人教版高中数学选修2-2课后习题参考答案

2高中数学选修《2-2》复习试题一、选择题（共8题，每题5分）1.复数(2)z i i =+在复平面内的对应点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 一质点做直线运动,由始点经过s t 后的距离为3216323s t t t =-+,则速度为0的时刻是（ ）A ．4s t= B ．8s t = C ．4s t =与8s t = D ．0s t =与4s t =3。

某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8,如果他连续射击5次，则这名射手恰有4次击中目标的概率是（ ）（A ）40.80.2⨯ （B)445C 0.8⨯ (C ）445C 0.80.2⨯⨯ (D ）45C 0.80.2⨯⨯ 4.已知14a b c =+==则a,b ，c 的大小关系为（ ） A ．a>b>cB ．c>a 〉bC ．c 〉b 〉aD ．b>c 〉a5.曲线32y x =-+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ） A．)+∞B. )+∞C. ()+∞ D 。

[)+∞ 6。

有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=,那么0x x =是函数()f x 的极值点,因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中（ ）A ．大前提错误B ． 小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确7。

.在复平面内， 复数1 + i 与31+i 分别对应向量OA 和OB , 其中O 为坐标原点，=（ ) A 。

2 B 。

2 C 。

10 D. 48、函数2()1x f x x =-( ）A ．在(0,2)上单调递减B ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增C ．在(0,2)上单调递增D ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递减二、填空题（共6题，30分) 9. .观察下列式子 2222221311511171,1,1222332344+<++<+++< , … … ， 则可归纳出________________________________10. 复数11z i =-的共轭复数是________。

第一章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1解析∵y'=2x+a,∴曲线y=x2+ax+b在(0,b)处的切线的斜率为a,切线方程为y-b=ax,即ax-y+b=0.∴a=1,b=1.答案A2若函数f(x)=ax5+bx3+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于()A.-1B.-2C.2D.0解析f'(x)=5ax4+3bx2为偶函数,∴f'(-1)=f'(1)=2.答案C3若函数f(x)=a ln x+x在x=1处取得极值,则a的值为()A.12B.-1 C.0 D.-12解析f'(x)=ax+1,令f'(x)=0,得x=-a, 易知函数f(x)在x=-a处取得极值.所以a=-1.答案B4已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),且f(x)在x=a处取得极大值,则实数a的取值范围是() A.(-1,+∞) B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)答案B5设f(x)={x2,x∈[0,1],1x,x∈(1,e],则∫ef(x)d x等于()A.43B.54C.65D.76解析∫e0f(x)d x=∫1x2d x+∫e11xd x=13x3|1+ln x|e1=43.故选A.答案A6已知点P在曲线y=4e x+1上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.[0,π4) B.[π4,π2)C.(π2,3π4] D.[3π4,π)解析因为0>y'=-4e x(e x+1)2=-4e x+2+1e x≥-1,当且仅当x=0时取等号.即-1≤tan α<0,所以3π4≤α<π.答案D7∫1(e x+2x)d x等于() A.1 B.e-1C.eD.e+1解析∵(e x+x2)'=e x+2x,∴∫10(e x+2x)d x=(e x+x2)|1=(e1+12)-(e0+0)=e.答案C8设a∈R,若函数y=e ax+3x,x∈R有大于零的极值点,则() A.a>-3 B.a<-3C.a>-13D.a<-13解析令y'=a e ax+3=0,∴e ax=-3a.设x=x0为大于0的极值点,∴e ax0=-3a.∴a<0,ax0<0.∴0<e ax0<1,即0<-3a<1.∴a<-3.答案B9设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是()解析y'=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)(3x-a-2b),令y'=0,得x=a或x=a+2b3.∵a<b ,∴a<a+2b3. ∴当x=a 时,y 取极大值0;当x=a+2b3时,y 取极小值,且极小值小于零.故选C . 答案C10若函数f (x ),g (x )满足∫ 1-1f (x )g (x )d x=0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f (x )=sin 12x ,g (x )=cos 12x ;②f (x )=x+1,g (x )=x-1;③f (x )=x ,g (x )=x 2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A.0B.1C.2D.3解析对于①,∫ 1-1sin 12x ·cos 12x d x=∫ 1-112sin x d x=12∫ 1-1sin x d x=12(-cos x )|-11=12{-cos 1-[-cos(-1)]}=12(-cos 1+cos 1) =0.故①为一组正交函数;对于②,∫ 1-1(x+1)(x-1)d x=∫ 1-1(x 2-1)d x=(13x 3-x)|-11=13-1-(-13+1)=23-2=-43≠0,故②不是一组正交函数;对于③,∫1-1x·x2d x=∫1-1x3d x=(14x4)|-11=0.故③为一组正交函数,故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11∫-1-21(11+5x)3d x=.解析取F(x)=-110(5x+11)2,从而F'(x)=1(11+5x)3.则∫-1-21(11+5x)3d x=F(-1)-F(-2)=-110×62+110×12=110−1360=772.答案77212若函数f(x)在x=a处的导数为A(aA≠0),函数F(x)=f(x)-A2x2满足F'(a)=0,则A=.解析由题知f'(a)=A,又F'(x)=f'(x)-2A2x,且F'(a)=f'(a)-2aA2=A-2aA2=0.∵aA≠0,∴A=12a.答案12a13已知函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x+e x ,则f'(1)= . 解析令e x =t ,则x=ln t ,∴f (t )=ln t+t ,∴f'(t )=1t +1,∴f'(1)=2.答案214设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P 处的切线垂直,则点P 的坐标为 .解析曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1x,可得y'=-1x2,因为曲线y=1x(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,所以-1x P2=-1,解得x P =1,由y=1x,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 答案(1,1)15已知函数f (x )为一次函数,其图象经过点(3,4),且∫ 10f (x )d x=1,则函数f (x )的解析式为 .解析设函数f (x )=ax+b (a ≠0).∵函数f (x )的图象经过点(3,4),∴b=4-3a.∴∫ 10f (x )d x=∫10(ax+4-3a )d x =[12ax 2+(4-3a )x]|01=12a+4-3a=1, ∴a=65.∴b=25.∴f (x )=65x+25.答案f (x )=65x+25三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)求定积分∫0-1x2x2+2xd x的值.解∫0-1x2x2+2xd x=∫0-1x2+2x-2xx2+2xd x=∫0-1(1-2x+2)d x=∫0-11d x-∫0-12x+2d x=1-2∫0-11x+2d x=1-2ln(x+2)|-10=1-2ln 2.17(8分)已知曲线f(x)=2x3-3x,过点M(0,32)作曲线f(x)的切线,求切线的方程.解设切点坐标为N(x0,2x03-3x0),由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点处的导数值,而f'(x)=6x2-3,所以切线的斜率k=f'(x0)=6x02-3.所以切线方程为y=(6x02-3)x+32.又点N在切线上,所以2x03-3x0=(6x02-3)x0+32,解得x0=-2.故切线方程为y=21x+32.18(9分)求函数y=13x3+3-ln x的单调区间.解函数的定义域为(0,+∞),y'=x2-1x =(x-1)(x2+x+1)x.令y'>0,则{(x-1)(x2+x+1)x>0,x>0,解得x>1;令y'<0,则{(x-1)(x2+x+1)x<0, x>0,解得0<x<1.故函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).19(10分)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,故f'(x)=2a(x-5)+6x.令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=12.(2)由(1)知,f(x)=12(x-5)2+6ln x(x>0),f'(x)=x-5+6x =(x-2)(x-3)x.令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时,f'(x)>0,故f(x)的单调递增区间为(0,2),(3,+∞);当2<x<3时,f'(x)<0,故f(x)的单调递减区间为(2,3).由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=92+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.20(10分)已知f(x)=a(x-ln x)+2x-1x2,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+32对于任意的x∈[1,2]成立.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x )=a-a x −2x 2+2x 3=(ax 2-2)(x -1)x 3. 当a ≤0时,x ∈(0,1)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,x ∈(1,+∞)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.当a>0时,f'(x )=a (x -1)x 3(x -√2a )(x +√2a ).①0<a<2时,√2a >1,当x ∈(0,1)或x ∈(√2a ,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(1,√2a)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.②a=2时,√2a =1,在x ∈(0,+∞)内,f'(x )≥0,f (x )单调递增.③a>2时,0<√2a <1,当x ∈(0,√2a )或x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(√2a ,1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.综上所述,当a ≤0时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;当0<a<2时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,√2a)内单调递减,在(√2a,+∞)内单调递增;当a=2时,f (x )在(0,+∞)内单调递增;当a>2时,f (x )在(0,√2a )内单调递增,在(√2a ,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. (2)由(1)知,a=1时,f (x )-f'(x )=x-ln x+2x -1x 2−(1-1x −2x 2+2x 3)=x-ln x+3x +1x 2−2x 3-1,x ∈[1,2].设g (x )=x-ln x ,h (x )=3x +1x 2−2x 3-1,x ∈[1,2].则f (x )-f'(x )=g (x )+h (x ).由g'(x )=x -1x≥0, 可得g (x )≥g (1)=1, 当且仅当x=1时取得等号.又h'(x )=-3x 2-2x+6x 4, 设φ(x )=-3x 2-2x+6,则φ(x )在x ∈[1,2]单调递减, 因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以∃x 0∈(1,2),使得x ∈(1,x 0)时,φ(x )>0,x ∈(x 0,2)时,φ(x )<0. 所以h (x )在(1,x 0)内单调递增,在(x 0,2)内单调递减.由h (1)=1,h (2)=12,可得h (x )≥h (2)=12, 当且仅当x=2时取得等号.所以f (x )-f'(x )>g (1)+h (2)=32,即f (x )>f'(x )+32对于任意的x ∈[1,2]成立.。

