北京师范大学附属中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题

北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,0,2,1,1A B =-=-，则集合A B = （）A ．{}1-B ．{}1,0,2-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,22．设全集R U =，{}02M x x =≤≤，{}13N x x =≤≤．如图所示，阴影部分所表示的集合为（）A ．()(),03,∞∞-⋃+B ．(][),03,∞∞-⋃+C ．()(),12,+∞∞-⋃D ．(][),12,∞∞-⋃+3．设函数()()2,0,0x x f x g x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩，()f x 是奇函数，则()3g 的值是（）A ．18-B ．8-C ．18D ．84．已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=5．若,a b R ∈，且0ab ≠，则“a b >”是“11a b<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，要求每箱售价不得低于50元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．要获得最大利润，每箱苹果的售价应定为（）A ．55元B ．60元C ．65元D ．70元7．关于x 的方程2210x ax -+=的两个实数根12,x x ，满足12012x x <<<<，则常数a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若()()()2,1,3a g b g c g =-==，则,,a b c的大小关系为（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．b a c<<D ．b c a<<9．对任意[]()()21,1,442a f x x a x a ∈-=+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围是（）A ．()(),13,-∞+∞B ．()1,3C ．()(),12,-∞+∞ D ．()1,210．函数()()120f x x ax a =++->的定义域为R ，最小值为()M a ，给出以下四个结论：①()M a 最小值为1；②()M a 最大值为3；③()f x 在2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；④只有唯一的a值使得()f x 的图象有一条垂直于x 轴的对称轴．其中所有正确结论是（）A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③二、填空题11．已知指数函数()f x 的图象经过点()1,2-，则这个函数的解析式是．12．函数()f x =的定义域是.13．写出一个a 的值，使关于x 的不等式1x a +<恰有两个整数解．a =．14．已知函数()92f x x x =+-，()2,x ∈+∞，当x =时，函数有最小值．15．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的[)1,x k ∈+∞，都存在唯一的()2,x k ∈-∞，使得()2f x =()1f x ，则称函数()f x 是“()V k 型函数”．（i ）()21f x x =+是否为“()1V -型函数”？；（填“是”或“否”）（ii ）若函数()()1,10,1a x x g x a x x a x ⎧+-≥⎪=>⎨⎪-<⎩是“()1V 型函数”，则实数a 的取值范围是．三、解答题16．已知集合{}2560A x x x =-+=，{}2280B x x x =+-=，{}22190C x x ax a =-+-=．(1)求A B ⋂；(2)求实数a 的值，使得A C ⋂≠∅，B C =∅ ．17．解关于x 的不等式()2220x a x a --->．18．已知函数()231x f x x -=-(1)判断函数()f x 是否具有奇偶性？并说明理由；(2)用函数单调性的定义证明：()f x 在(1,)+∞上是增函数；(3)求函数()f x 在区间[]2,5上的值域．19．设函数()222f x x tx =-+，其中R t ∈．(1)若()f x 有两个零点．求实数t 的取值范围；(2)求()f x 在区间[]0,4上的最值．20．已知函数()()()2212,,1k f x x a g x h x x x =-+==+．(1)当1k =-时，方程()()f x g x =在()1,2上有实根，求实数a 的取值范围；(2)对任意R x ∈，不等式()()h x f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(3)关于x 的不等式()()h x g x >的解集中的正整数解恰有3个，直接写出实数k 的取值范围．21．设集合{}1234,,,A a a a a =，其中1234,,,a a a a 是正整数，记1234A S a a a a =+++．对于i a ，14()j a A i j ∈≤<≤，若存在整数k ，满足()i j A k a a S +=，则称i j a a +整除A S ，设A n 是满足i j a a +整除A S 的数对()(),i j i j <的个数．（I ）若{}1,2,4,8A =，{}1,5,7,11B =，写出A n ，B n 的值;（Ⅱ）求A n 的最大值;（Ⅲ）设A 中最小的元素为a ，求使得A n 取到最大值时的所有集合A ．。

2017-2018学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={﹣2，0，2}，则（）A．N?M B．M∪N=M C．M∩N={2}D．M∩N={0，2}2．（4分）若函数f（x）=（a2﹣2a﹣3）x2+（a﹣3）x+1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是（）A．a=﹣1或3 B．a=﹣1 C．a＞3或a＜﹣1 D．﹣1＜a＜33．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．g（x）=﹣2x C．h（x）=﹣3x+1 D．4．（4分）给定四个函数；；y=x3+1；其中是奇函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（4分）函数y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（0，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）6．（4分）函数y=ax2+bx与y=ax+b，（ab≠0）的图象只能是（）A．B．C．D．7．（4分）设a=，b=，c=lg，则a，b，c之间的关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜b＜c8．（4分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（e，+∞）B． C．（2，3） D．（e，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9．（4分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是．10．（4分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．11．（4分）若函数f（x）=x2+px+3在（﹣∞，1]上单调递减，则p的取值范围是．12．（4分）log425﹣2log410+log45?log516的值是．13．（4分）函数f（x）=的定义域为．14．（4分）计算：=．三、解答题：请写出解题步骤（共24分）15．（6分）已知函数的定义域为A，g（x）=x2+1的值域为B．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求A∩（?U B）16．（6分）已知集合A={x|2a﹣1＜x＜2﹣a}，B={x|x2﹣x﹣6≥0}（1）若A∩B=?，求a的取值范围；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．17．（6分）计算：．18．（6分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c最小值为﹣1，且f（2﹣x）=f（2）+f （x）．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上单调，求m的取值范围．2017-2018学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={﹣2，0，2}，则（）A．N?M B．M∪N=M C．M∩N={2}D．M∩N={0，2}【分析】由M与N求出两集合的并集，交集，并判断出包含关系即可．【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={﹣2，0，2}，∴M∪N={﹣2，0，1，2，3，4}；M∩N={0，2}，N?M，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）若函数f（x）=（a2﹣2a﹣3）x2+（a﹣3）x+1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是（）A．