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函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性1． 单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时，①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间 ；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2． 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增；如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。
二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。
5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f = 三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )=f (x )，则称f (x )为周期函数。
T 是f (x )的一个周期。
若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。
函数的单调性和奇偶性一、单调性一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A 如果对于区间I 内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 )<f(x2 )，那么就说y=f(x)在区间I 上是增函数。
I 称为y=f(x)的单调增区间。
如果对于区间I 内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 )>f(x2 )，那么就说在这个区间I 上是减函数。
I 称为y=f(x)的单调减区间。
●作差法证明单调性（作差法的基本步骤：设元→作差→化简→判断符号→下结论）例 证明函数x x x f 2)(+=在),2(+∞上是增函数．●（重点）二次函数单调性判断（关键是看准对称轴） ① 定区间，定对称轴例 说明函数242-+-=x x y 在区间]3,0[的单调性及最值.② 定区间，动对称轴例 已知函数3)24(2-++=x a x y 在区间]3,1[单调递增，求a 的取值范围.③ 定对称轴，动区间 例 已知22)(2++=x x x f ，当],2[a a x -∈时，讨论该函数的单调性.④ 动区间，动对称轴例 已知函数4)13(2+--=x a x y ，讨论函数在区间]1,[+a a 的单调性.（难点）复合函数的单调性判断复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”① 外层函数单调性确定例 求下列函数的单调性y=log4(x 2－4x+3)② 外层函数调性不确定例 已知函数g(x)=(log a x)2+(log a 2-1)log a x 在[1/2,2]上为增函数，求a 的取值范围？课后练习1．下述函数中，在)0,(-∞上为增函数的是（ ）A ．y=x2－2B ．y=x 3C ．y=x --21D ．2)2(+-=x y2．下述函数中，单调递增区间是]0,(-∞的是（ ）A ．y=－x 1B ．y=－(x －1)C ．y=x 2－2D ．y=－|x|3．函数)(2∞+-∞-=，在x y 上是（ ） A ．增函数 B ．既不是增函数也不是减函数 C ．减函数 D ．既是减函数也是增函数4．若函数f(x)是区间[a,b ）上的增函数，也是区间（b,c]上的增函数，则函数f(x)在区间[a,c]上是（ ）A ．增函数B ．是增函数或减函数C ．是减函数D ．未必是增函数或减函数5．已知函数f(x)=8+2x-x 2，如果g(x)=f(2-x 2)，那么g(x) ( ) A.在区间（-1，0）上单调递减 B.在区间（0，1）上单调递减C.在区间（-2，0）上单调递减 D 在区间（0，2）上单调递减6．函数),2[,32)(2+∞-∈+-=x mx x x f 当时是增函数，则m 的取值范围是（ ） A ． [－8，+∞） B ．[8，+∞） C ．（－∞，－ 8] D ．（－∞，8] 7．如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(4-t)=f(t),那么（ ）A ．f(2)<f(1)<f(4)B ．f(1)<f(2)<f(4)C ．f(2)<f(4)<f(1)D ．f(4)<f(2)<f(1) 8．（11年真题）已知二次函数2()1f x ax bx =++ 是偶函数，且(1)0f =．（1）求a ，b 的值；（2）设()(2)g x f x =+．若()g x 在区间[2,]m - 上的最小值为3-，求实数m 的值． .二、奇偶性一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x ，都有，)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就称偶函数；偶函数的图像关于Y 轴对称，且对称轴左右两边的单调性相反（常数函数除外）。
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性一、函数的单调性 1.单调性的定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12xx <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调增区间；如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12xx <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调减区间。
2.单调函数与严格单调函数设()f x 为定义在I 上的函数，若对任何12,x xI∈，当12xx <时，总有(ⅰ) )()(21x x f f ≤，则称()f x 为I 上的增函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x <成立时称()f x 为I 上的严格单调递增函数。
(ⅱ))()(21x x f f ≥，则称()f x 为I 上的减函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x >成立时称()f x 为I 上的严格单调递减函数。
2.函数单调的充要条件★若()f x 为区间I 上的单调递增函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()f f x x x x->-或1212)[()()]0f f x x x x -->（★若()f x 为区间I 上的单调递减函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()f f x x xx-<-或1212)[()()]0f f x xx x --<（3.函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法4.复合函数的单调性的判定 对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
§函数单调性、奇偶性专题
单调性考试中出现的主要题型：
题型一、含参函数的单调性讨论
例1：讨论函数)2
1(21)(≠++=a x ax x f 在（-2，+∞）上的单调性。
◆对应训练： 判断函数)0(1
)(2≠-=a x ax x f 在区间（-1，1）上的单调性。
∴y= g(x)+h(x)在区间(-∞, 2
1]上也是增函数． ∵x ≤21，∴当x=21时，函数有最大值。
y ≤3·21-2121⨯-=2
3 ∴函数y 的值域为{y|y ≤2
3}． ◆对应训练：
求函数212+--=x x y 的值域。
奇偶性在考试中常见的题型
题型一、奇偶性的判定
例1、判断下列函数的奇偶性： ①22)(-++=x x x f ②33)(-++=x x x f
③⎩⎨⎧<---≥+-=)
0(1)0(1)(22x x x x x x x f
题型二、利用奇偶性求混合函数中参量值
例4、已知8)(35+++=bx ax x x f 且,10)2(=-f 求)2(f 的值。
解析：令bx ax x x g ++=35)(，则)(x g 是奇函数；
∵8)()(+=x g x f
∴108)2()2(=+-=-g f ，解得2)2(=-g
∵)(x g 是奇函数，∴2)2()2(=-=-g g
∴2)2(-=g ；∴6828)2()2(=+-=+=g f
◆对应训练：
已知)(x g 是R 上的奇函数，2)()(-=x g x f ；且2010)2010(-=f ，求=-)2010
(f ？
题型五、函数单调性与奇偶性的综合应用
例5：定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若，
0)1()1(2<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。
解析：由已知可得)1()1(2a f a f --<-
又∵)(x f 是奇函数，∴)1(2a f --=)1(2-a f
∴)1()1(2-<-a f a f
又∵)(x f 是（-1，1）上的减函数
∴-1＜12-a ＜a -1＜1
故)1,0(∈a
已知奇函数在上单调递增，且＝0，
则不等式)(x xf ＜0的解集是（ ）
Ａ．（-2，0）∪（0，2） Ｂ．()()2,02, -∞-
Ｃ．()()+∞-∞-,22, Ｄ．（-2，0）∪()+∞,0
（变形：的解集？＞0)()1(x f x -。
）。
