江西省赣州市四校协作体2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版附参考答案 (2)

2017-2018高二下学期理科数学期中联考试题（附答案江西赣州市）2017—2018学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考高二数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.复数（）A．B．C．D．3.若曲线在处的切线分别为且，则的值为（）A．B．C．D．4.已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形。

若P为底面的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为（）A.B.C.D.5.设函数在定义域内可导，的图象如图，则导函数的图象可能为（）6.已知函数在处可导，若，则（）A．B．C．D．7.已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则双曲线的离心率为（）A．B．C.2D．38.下列图象中，有一个是函数的导数的图象，则的值为（）A.B.C.D.或9.用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N*，n＞1)”时由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时左边应增加的项数是（）A．k＋1B．kC．2kD．2k＋110.已知函数满足，且的导函数，则的解集为（）A.B.C.D.11.已知，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.12.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则=（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13.已知函数的导函数为，且满足，则在点处的切线方程为14.有6位同学站成一排，其中A,B两位必须相邻，C,D两位不能相邻的排法有种（数字作答）15．下列有关命题正确的序号是（1）若且为假命题，则，均为假命题（2）若是的必要条件，则是的充分条件（3）命题“≥0”的否定是“”（4）“”是“”的充分不必要条件16.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是三、解答题17.（共10分）（1）求函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积（2）求由曲线与所围成的封闭图形的面积18.（共12分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队（1）若要求服务队中至少有1名女生，共有多少种不同的选法．（2）若要求服务队中队长或副队长至少有1名女生，共有多少种不同的选法．19.（共12分）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，∥，,顶点在底面内的射影恰为点．（1）求证：；（2）若直线与直线所成的角为,求平面与平面所成角（锐角）的余弦值．20.（共12分）某工厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据以往的经验知道，其次品率P与日产量（件）之间近似满足关系：（其中为小于96的正整常数）（注：次品率P=，如P=0.1表示每生产10件产品,有1件次品,其余为合格品.）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损A/2元，故厂方希望定出合适的日产量。

江西省赣州市四校协作体2017-2018学年高二数学下学期期中试题文试卷满分：150分一. 选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个是正确的）1．在复平面内，复数z=的共轭复数的虚部为（ ） A ． B ． C ． D ．2.命题“032,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为（ ）A ．032,2≥+-∈∀x x R xB ．032,2>+-∉∃x x R xC ．032,2>+-∈∃x x R xD ．032,2≤+-∉∀x x R x3.设R x ∈，则“1<x ”是“02||<-x x ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知以原点O 为圆心，1为半径的圆以及函数3y x =的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米（视为质点），该小米落入阴影部分的概率为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．185.某多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（ ）（4题） （5题） （6题）A ．12B ．24C ．48D ．726.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为4，2，则输出的n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57.直线1y kx =+与曲线32y x bx c =++相切于点(1,2)M ，则b 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．28.已知x ，y 满足不等式组4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则函数2z x y =+的最小值是（ ）A ．23B ．132C ．12D ．3 9．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除了标注的数字外完全相同.现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3和6的概率是（ ）A ．103B ．51C ．101D ．121 10.不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)11.对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 12.方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（ ）A ．一个定点B ．一个椭圆C ．一条抛物线D ．一条直线二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知i 是虚数单位，则=++ii 437 ． 14.从编号为0，1，2，……，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为 ．15．已知)(sin cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧=+=y x ，则22)4()5(++-y x 的最大值是 。

20172018学年下学期高二年级期中考试仿真测试卷数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·汇文中学]若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（ ）．A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B 【解析】()()()21i 21i 1i1i 1i z +===+--+，则复数的共轭复数为1i -，故选B ．2．[2018·人大附中]设()ln f x x x =，若()02f x '=，则0x 等于（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln2【答案】B【解析】由函数的解析式可得：()ln 1f x x '=+，则()00ln 12f x x '=+=，0ln 1x ∴=，0e x =，本题选择B 选项．3．[2018·北京工大附中]函数332e x y x x -=+-，则导数y '=（ ）A ．2236e xx x-+-B ．22312e 3xx x-++此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．22316e 3xx x-++D ．22316e 3+x x x--+【答案】D【解析】根据幂函数的求导公式、指数函数的求导公式以及复合函数的求导法则可知，()2222331161633+ee xx y x xx x----=+-⨯-=+'，故选D ．4．[2018·山西一模]完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是（ ）（说明：上述表格内，顶点数V 指多面体的顶点数．） A ．()22πV - B ．()22πF -C ．()2πE -D ．()4πV F +-【答案】A【解析】用正方体（8V =，6F =，12E =）代入选项逐一检验，可排除B ，C ，D 选项． 故选：A5．[2018·湖北联考]如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内．若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（ ）A ．12B ．23C ．35D ．34【答案】B【解析】由题可知建立以AB 为X 轴，AD 为Y 轴的直角坐标系，则抛物线方程为214y x =，:2232011414123y x dx x x =-=-=⎛⎫⎪⎝⎭⎰，则此点落在阴影部分内的概率为42323=． 6．[2018·北京工大附中]函数()21ln 2f x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由函数()21ln 2f x x x =-得()211x f x x xx'-=-=，定义域为()0,+∞，由()0f x '>，得01x <<；由()0f x '<，得1x >，∴函数()f x 在区间()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且()f x 在()0,+∞上的最大值为()1102f =-<，故选B ．7．[2018·豫西名校]已知函数()222e xf x x ax ax =--在[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],e -∞ B ．(],1-∞ C ．[),e +∞ D ．[)1,+∞【答案】A【解析】()()()()()212121e e x x f x x a x x a =+-+=+-'，因为函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，所以导函数在区间[)1,+∞上上()0f x '≥，即0e x a -≥，e xa ≤，e a ≤，选A ．8．[2018·淮北一中]将正整数排成下表： 1 234 56789 ……………则在表中数字2017出现在（ ） A ．第44行第80列 B ．第45行第80列 C ．第44行第81列D ．第45行第81列【答案】D【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n 行的最后一个数为2n ．因为442=1936，452=2025，所以2017出现在第45行上； 又由2017﹣1936=81，故2017出现在第81列，故选D ．9．[2018·人大附中]若函数()32f x x ax a =-+在()01，内无极值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(),0-∞C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由函数的解析式可得：()232f x x a '=-，函数()32f x x ax a =-+在()01，内无极值，则()0f x '=在区间()01，内没有实数根， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 无极值，满足题意，当0a >时，由()0f x '=可得x =1≥，解得：32a ≥， 综上可得：实数a 的取值范围是(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭，本题选择D 选项．10．[2018·中山期末][]0,3的最大值与最小值之积为（ ）A B C D 【答案】B【解析】结合函数的解析式有：()()()2422f x x x x '=-=+-，当()0,2x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减， 当()2,4x ∈时，()'0f x >，()f x 单调递增， 且：()04f =，()423f =-，()31f =，据此可得函数的最大值为()04f =，函数的最小值为()423f =-，则最大值与最小值之积为416433-⨯=-．本题选择B 选项．11．[2018·南阳一中]从图中所示的矩形OABC 区域内任取一点(),M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．12C ．14D ．23【答案】B【解析】阴影部分的面积为()()121222221xx dx xx x-----+--=-⎰⎰，矩形的面积为2，故点M 取自阴影部分的概率为12．故选B ．12．[2018·豫西名校]偶函数()f x 定义域为ππ,22-⎛⎫⎪⎝⎭，其导函数是()f x '．当0π2x <<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式()2cos 4πf x f x >⎛⎫⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππππ,,2442-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．ππ,44-⎛⎫⎪⎝⎭D ．