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第一章：函数的概念与性质1. 1. 函数的定义：函数是一个或多个自变量和一个因变量之间的关系，通常用符号f(x)表示。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

2. 2. 函数的性质：函数可以是奇函数或偶函数。

奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

函数的图像可以是对称的。

3. 3. 函数的图像：函数的图像可以通过绘制函数的曲线来表示。

在坐标系中，自变量表示横轴，因变量表示纵轴。

4. 4. 函数的极值：函数在某个区间内取得最大值或最小值的点称为极值点。

极大值点对应函数的最大值，极小值点对应函数的最小值。

第二章：函数的运算与初等函数1. 1. 函数的四则运算：函数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

两个函数相加得到的函数称为它们的和函数，两个函数相减得到的函数称为它们的差函数，两个函数相乘得到的函数称为它们的积函数，两个函数相除得到的函数称为它们的商函数。

2. 2. 初等函数：常见的初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

这些函数在数学中具有重要的地位，广泛应用于各个领域。

3. 3. 函数的复合：复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

复合函数可以通过将函数的表达式代入另一个函数来求得。

4. 4. 函数的逆运算：函数的逆运算是指将函数的自变量和因变量互换。

如果一个函数存在逆函数，那么它们的复合函数等于自变量。

第三章：导数与微分1. 1. 导数的定义：函数在某个点的导数表示函数在该点的变化率。

导数可以通过求函数的极限来定义。

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时演练·促提升A组1.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.答案:C2.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i解析:z=3-i-(i-3)=6-2i.答案:D3.若复数z1=a-i,z2=-4+b i,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,b∈R),则z3为()A.-1-5iB.-1+5iC.3-4iD.3+3i解析:∵z1-z2=(a-i)-(-4+b i)=a+4-(1+b)i=6+i,∴a=2,b=-2,∴z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.答案:D4.若复平面上的▱ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是()A.-1-7iB.2+14iC.1+7iD.2-14i解析:设对应的复数分别为z1与z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.答案:A5.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.答案:B6.计算(-1+2i)+(i+i2)-|1+2i|=.解析:原式=-1+2i+(i-1)-=-2+3i-=-(2+)+3i.答案:-(2+)+3i7.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=.解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,所以解得a=-1.答案:-18.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).若z1-z2=13-2i,求z1,z2.解:∵z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z1-z2=13-2i,∴(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.∴解得∴z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.9.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求对应的复数;(2)判断△ABC的形状;(3)求△ABC的面积.解:(1)对应的复数为2+i-1=1+i,对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.(2)∵||=,||=,||==2,∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形.(3)S△ABC=×2=2.B组1.复数z=x+y i(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.4D.16解析:∵复数z=x+y i(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,∴|x+(y-4)i|=|(x+2)+y i|,化简得x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=2=4,当且仅当x=2y=时,等号成立.答案:C2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.答案:A3.设纯虚数z满足|z-1-i|=3,则z=.解析:∵z为纯虚数,∴设z=b i(b∈R,且b≠0).由|z-1-i|=3,得|-1+(b-1)i|=3.∴1+(b-1)2=9.∴b-1=±2.∴b=1±2.答案:(1±2)i4.已知复数z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为.解析:∵z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,∴(x-2)2+y2=3.由图可知.答案:5.已知复平面内的A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π),设对应的复数是z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.解:(1)∵点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,∴点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ),∴=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)= (-1,-2sin2θ).∴对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是,代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=,∴sin θ=±.又θ∈(0,π),∴sin θ=,∴θ=.6.若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.解:设z=x+y i,x,y∈R,由|z+2-2i|=1,得|z-(-2+2i)|=1,表示以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)的距离,由数形结合得|z-2-2i|的最小值为3.7.设z1=1+2a i,z2=a-i,a∈R,A={z||z-z1|<},B={z||z-z2|≤2},已知A∩B=⌀,求a的取值范围.解:因为z1=1+2a i,z2=a-i,|z-z1|<,即|z-(1+2a i)|<,|z-z2|≤2,即|z-(a-i)|≤2,由复数减法及模的几何意义知,集合A是以 (1,2a)为圆心,为半径的圆的内部的点对应的复数,集合B是以(a,-1)为圆心,2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数,若A∩B=⌀,则两圆圆心距大于或等于半径和,即≥3,解得a≤-2或a≥.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

【人教B版】高中数学选修2-2学案全集（全册共65页附答案）目录1.2 导数的运算1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理2.1.1 合情推理2．1.2 演绎推理2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法1.2 导数的运算1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．1．基本初等函数的导数公式表y ＝f (x ) y′＝f′(x )(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．【做一做1－1】给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y ＝1x2，则y′＝－2x －3；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【做一做1－2】下列结论中正确的是( )．A ．(log a x )′＝a xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(5x )′＝5xD ．(5x )′＝5xln 5 2．导数的四则运算法则(1)函数和(或差)的求导法则： 设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________．(2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf′(x )，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝________________.(1)比较：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，注意差异，加以区分．(2)f (x )g (x )≠f ′(x )g ′(x )，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′≠g (x )f ′(x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ).(3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则．(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 【做一做2】下列求导运算正确的是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 3．复合函数的求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y′x ＝y′u ·u ′x .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y′x ＝y′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写． 【做一做3】函数y ＝ln(2x ＋3)的导数为________．1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数．2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x )的另一种写法，两者都表示函数y ＝f (x )的导数． 3．如何理解y ＝C (C 是常数)，y′＝0；y ＝x ，y′＝1?剖析：因为y ＝C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y ＝x 的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1.题型一 利用公式求函数的导数 【例题1】求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x2(1－2cos 2x4)．分析：熟练掌握常用函数的求导公式．运用有关的性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数．反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导． 题型二 利用四则运算法则求导 【例题2】求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，然后进行求导．反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．题型三 求复合函数的导数 【例题3】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n(x ∈N ＋)；(2)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5；(3)y ＝sin 3(4x ＋3)；(4)y ＝x cos x 2.分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环．题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键．【例题4】求函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数．