线性代数1-2章精选练习题课案

《线性代数》课程复习大纲与练习题第一章 线性方程组1.线性方程组的概念（1）线性方程组的一般形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********（2）用消元法判断线性方程组是否有解，并求出解 2.初等变换对线性方程组进行求解 （1）初等变换的定义（2）用初等变换将线性方程组化为同解的阶梯形方程组，从而判断是否有解3.用矩阵的秩判断线性方程组是否有解记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211称为线性方程组的系数矩阵;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=ssns s nn b a a a b aa ab a a a A 21222221111211称为线性方程组的增广矩阵 （1）线性方程组有解⇔秩（A ）＝秩（A ）当线性方程组有解时：秩（A ）＝未知量个数n 时, 线性方程组有唯一解;秩（A ）<未知量个数n 时，线性方程组有无穷多解。

（2）线性方程组无解⇔秩（A ）<秩（A ）4.齐次线性方程组：常数项全为0的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++0)1(00221122221211212111n sn s s nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）解的情况：r(A)=n ，（或系数行列式0≠D ）只有零解；r(A)<n ，（或系数行列式D ＝0）有无穷多组非零解。

（2）解的结构：r n r n c c c X --+++=ααα 2211。

（3）求解的方法和步骤：①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； ②写出对应同解方程组；③移项，利用自由未知数表示所有未知数； ④表示出基础解系； ⑤写出通解。

线性代数1-2章精选练习题培训讲学线性代数 1 - 2 章精选练习题第⼀章⾏列式⼀、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是().(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2?如果n阶排列j1j2 j n的逆序数是k,则排列j n j2j1的逆序数是()?3. n阶⾏列式的展开式中含3022的项共有()项.(A)k (B)n k n! n(n 1) (C)i k⑼号k(A) 0 (B)n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)!4. 01111).5. 01(A) 01110 (A) 06.在函数f(x) (B) (C) 1 (D) 2).(B)2x13(C) 1113KJ1x3项的系数是().(A) 0(B) 1(C) 1 (D) 2°11a 12a 13-，则 D 122a 11a 13a 11 2a 12若Da 21 a 22 a 23 2a 21 a 23 a 21 2a 22 a 31a 32a 332a 31a 33a 312a 32(A) 4(B) 4 (C) 2 (D) 2an 012a 12 则().7. ka 22ka 21().8.若(A) ka(B) ka(C)k 2a (D) k 2a2,5,1, x ,则 x ().()(A) 1(B) 2(C) 3(D)0、填空题 1. 2n 阶排列24(2n)13(2n 1)的逆序数是2.在六阶⾏列式中项a 32a 54a 4Q65a 13a 26所带的符号是3. ________________________________________ 四阶⾏列式中包含a 22a 43且带正号的项是 ________________________________ . 4. 若⼀个n 阶⾏列式中⾄少有n 2 n 1个元素等于0,则这个⾏列式的值等于1 0 1 1 1 0 0 15.⾏列式0 1 1 10 0 1 08 7 4 36 2 3 1 ，则D 中第⼀⾏元的代数余⼦式的和为(1 1 1 14375(C) 3 (D) 210.若 D9.已知4阶⾏列式中第1⾏元依次是4,0,1,3,第3⾏元的余⼦式依次为(A) 0(B) 3(A) 1(B) 211.若 D3 1 0 50 1 1 34 12 0 1 02，则D 中第四⾏元的余⼦式的和为).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性⽅程组X 2kx 3 0kx 2 X 3 0有⾮零解 kx 1 X 2 X 3式，则 4阳 3A 42 2A 43 A 440 01 00 20 0 6.⾏列式0 0 0 n 1n7.⾏列式a 11 a 12a 21 a 22 a 31 a 32a 11M ，则 D i a 2i a 3i 9.已知某5阶⾏列式的值为5,将其第⼀⾏与第 2乘所有元素，则所得的新⾏列式的值为 _______1 x11x 1 1 10.⾏列式1x 11 1x 1111111 11. n 阶⾏列式1 1111112.已知三阶⾏列式中第⼆列元素依次为 1,2,3,其对应的余⼦式依次为3,2,1,则该⾏列式的值为1 2 3 45 6 7 8 ，A 4j (j4 3 2 18 7 6 51, 2, 3,4）为D 中第四⾏元的代数余⼦a11a i (n 1)a i na2(n 1)8.如果D a i3a 23 a 33a i3a 23a 335⾏交换并转置，再⽤ 13.设⾏列式D1 352n 11 2 0 016. 已知⾏列式D 1 0 3 0 ,D 中第⼀⾏元的代数余⼦式的和为1 0 0nkx 1 2x 2 X 3 017. 齐次线性⽅程组2x-i kx 2 0仅有零解的充要条件是X 1X 2X 3 0X12x2X 3 018. 若齐次线性⽅程组2X 25X 3 0有⾮零解，则k=.3为 2X 2 kx 3A 44 An A 42 abcd2,2X y x y a b cd3,33,3；2.y x y X a bc dx yXybeda c d ab da b c、计算题1.714.已知DD 中第四列元的代数余⼦式的和为15.设⾏列式1 3 1 123 5 1 3 462 6，A 4j 为a 4j (j 1,2,3,4)的代数余⼦式，则1 11 g 1, j 0,1, ,n )；1 1 1 3 1 b 16. 111 1 1X a a 2 a na 1 a 1 a 1a X a 2 a n 7.bb 2 a 2a 2 ； 8.a a 2 Xa nb b2b 3 a naa 2 a 3X1 a a 0 0 01 1 a a 0 0 11. D0 1 1 a a 0 0 01 1 aa1 1 a0 1 1 0 X 1 1X3 ?解⽅程X 1 1 01 X 1 00; X 印 a 2 a n 2 a 1 X a 2 an 2 4.a 1 a 2 X an 2a 2 a 3a n 11 1 1 1 1a o1 1 1 a 15. 11 a 21 1 1 9.1 X ： X X %x 21 X ； X nNX n X ；xx X ;X n 1 X ；2 1 0 1 21 0 1210.0 00 0 0 0 2 1 1 24.5. 四、证明题设 abed1,证明:a 1 biX a 1xa 2b 2x a 2x a 3 b 3X a 3X 1 1 1 a b e 2 .2 2a b e 4.4 4a b e 2.13. b i b 2 b 3 d d 2d 4b 2丄e 1a 1 2 a 1a 2 a n 2 ann 2 a1n a 1n 2 a2n a 2 n 2 ann a n a 1 b 10.a 1b 1 C 1 (1 X 2) a 2b 2 C2a 3b 3 C 3C1C 2C 3a)(c a)(da)(e b)(d b)(d e)(a b e d).na i1设a,b,e 两两不等，证明 b b 3 .单项选择题C D(a j a i ).n0的充要条件是a b e 参考答案0.填空题n(n 1)1. n ;2. “ ”；3.a 14a 22a 31a 43;4.0;5.0;6.( 1)n 1 n!;7.( 1) 2 ama ?? 1) a^ ;四.证明题（略）矩阵⼀、单项选择题1. A 、B 为n 阶⽅阵，则下列各式中成⽴的是（）8. 3M ; 9. 160; 10.x 4; 11.( n) n 112. 2； 13.0; 14.0; 15.12, 9; n16. n !(1k 12,3; 18.k7三?计算题 3.5.7.( 9. 1(a b 2,0,1;(a k1)n11. (1 1)(1(b kk 1X k ;1a)(1 a a 4).a)(c a)(d a)(cn 4.k 1(x 16. 8. (x 10. n 1;aQ(2 b)(d b)(1 na k ) b)(d c) ; 2.2(x 3 y 3);b) ((n 2) b);(x a k );(a) A A 2(b) A 2 B 2 (A B)(A B) (c) (A B)A A AB (d) (AB)T A T B T2. 设⽅阵A 、B C 满⾜AB=AC 当 A 满⾜（）时，B=C (a) AB =BA (b) A 0 (c)⽅程组 AX=0有⾮零解 (d) B 、C 可逆3. 若A 为n 阶⽅阵，k 为⾮零常数，则kA4. 设A 为n 阶⽅阵，且A 0,则（）。