πππ,0,442-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】由题意构造函数()()cos f x F x x=，()()()2cos sin cos f x x f x xF x x+''=，所以函数()F x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0F x '<，()F x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()π2cos 4f x f x >⎛⎫⎪⎝⎭ππ,22x ∈-⎛⎫⎪⎝⎭时，可变形为()π4cos 22f f x x >⎛⎫⎪⎝⎭，即()π4F x F >⎛⎫⎪⎝⎭，即ππ44x -<<．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·首师附中]若复数z 满足，则复数z 的模为__________．【解析】14．[2018·百校联盟]函数()ln g x x =图象上一点P 到直线y x =的最短距离为__________． 2【解析】设与直线y x =平行的且与()ln g x x =相切的直线切点为()00,ln x x ，因为()1ln 'x x=，则011x =，01x ∴=，则切点为()1,0，∴最短距离为切点到直线yx =的距离：2d ==，故答案为2．15．[2018·上饶模拟]二维空间中，圆的一维测度（周长）2πl r =，二维测度（面积）2πS r =；三维空间中，球的二维测度（表面积）24πS r =，三维测度（体积）推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度312πV r =，则其四维测度W =__________． 【答案】43πr 【解析】二维空间中圆的一维测度（周长）2πl r =，二维测度（面积）2πS r =；观察发现S l '=，三维空间中球的二维测度（表面积）24πS r =，三维测度（体积）发现V S '=，∴四维空间中“超球”的三维测度38πV r =，猜想其四维测度W ，则312πW V r '==，43πW r ∴=，故答案为43πr ．16．[2018·烟台诊断]直线y b =分别与直线21y x =+和曲线ln y x =相交于点A 、B ，则AB 的最小值为____________________． 【答案】ln 212+【解析】两个交点分别为1A ,2b b -⎛⎫ ⎪⎝⎭，()e ,b B b ，1e 2bb AB -=-， 设函数()1e 2xx g x -=-，()1e 2xg x '=-，()0g x '=的根为ln 2x =-，所以()g x 在区间(),ln 2-∞-单调递减，在区间()ln 2,-+∞上单调递增， 所以()()ln 2min g x g =-=ln 212+．填ln 212+．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2018·石嘴山中学]已知复数1Z 2ai =+（其中a ∈R 且a 0>，i 为虚数单位），且21z 为纯虚数．（1）求实数a 的值； （2）若1z z 1i=-，求复数z 的模z ． 【答案】（1）2；（2）2．【解析】（1）2221(2i)44i z a a a =+=-+，因为21z 为纯虚数，所以2400 0a a a ⎧-=≠>⎪⎨⎪⎩，解得：2a =．·······6分 （2）122i z =+，22i (22i)(1i)4i2i 1i (1i)(1i)2z +++====--+，2z =．·······12分 18．[2018·西城156中]已知函数()32133f x x x x =--．（）求()f x 的单调区间．（）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值．【答案】（1）单调递增区间为()1-∞-，和()3,+∞，单调递减区间为()1,3-；（2）的最大值为53，最小值为9-．【解析】（）由题得()()()22313f x x x x x '=--=+-．令()0f x '>，解得1x <-或3x >，令()0f x '<，解得13x -<<，∴()f x 的单调递增区间为()1-∞-，和()3,+∞，单调递减区间为()1,3-．·······6分（）由（）可知，()f x 在区间()3,1--上单调递增， 在()1,3-上单调递减，且()39f -=-，()39f =-， ∴()f x 在区间[]3,3-上的最大值为5(1)3f -=， 最小值为()()339f f -==-．·······12分19．[2018·豫西名校]（1）当0n ≥时，证明：211n n n n +-+<+-； （2）已知x ∈R ，21a x =-，22b x =+，求证：a ，b 中至少有一个不小于0． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）要证211n n n n +-+<+-， 即证221n n n ++<+，只要证()()22221n nn ++<+，即证()222244n n n n +++<+，即证()21n n n +<+， 只要证22221n n n n +<++，而上式显然成立， 所以211n n n n +-+<+-成立．·······6分 （2）假设0a <且0b <，由210a x =-<得11x -<<，由220b x =+<得1x <-，这与11x -<<矛盾，所以假设错误，所以a 、b 中至少有一个不小于0．·······12分 20．[2018·天津联考]已知曲线21:2C y x =与221:2C y x =在第一象限内交点为P ．（1）求过点P 且与曲线2C 相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S ． 【答案】解：（1）22212y xy x==⎧⎪⎨⎪⎩，22x y =⎧∴⎨=⎩，(2,2)P ∴，221()22x k x ='==，∴所求切线方程为：220x y --=．·······6分（2）2322320200011142(2)2363xdx x dx x x -=-=⎰⎰，·······12分 解法2：算y x =与212y x =围出的面积，再利用对称性可求．【解析】略．21．[2018·北京八中]若函数()34f x ax bx -=＋，当2x =时，函数()f x 有极值43-．（1）求函数的解析式；（2）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()31443f x x x =-＋；（2）42833k -＜＜．【解析】（1）由题意可知()23f x ax b '=－，于是()423f =-，()20f '=解得13a =，4b =故所求的解析式为()31443f x x x =-＋． (5)分（2）由（1）可知()2()()422f x x x x =--'+=，令()0f x '=，得2x =或2x =-． 当x 变化时()f x '、()f x 的变化情况如下表所示：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()f x ' + 0 0 +()f x单调递增283单调递减43- 单调递增因此，当2x =-时，()f x 有极大值283；当2x =时，()f x 有极小值43-． 所以函数的大致图象如图，故实数k 的取值范围是42833k -<<．·······12分22．[2018·贺州调研]已知函数()()()ln f x x a x a =+-∈R ，直线22:ln 333l y x =-+-是曲线()y f x =的的一条切线． （1）求a 的值；（2）设函数()()2e 22g x x x f x a a =----+，证明：函数()g x 无零点． 【答案】（1）1a =；（2）见解析． 【解析】（1）()11f x x a'=-+，设切点为()00,P x y ，则()0000121322ln ln 333x a x a x x -=-++-=-+-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 解得02x =，1a =，∴1a =为所求．·······4分（2）由（1）知()()e 2112e ln xxg x x x f x x x x =----+=--，()()()()111e 1e1xxx g x x x xx+=+--=-'，令()e 1x G x x =-，∵当0x >时，()()1e 0xG x x =+>'，∴函数()G x 在()0+∞，上单调递增， 又()010G =-<，()1e 10G =->，∴()G x 存在唯一零点()0,1c ∈，且当()0,x c ∈时，()0G x <，当(),x c ∈+∞时，()0G x >． 即当()0,x c ∈时，()0g x '<；当(),x c ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在()0,c 上单调递减，在(),c +∞上单调递增，∴()()g x g c ≥． ∵()10e x G c c =+-=，01c <<，∴()ln 1ln 0x g c c c c c c c =+--=-->， ∴()()0g x g c ≥>，∴函数()g x 无零点．·······12分。

江西省赣州市高二下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·资阳期末) 已知i是虚数单位，若复数z满足：z（1﹣i）=2，则复数z=（）A . ﹣1﹣iB . 1﹣iC . ﹣1+iD . 1+i2. （2分）某城市2016年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2016年空气质量达到良或优的概率为（）A .B .C .D .3. （2分）二项式的展开式中的系数为10，则实数m等于（）A . -1B .C . 2D . 34. （2分）如下图是函数的大致图象，则等于（）A .B .C .D .5. （2分）如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·湖北月考) 已知ξ的分布列为：ξ1234则Dξ等于（）B .C .D .7. （2分）已知函数f(x)=ax+4,若，则实数a的值为（）A . 2B . -2C . 3D . -38. （2分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。

先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列四个结论：①；②；③事件B与事件相互独立；④是两两互斥的事件；正确的是（）A . ②③B . ②④C . ①③④D . ①②④9. （2分）(2019·永州模拟) 设为虚部单位，复数满足，则（）A .B .C .10. （2分）展开式中不含x4项的系数的和为（）A . －1B . 0C . 1D . 211. （2分）有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（）A . 240种B . 192种C . 96种D . 48种12. （2分）设x1、x2是关于x的二次方程x2﹣2kx+1﹣k2=0的两个实根，k为实数，则的最小值为（）A . -2B . -1C . 1D . 2二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分）(2017·云南模拟) 若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544，设ξ～N（1，σ2），且P（ξ≥3）=0.1587，在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+y2=σ2上有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是________．14. （1分） (2019高二上·河北期中) 为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为＝0.95 －0.15.由以上信息，得到下表中c的值为________.天数x(天)34567繁殖个数y(千个)2345c15. （1分） (2016高二上·济南期中) 若对于∀x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________三、双空题 (共1题；共1分)16. （1分） 12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，以表示取出次品的个数，则的期望值 =________．四、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（Ⅰ）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计附：K2=（此公式也可写成x2=）18. （10分）设复数z=，若az﹣b=2+7i（a，b∈R），求实数a，b的值．19. （10分）已知a是实数，函数f（x）=x2（x﹣a）．（1）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若，求f（x）在区间[0，2]上的最大值．20. （10分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”附：X2= ，P（X2≥k）0.050.01k 3.841 6.635（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？（注：0.95以上把握说明有关）非体育迷体育迷合计男女1055合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）21. （10分）已知函数f(x)＝aln x－bx2 ， a，b∈R.（1）若f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，求a，b的值；（2）在(1)的条件下，求f(x)在上的最大值；（3）若不等式f(x)≥x对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，求a的取值范围．22. （10分） (2018高二下·西安期末) 电视传媒公司为了解世界杯期间某地区电视观众对《战斗吧足球》节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该节目时间的频率分布直方图：(注：频率分布直方图中纵轴表示，例如，收看时间在分钟的频率是 )将日均收看该足球节目时间不低于40分钟的观众称为“足球迷”．附：，（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否可以认为“足球迷”与性别有关？如果有关，有多大把握？合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“足球迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、均值和方差．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、三、双空题 (共1题；共1分) 16-1、四、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