a=﹣1或3 B．a=﹣1 C．a＞3或a＜﹣1 D．﹣1＜a＜3【分析】分类讨论，二次项系数等于0时，二次项系数不等于0时，两种情况进行分析．【解答】解：若a2﹣2a﹣3≠0，则f（x）为二次函数，定义域和值域都为R是不可能的．若a2﹣2a﹣3=0，即a=﹣1或3；当a=3时，f（x）=1不合题意；当a=﹣1时，f（x）=﹣4x+1符合题意．故选：B．【点评】本题考查函数的值域和定义域，体现分类讨论的数学思想方法．3．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．g（x）=﹣2x C．h（x）=﹣3x+1 D．【分析】f（x）=在区间（0，+∞）上是增函数，g（x）=﹣2x、h（x）=﹣3x+1和s（x）在区间（0，+∞）上都是减函数．【解答】解：在A中，f（x）=在区间（0，+∞）上是增函数，故A正确；在B中，g（x）=﹣2x在区间（0，+∞）上是减函数，故B错误；在C中，h（x）=﹣3x+1在区间（0，+∞）上是减函数，故C错误；在D中，s（x）在区间（0，+∞）上是减函数，故D错误．故选：A．【点评】本题考查函数的单调性的判断，考查函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（4分）给定四个函数；；y=x3+1；其中是奇函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用奇函数的定义，对每个函数进行验证，可得结论．【解答】解：∵，∴是奇函数；∵定义域不关于原点对称，∴不是奇函数；∵（﹣x）3+1≠﹣（x3+1），∴不是奇函数；函数的定义域为{x|x≠0}，=，∴是奇函数综上，奇函数的个数为2个故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性的判定，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（4分）函数y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（0，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【分析】由题意根据函数的单调性的定义可得2m＞﹣m+9，由此解得m的范围．【解答】解：∵函数y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），∴2m＞﹣m+9，解得m＞3，故选：C．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．6．（4分）函数y=ax2+bx与y=ax+b，（ab≠0）的图象只能是（）A．B．C．D．【分析】从直线的斜率与截距入手，找出ab的符号，再验证抛物线的对称轴是否适合．【解答】解：A、B中，从直线上看，a、b为正值，∴抛物线的对称轴为＜0，故AB不符合；C、D中，从直线上看，a＜0，b＞0，∴＞0，C，D都适合，但是点（，0）都适合y=ax2+bx与y=ax+b，∴两个函数的图象都过点（，0），只有D适合．故选：D．【点评】本题主要考查函数图象与函数的性质，常见的一次函数与二次函数的性质要熟记．7．（4分）设a=，b=，c=lg，则a，b，c之间的关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜b＜c【分析】分别根据幂函数的单调性和对数函数的性质计算出a，b，c的取值范围即可得到结论．【解答】解：∵幂函数y=x在定义域上单调递增，∴，即b＞a＞0，∵c=lg＜0，∴c＜a＜b．故选：A．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用幂函数的单调性和对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．8．（4分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（e，+∞）B． C．（2，3） D．（e，+∞）【分析】判断函数的单调性以及函数的连续性，利用零点判定定理推出结果即可．【解答】解：函数是单调增函数，也连续函数，因为f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，可得f（2）f（3）＜0，所以函数的零点所在区间为（2，3）．故选：C．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，注意函数的单调性与连续性的判断．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9．（4分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5} ．【分析】由奇函数图象的特征画出此抽象函数的图象，结合图象解题．【解答】解：由奇函数图象的特征可得f（x）在[﹣5，5]上的图象．由图象可解出结果．故答案为{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5}．【点评】本题是数形结合思想运用的典范，解题要特别注意图中的细节．10．（4分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．【分析】先求，，故代入x＞0时的解析式；求出=﹣2，，再求值即可．【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查分段函数的求值问题，属基本题．求f（f（a））形式的值，要由内而外．11．（4分）若函数f（x）=x2+px+3在（﹣∞，1]上单调递减，则p的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【分析】求出二次函数的对称轴方程，由二次函数的减区间，可得在对称轴的右边，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x2+px+3在的对称轴为x=﹣，在（﹣∞，﹣]递减，由题意可得﹣≥1，解得p≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查二次函数的性质：单调性，考查运算能力，属于基础题．12．（4分）log425﹣2log410+log45?log516的值是1．【分析】利用对数、运算法则、换底公式直接求解．【解答】解：log425﹣2log410+log45?log516=+=﹣1+2=1．故答案为：1．【点评】本题考查对数式化简求值，考查对数、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、是基础题．13．（4分）函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1} ．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，且分式的分母不等于0联立不等式组得答案．【解答】解：由，得0＜x≤2且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．故答案为：{x|0＜x≤2且x≠1}．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．14．（4分）计算：=5．【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：=4+1=5．故答案为：5．【点评】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．三、解答题：请写出解题步骤（共24分）15．（6分）已知函数的定义域为A，g（x）=x2+1的值域为B．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求A∩（?U B）【分析】（1）利用函数的定义域能求出集合A，利用函数g（x）=x2+1的值域能求出集合B．（2）由A={x|﹣1≤x＜2}，B={y|y≥1}，求出C U B={y|y＜1}，由此能求出A∩（C U B）．【解答】解：（1）∵函数的定义域为A，∴A={x|}={x|﹣1≤x＜2}，∵g（x）=x2+1的值域为B．∴B={y|y=x2+1}={y|y≥1}．（2）∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={y|y≥1}．∴C U B={y|y＜1}，A∩（C U B）={x|﹣1≤x＜1}．【点评】本题考查集合的求法，考查补集、交集的求法，考查函数性质、交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．（6分）已知集合A={x|2a﹣1＜x＜2﹣a}，B={x|x2﹣x﹣6≥0}（1）若A∩B=?，求a的取值范围；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．【分析】（1）求出B={x|x≥3或x≤﹣2}，由A∩B=?，当A=?时，2a﹣1≥2﹣a，当A≠?时，列出不等式组，由此能求出a的取值范围．（2）由A∪B=B，A?B，当A=?时，2a﹣1≥2﹣a，A≠?时，或，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|2a﹣1＜x＜2﹣a}，B={x|x2﹣x﹣6≥0}={x|x≥3或x≤﹣2}，A∩B=?，∴当A=?时，2a﹣1≥2﹣a，解得a≥1，当A≠?时，，解得﹣．综上，a的取值范围是[﹣，+∞）．（2）∵A∪B=B，∴A?B，当A=?时，2a﹣1≥2﹣a，解得a≥1，A≠?时，或，解得a≤﹣．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、并集、补集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17．（6分）计算：．【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：==第11页（共12页）。

