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北师大版高中数学课件第一章 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式

北师大版高中数学课件第一章 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式
三象限时,点T位于x轴的上方;当角α位于第二和第四象限时,点T位
于x轴的下方.过点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角α的终
边在第几象限,都有∠AOT与∠MOP的正切值相等.我们称线段AT为
角α的正切线.
-6-
7.1
7.2
正切函数的定义
正切函数的诱导公式
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
-5-
7.1
7.2
正切函数的定义
正切函数的诱导公式
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
知识点拨
微拓展
正切线
如图,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意
角α的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终边
或终边的延长线相交于点T.从图中容易看出:当角α位于第一和第
7.2
正切函数的定义
正切函数的诱导公式
探究一
探究二
探究三
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
3
变式训练 1 若点 P(3,y)是角 α 终边上的一点,且满足 y<0,cos α= ,则
5
tan α=(
)
3
3
A.-
B.
4
解析 cos α=
4
3
32 + 2
4
C.
3
4
D.-
3
3
4
5
3
= ,解得 y=±4,又 y<0,所以 y=-4,故 tan α=- .
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
-1-
7.1
7.2

2016版高中数学人教A版必修四课件：第一章§7.1正切函数的定义、7.2正切函数的图像与性质、7.

2016版高中数学人教A版必修四课件：第一章§7.1正切函数的定义、7.2正切函数的图像与性质、7.

与正弦函数、余弦函数的定义可知
tan
α＝sin
cos
αα(比值ab叫作
角 α 的余切函数，记作 y＝cot α，其中 α∈R 且 α≠kπ，k
∈Z)．
栏目 第四页，编辑于星期五：二十三点导五十引分。
第一章 三 角 函 数
2．正切线 (1)定义： 在直角坐标系中，设 单位圆 与x轴的非负半轴的交点为A(1， 0)，过点___A_(_1_，__0)____作x轴的垂线，与角α的终边或其终边的 延长线相交于T点，则称______线_段__A_T__为角α的正切线． (2)画法：
吗？为什么？ (3)正切函数的诱导公式的实质是什么？
栏目 第二页，编辑于星期五：二十三点导五十引分。
第一章 三 角 函 数
2．例题导读 P39例1.通过本例学习，学会已知一个角的正切值，求这个角的正弦
值和余弦值的方法．
试一试：教材P40习题1－7 A组T1、T2你会吗？ P40例2.通过本例学习，学会利用正切函数的诱导公式进行化简 求值． 试一试：教材P41习题1－7 A组T7(1)你会吗？
栏目 第二十三页，编辑于星期五：二十导三点引五十分。
第一章 三 角 函 数
正切函数的性质
求函数 f(x)＝tan 2x－π3 的定义域、最小正周期和单调
区间． (链接教材 P40 练习 T2)
π
π
[解] 由题意，知 2x－ 3 ≠kπ＋ 2 (k∈Z)，
所以 x≠kπ 2 ＋51π2 (k∈Z)，
本例中“函数 f(x)＝tan |x|”若换为“函数 f(x)＝|tan x|”，其他
条件不变，其结论又如何呢？
解：函数
f(x)＝|tan
x|的定义域是xx≠kπ＋π2 ，k∈

正切的课件

正切的课件
函数的关系
正切函数与余切函数的关系
互为导数
正切函数和余切函数互为导数， 即它们是互为逆运算的关系。
互补角关系
正切函数和余切函数在角度互补 时相等，即当两个角的和为90度 时，它们的正切值和余切值相等
。
定义域和值域
正切函数的定义域是除了 kπ+π/2以外的所有实数，值域 是所有实数。余切函数的定义域 是除了kπ以外的所有实数，值域
Part
05
正切函数的扩展知识
正切函数的泰勒级数展开
泰勒级数展开
正切函数可以展开为无穷级数，表示为一系列多项式的和， 用于近似计算正切函数值。
收敛性
泰勒级数展开的收敛性取决于x的取值，对于某些x值，级数 可能不收敛。
正切函数的积分
定义与性质
正切函数的积分是指不定积分，表示原函数在某个区间上的面积 。正切函数具有一些特殊的积分性质和公式。
穷大。
正切函数的图像在每一个周期内 都有两个极值点，分别是最小值
和最大值。
正切函数的单调性
01
在每一个周期内，正切函数在开 区间(kπ - π/2, kπ + π/2) (k ∈ Z)内是单调递增的。
02
在每一个周期内，正切函数在闭 区间[kπ - π/2, kπ) (k ∈ Z)和 (kπ, kπ + π/2] (k ∈ Z)内是单调 递减的。
正切函数在实际应用中通常与其他数学工具结合使用，如微积分、线性代数等，以解决各种实际问题 。
在数学建模中的应用
正切函数在数学建模中也有着广泛的应用。例如，在建立物理、工程、经济等领 域的数学模型时，正切函数常常被用作模型中的重要参数或变量。
通过正切函数，可以更好地描述和预测一些自然现象和社会现象，如气候变化、 人口增长、市场供需关系等。同时，正切函数在数学建模中还可以与其他数学工 具结合使用，如微分方程、线性规划等，以建立更加精确和实用的数学模型。