2017-2018学年第二学期高二年段期中考数学（理）试卷（满分：150分，完善时间：120分钟）班级姓名座号一、选择题(本大题共12小题，共60分)1.设复数z的共轭复数为，若（2+i）z=3-i，则的值为（）A.1B.C.2D. 42. 一个包内装有4本不同的科技书，另一个包内装有5本不同的科技书，分别从两个包内各取一本的取法有（）种．A.15B.4C.9D.203.已知对任意x∈R，恒有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（）A.f′（x）＞0，g′（x）＞0B.f′（x）＞0，g′（x）＜0C.f′（x）＜0，g′（x）＞0D.f′（x）＜0，g′（x）＜04.函数y=f（x）导函数f'（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.y=f（x）在（-∞，0）上单调递增B. y=f（x）的递减区间为（3，5）C.函数y=f（x）在x=0处取得极大值D.函数y=f（x）在x=5处取得极小值5.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度6.设f（x）=，则f（x）dx=（）A. B. C. D.不存在7.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a48.有八名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续的数字（如：4，5，6），则参加比赛的这八名运动员安排跑道的方式共有（）A.360种 B.4320种 C.720种 D.2160种9.如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（）A.ln2B.1-ln2C.2-ln2D.1+ln210.若函数f（x）=x3-ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）A.a≥3B.a=3C.a≤3D.0＜a＜311.已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A. B. C. D.12.已知，则导函数f′（x）是（）A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值，又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值，又有最小值的奇函数二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知物体的运动方程为s=t2+（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为14. 将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法15.若函数存在极值，则m的取值范围是16.用火柴棒按图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an 与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是三、解答题(本大题共6小题，共72分)17. 已知m∈R，复数z=+（m2+2m-3）i，当m为何值时，（1）z∈R；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面第二象限；18.设函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．19.设a、b∈R+且a+b=3，求证．20.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-2．（1）求a1，a2，a3并由此猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明{an}的通项公式．21.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式：y=+10（x-6）2，其中3＜x＜6，a 为常数，已知销售的价格为5元/千克时，每日可以售出该商品11千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值．22.已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（1）当a=-时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）-x≤0恒成立，求实数a的取值范围．。

2017-2018学年江西省赣州市四校协作体高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符要求的）1．（5分）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱2．（5分）下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．三菱柱3．（5分）某工厂生产的产品，用速度恒定的传送带将产品送入包装车间之前，质检员每隔3分钟从传送带上是特定位置取一件产品进行检测，这种抽样方法是（）A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．其它抽样方法4．（5分）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15、5、25 B．15、15、15 C．10、5、30 D．15、10、205．（5分）如图，某简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成，则该组合体三视图的俯视图为（）A． B．C．D．6．（5分）某班级组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．607．（5分）如图为某商场一天营业额的扇形统计图，根据统计图你能得到下列错误的信息为（）A．家用电器部所得利润最高B．服装鞋帽和百货日杂共售出29 000元C．副食的销售额为该商场营业额的10%左右D．该商场家用电器销售额为全商场营业额的40%8．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（）A．96 B．136 C．152 D．1929．（5分）如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊊β，则α⊥β；②若m⊊α，n⊊α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊊α，n⊈α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊈α，n⊈β，则n∥α且n∥β．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④11．（5分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13．（5分）已知x与y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程必过定点．14．（5分）如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是cm．15．（5分）一个几何体是由若干个相同的小正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由个这样的小正方体组成．16．（5分）如图是某个正方体的展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，对于l1与l2的下面四个结论中，正确的是．①互相平行；②异面垂直；③异面且夹角为；④相交且夹角为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的数学平均分．18．（12分）某车间20名工人年龄数据如下表：（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．19．（12分）如图1，正方形ABCD的边长为4，AB=AE=BF=，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥底面AEFB，G是EF的中点，如图2．（1）求证：DE∥平面AGC；（2）求证：AG⊥平面BCE．20．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，又AD∥BC，AD⊥DC，且PD=BC=3AD=3．（Ⅰ）画出四棱准P﹣ABCD的正视图；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：棱PB上存在一点E，使得AE∥平面PCD，并求的值．21．（12分）在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形．AB ∥DC，AB=AD=1，CD=2，AC=EC=．（1）求证：平面EBC⊥平面EBD；（2）设M为线段EC上一点，且3EM=EC，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT∥平面BDE，若存在，试指出点T的位置；不存在，请说明理由．22．（12分）如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF 中，AB∥EF，AB=2AF，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF 的重心．（Ⅰ）求证：平面ADF⊥平面CBF；（Ⅱ）求证：PM∥平面AFC．2017-2018学年江西省赣州市四校协作体高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符要求的）1．（5分）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱【解答】解：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥．图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．故选：C．2．（5分）下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．三菱柱【解答】解：球的正视图、侧视图和俯视图都是半径相等的圆面，都相同．故选：C．3．（5分）某工厂生产的产品，用速度恒定的传送带将产品送入包装车间之前，质检员每隔3分钟从传送带上是特定位置取一件产品进行检测，这种抽样方法是（）A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．其它抽样方法【解答】由题意知这个抽样是在传送带上每隔3分钟抽取一产品，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．故选：B．4．（5分）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15、5、25 B．15、15、15 C．10、5、30 D．15、10、20【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高一年级抽取的人数是300×=15人，高二年级抽取的人数是200×=10人，高三年级抽取的人数是400×=20人，故选：D．5．（5分）如图，某简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成，则该组合体三视图的俯视图为（）A． B．C．D．【解答】解：简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成，左侧是圆锥，右侧是圆柱，俯视图为：三角形与矩形组成，故选：D．6．（5分）某班级组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【解答】解：成绩低于60分的频率为0.005×20+0.01×20=0.3，∴该班学生数为=50．故选：B．7．（5分）如图为某商场一天营业额的扇形统计图，根据统计图你能得到下列错误的信息为（）A．家用电器部所得利润最高B．服装鞋帽和百货日杂共售出29 000元C．副食的销售额为该商场营业额的10%左右D．该商场家用电器销售额为全商场营业额的40%【解答】解：由某商场一天营业额的扇形统计图，得：在A中，家用电器的营业额最高，但利润不一定最高，故A错误；在B中，副食的营业额占该商场营业额的比重为：1﹣40%﹣30%﹣20%=10%，营业额为5800元，∴服装鞋帽和百货日杂共售出：（30%+20%）×=29000元，故B正确；在C中，副食的销售额为该商场营业额的：1﹣40%﹣30%﹣20%=10%，故C正确；在D中，该商场家用电器销售额为全商场营业额的40%，故D正确．故选：A．8．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（）A．96 B．136 C．152 D．192【解答】解：由三视图知；几何体为三棱柱，且三棱柱的侧棱长为8，底面为等腰三角形，底边长为6，高为4，腰长5，∴几何体的表面积S=2××6×4+（5+5+6）×8=24+128=152．故选：C．9．（5分）如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设AB=1，B（1，1，0），A1（1，0，2），A（1，0，0），D1（0，0，2）．=（0，1，﹣2），=（﹣1，0，2），∴===﹣．∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为．故选：D．10．