2017-2018学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={﹣2，0，2}，则（）A．N⊆M B．M∪N=M C．M∩N={2}D．M∩N={0，2}2．（4分）若函数f（x）=（a2﹣2a﹣3）x2+（a﹣3）x+1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是（）A．a=﹣1或3 B．a=﹣1 C．a＞3或a＜﹣1 D．﹣1＜a＜33．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．g（x）=﹣2x C．h（x）=﹣3x+1 D．4．（4分）给定四个函数；；y=x3+1；其中是奇函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（4分）函数y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（0，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）6．（4分）函数y=ax2+bx与y=ax+b，（ab≠0）的图象只能是（）A．B．C．D．7．（4分）设a=，b=，c=lg，则a，b，c之间的关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜b＜c8．（4分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（e，+∞）B． C．（2，3） D．（e，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9．（4分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是．10．（4分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．11．（4分）若函数f（x）=x2+px+3在（﹣∞，1]上单调递减，则p的取值范围是．12．（4分）log425﹣2log410+log45•log516的值是．13．（4分）函数f（x）=的定义域为．14．（4分）计算：=．三、解答题：请写出解题步骤（共24分）15．（6分）已知函数的定义域为A，g（x）=x2+1的值域为B．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求A∩（∁U B）16．（6分）已知集合A={x|2a﹣1＜x＜2﹣a}，B={x|x2﹣x﹣6≥0}（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．17．（6分）计算：．18．（6分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c最小值为﹣1，且f（2﹣x）=f（2）+f （x）．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上单调，求m的取值范围．2017-2018学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={﹣2，0，2}，则（）A．N⊆M B．M∪N=M C．M∩N={2}D．M∩N={0，2}【分析】由M与N求出两集合的并集，交集，并判断出包含关系即可．【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={﹣2，0，2}，∴M∪N={﹣2，0，1，2，3，4}；M∩N={0，2}，N⊈M，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）若函数f（x）=（a2﹣2a﹣3）x2+（a﹣3）x+1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是（）A．a=﹣1或3 B．a=﹣1 C．a＞3或a＜﹣1 D．﹣1＜a＜3【分析】分类讨论，二次项系数等于0时，二次项系数不等于0时，两种情况进行分析．【解答】解：若a2﹣2a﹣3≠0，则f（x）为二次函数，定义域和值域都为R是不可能的．若a2﹣2a﹣3=0，即a=﹣1或3；当a=3时，f（x）=1不合题意；当a=﹣1时，f（x）=﹣4x+1符合题意．故选：B．【点评】本题考查函数的值域和定义域，体现分类讨论的数学思想方法．3．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．g（x）=﹣2x C．h（x）=﹣3x+1 D．【分析】f（x）=在区间（0，+∞）上是增函数，g（x）=﹣2x、h（x）=﹣3x+1和s（x）在区间（0，+∞）上都是减函数．【解答】解：在A中，f（x）=在区间（0，+∞）上是增函数，故A正确；在B中，g（x）=﹣2x在区间（0，+∞）上是减函数，故B错误；在C中，h（x）=﹣3x+1在区间（0，+∞）上是减函数，故C错误；在D中，s（x）在区间（0，+∞）上是减函数，故D错误．故选：A．【点评】本题考查函数的单调性的判断，考查函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（4分）给定四个函数；；y=x3+1；其中是奇函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用奇函数的定义，对每个函数进行验证，可得结论．【解答】解：∵，∴是奇函数；∵定义域不关于原点对称，∴不是奇函数；∵（﹣x）3+1≠﹣（x3+1），∴不是奇函数；函数的定义域为{x|x≠0}，=，∴是奇函数综上，奇函数的个数为2个故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性的判定，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（4分）函数y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（0，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【分析】由题意根据函数的单调性的定义可得2m＞﹣m+9，由此解得m的范围．【解答】解：∵函数y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），∴2m＞﹣m+9，解得m＞3，故选：C．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．6．（4分）函数y=ax2+bx与y=ax+b，（ab≠0）的图象只能是（）A．B．C．D．【分析】从直线的斜率与截距入手，找出ab的符号，再验证抛物线的对称轴是否适合．【解答】解：A、B中，从直线上看，a、b为正值，∴抛物线的对称轴为＜0，故AB不符合；C、D中，从直线上看，a＜0，b＞0，∴＞0，C，D都适合，但是点（，0）都适合y=ax2+bx与y=ax+b，∴两个函数的图象都过点（，0），只有D适合．故选：D．【点评】本题主要考查函数图象与函数的性质，常见的一次函数与二次函数的性质要熟记．7．（4分）设a=，b=，c=lg，则a，b，c之间的关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜b＜c【分析】分别根据幂函数的单调性和对数函数的性质计算出a，b，c的取值范围即可得到结论．【解答】解：∵幂函数y=x在定义域上单调递增，∴，即b＞a＞0，∵c=lg＜0，∴c＜a＜b．故选：A．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用幂函数的单调性和对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．8．（4分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（e，+∞）B． C．（2，3） D．（e，+∞）【分析】判断函数的单调性以及函数的连续性，利用零点判定定理推出结果即可．【解答】解：函数是单调增函数，也连续函数，因为f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，可得f（2）f（3）＜0，所以函数的零点所在区间为（2，3）．故选：C．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，注意函数的单调性与连续性的判断．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9．（4分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5} ．【分析】由奇函数图象的特征画出此抽象函数的图象，结合图象解题．【解答】解：由奇函数图象的特征可得f（x）在[﹣5，5]上的图象．由图象可解出结果．故答案为{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5}．【点评】本题是数形结合思想运用的典范，解题要特别注意图中的细节．10．（4分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．【分析】先求，，故代入x＞0时的解析式；求出=﹣2，，再求值即可．