错解：y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x ＋e －x)．1下列各组函数中导数相同的是( )． A ．f (x )＝1与f (x )＝xB ．f (x )＝sin x 与f (x )＝cos xC ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin xD ．f (x )＝x －1与f (x )＝x ＋12已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )． A ．193 B ．103 C ．133 D ．1633函数y ＝cos xx的导数是( )．A ．－sin xx2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 24设y ＝1＋a ＋1－x (a 是常数)，则y′等于( )．A ．121＋a ＋121－xB ．121－xC ．121＋a －121－xD ．－121－x5已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y ＝－3x ＋7，则a ＝________，b ＝________.答案：基础知识·梳理1．nxn －1a xln a1x ln acos x －sin x 【做一做1－1】B 由求导公式可知，①③④⑥正确． 【做一做1－2】D2．(1)f′(x )±g′(x ) 导数和(或差) (2)f′(x )g (x )＋f (x )g′(x ) 函数的导数 (3)fx g x －f x gxg 2x【做一做2】B 由求导公式知，B 选项正确.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x′＝x ′＋(x －1)′＝1－x －2＝1－1x2.(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 【做一做3】y′＝22x ＋3函数y ＝ln(2x ＋3)可看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数，于是y′x ＝y′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ×2＝22x ＋3.典型例题·领悟【例题1】解：(1)y′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y′＝cos x .【例题2】解：(1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′－6′＝4x 3－6x －5.(2)y′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·sin x cos x ′＝x ·sin x ′·cos x －x ·sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x ·cos x ·cos x ＋x ·sin 2xcos 2x＝sin x ·cos x ＋x ·cos 2x ＋x ·sin 2x cos 2x ＝12sin 2x ＋x cos 2x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . (3)方法1：y′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.方法2：y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， y′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法1：y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法2：y ＝1－2x ＋1， y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.【例题3】解：(1)y′＝[(2x ＋1)n]′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5′＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝5x4x ＋16.(3)y′＝[sin 3(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)[sin(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)·cos(4x ＋3)·(4x ＋3)′＝12sin 2(4x ＋3)cos(4x ＋3)．(4)y′＝(x cos x 2)′＝x ′·cos x 2＋(cos x 2)′·x＝cos x 2－2x 2sin x 2.【例题4】错因分析：y ＝e －x 的求导错误，y ＝e －x 由y ＝e u与u ＝－x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．正解：令y ＝e u ，u ＝－x ，则y′x ＝y′u ·u ′x ，所以(e －x )′＝(e u )′(－x )′＝e －x×(－1)＝－e －x，所以y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋e －x ′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 随堂练习·巩固1．D2．B f′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.3．C y′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x ·x ′x ＝－x sin x －cos xx ＝－x sin x ＋cos xx 2.4．D 由x 是自变量，a 是常数，可知(1＋a )′＝0，所以y′＝(1＋a )′＋(1－x )′＝[(1－x )12]′＝12(1－x )－12·(1－x )′＝－121－x .5．－3 9 ∵y′＝2ax ＋b ，∴y′|x ＝2＝4a ＋b ，∴方程y －1＝(4a ＋b )(x －2)与方程y ＝－3x ＋7相同，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，1－a ＋b ＝7，即4a ＋b ＝－3，又点(2,1)在y ＝ax 2＋bx －5上， ∴4a ＋2b －5＝1.即4a ＋2b ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.1.3.1 利用导数判断函数的单调性1．理解可导函数单调性与其导数的关系，会用导数确定函数的单调性． 2．通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性．用函数的导数判定函数单调性的法则1．如果在(a ，b )内，f′(x )＞0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调增区间；2．如果在(a ，b )内，f′(x )＜0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调减区间．(1)在(a ，b )内，f′(x )＞0(＜0)只是f (x )在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件．(2)函数f (x )在(a ，b )内是增(减)函数的充要条件是在(a ，b )内f′(x )≥0(≤0)，并且f′(x )＝0在区间(a ，b )上仅有有限个点使之成立．【做一做1－1】已知函数f (x )＝1＋x －sin x ，x ∈(0,2π)，则函数f (x )( )． A ．在(0,2π)上是增函数 B ．在(0,2π)上是减函数C ．在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数D ．在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数【做一做1－2】设f′(x )是函数f (x )的导数，f′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象最有可能是( )．1．函数的单调性与其导数有何关系？剖析：(1)求函数f(x)的单调增(或减)区间，只需求出其导函数f′(x)＞0(或f′(x)＜0)的区间．(2)若可导函数f(x)在(a，b)内是增函数(或减函数)，则可以得出函数f(x)在(a，b)内的导函数f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．2．利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么？剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点．(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．题型一求函数的单调区间【例题1】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x ax－x2(a＞0)．分析：先求f′(x)，然后解不等式f′(x)＞0得单调增区间，f′(x)＜0得单调减区间．反思：运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点：(1)确定函数的定义域，解决问题时，只能在函数的定义域内，通过讨论函数导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点；(3)在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．题型二根据函数的单调性求参数的取值范围【例题2】已知函数f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．分析：函数f(x)在(0,1]上是增函数，则f′(x)≥0在(0,1]上恒成立．反思：函数f(x)在区间M上是增(减)函数，即f′(x)≥0(≤0)在x∈M上恒成立．题型三证明不等式【例题3】已知x＞1，求证：x＞ln(1＋x)．分析：构造函数f(x)＝x－ln(1＋x)，只要证明在x∈(1，＋∞)上，f(x)＞0恒成立即可．反思：利用可导函数的单调性证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键在于构造一个合理的可导函数．此法的一般解题步骤为：令F(x)＝f(x)－g(x)，x≥a，其中F(a)＝f(a)－g(a)＝0，从而将要证明的不等式“当x＞a时，f(x)＞g(x)”转化为证明“当x＞a时，F(x)＞F(a)”．题型四易错辨析易错点：应用导数求函数的单调区间时，往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误，因此在求函数的单调区间时需先求定义域．【例题4】求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调减区间．错解：f′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令4x 2－1x ＜0，得x ＜－12或0＜x ＜12，所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.1在区间(a ，b )内f′(x )＞0是f (x )在(a ，b )内为增函数的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)3若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 为增函数，则一定有( )．A ．b 2－4ac ≤0 B．b 2－3ac ≤0C ．b 2－4ac ≥0 D．b 2－3ac ≥04如果函数f (x )＝－x 3＋bx (b 为常数)在区间(0,1)上是增函数，则b 的取值范围是__________．5函数y ＝－13x 3＋x 2＋5的单调增区间为________，单调减区间为________．答案：基础知识·梳理 1．增函数 2．减函数 【做一做1－1】A f′(x )＝1－cos x ，当x (0,2π)时，f′(x )＞0恒成立，故f (x )在(0,2π)上是增函数．【做一做1－2】C 由f′(x )的图象知，x (－∞，0)或x (2，＋∞)时，f′(x )＞0，故f (x )的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，同理可得f (x )的减区间为(0,2)．典型例题·领悟【例题1】解：(1)f (x )′＝1－3x 2.令1－3x 2＞0，解得－33＜x ＜33.因此函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. 令1－3x 2＜0，解得x ＜－33或x ＞33.因此函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)由ax －x 2≥0得0≤x ≤a ，即函数的定义域为[0，a ]．又f (x )′＝ax －x 2＋x ×12(ax －x 2)－12·(a －2x )＝－4x 2＋3ax 2ax －x2， 令f (x )′＞0，得0＜x ＜3a 4；令f (x )′＜0，得x ＜0或x ＞34a ，又x [0，a ]，∴函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a 4，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4，a .【例题2】解：由题意，得f′(x )＝2a ＋2x3.。