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊊β，则α⊥β；②若m⊊α，n⊊α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊊α，n⊈α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊈α，n⊈β，则n∥α且n∥β．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：对于①，若m⊥α，m⊂β，则α⊥β正确，是面面垂直的判定，命题①正确；对与，②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则只有满足m和n相交时有α∥β，命题②不正确；对于③，如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与a相交或平行，故③错误；对于④，若α∩β=m，n∥m，n⊄α，则n∥α，同理由n⊄β，可得n∥β，故④正确；故选：D．11．（5分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对【解答】解：底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，可得PA⊥底面ABCDPA⊂平面PAB，PA⊂平面PAD，可得：面PAB⊥面ABCD，面PAD⊥面ABCD，AB ⊥面PAD，可得：面PAB⊥面PAD，BC⊥面PAB，可得：面PAB⊥面PBC，CD⊥面PAD，可得：面PAD⊥面PCD；故选：C．12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13．（5分）已知x与y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程必过定点（，4）．【解答】解：根据表中数据，计算=×（0+1+2+3）=，=×（1+3+5+7）=4，∴y与x的线性回归方程必过定点（）．故答案为：（，4）．14．（5分）如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是8cm．【解答】解：由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：8cm．故答案为：8．15．（5分）一个几何体是由若干个相同的小正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由13个这样的小正方体组成．【解答】解：由题意可得：第一层最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以此几何体共有13个正方体．故答案为：13．16．（5分）如图是某个正方体的展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，对于l1与l2的下面四个结论中，正确的是④．①互相平行；②异面垂直；③异面且夹角为；④相交且夹角为．【解答】解：如图，以涂有红色的正方形为下底面，并且使l1所在侧面正对着我们，可得l2所在的面是上底面，且两条直线有一个公共点∴在正方体中，l1与l2是相交直线．故答案为：④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的数学平均分．【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.05+0.1+0.15+0.15+0.25）=0.30，补全后的直方图如图：（2）估计本次考试的数学平均分为=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．18．（12分）某车间20名工人年龄数据如下表：（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．【解答】解：（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21；（2）茎叶图如下：（3）年龄的平均数为：=30．这20名工人年龄的方差为S2=[（19﹣30）2+3×（28﹣30）2+3×（29﹣30）2+5×（30﹣30）2+4×（31﹣30）2+3×（32﹣30）2+（40﹣30）2]=12.6．19．（12分）如图1，正方形ABCD的边长为4，AB=AE=BF=，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥底面AEFB，G是EF的中点，如图2．（1）求证：DE∥平面AGC；（2）求证：AG⊥平面BCE．【解答】（本题满分为12分）证明：（1）由已知AB∥DC∥EF，又AB=DC=EF，G是EF的中点，所以CD EG，所以四边形DCGE是平行四边形，…（4分）所以DE∥CG．因为DE⊄平面AGC，CG⊂平面AGC，所以DE∥平面AGC…（6分）（2）连接BG，因为BC∥AD，AD⊥底面AEFB，所以BC⊥底面AEFB，又AG⊂底面AEFB，所以BC⊥AG…（8分）因为AB EG，AB=AE．所以四边形ABGE为菱形，所以AG⊥B E…（10分）又BC∩BE=B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以AG⊥平面BCE…（12分）20．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，又AD∥BC，AD⊥DC，且PD=BC=3AD=3．（Ⅰ）画出四棱准P﹣ABCD的正视图；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：棱PB上存在一点E，使得AE∥平面PCD，并求的值．【解答】（Ⅰ）解：四棱准P﹣ABCD的正视图如图所示．；（Ⅱ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD．因为AD⊥DC，PD∩CD=D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD，因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD．（Ⅲ）分别延长CD，BA交于点O，连接PO，在棱PB上取一点E，使得，下证AE∥平面PCD，因为AD∥BC，BC=3AD，所以，即，所以．所以AE∥OP，因为OP⊂平面PCD，AE⊄平面PCD，所以AE∥平面PCD．21．（12分）在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形．AB ∥DC，AB=AD=1，CD=2，AC=EC=．（1）求证：平面EBC⊥平面EBD；（2）设M为线段EC上一点，且3EM=EC，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT∥平面BDE，若存在，试指出点T的位置；不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）∵AD=1，CD=2，AC=，∴AD2+CD2=AC2，∴△ADC为直角三角形，且AD⊥DC，同理∵ED=1，CD=2，EC=，∴ED2+CD2=EC2，∴△EDC为直角三角形，且ED⊥DC，又四边形ADEF是正方形，∴AD⊥DE，又∵AB∥DC，∴DA⊥AB，在梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，故四边形ABHD是正方形，∴∠ADB=45°，在△BCH中，BH=CH=1，∠BCH=45°，BC=，∴在∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD，∵ED⊥AD，ED⊥DC，AD∩DC=D，∴ED⊥平面ABCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC，∵BD∩ED=D，BD⊂平面EBD，ED⊂平面EBD，∴BC⊥平面EBD，BC⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面EBD．解：（2）∵M为线段EC上一点，且3EM=EC，在线段BC上取一点T，使3BT=TC，则MT∥平面BDE．理由如下：∵M为线段EC上一点，且3EM=EC，T为BC上一点，3BT=BC，∴MT∥BE，∵BE⊂平面BDE，MT⊄平面BDE，∴MT∥平面BDE．22．（12分）如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF 中，AB∥EF，AB=2AF，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF 的重心．（Ⅰ）求证：平面ADF⊥平面CBF；（Ⅱ）求证：PM∥平面AFC．【解答】证明：（Ⅰ）∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB．∴CB⊥平面ABEF，又AF ⊂平面ABEF ，∴CB ⊥AF ，又AB=2AF ，∠BAF=60°，∴设AB=2，AF=1， 由余弦定理知BF=，∴AF 2+BF 2=AB 2，∴AF ⊥BF ， ∵AF ∩CB=B ，∴AF ⊥平面CFB ，∵AF ⊂平面AFC ，∴平面ADF ⊥平面CBF ． （Ⅱ）连结OM 延长交BF 于H ， 则H 为BF 的中点，又P 为CB 的中点，∴PH ∥CF ，又∵AF ⊂平面AFC ，∴PH ∥平面AFC ， 连结PO ，则PO ∥AC ，AC ⊂平面AFC ，PO ∥平面AFC ， ∵PO ∩PO 1=P ，∴平面POO 1∥平面AFC ， ∵PM ⊂平面AFC ，∴PM ∥平面AFC ．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。

江西省赣州市十四县（市）2017-2018学年高二期中联考（理）第I 卷(选择题共60分)一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设直线,01:,01:21=+-=+-ky x l y kx l 若21l l ⊥,则（ ）A. -1B. 1C. 1±D. 02.总体由编号为01,02,…,29,30的30个个体组成。

利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为( )7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 32049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.01 3．已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 1312π+B. 112π+C. 134π+D. 14π+4.在ABC ∆中，角C B A ，，所对边长分别为，，，c b a 若，2223b c a -=则C cos 的最小值为（ ）A.32 B. 21 C. 41 D. 325．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（ ）A. 5B. 7C. 11D. 136.若样本n x x x x ++++1111321，，，， 的平均数是10，方差是2，则对样本n x x x x ++++2222321，，，， ，下列结论正确的是 ( )A. 平均数为10，方差为2B. 平均数为11，方差为3C. 平均数为11，方差为2D. 平均数为12，方差为47.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为20，则判断框中可以填（ ）A.7k >B. 8k >C. 7k <D. 8k <8．已知a ， b 为单位向量，且2a b a b +=-，则a 在a b + 上的投影为（ ）A.13 B. 63C. 263-D. 223 9．若圆0342:22=+-++y x y x C 关于直线062=++by ax 对称，则由点()b a ,向圆C 所作切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．610.下列命题中正确的个数有 ( ) ①αα////b a b a ，则，若⊂. ②相交，有且仅有一条直线与上的定点，在为两异面直线，则过不，若b a A b a b a .③两个不重合的平面,αβ，两条异面直线,a b ，若βαββαα//////////，则，，，b a b a . ④若平面EFGH 与平行四边形ABCD 相交于AB ,则EFGH CD 平面//.A.0个B.1个C.2个D.3个11. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1)1(20171434=-+-a a ）（，1)1(20171201432014-=-+-a a ）（，则下列结论正确的是（ ）A.4201420172017a a S <-=，B.420142017a 2017a S >=，C.4201420172017a a S >-=，D.4201420172017a a S <=，12.已知,x y 满足10,0,3,x y x y x --≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则)4(168123222++++++=y x y x xy y x z 的最小值是 （ ）A.223+B.203 C.283D.6 第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，请将答案填在答题纸上） 13．已知数列{}n a 是递增的等比数列，，941=+a a ，832=a a{}项和是的前则数列n n a ________．14.中，在正方形1111D C B A ABCD -的中点，为1AA P 的中点，为1CC Q ，2=AB 则三棱锥PQD B -的体积为__________．15.三棱锥326===-BD AD AB BCD A ，，,底面BCD 为等边三角形，且ABD BCD ⊥平面平面,求三棱锥A BCD -外接球的表面积______________.16.中在直角梯形ABCD ，，，，，21//===⊥AB CD AD AB DC AD AB ,E F 分别为AC AB ，的中点，设以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上的动点为P (如图所示)，则AP PF ∙的取值范围是 ______________.三、解答题（17题10分，其它题12分，共70分，写出必要的文字说明） 17. (本题满分10分）中，如图，在四棱锥ABCD P -，平面ABCD PA ⊥是菱形，底面ABCD 的交点，与是对角线点BD AC O 的中点，是PD M ，且2=AB 3π=∠BAD 。