【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查分段函数的求值问题，属基本题．求f（f（a））形式的值，要由内而外．11．（4分）若函数f（x）=x2+px+3在（﹣∞，1]上单调递减，则p的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【分析】求出二次函数的对称轴方程，由二次函数的减区间，可得在对称轴的右边，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x2+px+3在的对称轴为x=﹣，在（﹣∞，﹣]递减，由题意可得﹣≥1，解得p≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查二次函数的性质：单调性，考查运算能力，属于基础题．12．（4分）log425﹣2log410+log45•log516的值是1．【分析】利用对数、运算法则、换底公式直接求解．【解答】解：log425﹣2log410+log45•log516=+=﹣1+2=1．故答案为：1．【点评】本题考查对数式化简求值，考查对数、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、是基础题．13．（4分）函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1} ．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，且分式的分母不等于0联立不等式组得答案．【解答】解：由，得0＜x≤2且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．故答案为：{x|0＜x≤2且x≠1}．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．14．（4分）计算：=5．【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：=4+1=5．故答案为：5．【点评】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．三、解答题：请写出解题步骤（共24分）15．（6分）已知函数的定义域为A，g（x）=x2+1的值域为B．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求A∩（∁U B）【分析】（1）利用函数的定义域能求出集合A，利用函数g（x）=x2+1的值域能求出集合B．（2）由A={x|﹣1≤x＜2}，B={y|y≥1}，求出C U B={y|y＜1}，由此能求出A∩（C U B）．【解答】解：（1）∵函数的定义域为A，∴A={x|}={x|﹣1≤x＜2}，∵g（x）=x2+1的值域为B．∴B={y|y=x2+1}={y|y≥1}．（2）∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={y|y≥1}．∴C U B={y|y＜1}，A∩（C U B）={x|﹣1≤x＜1}．【点评】本题考查集合的求法，考查补集、交集的求法，考查函数性质、交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．（6分）已知集合A={x|2a﹣1＜x＜2﹣a}，B={x|x2﹣x﹣6≥0}（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．【分析】（1）求出B={x|x≥3或x≤﹣2}，由A∩B=∅，当A=∅时，2a﹣1≥2﹣a，当A≠∅时，列出不等式组，由此能求出a的取值范围．（2）由A∪B=B，A⊆B，当A=∅时，2a﹣1≥2﹣a，A≠∅时，或，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|2a﹣1＜x＜2﹣a}，B={x|x2﹣x﹣6≥0}={x|x≥3或x≤﹣2}，A∩B=∅，∴当A=∅时，2a﹣1≥2﹣a，解得a≥1，当A≠∅时，，解得﹣．综上，a的取值范围是[﹣，+∞）．（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，当A=∅时，2a﹣1≥2﹣a，解得a≥1，A≠∅时，或，解得a≤﹣．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、并集、补集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17．（6分）计算：．【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：===3﹣2=1．【点评】本题考查对数式化简求值，考查对数、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．18．（6分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c最小值为﹣1，且f（2﹣x）=f（2）+f （x）．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上单调，求m的取值范围．【分析】（1）求出f（2﹣x），再由恒等式的性质，对应项的系数相等，即可得到f（x）=ax2﹣2ax，再由最小值为﹣1，即可得到a，进而得到解析式；（2）求得对称轴，讨论区间和对称轴的关系，即可得到m的范围．【解答】解：（1）f（2﹣x）=a（2﹣x）2+b（2﹣x）+c=ax2﹣（4a+b）x+4a+2b+c，因为f（2﹣x）=f（2）+f（x）所以ax2﹣（4a+b）x+4a+2b+c=4a+2b+c+ax2+bx+c，即有，即所以f（x）=ax2﹣2ax=a（x﹣1）2﹣a，因为f（x）=ax2+bx+c最小值为﹣1，所以a=1所以f（x）=x2﹣2x；（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上单调，所以或，即m≤0或≤m＜1所以m的取值范围是（﹣∞，0]∪[，1）．【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，注意恒等式的性质，考查函数的单调性和运用，考查运算能力，属于中档题．。

北京师范大学附属中学2016—2017学年度第一学期半期考试高三数学文科试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1,1M =-,{}240N x x =-<,则下列结论正确的是（） A ．N M ⊆ B ．N M =∅ C ．M N ⊆ D ．M N =R2.已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（）A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +3.设p:log 2x<0,q:⎪⎭⎫⎝⎛211-x >1,则p 是q 的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）A.1升B.3733升 C.4744升 D.6766升5. 若函数21,1()lg ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩,则f (f (10)=（ ）A ．2B ．1C ．0D ．lg1016. 如图所示的程序框图运行后输出结果为,则输入的x 值为( )B. C. 或7.圆x 2+y 2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b ∈R)对称,则ab 取值范围是( ) A.BC.D.8. 已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 39.若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m 的值为( ) B.1 C.10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =（）A .72B .52D .2 11.若函数f (x )=ax 3-x 2+x -5在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( ) > < ≤≥12.已知圆)0(2)()(:222>=-+-a a a y a x C 及其外一点)2,0(A .若圆C 上存在点T 满足4π=∠CAT ，则实数a 的取值范围是（）A. ()1,∞-B. )1,13[-C. ]1,13[-D. ),13[+∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量a =（cosθ, sinθ）,b=（1，一2）,若a ∥b ，则代数式=.14.已知菱形ABCD 的边长为4，且︒=∠150ABC ，在菱形区域内任取一点，则该点到菱形各顶点的距离都大于1的概率是__________.15.设函数14.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________．16.()f x =(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在△ABC 中,内角A,B,C 的对边长分别为a,b,c,且(2b-c)cos A=acos C. (1)求角A 的大小; (2)若a=3,b=2c,求△ABC 的面积.18．（本小题满分12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，其中成绩在[130,150]的称为“优秀”，其它的称为“一般”，观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[120，130）内的人数及数学成绩“优秀”的人数；(2)用分层抽样的方法在在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段在分数段[120，130）内的概率．