0,1,A a b B ==-从集合A 到集合B 的映射，试问能构造出多少映射？4. 设集合A=｛a,b ，c}，B=｛0，1} ，试问：从A 到B 的映射一共有几个？并将它们分别表示出来。

2.1 函数概念1．了解生活中的变量关系．2．理解函数的概念．3．会求出简单函数的定义域、值域．1．生活中的变量关系(1)依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有________的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系．(2)非依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系．函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．因此说依赖关系不一定是函数关系，而函数关系是依赖关系．例如，积雪层对越冬作物具有防冻保暖作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．【做一做1－1】张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则( )．A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数 D．x是y的函数【做一做1－2】某人骑车的速度是v千米/时，他骑t小时，走的路程s是多少？路程是时间的函数吗？2．函数的概念给定两个非空____________A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中________数x，在集合B中都存在____________确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝______________，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合__________叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．(1)符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积；符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)是一样的；当m是常数时，f(m)表示自变量x＝m时对应的函数值，是一个常量．(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．有时给出的函数没有明确说明定义域，这时，它的定义域就是自变量的允许取值范围，此时的定义域又称为此函数的“自然定义域”；如果函数涉及实际问题，它的定义域还需使实际问题有意义，此时的定义域又称为此函数的“临时定义域”．【做一做2】下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是( )．A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1C．x－2y＝6 D．x＝y3．区间与无穷的概念(1)区间定义名称符号几何表示{x|a≤x≤b}闭区间______{x|a＜x＜b}开区间______{x|a≤x＜b}左闭右开区间______{x|a＜x≤b}左开右闭区间______这里实数，都叫作相应区间的________________．并不是所有的数集都能用区间表示．例如：数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a} 符号(－∞，＋∞)________________________________无穷大“∞”是一个符号，不是一个具体的数．因此不能将[1，＋∞)写成[1，＋∞]．【做一做3】将下列集合用区间表示出来，并在数轴上表示区间．(1){x|x≥1}；(2){x|x＜1或x≥2}；(3){x|2≤x≤8且x≠5}．答案：1．(1)唯一确定【做一做1－1】 A【做一做1－2】解：t小时走的路程是s＝vt.由于时间t每取一个值，路程s有唯一确定的值与之对应，所以路程是时间的函数．2．数集任何一个唯一f(x) {f(x)|x∈A}【做一做2】 A A选项中，给定一个x(比如x＝5)，有两个y(y＝±2)与它对应，所以y不是x的函数．同理可验证其他选项中y都是x的函数．3．(1)[a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 端点(2)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a] (－∞，a)【做一做3】解：(1)[1，＋∞)；(2)(－∞，1)∪[2，＋∞)；(3)[2,5)∪(5,8]．数轴表示分别如图(1)(2)(3)．如何理解函数符号f(x)的意义？剖析：(1)符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”．例如y＝f(x)＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用(如图所示)，则显然应该有f(a)＝a2，f(m＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2.(2)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．y ＝f(x)是“y 是x 的函数”的数学表示，它也未必就是一个解析式，y ＝f(a)表示自变量x ＝a 时的函数值，它是一个常数；y ＝f(x)是函数，通常是一个依赖于x 变化而变化的变量．函数还可以用其他一些符号来表示，例如：F(x)，G(x)，h(x)，…，也就是说，不管用哪一个字母表示，它总是表达同样一个含义：y 是x 的函数．题型一 函数的概念【例1】 判断下列函数是否为同一函数：(1)f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≥0，－1，x ＜0；(2)f(x)＝x x ＋1与g(x)＝x x ＋1； (3)f(x)＝x 2－2x －1与g(t)＝t 2－2t －1；(4)f(x)＝1与g(x)＝x 0(x≠0)．分析：判断函数的定义域和对应关系是否一致．反思：判断两个函数是否相同，只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同． (1)定义域和对应关系都相同，则两个函数表示同一函数； (2)定义域不同，则两个函数不表示同一函数；(3)对应关系不同，则两个函数不表示同一函数；(4)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，也不一定是同一函数，例如y＝x和y＝2x－1的定义域和值域都是R，但不是同一函数；(5)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关．