江西省赣州市2017-2018学年高二下学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设（1+2i）（a+i）的共轭复数是它本身，其中a为实数，则a=（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣2．下列值等于1的积分是（）A． xdx B．（x+1）dx C． 1dx D．dx3．已知Cn+17﹣Cn7=Cn8，那么n的值是（）A．12 B．13 C．14 D．154．如果随机变量ξ～N（0，σ2），且P（﹣2＜ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.45．定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“H函数”，给出下列函数：①y=﹣x2+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=其中“H函数”的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．16．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位③线性回归方程必过；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=13.079，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是（）本题可以参考独立性检验临界值表A．0 B．1 C．2 D．37．已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．8．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A．e2f（﹣2）＞f（0），f（2）＞e2f（0）B．e2f（﹣2）＜f（0），f（2）＜e2f（0）C．e2f（﹣2）＞f（0），f（2）＜e2f（0）D．e2f（﹣2）＜f（0），f（2）＞e2f（0）9．编号为A、B、C、D、E的五个小球放在如图所示的五个盒子中，要求每个盒子只能放一个小球，且A不能放1，2号，B必需放在与A相邻的盒子中，则不同的放法有（）种．A．42 B．36 C．30 D．2810．在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（）A．120 B．168 C．204 D．21611．执行某个程序，电脑会随机地按如下要求给图中六个小圆涂色．①有五种给定的颜色供选用；②每个小圆涂一种颜色，且图中被同一条线段相连两个小圆不能涂相同的颜色．若电脑完成每种涂色方案的可能形相同，则执行一次程序后，图中刚好有四种不同的颜色的概率是（）A ．B ．C ．D ．12．抛物线y 2=2x 的内接△ABC 的三条边所在直线与抛物线x 2=2y 均相切，设A ，B 两点的纵坐标分别是a ，b ，则C 点的纵坐标为（ ） A ．a+b B ．﹣a ﹣b C ．2a+2b D ．﹣2a ﹣2b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算（用数字作答）：+++…+= ．14．的展开式中含x 5的项的系数为 （用数字作答）．15．已知函数f （x ）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下左表，f′（x ）为f （x ）的导函数，函数y=f′（x ）的图象如图所示，若两正数a ，b 满足f （2a+b ）＜1，则的取值范围是 ．16．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f′（x ）﹣f （x ）=（1﹣2x ）e ﹣x ，且f （0）=0则下列命题正确的是 ．（写出所有正确命题的序号） ①f （x ）有极大值，没有极小值；②设曲线f （x ）上存在不同两点A ，B 处的切线斜率均为k ，则k 的取值范围是；③对任意x 1，x 2∈（2，+∞），都有恒成立；④当a ≠b 时，方程f （a ）=f （b ）有且仅有两对不同的实数解（a ，b ）满足e a ，e b 均为整数．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ=﹣2． （Ⅰ）求C 1和C 2在直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）已知直线l ：y=x 和曲线C 1交于M ，N 两点，求弦MN 中点的极坐标．18．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，A 1在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA 1⊥AC 1（1）求证：AC 1⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A ﹣A 1B ﹣C 的余弦值的大小．19．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A 、B 、C 、D 四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为， （1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X ，求X 的分布列和期望．20．已知等差数列{a n }满足a 5=a 2+a 3，a 13=13． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =，数列{b n }前n 项和为S n ，证明：﹣1＜S n ＜．21．已知椭圆C：，左焦点，且离心率（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．22．设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（Ⅰ）若对定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若b=﹣1，证明对任意的正整数n，不等式成立．江西省赣州市2017-2018学年高二下学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设（1+2i）（a+i）的共轭复数是它本身，其中a为实数，则a=（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】由（1+2i）（a+i）=a﹣2+（1+2a）i，又知（1+2i）（a+i）的共轭复数是它本身，可得a﹣2+（1+2a）i是实数，即虚部等于0，求解即可得答案．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（1+2a）i，∵（1+2i）（a+i）的共轭复数是它本身，∴a﹣2+（1+2a）i是实数，即1+2a=0，解得a=﹣．故选：D．2．下列值等于1的积分是（）A． xdx B．（x+1）dx C． 1dx D．dx【考点】69：定积分的简单应用．【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可．【解答】解：选项A， xdx=x2=，不满足题意；选项B，（x+1）dx=（x2+x）=+1=，不满足题意；选项C， 1dx=x=1﹣0=1，满足题意；选项D，dx=x=﹣0=，不满足题意；故选C．3．已知Cn+17﹣Cn7=Cn8，那么n的值是（）A．12 B．13 C．14 D．15【考点】D5：组合及组合数公式．【分析】根据题意，由组合数的性质，可得Cn 8+Cn7=Cn+18，即Cn+17=Cn+18，再结合组合数的性质，分析可得答案．【解答】解：根据题意，C n+17﹣Cn7=Cn8，变形可得，Cn+17=Cn8+Cn7，由组合数的性质，可得Cn 8+Cn7=Cn+18，即Cn+17=Cn+18，进而可得8+7=n+1，解可得n=14，故选C．4．如果随机变量ξ～N（0，σ2），且P（﹣2＜ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】本题考查正态分布曲线的性质，随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），由此知曲线的对称轴为Y轴，P（﹣2≤ξ≤2）=2P（﹣2＜ξ≤0），又P（ξ＞2）= [1﹣P（﹣2≤ξ≤2）]，再由P（﹣2＜ξ≤0）=0.4，可得答案．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，∴P（﹣2≤ξ≤2）=0.8∴P（ξ＞2）= [1﹣P（﹣2≤ξ≤2）]= [1﹣0.8]=0.1．故选A．5．定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“H函数”，给出下列函数：①y=﹣x2+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=其中“H函数”的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】3F：函数单调性的性质；3L：函数奇偶性的性质．【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=﹣x2+x+1的对称轴是x=，则函数在定义域上不单调，不满足条件．②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；y′=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0，函数单调递增，满足条件．③y=e x+1为增函数，满足条件．④f（x）=．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故选：C．6．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位③线性回归方程必过；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=13.079，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是（）本题可以参考独立性检验临界值表A．0 B．1 C．2 D．3【考点】BO：独立性检验的应用；BK：线性回归方程．【分析】根据方差是表示一组数据波动大小的量，判断①正确；根据回归方程的系数判断x与y是负相关，得②错误；根据线性回归方程必过样本中心点，判断③正确；根据观测值与临界值的关系，判断④正确．【解答】解：对于①，根据方差是表示一组数据波动大小的量，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，①正确；对于②，设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，②错误对于③，线性回归方程必过样本中心点，③正确；对于④，在2×2列联表中，计算得K2=13.079＞10.828，对照临界值表知，有99.9%的把握确认这两个变量间有关系，④正确．综上，其中错误序号是②，共1个．故选：B．7．已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数y=﹣xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可．【解答】解：由函数y=﹣xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增；当﹣1＜x＜0时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减；当0＜x＜1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减；当x＞1时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增．综上所述，y=f （x ）的图象可能是B ， 故选：B ．8．设函数f （x ）的导函数为f′（x ），且f′（x ）＜f （x ）对于x ∈R 恒成立，则（ ） A ．e 2f （﹣2）＞f （0），f （2）＞e 2f （0） B ．e 2f （﹣2）＜f （0），f （2）＜e 2f （0） C ．e 2f （﹣2）＞f （0），f （2）＜e 2f （0） D ．e 2f （﹣2）＜f （0），f （2）＞e 2f （0） 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g （x ）=，利用导数判断其单调性即可得出．【解答】解：令g （x ）=，则g′（x ）=＜0．∴函数g （x ）在R 上单调递减，故g （﹣2）＞g （0），即＞，即e 2f （﹣2）＞f （0），g （2）＜g （0），即＜，即f （2）＜e 2f （0），故选：C ．9．编号为A 、B 、C 、D 、E 的五个小球放在如图所示的五个盒子中，要求每个盒子只能放一个小球，且A 不能放1，2号，B 必需放在与A 相邻的盒子中，则不同的放法有（ ）种．A ．42B ．36C ．30D ．28【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，A 不能放1，2号，则A 可以放在3、4、5号盒子，但“A 在4、5号盒子时”与“A 在3号盒子时”，B 的放法情况数目不同，据此分两种情况讨论，分别求得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，A 不能放1，2号，则A 可以放在3、4、5号盒子， 分2种情况讨论：①当A 在4、5号盒子时，B 有1种放法，剩下3个有A 33=6种不同放法，此时，共有2×1×6=12种情况；3=6种不同放法，此时，共有1×3×6=18②当A在3号盒子时，B有3种放法，剩下3个有A3种情况；由加法原理，计算可得共有12+18=30种不同情况；故选C．10．在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（）A．120 B．168 C．204 D．216【考点】D3：计数原理的应用．