(3)若统计了这100名学生的地理成绩后得到如下表格： 数学成绩“优秀’ 数学成绩“一般“ 总计 地理成绩“优秀” 10 40 50 地理成绩“一般” 20 30 50总计 30 70 100则能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“数学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系”？下面的临界值表供参考：19．（本小题满分12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,135BCD ∠=,侧面PAB ⊥底面ABCD ,90BAP ∠=,6AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点,点M 在线段PD 上．(1)求证：EF ⊥平面PAC ；(2)若M 为PD 的中点,求证：//ME 平面PAB ； (3)当12PM MD =时,求四棱锥M ECDF -的体积． 20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，求PA ·PB 的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知函数2()ln 1f x x x ax =+-，且(1)1f '=-. (1)求()f x 的解析式；(2)若对于任意(0,)x ∈+∞，都有1()f x mx --≤，求m 的最小值；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为62x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为3122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），T 为直线l 与曲线C 的公共点. 以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求点T 的极坐标；(2)将曲线C 上所有点的纵坐标伸长为原来的3（横坐标不变）后得到曲线W ，过点T 作直线m ，若直线m 被曲线W 截得的线段长为23求直线m 的极坐标方程.23. (本小题满分10分) 设函数1()11()2f x x x x R =++-∈的最小值为a ． （1）求a ；（2）已知两个正数,m n 满足22,m n a +=求11m n+的最小值．参考答案一， 4. D 5. 7. A13. 38π15. 517. (1)由(2b-c)cos A=acos C,得2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, 得2sin Bcos A=sin(A+C),所以2sin Bcos A=sin B, 因为0<B<π,所以sin B≠0,所以cos A=,因为0<A<π,所以A=. (2)因为a=3,b=2c,由(1)得A=,所以cos A===,解得c=,所以b=2.所以S △ABC =bcsin A=×2××=.18．（1）分数在[120，130）内的频率为 1﹣（++++）=1﹣=；分数在[130，150]内的频率为 +=；所以分数在[120，130）内的人数及数学成绩“优秀”的人数均为1000.330⨯=. （2）依题意，[110，120）分数段的人数为100×=15（人）， [120，130）分数段的人数为100×=30（人）；∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m ，n ； 在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a ，b ，c ，d ；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A ， 则基本事件有（m ，n ），（m ，a ），…，（m ，d ），（n ，a ），…，（n ，d ），（a ，b ），…，（c ，d ）共15种；则事件A 包含的基本事件有（m ，n ），（m ，a ），（m ，b ），（m ，c ），（m ，d ），（n ，a ），（n ，b ），（n ，c ），（n ，d ）共9种；∴P （A ）=93155=．(3) ()841.3762.4505070304020301010022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，所以能在犯错误概率不超过的前提下，认为“数学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系”．19．解：又因为PA AC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC , 所以EF ⊥平面PAC ．（4分）（3）在PAD ∆中,过M 作//MN PA 交AD 于点N , 由12PM MD=,得23MN PA=,又因为6PA =,所以4MN =, 因为PA ⊥底面ABCD , 所以MN ⊥底面ABCD ,所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDFV SMN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=．（12分） 20.解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝|－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，则由|P A |，|PO |，|PB |成等比数列得，x ＋22＋y 2·x －22＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2. PA ·PB ＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2 ＝2(y 2－1)，由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧x 2＋y 2＜4，x 2－y 2＝2，由此得y 2＜1，所以PA ·PB 的取值范围为[－2,0)． 21.（Ⅰ）解：对()f x 求导，得()1ln 2f x x ax'=++，所以(1)121f a '=+=-，解得1a =-，所以2()ln 1f x x x x =--.（Ⅱ）解：由1()f x mx --≤，得20ln x x x mx --≤，所以对于任意(0,)x ∈+∞，都有ln m x x -≤.设()ln g x x x =-，则1()1g x x'=-.令()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x 与()g x '的变化情况如下表：x(0,1)1(1,)+∞()g x ' + 0()g x[:,.]极大值max ()(1)1g x g ==-因为对于任意(0,)x ∈+∞，都有()m g x ≤成立，所以1m -≥. 所以m 的最小值为1-.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为12622=+y x ，将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==ty t x 21223代人上式整理得0442=+-t t ，解得2=t .故点T 的坐标为()1,3，其极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛6,2π.………5分（Ⅱ）依题知，坐标变换式为⎩⎨⎧='='yy xx 3，故W 的方程为：123622=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ，即622=+y x . 当直线m 的斜率不存在时，其方程为3=x ，显然成立.当直线m 的斜率存在时，设其方程为()31-=-x k y ，即013=+--k y kx ，则由已知，圆心()0,0到直线m 的距离为3，故31132=++-k k ，解得33-=k .此时，直线m 的方程为233+-=x y . 故直线m 的极坐标方程为：3cos =θρ或2cos 33sin =+θρθρ.………10分23、解：（I ）函数3-,2211()11=2,21223,12x x f x x x x x x x ⎧≤-⎪⎪⎪=++--+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，当x ∈（﹣∞，1]时，f （x ）单调递减当x ∈[1，+∞）时，f （x ）单调递增，所以当x=1时，f （x ）的最小值a=32．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m 2+n 2=32，由m 2+n 2≥2mn ，得mn≤34，∴1mn ≥43故有+≥21mn ≥433，当且仅当m=n=32时取等号．所以+的最小值43．。