第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换一、 判断题（对的打√，错的打×）1.消元法求解线性方程组时只有系数参与运算，未知元并未进行运算。

（ × ）2.消元法求解线性方程组时也可以用初等列变换，因为初等列变换也不会改变方程组的解。

（ × ）3.一个矩阵的行阶梯形不唯一，但行最简形唯一。

（√ ）4.行最简形是矩阵经过初等变换能变到的最简单的形式。

（× ）5.矩阵与其行最简形和标准形等价。

（√ ）6.如果两个矩阵等价，它们一定是同型矩阵。

（ √ ）7.求解线性方程组时所用的变换只有三种。

（√ ）8.同一个矩阵的行阶梯形和行最简形的非零行的行数相同。

（ √ ）二、计算题1.将矩阵23137120243283023743--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎪-⎝⎭化为行最简形矩阵和标准形。

1221314143213141232232231371202412024120242313701111328303283008891223743237430778111202401111000140014r r r r r r r r r r r r r r r r ↔-------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪----- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪---⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪- ⎪→→ ⎪ ⎪⎝⎭132321202412004011110110300014000140000000000r r r r +---⎛⎫⎛⎫⎪⎪--- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭1222(1)10202011030001400000r r r +⨯--⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪⎪⎝⎭-------行最简形3132515122310202100001000001103011030100000014000140001400000000000000c c c c c c c c -++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭543441000010000010000100000010001000000000000c c c c -↔⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭------标准形 2.用矩阵的初等变换解下列线性方程组。