目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

高中人教A 版数学选修2-2测试题答案一、选择题1．A 2．C 3．A 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D 9．B 10．C 11．B 12．D 二、填空题13．(－∞，－1) 14．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)215.1316．－1－3i 三、解答题17．证明 反证法．假设1＋y x ≥2，1＋xy≥2，即1＋y ≥2x,1＋x ≥2y .∴2＋x ＋y ≥2x ＋2y .即x ＋y ≤2. 这与x ＋y >2矛盾． ∴1＋y x 和1＋x y中至少有一个小于2.18．解 设方程有实根x 0，则x 20＋(a ＋b i)x 0＋1＋a i ＝0，即(x 20＋ax 0＋1)＋(bx 0＋a )i ＝0.∵a ，b ，x 0∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋ax 0＋1＝0，bx 0＋a ＝0.①②∵b >0，∴x 0＝－a b. 将其代入①得b 2－a 2b ＋a 2＝0.③∵b >0，∴Δ≥0，即a 4－4a 2≥0，a 2≠0， ∴a 2≥4，又a >0，∴a ≥2.故a 的最小值为2，所以b ＝2. ∴x 0＝－1. 原方程的解集为{－1}．19．解 f (x )＝ax (x －2)2＝a (x 3－4x 2＋4x )．∴f ′(x )＝a (3x 2－8x ＋4)＝a (3x －2)(x －2)．由f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝2；当a >0时，f (x )在x ＝23处，取极大值； 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝32，得a ＝27， 当a <0时，f (x )在x ＝2时，取极大值， 由f (2)＝32，得a 不存在，∴a ＝27. 20．(1)解 依题意知函数的定义域为x >0，∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．(2)证明 设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝x －12x 2＋x ＋1x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．解 设桶的底面半径为r ，桶高为h ，材料费用为W ，每平方米的木板价钱为a (a >0，r >0)，则V ＝πr 2h ，所以h ＝V πr 2.所以W ＝2πr ·h ·a ＋πr 2·5a ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2Vr ＋5πr 2，又W ′r＝a (10πr －2V r 2)，由W ′r ＝0，得10πr －2Vr2＝0，解得r ＝3V5π，当r ＝3V5π附近左侧时，W ′r <0，右侧时，W ′r >0.所以在r ＝3V5π时，W 取极小值，又此函数只有一个极值点，所以当r＝3V5π时，h ＝325Vπ，此时所用材料费用最少．22．解 推测S n ＝2n ＋12－12n ＋12 (n ∈N *)．用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，S 1＝2＋12－12＋12＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，即S k ＝2k ＋12－12k ＋12，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋8k ＋12k ＋122k ＋32＝2k ＋12－12k ＋12＋8k ＋12k ＋122k ＋32＝[2k ＋12－1]2k ＋32＋8k ＋12k ＋122k ＋32＝2k ＋122k ＋32－2k ＋32＋8k ＋12k ＋122k ＋32＝2k ＋122k ＋32－2k ＋122k ＋122k ＋32＝2k ＋32－12k ＋32＝[2k ＋1＋1]2－1[2k ＋1＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．。