【分析】本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三3，当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有个，确定是两个三位数共有2C92个．相加得到结果．递减一种结果，共有C9【解答】解：由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序确定是两个三位数，3=168，共有2C92=36个，当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C9根据分类计数原理知共有168+36=204故选C11．执行某个程序，电脑会随机地按如下要求给图中六个小圆涂色．①有五种给定的颜色供选用；②每个小圆涂一种颜色，且图中被同一条线段相连两个小圆不能涂相同的颜色．若电脑完成每种涂色方案的可能形相同，则执行一次程序后，图中刚好有四种不同的颜色的概率是（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】分别讨论满足条件的涂色的总数，以及刚好有四种不同的颜色的数目，利用概率公式进行求解即可．【解答】解：分两步来进行，先涂A、B、C，再涂D、E、F．①若5种颜色都用上，先涂A、B、C，方法有种；再涂D、E、F中的两个点，方法有种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有••2=720种．②若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有种；先涂A、B、C，方法有种；再涂D、E、F中的1个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有••3•3=1080种．③若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有种；先涂A、B、C，方法有种；再涂D、E、F，方法有2种，故此时方法共有••2=120 种．综上可得，不同涂色方案共有 720+1080+120=1920 种，则图中刚好有四种不同的颜色的概率是=．故选：A12．抛物线y2=2x的内接△ABC的三条边所在直线与抛物线x2=2y均相切，设A，B两点的纵坐标分别是a，b，则C点的纵坐标为（）A．a+b B．﹣a﹣b C．2a+2b D．﹣2a﹣2b【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由题意分别设出A（），B（），C（）．然后由两点坐标分别求得三角形三边所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，和抛物线方程联立，由判别式等于0得到a，b，c所满足的条件，把c用含有a，b的代数式表示得答案．【解答】解：如图：设A（），B（），C（）．则，∴AB 所在直线方程为，即．联立，得：（b+a ）x 2﹣4x ﹣2ab=0．则△=（﹣4）2+8ab （a+b ）=0，即2+ab （a+b ）=0． 同理可得：2+ac （a+c ）=0，2+bc （b+c ）=0． 两式作差得：c=﹣a ﹣b ． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算（用数字作答）：+++…+= 1139 ．【考点】D5：组合及组合数公式．【分析】利用=求解．【解答】解： +++…+=（+）+++…+﹣=（+）++…+﹣1=（+）+…+﹣1=+…+﹣1=…=+﹣1=﹣1=1139．故答案为：1139．14．的展开式中含x 5的项的系数为 36 （用数字作答）．【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】先求出的展开式的通项为T r+1==，然后令9﹣2r=5可求r ，代入即可求解【解答】解：由题意可得，的展开式的通项为T r+1==令9﹣2r=5可得r=2即展开式中含x 5的项的系数为=36故答案为：3615．已知函数f （x ）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下左表，f′（x ）为f （x ）的导函数，函数y =f′（x ）的图象如图所示，若两正数a ，b 满足f （2a+b ）＜1，则的取值范围是 （） ．【考点】62：导数的几何意义；3O ：函数的图象；I3：直线的斜率．【分析】由图得导数大于零，函数单增；导数小于0，函数单减；用单调性脱去f （2a+b ）＜1的符号f ，用线性规划求出的范围【解答】解：由图知函数f （x ）在[﹣2，0]上，f′（x ）＜0，函数f （x ）单减； 函数f （x ）在[0，+∞）上，f′（x ）＞0，函数f （x ）单增；，表示点（a ，b ）与点（﹣3，﹣3）连线斜率，故的取值范围为（）．16．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f′（x ）﹣f （x ）=（1﹣2x ）e ﹣x ，且f （0）=0则下列命题正确的是 ①②③④ ．（写出所有正确命题的序号） ①f （x ）有极大值，没有极小值；②设曲线f （x ）上存在不同两点A ，B 处的切线斜率均为k ，则k 的取值范围是；③对任意x 1，x 2∈（2，+∞），都有恒成立；④当a ≠b 时，方程f （a ）=f （b ）有且仅有两对不同的实数解（a ，b ）满足e a ，e b 均为整数．【考点】2K ：命题的真假判断与应用；6D ：利用导数研究函数的极值．【分析】由已知中函数f （x ）满足f′（x ）﹣f （x ）=（1﹣2x ）e ﹣x ，可得f （x ）=xe ﹣x ，f′（x ）=（1﹣x ）e ﹣x ，逐一分析四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：①∵f′（x ）﹣f （x ）=（1﹣2x ）e ﹣x ， ∴f （x ）=xe ﹣x ，f′（x ）=（1﹣x ）e ﹣x ，令f′（x ）＞0，解得：x ＜1，令f′（x ）＜0，解得：x ＞1， ∴函数f （x ）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减， ∴函数f （x ）的极大值是f （1），没有极小值； 故①正确；②∵k=f′（x ）=（1﹣x ）e ﹣x ， ∴f″（x ）=e ﹣x （x ﹣2），令f″（x ）＞0，解得：x ＞2，令f″（x ）＜0，解得：x ＜2， ∴f′（x ）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增，∴f′（x ）最小值=f′（x ）极小值=f′（2）=﹣，而x→∞时，f′（x ）→0，∴k 的取值范围是；故②正确；③结合①②函数f（x）在（2，+∞）上是凹函数，∴恒成立，故③正确；④当a≠b时，方程f（a）=f（b），不妨令a＜b，则a∈（0，1），则e a∈（1，e），又有e a为整数．故e a=e b=2，同理a＞b时，也存在一对实数（a，b）使e a=e b=2，故有两对不同的实数解（a，b）满足e a，e b均为整数．故④正确；故答案为：①②③④三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ=﹣2．（Ⅰ）求C1和C2在直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）已知直线l：y=x和曲线C1交于M，N两点，求弦MN中点的极坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）消调参数θ，即可得到普通方程，由极坐标方程即可直接得到普通方程；（Ⅱ）根据韦达定理，即可求出弦MN中点的坐标，再化为极坐标即可．【解答】解：（Ⅰ）由得，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=cos2θ+sin2θ=1，所以C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1．因为x=ρcosθ，所以C2的普通方程为x=﹣2．（Ⅱ）由，得x2﹣3x+2=0，，弦MN中点的横坐标为，代入y=x得纵坐标为，弦MN中点的极坐标为：18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA1⊥AC1（1）求证：AC1⊥平面A1BC；（2）求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值的大小．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MJ：与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（1）根据题意可知BC⊥AC，而A1D⊥底ABC，所以A1D⊥BC，A1D∩AC=D，从而BC⊥面A 1AC，则BC⊥AC1，又因为BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，满足线面垂直的判定定理，从而AC1⊥底A1BC；（2）设AC1∩A1C=O，作OE⊥A1B于E，连AE，由（1）所以A1B⊥AE，根据二面角的平面角的定义可知∠AEO为二面角平面角，在Rt△A1BC中求出OE，AO，AE，从而求出二面角余弦．【解答】解：（1）证明：∠BCA=90°得BC⊥AC，因为A1D⊥底ABC，所以A1D⊥BC，A1D∩AC=D，所以BC⊥面A1AC，所以BC⊥AC1因为BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，所以AC1⊥底A1BC（2）设AC1∩A1C=O，作OE⊥A1B于E，连AE，由（1）所以A1B⊥AE，所以∠AEO为二面角平面角，在Rt△A1BC中，所以，所以二面角余弦19．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）该生被录取，则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有的项．（2）分析此问题时要注意有顺序，所以X的所有取值为：2，3，4，5．分别计算其概率得出分布列，以及它的期望值．【解答】解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．所以该生被录取的概率为P= [（）4+C（）3•]=，（2）该生参加考试的项数X的所有取值为：2，3，4，5．P（X=2）=×=；P（X=3）=C•••=；P（X=4）=C••（）2•=；P（X=5）=1﹣﹣﹣=．该生参加考试的项数ξ的分布列为：EX=2×+3×+4×+5×=．20．已知等差数列{an }满足a5=a2+a3，a13=13．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =，数列{b n }前n 项和为S n ，证明：﹣1＜S n ＜．【考点】8E ：数列的求和；8K ：数列与不等式的综合．【分析】（1）等差数列{a n }的公差设为d ，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）求出b n ==，由＜=﹣，＞=﹣，运用裂项相消求和，即可得证．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ， a 5=a 2+a 3，a 13=13，可得 a 1+4d=2a 1+3d ，a 1+12d=13， 解得a 1=d=1，a n =a 1+（n ﹣1）d=n ，n ∈N*；（2）证明：b n ==，数列{b n }前n 项和为S n ，由＜=﹣，可得S n ＜1﹣0+﹣1+﹣+…+﹣==，由＞=﹣，可得S n ＞﹣1+﹣+…+﹣=﹣1=﹣1，则﹣1＜S n ＜成立．21．已知椭圆C ：，左焦点，且离心率（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：y=kx+m （k ≠0）与椭圆C 交于不同的两点M ，N （M ，N 不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（I ）由题设知c=，，由此能求出椭圆C 的方程．（II ）设M （x 1，y 1） N （x 2，y 2），右顶点A （2，0），，由以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ，知（2﹣x 2）（2﹣x 1）+y 1y 2=0，由y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2，知4+（km ﹣2）（x 1+x 2）+（1+k 2）x 1x 2+m 2=0．把y=kx+m 代入椭圆方程，得（+k 2）x 2+2kmx+m 2﹣1=0，再由韦达定理结合题设条件能求出该定点坐标．【解答】（I ）解：∵椭圆C ：，左焦点，且离心率，∴c=，，∴a=2，b 2=4﹣3=1，∴椭圆C 的方程．（II ）证明：设M （x 1，y 1） N （x 2，y 2）， 右顶点A （2，0），∵以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ， ∴（2﹣x 2）（2﹣x 1）+y 1y 2=0，∵y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2 ∴4+（km ﹣2）（x 1+x 2）+（1+k 2）x 1x 2+m 2=0 ①把y=kx+m 代入椭圆方程，得+（kx+m ）2=1，整理，得（+k 2）x 2+2kmx+m 2﹣1=0，所以x 1x 2=，x 1+x 2=﹣，②把②入①，得4+（km﹣2）•（﹣）+（1+k2）•+m2=（5m2+16km+12k2）÷（1+4k2）=（m+2k）（5m+6k）÷（1+4k2）=0所以m+2k=0 或者 m+k=0当m+2k=0时，直线y=kx﹣2k恒过点（2，0）和A点重合显然不符合当m+k=0时直线恒过点（，0）符合题意所以该定点坐标就是（，0）．22．设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（Ⅰ）若对定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若b=﹣1，证明对任意的正整数n，不等式成立．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由x+1＞0，得f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．因为对x∈（﹣1，+∞），都有f（x）≥f（1），所以f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0由此能求出b．（Ⅱ）由，函数f（x）在定义域上是单调函数，知f′（x）≥0或f′（x）≤0在（_1，+∞）上恒成立．由此能求出实数b的取值范围．（Ⅲ）当b=1时，函数f（x）=x2﹣ln（x+1）．令h（x）=f（x）﹣x3=﹣x3+x2﹣ln（x+1），则．由此入手能够证明．【解答】解：（Ⅰ）由x+1＞0，得x＞﹣1．∴f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．…因为对x∈（﹣1，+∞），都有f（x）≥f（1），∴f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0．…，∴2+=0，解得b=﹣4．…经检验，b=﹣4时，f（x）在（﹣1，1）上单调减，在（1，+∞）上单调增．f（1）为最小值．故得证．…（Ⅱ）∵=，又函数f（x）在定义域上是单调函数，∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（_1，+∞）上恒成立．…若f′（x）≥0，则2x+≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，即b≥﹣2x2﹣2x=﹣2（x+）2+恒成立，由此得b；…若f′（x）≤0，则2x+≤0在（﹣1，+∞）上恒成立，即b≤﹣2x2﹣2x=﹣2（x+）2+恒成立．因在（﹣1，+∞）上没有最小值，∴不存在实数b使f′（x）≤0恒成立．综上所述，实数b的取值范围是[）．…（Ⅲ）当b=﹣1时，函数f（x）=x2﹣ln（x+1）．令h（x）=f（x）﹣x3=﹣x3+x2﹣ln（x+1），则=﹣．当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，所以函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．又h（0）=0，∴当x∈[0，+∞）时，恒有h（x）＜h（0）=0，即x2﹣ln（x+1）＜x3恒成立．故当x∈（0，+∞）时，有f（x）＜x3．…∵k∈N*，∴．取，则有．∴．所以结论成立．…。