7.1正切

7.1正切
如图一般地如果锐角a的大小确定我们可以作出rtab如图一般地如果锐角度数增大图中的铅垂高与水平宽的比值有什么变化
7.1 正切函数
作者：张影强（连云港市板桥中学）
陡坡数学化
铅垂高
水平宽
问题2：台阶陡度，你认为与斜坡上的任意一点的 铅垂高和水平宽有关联吗？ 问题3：台阶陡度，到底与什么量有关联呢？
B2 B3 B1
A C1 C2 C3
如图，一般地，如果锐角A的大小确定，我们 可以作出Rt△AB1C1、Rt△AB2C2、Rt△AB3C3……
那么，你有什么发现？
如图，一般地，如果锐角度数增大，图中的铅垂高 与水平宽的比值有什么变化？
新知定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别
是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的
7.1 正切（1）
尝试与交流
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝10， tanA＝3 ，求AC 、BC和tanB．
4
7.1 正切（1）
畅所欲言
通过这节课的学习，我的收获是…
tanA是tan •A吗
比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，
即tanA＝
A的对边 A的邻边
＝ BC
AC
＝a ．
b
你能用同样的方法写出∠B的正切吗？
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E、
F、G都在直角边BC上，
（1）比较：
∠DAC
∠EAC
∠FAC
∠GAC
∠BAC
（2）发现∠DAC、∠EAC、∠FAC、∠GAC、
∠BAC的正切值随着锐角的变化发生怎B样的
变化呢？
G
F
E D

正切函数的性质与图象 课件

正切函数的性质与图象 课件

即k3π－1π8<x<k3π＋51π8(k∈Z)．
∴函数的单调递增区间为k3π－1π8，k3π＋51π8(k∈Z)，不存在单调递减区间．
命题方向3 ⇨单调性的应用
典例 3 不通过求值，比较下列每组中两个正切值的大小． (1)tan－27π与 tan－π5； (2)tan126°与 tan496°．
[错因分析] 误认为y＝tanx的对称中心是(kπ，0)，k∈Z而致错．
[正解] 函数 y＝tanx 的对称中心是(k2π，0)，其中 k∈Z， 故令 2x＋θ＝k2π，其中 x＝π3，即 θ＝k2π－23π，k∈Z． 又－π2<θ<π2，所以当 k＝1 时，θ＝－π6． 当 k＝2 时，θ＝π3，所以 θ＝－π6或π3．
－_π2__＋__kπ_，__π2_＋__k_π(k∈Z) 无
[拓展](1)正切函数图象的对称中心是k2π，0(k∈Z)，不存在对称轴． (2)直线 x＝π2＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线． (3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)＋b 的周期是 T＝|ωπ |．
[知识点拨]正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性． (2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－π2，π2)，(π2，32π)，… 上都是增函数． (3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函 数在(－π2，π2)∪(π2，32π)∪…上是增函数．
(2)因为函数 f(x)的定义域是{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，关于原点对称， 又 f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tanx－sin2x，f(－x)≠f(x)且 f(－x)≠ －f(x)，所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