第一章导数及其应用3．1变化率与导数练习〔P6〕在第3h和5h时，原油温度的瞬时变化率分别为1和3.它说明在第3h附近，原油温度大约以1℃／h的速度下降；在第5h时，原油温度大约以3℃／h的速率上升.练习〔P8〕函数h(t)在t t3附近单调递增，在t t4附近单调递增.并且，函数h(t)在t4附近比在t3附近增加得慢.说明：体会“以直代曲〞的思想.练习〔P9〕函数r(V)33V(0V5)的图象为4根据图象，估算出r(0.6)，r(1.2).说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.习题A组〔P10〕1、在t0处，虽然W1(t0)W2(t0)，然而W1(t0)W1(t0t)W2(t0)W2(t0t).t t所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.h h(1t)h(1)t，所以，h(1).2、tt这说明运发动在t1s附近以m／s的速度下降.3、物体在第5s的瞬时速度就是函数s(t)在t5时的导数.s s(5t)s(5)t10，所以，s(5)10.t t因此，物体在由题意可知，当t时， 2.所以k25，于是25t2. 88新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答〔第1页共25页〕车轮转动开始后第s 时的瞬时角速度就是函数 (t)在t 时的导数.t) (3.2)25(3.2) 20.ttt20，所以8因此，车轮在开始转动后第s 时的瞬时角速度为20s 1.说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的稳固.5、由图可知，函数f(x)在x 5处切线的斜率大于零，所以函数在x 5附近单调递增.同理可得，函数f(x)在x 4， 2，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减.说明：“以直代曲〞思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f(x)的图象如图〔1〕所示；第二个函数的导数f(x)恒大于零，并且随着x 的增加，f (x)的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，f(x)小于零，当x 大于零时，f(x)大于零，并且随着x 的增加，f (x)的值也在增加.以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：此题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 . 习题3.1 B 组〔P11〕1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是 速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度 .2、说明：由给出的 v(t)的信息获得s(t)的相关信息，并据此画出 s(t)的图象的大致形状 .这个 过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换 . 3、由〔1〕的题意可知，函数 f(x)的图象在点(1,5)处的切线斜率为 1，所以此点附近曲线呈下降趋势.首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象 .同理可得〔2〕〔3〕某 点处函数图象的大致形状 .下面是一种参考答案 .新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第2页共25页〕说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟.此题的答案不唯一.1．2导数的计算练习〔P18〕1、f(x)2x7，所以，f(2)3，f(6) 5.2、〔1〕y1；〔2〕y2e x；xln2〔3〕y10x46x；〔4〕y3sinx4cosx；〔5〕y1sin x；〔6〕y211.33x习题A组〔P18〕S S(r r)S(r)r r，所以，S(r)lim(2r r)2r.1、2r r r02、h(t).3、r(V)1332. 34V4、〔1〕y3x21；〔2〕y nx n1e x x n e x；xln2〔3〕y3x2sinx x3cosx cosx；〔4〕y99(x1)98；sin2x〔5〕y2e x；〔6〕y2sin(2x5)4xcos(2x5).5、f(x)822x.由f(x0)4有4822x0，解得x032.6、〔1〕y lnx1；〔2〕yx1.7、y x1.8、〔1〕氨气的散发速度A(t)500ln t.〔2〕A(7)，它表示氨气在第7天左右时，以克／天的速率减少.新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答习题1.2 B组〔P19〕1、〔1〕〔2〕当h越来越小时，y sin(xh)sinx就越来越逼近函数ycosx. h〔3〕y sinx的导数为y cosx.2、当y0时，x0.所以函数图象与x轴交于点P(0,0).yx，所以y x0. e1所以，曲线在点P处的切线的方程为y x.2、d(t)4sint.所以，上午6:00时潮水的速度为m／h；上午9:00时潮水的速度为m／h；中午12:00时潮水的速度为m／h；下午6:00时潮水的速度为m／h. 1．3导数在研究函数中的应用练习〔P26〕1、〔1〕因为f(x)x22x4，所以f(x)2x 2.当f(x)0，即x1时，函数f(x)x22x4单调递增；当f(x)0，即x1时，函数f(x)x22x4单调递减.〔2〕因为f(x)e x x，所以f(x)e x 1.当f(x)0，即x0时，函数f(x)e x x单调递增；当f(x)0，即x0时，函数f(x)e x x单调递减.〔3〕因为f(x)3x x3，所以f(x)33x2.当f(x)0，即1x1时，函数f(x)3x x3单调递增；当f(x)0，即x1或x1时，函数f(x)3x x3单调递减.〔4〕因为f(x)x3x2x，所以f(x)3x22x 1.当f(x)0，即x 1或x1时，函数f(x)x3x2x单调递增；3新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答当f(x)0，即1 x1时，函数f(x) x 3 x2 x 单调递减.32、注：图象形状不唯一.3、因为f(x) ax 2bx c(a0)，所以f(x)2axb.〔1〕当a0时，f(x)0，即xb 时，函数f(x)ax 2 bx c(a 0)单调递增；2af(x) 0，即xb时，函数f(x)ax 2 bx c(a0)单调递减.〔2〕当a0时，2af(x)0，即xb 时，函数f(x)ax 2 bx c(a0)单调递增；2af(x)0，即xb时，函数f(x)ax 2 bx c(a 0)单调递减.2a4、证明：因为f(x)2x 3 6x 2 7，所以f (x) 6x 2 12x.当x(0,2)时，f(x) 6x 2 12x 0，因此函数f(x)2x 36x 2 7在(0,2)内是减函数.