题型二求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域：(1)y＝2x－1－7x；(2)y＝x＋10 |x|－x.分析：求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组．反思：1.如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.2．如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．3．如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．4．如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．5．对于由实际背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约．题型三求函数值【例3】已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2))的值．分析：解决求值问题，先分清对应法则，再代入求值．反思：(1)求函数值问题，首先确定出函数的对应法则f的具体含义，再代入求值．(2)求类似f(g(2))的值，要注意f，g作用的对象，按“由内向外”的顺序求值．题型四求函数的值域【例4】求下列各函数的值域：(1)y＝x＋1，x∈{2,3,4,5,6}； (2)y＝x＋1；(3)y＝x2－4x＋6； (4)y＝x＋2x－1.分析：确定函数的值域必须认真分析自变量x与对应法则之间的联系，关键是弄清自变量变化时由对应法则确定函数值的变化规律．反思：求函数值域的方法：(1)图像法：借助于函数值域的几何意义，利用函数的图像求值域；(2)观察法：对于解析式比较简单的函数，利用常见的结论如x2≥0，|x|≥0，x≥0等观察出函数的值域；(3)换元法：利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等．论函数的值域要先考虑函数的定义域，本例(1)中，如果忽视函数的定义域，那么会错误地得出函数值域为R.避免此类错误的方法是研究函数时要遵循定义域优先的原则．题型五易错辨析易错点求函数定义域时非等价化简解析式致错【例5】求函数y＝x－2·x＋2的定义域．错解：y＝x－2·x＋2＝x2－4，由x2－4≥0，得x≥2或x≤－2，∴函数的定义域为{x|x≥2或x≤－2}．错因分析：错解在求函数的定义域时，对函数的解析式进行了不等价变形，导致定义域范围扩大．答案：【例1】 解：(1)f (x )的定义域中不含有元素0，而g (x )的定义域为R ，即定义域不相同，所以不是同一函数．(2)f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域也不相同，所以不是同一函数．(3)尽管两个函数的自变量一个用x 表示，另一个用t 表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数．(4)f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，因此也不是同一函数．【例2】 解：(1)令⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≤17，所以0≤x ≤17.所以函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0≤x ≤17.(2)令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x <0，所以x ＜0且x ≠－1.所以函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． 【例3】 解：(1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13； 又g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. 【例4】 解：(1)当x 分别取2,3,4,5,6时，y ＝x ＋1分别取3,4,5,6,7，∴函数的值域为{3,4,5,6,7}．(2)∵函数的定义域为[0，＋∞)，当x ≥0时，x ≥0，∴y ≥1，即函数y ＝x ＋1的值域为[1，＋∞)． (3)函数的定义域为R .∵y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2， ∴该函数的值域为[2，＋∞)． (4)换元法： 设t ＝2x －1，则x ＝t 2＋12且t ≥0.问题转化为求y ＝1＋t22＋t (t ≥0)的值域．∵y ＝1＋t 22＋t ＝12(t ＋1)2(t ≥0)，(t ＋1)2≥1，∴y 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 故该函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 【例5】 正解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ≥－2，即x ≥2，∴函数的定义域为{x |x ≥2}．1 下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图像是( )．2 已知函数f (x )＝11x x +-，则f (2)等于( )． A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 3 函数y 1x x -( )．A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}4 函数y＝5x，x∈[1,5)的值域是__________．5 判断下列各组的两个函数是否相等，并说明理由．(1)y＝x－1，x∈R与y＝x－1，x∈N；(2)y＝2x与y＝x x×；(3)y＝11x+与u＝11t+.答案：1．C 2.A3．D 要使函数有意义须10,0,xx-≥⎧⎨≥⎩解得0≤x≤1.4. (1,5] 画出函数的图像，如图所示，观察图像得图像上所有点的纵坐标的取值范围是(f(5)，f(1)]，则函数的值域是(1,5]．5．解：(1)不相等．前者的定义域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故不相等．(2)不相等．前者的定义域是R，后者的定义域是{x|x≥0}，它们的定义域不同，故不相等．(3)相等．定义域相同均为非零实数，对应关系相同，都是自变量取倒数后加1，故相等．11。