2016-2017学年北京师大二附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，共40分）1．（5分）复数=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）若A={2，3，4}，B={x|x=n?m，m，n∈A，m≠n}，则集合B的元素个数为（）A．5 B．4 C．3 D．23．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2=（）A．（3，9） B．（5，9） C．（3，7） D．（5，7）4．（5分）为了得到函数y=sin2x的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且S11=35+S6，则S17的值为（）A．117 B．118 C．120 D．1196．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣7．（5分）已知a，b∈R，t＞0，下列四个条件中，使a＞b成立的必要不充分条件是（）A．a＞b﹣t B．a＞b+t C．|a|＞|b|D．4a＞4b8．（5分）不等式组的解集记为D，由下面四个命题：P1：?（x，y）∈D，则2x﹣y≥﹣1；P2：?（x，y）∈D，则2x﹣y＜﹣2；P3：?（x，y）∈D，则2x﹣y＞7；P4：?（x，y）∈D，则2x﹣y≤5．其中正确命题是（）A．P2，P3B．P1，P2C．P1，P3D．P1，P4二、填空题（共6小题，共30分）9．（5分）幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则此幂函数的解析式是f（x）=．10．（5分）已知向量=（1，3），=（m，2m﹣1）．若向量与共线，则实数m=．11．（5分）已知，，则tan2x=．12．（5分）双曲线C：﹣y2=1的离心率是；渐近线方程是．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=．14．（5分）若数列{a n}满足=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列，已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x1+x20=；若x5＞0，x16＞0，则x5?x16的最大值为．三、解答题（共6小题；共80分）15．已知f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，a为实常数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在上最大值与最小值之和为3，求a的值．16．已知向量=（﹣cosA，sinA），=（cosB，sinB），且=，其中A，B，。

北京市西城北京师范大学第二附属中学2017-2018学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（共8小题，共40分）1．已知集合{24}A x x =<<，{3B x x =<或5}x >，则A B =（）．A ．{25}x x <<B ．{4x x <或5}x >C ．{23}x x <<D ．{2x x <或5}x >【答案】C【解析】∵集合{24}A x x =<<，集合{3B x x =<或5}x >， ∴集合{23}A B x x =<<． 故选C ．2．函数21()lg 1x f x x -=+的定义域是（）.A ．{1x x <-或12x ⎫>⎬⎭ B ．12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{1}x x >-【答案】A【解析】要使函数有意义，则2101x x ->+，即(21)(1)0x x ->+，解得1x <-或12x >， ∴函数()f x 的定义域是{1x x <-或12x ⎫>⎬⎭．故选A ．3．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）．A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1y x=C ．3y x =-D ．3log ()y x =-【答案】C【解析】A 项，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是非奇非偶函数，故A 错误；B 项，1y x =是奇函数，在(,0)-∞和(0,)∞+是减函数，但在定义域内不是减函数，故B 错误；C 项，3y x =-是奇函数，且在定义域内是减函数，故C 正确；D 项，3log ()y x =-是非奇非偶函数，故D 错误．故选C ．4．设集合{0,1,2,3,4,5}U =,{1,2}A =，2{540}B x x x =∈-<Z +，则()U A B =ð（）．A ．{0,1,2,3}B ．{5}C ．{1,2,4}D ．{0,4,5}【答案】D【解析】∵集合2{540}{14}{2,3}B x x x x x =∈-<=∈<<=Z Z +， ∴{1,2,3}A B =, ∴(){0,4,5}U A B =ð． 故选D ．5．函数2log 1y x =-与22x y -=的图象交点为00(,)x y ，则0x 所在区间是（）．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】设函数22()(log 1)2x f x x -=--，则0(2)11210f =--=-<，222213(3)(log 31)log 3log 3log 022f =--=-=-， ∴函数()f x 在区间(2,3)内有零点，即函数2log 1y x =-与22x y -=的图象交点为00(,)x y 时， 0x 所在区间是(2,3)．故选C ．6．已知定义域为R 的函数()f x 在(8,)∞+上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则（）．A ．(6)(7)f f >B ．(6)(9)f f >C ．(7)(9)f f >D ．(7)(10)f f >【答案】D【解析】∵(8)y f x =+是偶函数，∴(8)(8)f x f x =-++，即()y f x =关于直线8x =对称， ∴(6)(10)f f =，(7)(9)f f =． 又∵()f x 在(8,)∞+为减函数， ∴()f x 在(,8)-∞上为增函数， ∴(6)(7)f f <，即(10)(7)f f <． 故选D ．7．已知函数23,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-<=⎨⎩≥++，若|()|f x ax ≥，则a 取值范围是（）．A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[3,0]-D ．[ 3.1]-【答案】C【解析】当0x >时，根据ln(1)0x >+恒成立，则此时0a ≤， 当0x ≤时，根据23x x -+的取值为(,0]-∞，2|()|3f x x x ax =-≥， 当0x =时，不等式恒成立，当0x <时，有3a x -≥，即3a -≥． 综上可得，a 的取值范围是[3,0]-． 故选C ．8．若定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数()λλ∈R 使得()()0f x f x λλ=++对任意的实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ特征函数”则下列结论中正确的个数为（）．①()0f x =是常数函数中唯一的“λ特征函数”；②()21f x x =+不是“λ特征函数”；③“13特征函数”至少有一个零点； ④()e x f x =是一个“λ特征函数”；．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对于①设()f x C =是一个“λ特征函数”，则(1)0C λ=+，当1λ=-时，可以取实数集，因此()0f x =不是唯一一个常数“λ特征函数”，故①错误；对于②，∵()21f x x =+，∴()()2()1(21)0f x f x x x λλλλ==++++++，即1(1)2x λλλ=--+，∴当1λ=-时，()()20f x f x λλ=-≠++；1λ≠-时，()()0f x f x λλ=++有唯一解， ∴不存在常数()λλ∈R 使得()()0f x f x λλ=++对任意实数x 都成立， ∴()21f x x =+不是“λ特征函数”，故②正确；对于③，令0x =得11(0)033f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭+，所以11(0)33f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若(0)0f =，显然()0f x =有实数根；若()0f x ≠，211(0)[(0)]033f f f ⎛⎫⋅=-< ⎪⎝⎭．又∵()f x 的函数图象是连续不断的，∴()f x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上必有实数根，因此任意的“λ特征函数”必有根，即任意“13特征函数”至少有一个零点，故③正确；对于④，假设()e x f x =是一个“λ特征函数”，则e e 0x x λλ=++对任意实数x 成立，则有e 0x λ=+，而此式有解，所以()e xf x =是“λ特征函数”，故④正确．综上所述，结论正确的是②③④，共3个． 故选C ．二、填空题（共6小题，共30分）9．已知集合{1}A x x =≤，{}B x x a =≥，且A B =R ，则实数a 的取值范围__________． 【答案】(,1]-∞ 【解析】用数轴表示集合A ，B ，若A B =R ，则1a ≤，即实数a 的取值范围是(,1]-∞．10．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出：则当[()]2f g x =时，x =【答案】3【解析】由表格可知：(1)2f =． ∵[()]2f g x =，∴()1g x =． 由表格知(3)1g =，故3x =．