练习〔P29〕1、x 2,x 4是函数y f(x)的极值点，其中xx 2是函数yf(x)的极大值点，xx 4是函数y f(x)的极小值点.2、〔1〕因为f(x) 6x 2x2，所以f(x)12x 1.令f(x)12x10，得x1.12当x1时，f (x)0，f(x)单调递增；当x1 时，f(x)0，f(x)单调递减.12 112 11)2149. 所以，当x时，f(x)有极小值，并且极小值为f( )6 ( 212 12121224〔2〕因为f(x)x 3 27x ，所以f (x)3x 227.令f(x)3x 2270，得x3.下面分两种情况讨论：①当f(x)0，即x3或x3时；②当f (x) 0，即3x3时.当x 变化时，f (x)，f(x)变化情况如下表：x(,3)3(3,3)3(3,)f(x)＋0－0＋f(x)单调递增54单调递减54单调递增因此，当x3时，f(x)有极大值，并且极大值为54；当x3时，f(x)有极小值，并且极小值为54.〔3〕因为f(x)612xx3，所以f(x)123x2.令f(x)123x20，得x2.下面分两种情况讨论：①当f(x)0，即2x2时；②当f(x)0，即x2或x2时.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)－0＋0－f(x)单调递减10单调递增22单调递减因此，当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为10；当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为22〔4〕因为f(x)3x x3，所以f(x)33x2.令f(x)33x20，得x1.下面分两种情况讨论：①当f(x)0，即1x1时；②当f(x)0，即x1或x1时.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(,1)1(1,1)1(1,)f(x)－0＋0－f(x)单调递减2单调递增2单调递减因此，当x1时，f(x)有极小值，并且极小值为2；当x1时，f(x)有极大值，并且极大值为2练习〔P31〕〔1〕在[0,2]上，当x 1时，f(x)6x2x2有极小值，并且极小值为f(1)49. 121224又由于f(0)2，f(2)20.因此，函数f(x)6x2x2在[0,2]上的最大值是20、最小值是49.24〔2〕在[4,4]上，当x3时，f(x)x327x有极大值，并且极大值为f(3)54；当x3时，f(x)x327x有极小值，并且极小值为f(3)54；又由于f(4)44，f(4)44.因此，函数f(x)x327x在[4,4]上的最大值是54、最小值是54.〔3〕在[1,3]上，当x2时，f(x)612x x3有极大值，并且极大值为f(2)22.31)55又由于f(，f(3)15.327因此，函数f(x)612x x3在[1,3]上的最大值是22、最小值是55. 327〔4〕在[2,3]上，函数f(x)3x x3无极值.因为f(2)2，f(3)18.因此，函数f(x)3x x3在[2,3]上的最大值是2、最小值是18.习题A组〔P31〕1、〔1〕因为f(x)2x1，所以f(x)20.因此，函数f(x)2x1是单调递减函数.〔2〕因为f(x)xcosx，x(0,2)，所以f(x)1sinx0，x(0,).2因此，函数f(x)x cosx在(0,)上是单调递增函数.2〔3〕因为f(x)2x4，所以f(x)20.因此，函数f(x)2x4是单调递减函数.〔4〕因为f(x)2x34x，所以f(x)6x240.因此，函数f(x)2x34x是单调递增函数.2、〔1〕因为f(x)x 2 2x4，所以f(x)2x 2.当f(x) 0，即x 1时，函数f(x) x 2 2x4单调递增.当f(x)0 ，即x1 时，函数f(x) x2 2x 4 单调递减.〔2〕因为f(x)2x 2 3x 3，所以f(x) 4x 3.当f(x)0 ，即x3时，函数f(x)2x 2 3x 3 单调递增.4当f(x)0 ，即x3时，函数f(x)2x 2 3x 3 单调递减.4〔3〕因为f(x)3x x 3，所以f(x)33x 2 0.因此，函数 f(x)3x x 3是单调递增函数.〔4〕因为f(x)x 3 x 2 x ，所以f(x) 3x 2 2x 1.当f(x)0，即x 1或x 1时，函数f(x) x 3 x 2 x 单调递增.3 当f(x)0 ，即 1 x1时，函数f(x)x 3 x 2x 单调递减.33、〔1〕图略.〔2〕加速度等于0.4、〔1〕在x x 2处，导函数yf (x)有极大值；〔2〕在xx 1和x x 4处，导函数yf(x)有极小值；3〕在xx 3处，函数yf(x)有极大值；4〕在xx 5处，函数yf(x)有极小值.5、〔1〕因为f(x) 6x 2 x 2 ，所以f(x)12x1.令f(x)12x10，得x1.1时，f12当x (x) 0 ，f(x)单调递增；12当x 1时，f (x) 0 ，f(x)单调递减.12所以，x1 时，f(x)有极小值，并且极小值为f( 1)6(1)2 1 2 49.121212 1224〔2〕因为f(x) x 312x ，所以f(x)3x 212.令f(x)3x 2 12 0，得x2.下面分两种情况讨论：新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答①当f(x)0，即x2或x2时；②当f(x)0，即2x2时.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)＋0－0＋f(x)单调递增16单调递减16单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为16；当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为16.〔3〕因为f(x)612xx3，所以f(x)123x2.令f(x)123x20，得x2.下面分两种情况讨论：①当f(x)0，即x2或x2时；②当f(x)0，即2x2时.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)＋0－0＋f(x)单调递增22单调递减10单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为22；当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为10.〔4〕因为f(x)48x x3，所以f(x)483x2.令f(x)483x20，得x4.下面分两种情况讨论：①当f(x)0，即x2或x2时；②当f(x)0，即2x2时.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(,4)4(4,4)4(4,)f(x)－0＋0－f(x)单调递减 128 单调递增 128 单调递减因此，当x4时，f(x)有极小值，并且极小值为 128；当x4时，f(x)有极大值，并且极大值为128.6、〔1〕在[1,1] 上，当x1 时，函数f(x)6x2 x2 有极小值，并且极小值为 47.1224由于f( 1) 7 ，f(1)9，所以，函数f(x)6x2x 2在[ 1,1]上的最大值和最小值分别为9，47.24〔2〕在[3,3] 上，当x2时，函数f(x)x 312x 有极大值，并且极大值为16；当x2时，函数f(x) x 3 12x 有极小值，并且极小值为16.