新教材2023版高中数学北师大版必修第二册：正切函数的诱导公式课件

新教材2023版高中数学北师大版必修第二册：正切函数的诱导公式课件

2．tan 660°的值为( )
A．－
3 3
3 B. 3
C．－ 3 D. 3
解析：tan 660°＝tan(180°×3＋120°)＝tan 120°＝－tan 60°＝－ 3. 答案：C
3．下列各式成立的是( ) A．tan(π＋α)＝－tan α B．tan(π－α)＝tan α C．tan(－α)＝－tan α D．tan(2π－α)＝tan α
(2)tan56π＋α＝tanπ－π6－α＝－tanπ6－α＝－
3 3.
答案：(1)－ 3
(2)－
3 3
方法归纳 给值求值时，要注意分析已知角与未知角之间的内在关系，选择 恰当的诱导公式求值．
跟踪训练 2 (1)若 tan－α－43π＝－5，则 tanπ3＋α等于(
)
A．5 B．－5
C．25 D．与 α 的值有关
域为xx≠kπ＋4π，k∈Z
.
答案：xx≠kπ＋4π，k∈Z
题型一 求函数的定义域——师生共研 例 1 (1)函数 y＝ta1n x的定义域为( D )
A．{x|x≠0}
B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C.xx≠kπ＋π2，k∈Z
D.xx≠k2π，k∈Z
(2)函数 y＝lg(
3－tan x)的定义域为__x_k_π_－__π2_<_x_<_k_π_＋__π3_，__k．∈Z
(2)求值：tanta－n 23205°°－＋ttaann7－504°5°.
解析：(1)因为 tan－α－43π＝－tanα＋43π＝－5， 所以 tanα＋43π＝5， 即 tanα＋3π＋π＝5，故 tanα＋3π＝5. (2)∵tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1，

7.1《正切(1)》ppt课件


7.1 正切（1）
尝试与交流
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝10， tanA＝ 3 ，求AC 、BC和tanB．
4
7.1 正切（1）
畅所欲言
通过这节课的学习，我的收获是…
tanA是tan •A吗
7.1 正切（1）
作业题
1．课本P99习题7.1第1、2题； 2．思考题（选做）：你能判断下面两个楼梯哪一 个更陡吗？
正切的定义
在直角三角形中，我们将∠A的对边与它 的邻边的比称为∠A的正切，记作 tanA
tan
A

A的对边 A的邻边

a b
B
你能写出∠B的正切表达式吗？
试试看.
A 邻边b
对边a C
7.1 正切（1）
例题
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4， AB＝5，求tanA、tanB．
拓展
通过计算tanA、tanB的值，你有什么新的发现吗？
7.1 正切（1）
例题
例2 如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，求tanA．
C
拓展
A
D
B
通过计算tanA的值，你对60º的正切值有什么认
识？30º呢？你还能得到其他的吗？
7.1 正切（1）
尝试与交流
1．如图，求下列图中各直角三角形中锐角的正切值．
那么，你有什么发现？
B2 B3 B1
A C1 C2 C3
一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个
以A为一个顶点的直角三形（如图），那么图中：
BC B1C1 B2C2 成立吗？为什么？
AC AC1 AC2
B
B1 B2

高中数学第一章三角函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质课件北师大版


规律方法
1.比较同名三角函数值的大小，实质上是将两个角利
用周期性放在同一个单调区间内，利用单调性比较大小． 2．对于形如y＝tan(ωx＋φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图像 的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和 换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正 数，再进行求解.
π π x(a≠0)，x∈－3，3，
∴f(－x)＝－atan(－x)＝atan x＝－f(x)．
π π 又∵定义域－3，3关于原点对称，
∴f(x)为奇函数． (2)f(x)的最小正周期为 π.
(3)∵y＝tan x ∴当 a＞0 当 a＜0
π π 在kπ－2，kπ＋2(k∈Z)上单调递增，
解 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， π π 又∵2<2<π，∴－2<2－π<0. π π ∵2<3<π，∴－2<3－π<0， π π 显然－2<2－π<3－π<1<2， 且 y＝tan x
π π 在－2，2内是增函数，
∴tan (2－π)<tan (3－π)<tan 1， 即 tan 2<tan 3 <tan 1.
π π 时，f(x)在kπ－2，kπ＋2(k∈Z)上单调递减，
π π 时，f(x)在kπ－2，kπ＋2(k∈Z)上单调递增． π π 时，f(x)在4，2上单调递减，故
(4)当 a＞0
π x＝4时，f(x)max＝－a，
无最小值． ∴f(x)的值域为(－∞，－a]．
3π π 解之得 kπ－ 4 ＜x＜kπ＋4，故选 C.
答案 C