江西省赣州市2017-2018学年高二下学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．（5分）已知i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，则z的共轭复数=（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i2．（5分）用数学归纳法证明某时，左式为+cosα+cos3α+…+cos（2n﹣1）α（α≠kπ，k∈Z，n∈N*）在验证n=1时，左边所得的代数式为（）A．B．+cosαC．+cosα+cos3αD．+cosα+cos3α+cos5α3．（5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生25 10 35女生 5 10 15合计30 20 50根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是（）参考数据：．临界值表：P（Χ2≥k）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828A．97.5% B．99% C．99.5% D．99.9%4．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5D．35．（5分）一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于（）A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.8046．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．67．（5分）从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）A．40个B．36个C．28个D．60个8．（5分）由抛物线y2=4x与直线y=x﹣3围成的平面图形的面积为（）A．B．C．64 D．329．（5分）设，那么的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣110．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1D．e11．（5分）将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b．则使不等式a﹣2b+10＞0成立的事件发生的概率等于（）A．B．C．D．12．（5分）下列中①若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；②直线5x﹣2y+1=0与函数f（x）=sin（2x+）的图象不相切；③若z∈C（C为复数集），且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3；④定积分dx=4π．正确的有（）A．①④B．③④C．②④D．②③④二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．（5分）复数在复平面中的第象限．14．（5分）有5名数学实习老师，现将他们分配到2014-2015学年高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．15．（5分）如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则P（B|A）=．16．（5分）已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞），当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．18．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．19．（12分）给出四个等式：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…．猜测第n（n∈N*）个等式，并用数学归纳法证明．20．（12分）某同学参加高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0 1 2 3p x y（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．21．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数；回归直线的方程是：=bx+a．其中对应的回归估计值b=，a=﹣b；参考数据：=77.5，=85，（x1﹣）2≈1050，（y1﹣）2≈456；（x1﹣）（y1﹣）≈688，≈32.4，≈21.4，≈23.5．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若a=﹣1，求证：当x＞1时，f（x）＜x3．江西省赣州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．（5分）已知i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，则z的共轭复数=（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的除法运算法则化简求解即可．解答：解：i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，可得z===+i．z的共轭复数=﹣i．故选：B．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的定义，基本知识的考查．2．（5分）用数学归纳法证明某时，左式为+cosα+cos3α+…+cos（2n﹣1）α（α≠kπ，k∈Z，n∈N*）在验证n=1时，左边所得的代数式为（）A．B．+cosαC．+cosα+cos3αD．+cosα+cos3α+cos5α考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：在验证n=1时，令左边n=1可得：所得的代数式为：．解答：解：由于左式为+cosα+cos3α+…+cos（2n﹣1）α（α≠kπ，k∈Z，n∈N*），因此在验证n=1时，左边所得的代数式为：．故选：B．点评：本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力，属于基础题．3．（5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生25 10 35女生 5 10 15合计30 20 50根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是（）参考数据：．临界值表：P（Χ2≥k）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828A．97.5% B．99% C．99.5% D．99.9%考点：线性回归方程．分析：根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到结论．解答：解：根据所给的列联表，得到Χ2=≈6.349＞5.024，对照临界值表可知有97.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．故选：A．点评：本题考查独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个基础题．4．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5D．3考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题．分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可．解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x=3对称，∴2a﹣3+a+2=6，∴3a=7，∴a=，故选A．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目．5．（5分）一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于（）A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.804考点：离散型随机变量的期望与方差．分析：把每个牛是否得病作为一个实验，牛发病的概率是0.02，且牛是否发病相互之间没有影响，得到发病的牛的头数为ξ服从二项分布，根据方差的公式Dξ=npq，得到结果．解答：解：∵由题意知该病的发病率为0.02，且每次实验结果都是相互独立的，∴ξ～B（10，0.02），∴由二项分布的方差公式得到Dξ=10×0.02×0.98=0.196．故选C点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单得多．6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x ﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．7．（5分）从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）A．40个B．36个C．28个D．60个考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：由题意知能被5整除的三位数末位必为0或5．当末位是0时，没有问题，但当末位是5时，注意0不能放在第一位，所以要分类解决，①末位为0的三位数其首次两位从1～5的5个数中任取2个排列②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，再挑十位，相加得到结果．解答：解：其中能被5整除的三位数末位必为0或5．①末位为0的三位数其首次两位从1～5的5个数中任取2个排列而成方法数为A52=20，②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有C41种挑法，再挑十位，还有C41种挑法，∴合要求的数有C41•C41=16种．∴共有20+16=36个合要求的数，故选：B．点评：本题考查排列组合、计数原理，是一个综合题，本题主要抓住能被5整除的三位数的特征（末位数为0，5），还要注意分类讨论及排数字时对首位非0的限制．8．（5分）由抛物线y2=4x与直线y=x﹣3围成的平面图形的面积为（）A．B．C．64 D．32考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：由题设条件，需要先求出抛物线y2=2x与直线y=4﹣x的交点坐标，积分时可以以x 作为积分变量，也可以y作为积分变量，故本题法一以x为积分变量，法2以y作为积分变量分别计算出两曲线所围成的图形的面解答：解：联立方程组，得，y1=﹣2，y2=6，∵抛物线y2=4x与直线y=x﹣3所围成的平面图形的面积，∴S==（y2+3y﹣）|=；故选：A．点评：本题考查定积分，解答本题关键是确定积分变量与积分区间，有些类型的题积分时选择不同的积分变量，故求解时要注意恰当地选择积分变量达到简单解题的目的．9．（5分）设，那么的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1考点：二项式定理．专题：计算题．分析：令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=﹣1可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=35．解得a0+a2+a4和a1+a3的值，即可求得要求式子的值．解答：解：令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=﹣1可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=35．两式相加除以2求得a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得a1+a3=﹣121，故=，故选A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1D．