由于f(3) 9 ，f(3)9 ，所以，函数f(x)x 3 12x 在[ 3,3]上的最大值和最小值分别为16，16 .〔3〕在[1,1]上，函数f(x)612xx 3在[1,1]上无极值.31)269，f(1)3由于f(5，3 27所以，函数f(x)612xx 3在[1,1]上的最大值和最小值分别为269，5.327〔4〕当x4时，f(x)有极大值，并且极大值为128..由于f( 3) 117，f(5) 115，所以，函数f(x)48xx 3在[ 3,5] 上的最大值和最小值分别为128，117.习题B 组〔P32〕1、〔1〕证明：设f(x) sinx x ，x(0, ).因为f (x) cosx 1 0，x (0,)所以f(x) sinx x 在(0, )内单调递减因此f(x)sinx xf(0)0 ，x(0,)，即sinxx ，x(0,). 图略〔2〕证明：设f(x) x x 2，x (0,1) .因为f (x) 1 2x ，x (0,1)新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第10页共25页〕所以，当x(0, 1 )时，f (x) 1 2x 0 ，f(x)单调递增，2f(x)x x 2 f(0)0；当x (1,1)时，f (x) 1 2x 0，f(x)单调递减，2f(x) x x 2 f(1)0 ；又f(1)1 0.因此，x x 2 0 ，x(0,1).图略24〔3〕证明：设f(x)e x 1 x ，x0.因为f(x) e x 1，x所以，当x0时，f(x)e x 1 0，f(x)单调递增，f(x)e x 1 xf(0)0；当x 0 时，f(x)e x 1 0，f(x)单调递减，f(x)e x 1 xf(0) 0；综上，e x1 x ，x0.图略〔4〕证明：设f(x)lnx x ，x 0 .因为f(x)1 1，xx所以，当0x 1时，f (x)1 10，f(x)单调递增，xf(x) lnx x f(1)1 0；当x 1 时，f(x)1 1 0，f(x)单调递减，xf(x) lnx x f(1) 1 0；当x 1 时，显然ln1 1 . 因此，lnxx .由〔3〕可知， e x x 1 x ，x0..综上，lnxx e x ，x图略2、〔1〕函数f(x)ax 3 bx 2 cx d 的图象大致是个“双峰〞图象，类似“〞或“〞的形状. 假设有极值，那么在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.〔2〕因为f(x)ax 3bx 2 cx d ，所以f (x) 3ax 22bxc.新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第11页共25页〕下面分类讨论：当a0时，分a 0 和a 0两种情形：①当a 0，且b 23ac 0 时，设方程f(x) 3ax 2 2bx c0的两根分别为x 1,x 2，且x 1x 2，当f (x) 3ax 2 2bx c 0 ，即x x 1或x x 2时，函数f(x) ax 3 bx 2cx d 单调递增；当f (x)3ax 2 2bx c 0，即x 1 xx 2时，函数f(x) ax 3 bx 2 cx d 单调递减.当a 0，且b 2 3ac 0 时，此时 f(x)3ax 22b xc 0，函数f(x)ax 3 bx 2 cx d 单调递增.②当a 0，且b 2 3ac 0时，设方程f(x) 3ax 2 2bx c0的两根分别为x 1,x 2，且x 1x 2，当f (x) 3ax 2 2bx c 0 ，即x 1 xx 2时，函数f(x) ax 3 bx 2 cx d 单调递增；当f (x)3ax 2 2bx c 0 ，即x x 1或x x 2时，函数f(x)ax 3bx 2 cx d 单调递减.当a 0，且b 2 3ac 0 时，此时f(x)3ax 22bxc 0，函数f(x)ax 3 bx 2 cx d 单调递减1．4生活中的优化问题举例习题 A 组〔P37〕1、设两段铁丝的长度分别为 x ，lx ，那么这两个正方形的边长分别为x ，l 4 x，两个正方4形的面积和为 Sf(x)(x )2(lx )21 (2x 22lxl 2)，0xl .4416令f(x) 0，即4x2l0，x l .当x(0,l)时，f2(l,l)时，f(x)(x) 0；当x 0.22因此，xl是函数f(x)的极小值点，也是最小值点.2所以，当两段铁丝的长度分别是l 时，两个正方形的面积和最小.22、如下列图，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为a2x ，高为x.x〔1〕无盖方盒的容积V(x)(a2x)2x ，0x a .2 〔2〕因为V(x)4x 34ax 2 a 2x ，新课程标准数学选修2—2 第一章课后习题解答〔第12页共25 页〕a〔第2题〕所以V(x) 12x 2 8ax a 2.令V(x) 0，得x a 〔舍去〕，或x a . 26当x (0,a)时，V(x)0；当x(a ,a)时，V(x) 0.6 62因此，xa是函数V(x)的极大值点，也是最大值点.6a时，无盖方盒的容积最大.所以，当x6h ，底半径为R ，3、如图，设圆柱的高为 那么外表积S2 Rh 2 R 2R由VR 2h ，得hV 2.R因此，S(R)2RV 2 R 2 2V 2 R 2，R 0 . hR 2 R2VR 0，解得 RV .令S(R)43R2当R(0,3V)时，S(R)0；2当R(3V,)时，S(R)0.〔第3题〕2因此，R3V是函数S(R) 的极小值点，也是最小值点 .此时，hV 23 V2R.2R 22所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于f(x)1 n2，所以f(x)2 n (x a i ).(x a i ) n in i11令f(x)0，得x 1 n a i ，n i1可以得到，x1na i 是函数f(x)的极小值点，也是最小值点.n i 1这个结果说明，用n 个数据的平均值1na i 表示这个物体的长度是合理的，n i1这就是最小二乘法的根本原理.5、设矩形的底宽为xm ，那么半圆的半径为xm ，半圆的面积为x 2 m 2 ，28新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第13页共25页〕矩形的面积为ax 2m 2，矩形的另一边长为(ax)m8x8因此铁丝的长为l(x)x x 2a x (1 )x 2a ，0 x8a2x 4 4x令l(x)142a 0，得x8a 〔负值舍去〕.x 24当x(0,8a )时，l(x) 0；当x( 8a ,8a)时，l(x)0.44因此， x8a 是函数l(x)的极小值点，也是最小值点.4所以，当底宽为 8a m 时，所用材料最省.46、利润L 等于收入R 减去本钱C ，而收入R 等于产量乘单价.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入Rq p q(251q) 25q 1q 2，8 8利润LR C (25q 1q 2) (1004q) 1q 2 21q100，0 q 200.18 8求导得L q 2141令L 0，即 q210，q84. 