正切函数ppt课件

22
然后,分别作出：
问题：如何作出正切函数的图象？ 方法：利用单位圆中正切线作正切函数的图象。
y
O1
2
3 8
4
8O
x
A
3
84 8 2
用光滑曲线 将这些正切
线的终端连结 起来
根据正切函数的周期性，我们可以把图象向左、右扩展，
得到正切函数 y tan x x R ，x k 且
• 注意（1）单调性：利用单调性比较大小时， 应使自变量在同一单调区间内
（2）求单调性、奇偶性、周期性时要化 简，但不要忘记对定义域的讨论。
练习：书P72 1- 6
作业：P73 1- 6
优游 优游
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车间，也有露天大罐发酵。”说着就到了一幢二层高的楼前。一迈进二楼，就看见车间内的几只大锅，围绕操作台依次排开，空间显得有点拥 挤。走近一看糊化锅、糖化锅竟然是铜制的，经过时间的打磨，锅表面的铜已经变成了紫黑色。因为马启明毕业前在南京啤酒厂和西安啤酒厂 实习过，对啤酒厂设备有一些了解，所以他估摸糖化锅大概只有五六吨的糖化能力，煮沸锅应在十二吨左右。他没有想到现在竟还有容积这么 小、这么老的糖化生产设备，像是走到了啤酒历史博物馆一样。车间东面的麦汁过滤槽旁边有一个长方形麦汁收集槽，上面一排排铜考克正往 下流着金黄色清亮的麦汁。当有的考克麦汁流量变小时，就有操作工马上过来把考克调一下，马启明脑海里突然闪现出母亲在家里做醋时过滤 醋的情景。再一抬头扭身，恰好看到有操作工用麻袋正直接往糖化锅里倒粉碎好的麦芽粉，马启明诧异地问张钢铁：“怎么是往锅里直接倒料？ 太落后了!”便露出了不屑的神情，好像看见原始人用石器割东西一样。张钢铁脸上的笑容立刻消失了，背着双手，眼神像锥子一样在马启明的 身上很剜一下，咬牙切齿地回了句：“望神尼东丝啊！”什么意思？莫名奇妙的回答让马启明一下子蒙了，愣了几秒钟。张钢铁铁青着脸说道： “这是最老的糖化，下半年马上要停了。我们去看新糖化工段，是抽风机吸料。”说着就急匆匆地往外走，看也不看马启明一眼。他在想，马 启明你别昂，虽然你是个大学生，对啤酒还是个门外汉，是小弟，我才是祖师爷。马启明心想，是不是刚才说错了话？是不是刚才的言行伤着 张钢铁的感情了？看来张钢铁是张飞穿针－粗中有细。一出车间门，张钢铁便边走边介绍：“新糖化是刚建起来的，用吸风机吸料，全部操作 都通过控制屏进行，自动化程度很高，每锅生产45吨麦汁。”说到“用吸风机吸料”时语气很重，脸上始终没有笑容，像是碰到了阶级敌人似 的。没走几步路便来到了一幢白色、第二层屋沿上面镶一圈蓝边、顶部有一大一小不锈钢半圆球的两层半建筑物前，马启明突然想到“二球”， 笑着说：“这就是新糖化楼。”猛地一转头，马启明立刻被门东侧两棵粗壮、直插云霄的古树吸引住了，有生以来他还是第一次看到这么大的、 这么高的树，两个人合拢抱都抱不住，不由提声惊讶地说道：“好大好高的两棵树，张主任，这是什么树？”“这是白果树，就是银杏树，它 的年纪比你大得多，你得叫它太祖爷爷。据说有500的历史了，解放前拿它还做过飞机的导航树呢！在厂子西面还有个古龙王庙呢，历史可以上 溯到康熙年间，它历经千年，几经兴衰，这个地方说不定要形成神佛并尊的独特景观呢！”马启明没有想到张钢铁居然会说出这么文雅的词句 来。“哎呀，哎呀，哎呀呀！我还是第一次见这么