11．函数()log (1)1a f x x =-+（0a >且1a ≠）恒过点__________． 【答案】(2,1)【解析】由11x -=得2x =，故函数()log (1)1a f x x =-+恒过定点(2,1)．12．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(9)f =__________．【答案】【解析】设幂函数为()a f x x =，由于图象过点，得2a =32a =，∴32(9)9f =13．已知函数2()223f x ax x =-+在[1,1]x ∈-上恒小于零，则实数a 的取值范围为___________． 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】由题意，22230ax x -<+在[1,1]x ∈-上恒成立． 当0x =时，不等式为30-<恒成立． 当0x ≠时，23111236a x ⎛⎫<-- ⎪⎝⎭．∵1(,1][1,)x ∈-∞-∞+，∴当1x =时，23111236x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭取得最小值12，∴12a <．综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．14．设集合{1,2,.}n P n =，*n ∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若n P x A ∈ð，则2n P x A ∉ð． 则（1）(4)f =___________；（2）()f n 的解析式（用n 表示）()f n =___________． 【答案】（1）4；（2）2122,()2,nn n f n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数+【注意有文字】【解析】（1）当4n =时，4{1,2,3,4}P =，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}， 故(4)4f =．（2）任取偶数n x P ∈，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，经过k 次后，商必为奇数，此时记商为m ，于是2k x m =⋅，其中，m 为奇数，*k ∈N ．由条件可知，若m A ∈，则x A ∈，k ⇔为偶数，若m A ∉，则x A k ∈⇔为奇数，于是x 是否属于A ，由m 是否属于A 确立，设n Q 是n P 中所有的奇数的集合，因此()f n 等于n Q 的子集个数，当n 为偶数时（或奇数时），n P 中奇数的个数是12n （或12n +）．∴2122,()2,nn n f n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数+【注意有文字】．三、解答题（共6小题；共80分）15．若集合{24}A x x =-<<，{0}B x x m =-<． （1）若3m =，全集U A B =，试求()U A B ð． （2）若A B A =，求实数m 的取值范围．【答案】【解析】（1）当3m =时，由0x m -<，得3x <， ∴{3}B x x =<， ∴{4}A B x x ==<，则{34}U B x x =<≤ð， ∴(){34}U A B x x =<≤ð．（2）∵{24}A x x =-<<，{0}{}B x x m x x m =-<=<， 由AB A =得A B ⊆，∴4m ≥，即实数m 的取值范围是[4,)∞+．16．已知设函数()log (12)log (12)(0,1)a a f x x x a a =-->≠+． （1）求()f x 的定义域．（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明． （3）求使()0f x >的x 的取值范围． 【答案】【解析】（1）要使函数()log (12)log (12)a a f x x x =--+（0a >且1a ≠）有意义， 则120120x x >⎧⎨->⎩+，解得1122x -<<．故函数()f x 的定义域为1122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）可知()f x 的定义域为1122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，又()log (12)log (12)()a a f x x x f x -=--=-+， ∴()f x 为奇函数．（3）()0f x >，即log (12)log (12)0log (12)log (12)a a a a x x x x -->⇒>-++， 当1a >时，原不等式等价为1212x x >-+，解得0x >． 当01a <<，原不等式等价为1212x x <-+，记得0x <． 又∵()f x 的定义域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴当1a >时，使()0f x >的x 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．当01a <<时，使()0f x >的x 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．17．定义在[4,4]-上的奇函数()f x ，已知当[4,0]x ∈-时，1()()43x xaf x a =∈R +． （1）求()f x 在[0,4]上的解析式． （2）若[2,1]x ∈--时，不等式11()23xx m f x --≤恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】【解析】（1）∵()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数， ∴(0)10f a ==+，得1a =-． 又∵当[4,0]x ∈-时，111()4343xx x x a f x ==-+， ∴当[0,4]x ∈时，[4,0]x -∈-，11()4343x x x x f x ---=-=-． 又()f x 是奇函数， ∴()()34x x f x f x =--=-．综上，当[0,4]x ∈时，()34x x f x =-． （2）∵[2,1]x ∈--，11()23x x m f x --≤恒成立，即11114323x x x x m ---≤在[2,1]x ∈--恒成立， ∴12432x x xm≤+在[2,1]x ∈--时恒成立． ∵20x >，∴12223x xm ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤+． ∵12()223x xg x ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+在R 上单调递减，∴[2,1]x ∈--时，12()223x x g x ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的最大值为221217(2)2232g --⎛⎫⎛⎫-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，∴172m ≥． 即实数m 的取值范围是17,2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭+．18．某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设()f t 表示学生注意力指标．该小组发现()f t 随时间t （分钟）的变化规律（()f t 越大，表明学生的注意力越集中）如下：1010060(010)()340(1020)15640(2040)ta t f t t t t ⎧-⎪⎪=<⎨⎪-<⎪⎩≤≤≤≤+（0a >且1a ≠）． 若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： （1）求a 的值．（2）上课后第5分钟和下课前5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由． （3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ 【答案】【解析】（1）由题意得，当5t =时，()140f t =，即10510060140a ⋅-=， 解得4a =．（2）∵(5)140f =，(35)1535640115f =-⨯=+， ∴(5)(35)f f >，故上课后第5分钟时比下课前5分钟时注意力更集中．（3）①当010t <≤时，由（1）知，410()100460140f t =⋅-≥，解得510t ≤≤； ②当1020t <≤时，()340140f t =>恒成立；③当20140t <≤时，()15640140f t t =-≥+，解得100203t <≤． 综上所述，10053t ≤≤． 故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持10085533-=分钟．19．设a ∈R ，函数2()||f x x ax =+．（1）若()f x 在[0,1]上单调递增，求a 的取值范围．（2）即()M a 为()f x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值． 【答案】【解析】（1）考虑函数()f x 的图象，可知①当0a ≥时，在[0,1]上，2()f x x ax =+，显然()f x 在[0,1]上单调递增； ②当0a <时，在[0,)∞+上，22(),[0,](),[,)x ax x a f x x ax x a ⎧-∈-⎪=⎨∈-∞⎪⎩+++， ∴()f x 在[0,1]上单调递增的充要条件是12a-≥，2a -≤．