4当q(0,84)时，L0；当q (84,200)时，L 0；因此，q 84是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84 时，利润L 最大,习题 B 组〔P37〕1、设每个房间每天的定价为 x 元，那么宾馆利润L(x)(50x180)(x20)1 x 270x1360，180x680.1010令L(x)1x 70 0，解得x 350.5当x (180,350) 时，L(x) 0；当x(350,680) 时，L(x)0.因此，x350是函数L(x)的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大.2、设销售价为 x 元／件时，新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第14页共25页〕利润L(x) (x令L(x)8cb当x(a,4a8 4a5bb x a)(c cb4ac 5bc xb 5b)时，L(x)4)c(xa)(5 4 x)，ax 5b .b4 0，解得x4a 5b .80；当x (4a 5b ,5b)时，L(x)0. 8 4当x8是函数L(x)的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为4a5b元／件时，可获得最大利润.81．5定积分的概念练习〔P42〕8.3.说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲〞和“逼近〞的思想 练习〔P45〕1、s i s iv(i) t[ (i )2 2]1(i )212，i1,2,L,n.nn n nnnnnnv(i)t 于是ss is ii 1i 1i 1nn(i )212][i1n n n(1)21 L(n1)21(n )212n nnn nn122n 3 [1 2 L n ] 21 n(n 1)(2n1) 2n 361 112(1 )(1)3n2n取极值，得ns limni1[1v(i)]n[1(11)(11)2] 5limnnni13n2n 3说明：进一步体会“以不变代变〞和“逼近〞的思想.2、22km.3 说明：进一步体会“以不变代变〞和“逼近〞的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习〔P48〕2说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.x 3dx4.从几何上看，表示由曲线yx 3与直线x 0，x2，y0所围成的曲边梯形的面积S4.新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第15页共25页〕习题A组〔P50〕1、〔1〕(x1)dx100i1)1]1；21i11001002500i1)1〔2〕1)dx[(11](x；1i150050021000i 1)1]1〔3〕(x1)dx[(1.1i110001000说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的缺乏近似值为：18112171310140〔m〕；距离的过剩近似值为：271181121713167〔m〕.3、证明：令f(x) 1.用分点a x0x1L x i1x i L xn b将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i1,x i]上任取一点i(i1,2,L,n)n n作和式f(i)xi 1i 1b ab a，nbn从而1dx lima ni1banb a，说明：进一步熟悉定积分的概念.12表示由直线x0，x1y0y1x2、根据定积分的几何意义，1xdx，以及曲线401x2dx.所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此1041.5、〔1〕x3dx14由于在区间[1,0]上x300，x1，y0和曲线，所以定积分x3dx表示由直线x1x3所围成的曲边梯形的面积的相反数.〔2〕根据定积分的性质，得13dx01110. xx3dx x3dx11044由于在区间[1,0]上x30，在区间[0,1]上x30，所以定积分1x3dx等于位于x轴上方的1曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.〔3〕根据定积分的性质，得23dx021415 x x3dx x3dx11044由于在区间[1,0]上x30，在区间[0,2]上x30，所以定积分2x3dx等于位于x轴上方的1曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.说明：在〔3〕中，由于x3在区间[1,0]上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答〔第16页共25页〕用定把区[1,2]分成n 等份来求个定分，那么和式中既有正又有，而且无法抵一些，求和会非常麻.利用性3可以将定分223dx ，，x3x 3dx 化x 3dxx1 1在区[1,0]和区[0,2]上的符号都是不的，再利用定分的定，容易求出x 3dx ，12 2x 3dx ，而得到定分x 3dx 的.由此可，利用定分的性可以化运算.1在〔2〕〔3〕中，被函数在分区上的函数有正有，通一步体会定分的几何意.1.5 B 〔P50〕1、物体在t 0到t 6〔位：s 〕之走的路程大 145m.明：根据定分的几何意，通估算曲梯形内包含位正方形的个数来估物体走的路程.2、〔1〕v.8i 11 8 9〔m 〕；〔2〕剩近似：222i 148i 1 1187 〔m 〕缺乏近似：i 12 2424；4〔m 〕.〔3〕 0 03、〔1〕分割在区[0,l]上等隔地插入n1个分点，将它分成n 个小区：[0, l ]，[l, 2l ]，⋯⋯，[(n2)l ,l]，nn nn第i 个区[(i1)l ,il]〔i 1,2,L n 〕，其度n nil (i 1)l l .xn nn把棒在小段[0,l ]，[l, 2l ]，⋯⋯，[(n2)l ,l]上量分作：n n nnm 1, m 2,L,m n ，n棒的量mi1m i .〔2〕近似代替当n 很大，即x 很小，在小区[(i1)l ,il]上，可以密度(x)x 2的n n[(i1)l ,il化很小，近似地等于一个常数，不妨它近似地等于任意一点i]的函数n n (i )i2.于是，棒在小段[(i1)l ,il]上量m i(i )xi 2 l〔i 1,2,Ln 〕.n nn新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第17页共25页〕()新课程人教版高中数学选修22课后习题解答(全)21 / 2121〔3〕求和nn n2l . 得细棒的质量 mm i(i )xii1i1i1n〔4〕取极限nl，所以ml细棒的质量mlimi 2x 2dx..nni1新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第18页共25页〕。