《正切》PPT课件


cos2 A+sin2 A
1
cos2 A
cos A
∴左边 = 右边，
∴命题成立.
知3－练
1. 《XXXXX》P92T11 2. 《XXXXX》P92T12
正切
正切的 定义
tan
A=
∠A 的对边 ∠A的邻边
=
a b
对边
c
a
b 邻边
特殊角的三角函数值
锐角三角函数
完成《XXXXX》剩余部分习题
感谢
知识点 3 锐角三角函数间的关系
知3－讲
从正弦、余弦、正切的定义看到， 任意给定一个锐 角 α ，都有唯一确定的比值 sin α ( 或 cos α，tan α ) 与它 对应. 并且我们还知道， 当锐角 α 变化时， 它的比值 sin α ( cos α，tan α ) 也随之变化. 因此， 我们把锐角 α 的正弦、余弦和正切统称为角 α 的锐角三角函数 (trigonometric function of acute angle).
∴ BC AC . EF DF
即BC·DF=AC·EF， ∴BC EF
AC DF
由此可得，在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，
角 α 的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大
小无关.
归纳
知1－讲
如图，在直角三角形中，我们把锐角 α 的对边与 邻边的比叫作角 α 的正切 ( tangent ) ,记作 tan α，即
如何求tan 30°, tan 60°的值呢?
解：如图，构造一个 Rt △ABC 中，使∠C＝90°，
∠A＝30°，于是 BC= 1 AB ，∠B= 60°. 2
从而 AC2 ＝ AB2 －BC2 ＝( 2BC )2 －BC2 ＝3BC2.
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三个结论： 1.互余两角的正切值互为倒数 2.等角的正切值相等 3.当锐角α越来越大时, α的正切值也越来越大.
思考题：
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，若将 矩形沿着CE翻折，点B 正好落在AD边的F处， 求tan∠AEF.
A F D
E
B C
欢迎使用本课件
祝您桃李满天下
如果一个直角三角形的一个锐角的大小确 定，那么这个锐角的对边与这个锐角的邻 边的比值也确定。
正切的定义：
在Rt△ABC中， ∠C=90°，a,b分别是∠A的 对边和邻边，我们将∠A的对边a与它的邻边b 的比称为∠A的正切，记作 tanA B
A的对边 a tan A A的邻边 b
a
A
b
C
你能写出∠B的正切表达式吗？
B的对边 b tan B B的邻边 a
（1） 如图
D B 1
3
E F
1 tanA=________ 2
tanB=________ 2
A
2
C
3 tanD=________ 3
3 tanF=________
1
通过计算你有什么发现吗？
互余两角的正切值互为倒数
（2）如图，等腰三角形 ABC的腰长AB=AC=5, 4 4 底边长BC=6,则tanB= , tanC= ， 3 3 观察它们之间有什么关系？
3
A
1 C
你能计算一个65°角的正切值的近似值吗?
C 步骤1：构建直角三角形。 步骤2：度量BC，AB的长度。 步骤3：求出BC与AB的比值。
65°
A
B
填一填：
∠A 10° 20° 30° 45° 55° 65° tanA 0.18 0.36 0.58
55° 45°
30°
20°
1.00
1.43 2.14 A
A
B
D
C
结论：等角的正切值相等。
操作与探索
如图，已知∠A=45°， 则tanA= 1
BC 1 tan A 1 AC 1
45° A 1
B
1 C
（1）如图，已知∠A=30°，则tanA=
D
1 3 tan A 3 3
A
B 2
30°
1
3
B
C
E
（2）已知∠A=60°，则tanA= 3
2
60°
观察与思考
下面两个台阶，哪个台阶更陡?
E
B
20cm
10cm A (1) 15cm C D
20cm
F (2)
倾斜程度除了用角的大小比较， 还可以用什么方法？ 下面两个台阶，哪个台阶更陡?
B
E
20cm
10cm A (1) 15cm C D
20cm
F (2)
倾斜程度除了用角的大小描述， 还可以用什么方法？
E
E1
B
75cm 60cm
40cm
20cm
10cm A 1) 80cm
20cm
15cm C D
(2) 80cm
100cm F
F1
△AB1C1∽ △AB2C2∽ △AB3C3∽· · ·
B1C 1 B C B C AC 1 AC AC
2 2
3
3
B B3 B2
2
3
B1
A C1 C2 C3 C
A
变式二：
如图，现将△ABC如图那么折叠，使点A与点B重 合，折痕为DE，求：∠CBE的正切值。
C E 6 B A
D 10
应用： 当光线与水平线的夹角为30度时,测得学 校旗杆的影长为24m,求旗杆的高度(保留 根号)
B
A
30°
C
小结：
一个定义： tanA 1、已知直角三角形 两个方法: 两边求正切值 2、已知锐角度数求正切值
10
10°
根据图表发现，当锐角∠A越来越 大时， ∠A的正切值有什么变化？
例题：
如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°BC=6, AB=10，求∠A 、∠B的正切值。
C
B
A
变式一：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AB=10， 若CD是AB边上的高 ，求∠ACD的正切值。
C
B
D