e考点：导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．专题：计算题．分析：已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；解答：解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；点评：此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导，把f′（1）看成一个常数，就比较简单了；11．（5分）将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b．则使不等式a﹣2b+10＞0成立的事件发生的概率等于（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9种结果，满足条件的事件是使不等式a﹣2b+10＞0成立的，即2b﹣a＜10，列举出当当b=1，2，3，4，5，6，7，8，9时的所有的结果，得到概率．解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9=81种结果，满足条件的事件是使不等式a﹣2b+10＞0成立的，即2b﹣a＜10当b=1，2，3，4，5时，a有9种结果，共有45种结果，当b=6时，a有7种结果当b=7时，a有5种结果当b=8时，a有3种结果当b=9时，a有1种结果∴共有45+7+5+3+1=61种结果∴所求的概率是故选D．点评：本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数时，因为包含的情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏．12．（5分）下列中①若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；②直线5x﹣2y+1=0与函数f（x）=sin（2x+）的图象不相切；③若z∈C（C为复数集），且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3；④定积分dx=4π．正确的有（）A．①④B．③④C．②④D．②③④考点：的真假判断与应用．专题：综合题；推理和证明．分析：①若f′（x0）=0，且在x=x0的左右附近导数的符号改变，则函数y=f（x）在x=x0取得极值判断即可；②求出导数f′（x），由切线的斜率等于f′（x0），根据三角函数的值域加以判断即可；③|z+2﹣2i|=1表示圆，|z﹣2﹣2i|的几何意义两点的距离，通过连接两定点，由原定特性即可求出最小值；④令y=，则x2+y2=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的．解答：解：①若f′（x0）=0，且在x=x0的左右附近导数的符号改变，则函数y=f（x）在x=x0取得极值，故不正确；②若直线与函数的图象相切，则f′（x0）=2.5，即2cos（2x0+）=2.5，显然x0不存在，故②正确；③|z+2﹣2i|=1的几何意义是以A（﹣2，2）为圆心，半径为1的圆，|z﹣2﹣2i|的几何意义是圆上一点到点B（2，2）的距离，连接AB并延长，显然最小值为AB﹣1=4﹣1=3，故③正确；④令y=，则x2+y2=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，定积分dx表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的，故定积分dx=×π×42=4π，故④正确．故选：D点评：本题以的真假为载体考查函数的极值概念，导数的应用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道中档题．二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．（5分）复数在复平面中的第四象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后判断即可．解答：解：复数===．即复数对应点为：（）在第四象限．故答案为：四．点评：本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．14．（5分）有5名数学实习老师，现将他们分配到2014-2015学年高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有90种（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，先把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，计算其分组的方法种数，进而将三个组分到3个班，即进行全排列，计算可得答案．解答：解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有=15种方法，再将3组分到3个班，共有•A33=90种不同的分配方案，故答案为：90．点评：本题考查排列、组合的综合运用，注意此类题目一般顺序为先组合、再排列．15．（5分）如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=．考点：条件概率与独立事件．专题：计算题；概率与统计．分析：根据几何概型计算公式，分别算出P（AB）与P（A），再由条件概率计算公式即可算出P（B|A）的值．解答：解：根据题意，得P（AB）===∵P（A）==∴P（B|A）==故答案为：点评：本题给出圆内接正方形，求条件概率P（B|A），着重考查了几何概型和条件概率计算公式等知识，属于中档题．16．（5分）已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞），当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于1．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性，确定f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a的值．解答：解：∵f（x）是奇函数，x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，∴f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，当x∈（0，2）时，f′（x）=﹣a，令f′（x）=0得x=，又a＞，∴0＜＜2，令f′（x）＞0，则x＜，∴f（x）在（0，）上递增；令f′（x）＜0，则x＞，∴f（x）在（，2）上递减，∴f（x）max=f（）=ln﹣a•=﹣1，∴ln=0，得a=1．故答案为：1．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．解答：解：（1）由f（x）=x3+x﹣16，得f′（x）=3x2+1，∴f′（2）=3×22+1=13，∴曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程为y﹣6=13（x﹣2），即13x﹣y﹣20=0；（2）设切点为（），，∴切线方程为，∵切线经过原点，∴，∴，x0=﹣2．则f′（﹣2）=13，∴所求的切线方程为y=13x；切点为（﹣2，﹣26）．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题．19．（12分）给出四个等式：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…．猜测第n（n∈N*）个等式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由已知猜测：第n（n∈N*）个等式为：1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1•n2=（﹣1）n﹣1（1+2+…+n）=（﹣1）n﹣1．利用数学归纳法证明即可．解答：解：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…．猜测第n（n∈N*）个等式为：1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1•n2=（﹣1）n﹣1（1+2+…+n）=（﹣1）n﹣1．下面利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，1=1，成立；（2）假设当n=k（k∈N*）时，等式1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1•k2=成立．则当n=k+1时，左边=1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1•k2+（﹣1）k•（k+1）2=+（﹣1）k•（k+1）2=（﹣1）k=（﹣1）k•=右边，∴当n=k+1时，等式成立．综上可得：第n（n∈N*）个等式为：1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1•n2=（﹣1）n﹣1（1+2+…+n）=（﹣1）n﹣1成立．点评：本题考查了数学归纳法应用，考查了观察分析猜想归纳能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）某同学参加高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q （p ＜q ），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3pxy（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p ，q 的值； （Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望E ξ．考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题： 概率与统计．分析： （Ⅰ）用A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．由题意得P （A 1）=，P （）=，由此能求出该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率．从而能够求出p ，q 的值．（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，由此能够求出数学期望E ξ． 解答： 解：用A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3． 由题意得得P （A 1）=，P （）=，（Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为P=1﹣P （）=1﹣=P （）=（1﹣P （A 1））（1﹣P （A 2））（1﹣P （A3））=（1﹣p ）（1﹣q ）=及P （A 1A 2A 3）=P （A 1）P （A 2）P （A 3）=pq=得p=，q=．（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3， P （ξ=0）=，P （ξ=1）=××+××+××=，P （ξ=2）=××+××+××=，ξ 0123p i∴E （ξ）=0×+1×+2×+3×=．∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为．点评： 本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年2015届高考的必考题型之一．解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用．21．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数；回归直线的方程是：=bx+a．其中对应的回归估计值b=，a=﹣b；参考数据：=77.5，=85，（x1﹣）2≈1050，（y1﹣）2≈456；（x1﹣）（y1﹣）≈688，≈32.4，≈21.4，≈23.5．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）按分层抽样原理，计算应抽取的男生、女生各是多少；（Ⅱ）根据题目中的公式，计算相关系数r，判断线性相关性；求出线性回归方程中的系数，得出回归方程．解答：解：（Ⅰ）按男女生分层抽样的结果是，女生应抽取（人），男生应抽取（人）；…（4分）（Ⅱ）变量y与x的相关系数是r===≈0.99；…（6分）可以看出，物理与数学成绩是高度正相关；…（8分）【若以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图，从散点图可以看出这些点大至分布在一条直线附近，并且在逐步上升，所以物理与数学成绩是高度正相关；】设y与x的线性回归方程是，根据所给的数据，可以计算出b===0.66，a=﹣b=85﹣0.66×77.5=33.85；…（10分）所以y与x的回归方程是．…（12分）点评：本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了线性相关系数的计算问题，是基础题目．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若a=﹣1，求证：当x＞1时，f（x）＜x3．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）设，证明F（x）在（1，+∞）上为增函数，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为x＞0…（1分）…（2分）若a≤0时，f'（x）≥0恒成立，即f（x）的单调区间为（0，+∞）…（4分）若a＞0时，令f'（x）＞0，得…（5分）即f（x）的单调区间为，减区间为…（6分）（Ⅱ）证明：设…（7分）则…（8分）∴F（x）在（1，+∞）上为增函数，且…（10分）即F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立…（11分）∴当x＞1，…（12分）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数，求导数是关键．。