综上所述，若()f x 在[0,1]上单调递增，则2a -≤或0a ≥． （2）若0a ≥时，2()f x x ax =+，对称轴为2ax =-，()f x 站在[0,1]上递增， ∴()1M a a =+；若0a <，则()f x 在0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递增，在,2a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭递减，在(,)a -∞+递增；若12a-≤，即2a -≤时，()f x 在[0,1]上递增，此时()1M a a =--；若12a -<≤，即22a -<-≤()f x 的最大值为2()4aM a =；若1>，即2a >-()f x 的最大值()1M a a =+，即有21,2()1,2,224a a M a a a a a ⎧⎪>-⎪⎪=---⎨⎪⎪-<-⎪⎩≤≤+，当2a >-()3M a >- 当2a -≤时，()1M a ≥；当22a -<-≤21()(234M a --=-≥综上可得()M a的最小值为3-20．已知：集合12{(,,,,),{0,1},1,2,,}n i n i X X x x x x x i n Ω==∈=，其中3n ≥．12(,,,,,)i n n X x x x x ∀=∈Ω，称i x 为X 的第i 个坐标分量．若n S ⊆Ω，且满足如下两条性质：①S 中元素个数不少于4个．②X ∀，Y ，Z S ∈，存在{1,2,,}m n ∈，使得X ，Y ，Z 的第m 个坐标分量都是1．则称S 为n Ω的一个好子集．（1）若{,,,}S X Y Z W =为3Ω的一个好子集，且(1,1,0)X =，(1,0,1)Y =，写出Z ，W ． （2）若S 为n Ω的一个好子集，求证：S 中元素个数不超过12n -．（3）若S 为n Ω的一个好子集且S 中恰好有12n -个元素，求证：一定存在唯一一个{1,2,,}k n ∈，使得S 中所有元素的第k 个坐标分量都是1． 【答案】【解析】（1）(1,0,0)Z =，(1,1,1)W =．（2）对于n x ⊆Ω，考虑元素12{1,1,,1,1)i n X x x x x '=----；显然n X '∈Ω，X ∀，Y ，X '，对于任意的{1,2,,}i n ∈，i x ，i y ，1i x -不可能都为1， 可得X ，X '不可能都是好子集S 中．又因为取定X ，则X '一定存在且唯一，而且X X '≠， 由x 的定义知道，X ∀，Y ∈Ω,X Y X Y ''=⇔=这样，集合S 中元素的个数一定小于或等于集合n Ω中元素个数的一半，而集合n Ω中元素的个数为2n ，所以S 中元素个数不超过12n -． （3）12{,,}i n X x x x x ∀=，12{,,,}i n n Y y y y y ∀=∈Ω，定义元素X ，Y 的乘积为1122{,,,}i i n n XY x y x y x y x y =，显然n XY ∈Ω．我们证明“对任意的12{,,}i n X x x x x S =∈，12{,}i n Y y y y y S =∈都有XY S ∈．”假设存在X ，Y S ∈使得XY S ∉，则由（2）知，1122()(1,1,1,1)i i n n XY x y x y x y x y S '=----∈． 此时，对于任意的{1,2,}k n ∈，k x ，k y ，1k k x y -不可能同时为1，矛盾，所以XY S ∈．因为S 中只有12n -个元素，我们记12{,,}n Z z z z =为S 中所有元素的成绩，根据上面的结论，我们知道12(,)n Z z z z S =∈，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设1k Z =，根据Z 的定义X ，可以知道S 中所有元素的k 坐标分量都为1． 下面再证明k 的唯一性：若还有1t Z =，即S 中所有元素的t 坐标分量都为1． 所以此时集合S 中元素个数至多为22n -个，矛盾． 所以结论成立．。

首都师大附中2017-2018学年第一学期期中考试高一数学 2017.11第卷（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合{}3≤∈=x Z x M ，则下列结论中正确的个数是①M ∈5.2②M ⊆0③{}{}00=M ④M ∈φ⑤集合M 是无限集A ．0；B ．1；C ．2；D ．3.2．下列各组函数中，表示同一个函数的是：（ ） A ． 1-1-2x x y =与1+=x y ； B ．x y =与)1,0(log ≠=a a a y x a ； C ．12-=x y 与1-=x y ； D ．x y lg =与2lg 21x y =. 3．给定映射)2,2(),(:b a b a b a f -+→，则在映射f 下，)1,3(的原象是A ．)3,1(；B ．)1,1(；C ．)1,3(；D ．)21,21(. 4.设52)53(=a ，53)52(=b ，52)52(=c ，则c b a ,,的大小关系是 A ．b c a ；B ．c b a ；C ．b a c ；D ．a c b 5. 函数⎪⎩⎪⎨⎧-+-≤=)0(),1()12()0(,31)( x a x a x x f x ）（在),(+∞-∞上是减函数，则a 的取值范围是A ．)21,0(；B ．)21,0[；C ．)21,(-∞；D ．),21(+∞6.设偶函数b x x f a -=log )(在)0,(-∞上是递增函数，则)1(+a f 与)2(+b f 的大小关系是A ．=+)1(a f )2(+b f ；B ． )1(+a f )2(+b f ；C ． )1(+a f )2(+b f ；D ．不确定7.若指数函数x a x f =)(的图像与射线)1(053-≥=+-x y x 相交，则A ．]21,0(∈a ；B ．)1,21[∈a ；C ．)1()1,21[∞+∈， a ；D ．),1(]21,0(+∞∈ a .8.定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间],[b a 上存在）（b x a 0，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点.则下列叙述正确的个数是①2x y =是区间]1,1[-上的平均值函数，0是它的均值点；②函数x x x f 4)(2+-=在区间]9,0[上是平均值函数，它的均值点是5；③函数x x f 2log )(=在区间],[b a （其中0 a b ）上都是平均值函数；④若函数1-)(2++=mx x x f 是区间]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是)2,0(A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.若点)2,2(在幂函数)(x f y =的图像上，则=)4(f .10. 已知函数⎩⎨⎧=)0(,3)0(,log )(2 x x x x f x ，则=)]41([f f . 11.若函数432--=x x y 的定义域为],0[m ，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是 .12.函数542++-=x x y 的单调递减区间为 .13.已知关于x 的方程022=++x ax 的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是 .14.某同学研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BCEF ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则.)(x f PE AP =+请你参考这些信息，推知函数)(x f 的图像的对称轴是直线=x ；函数的零点个数是 .三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（8分）（Ⅰ）141211-)2-3()436230.75-+⨯⨯（）（ （Ⅱ）2lg 225lg 85lg 81log 423log 2++--16.（8分）已知集合{}042=+=x x x A ，集合{}01)1(222=-+++=a x a x x B ， （Ⅰ）求B B A = ,求a 的值；（Ⅱ）若B B A = ，求a 的值.17.(10分)某车间生产一种仪器的固定成本是10000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：⎩⎨⎧≤≤-=200,400002000400)(2x x x x x H ，其中x 是仪器的月产量.（利润=总收益-总成本）(1)将利润表示为月产量的函数（用)(x f 表示） （2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？18.（12分）已知函数1)(2++=x b ax x f 是定义在)1,1(-上的奇函数，且52)21(=f ， （1）确定函数的解析式；（2）判断函数的单调性并用定义法证明；（3）解不等式0)()1( t f t f +-.19. （12分）如果函数)(x f 满足在集合*N 上的值域仍是集合*N ，则把函数)(x f 称为H 函数，例如：x x f =)(就是H 函数.（1）判断下列函数：①2x y =②12-=x y ③][x y =中，哪些是H 函数？（只需写出结果，不用说明理由）（2）判断函数1][ln )(+=x x g 是否为H 函数，并证明你的结论；（3）是否存在实数b a ,，使得函数][)(x a b x f ⋅=是H 函数？如果存在，求出实数b a ,的值，如果不存在，请说明理由.。