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排列、组合、二项式定理、概率与统计【考点审视】1． 突出运算能力的考查。
高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。
2． 有关排列、组合的综合应用问题。
这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。
3． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。
这种问题重点考查运算能力，特别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
4． 有关概率的实际应用问题。
这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。
5． 有关统计的实际应用问题。
这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
【疑难点拨】 1． 知识体系：2．知识重点：（1） 分类计数原理与分步计数原理。
它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。
（2） 排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。
排列数公式的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。
（3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。
二项式定理的推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法（令1±=x ）的应用。
（4） 等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。
排列组合、二项式定理与概率统计
概率统计与排列组合和二项式定理是数学中的重要知识。
它们主要用来解释和计算物理实验的概率，以及理解事件出现的概率统计规律。
排列组合是概率统计的基础，是指在一组数中，每个数字的位置不同的可能的组合数。
它的公式有:A(n,m)=n(n-1)...(n-m+1)。
这里的A表示从n个中取出m个的排列数。
二项式定理（亦称二项分布定理）是研究一个随机变量满足二项分布的定理。
它是推导概率统计解决一些问题的重要方法，它通过如下公式来计算事件发生的概率：
C(n,k)=An,m/k!，其中n表示试验次数，m表示成功的次数，k表示重复的次数。
概率统计用来研究不同事件出现的可能性和规律。
这些规律会告诉我们正发生的事件的可能性有多大，并帮助我们更好地解释现象。
概率统计的计算和分析是一个复杂的过程，需要全面的、简易的的方法。
排列组合、二项式定理等工具是进行概率统计分析的有力帮助，它们可以帮助我们了解不同事件出现的概率，并对现象加以解释和推断。
排列组合二项式定理、概率统计知识点总结精华1．抽样方法;⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会 ，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为 ；②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。
③从含有N 个个体的总体中,抽取n 个体,则每个体第一次被抽到概率1N,第二次被抽到概率1N,…,故每个个体被抽到的概率为n N,即每个个体入样的概率为n N.⑵系统抽样：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l ；④按预先制定规则抽取样本。
⑶分层抽样：当总体差异比较明显，将总体分成几部分，然后按照各部分 进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数⨯Nn ; 2. 总体特征数的估计：⑴样本平均数x = ；⑵方差222121[()()nS x x x x =-+-+2()]n x x ⋅⋅⋅+-去估计总体方差。
⑶样本标准差])()()[(122221x x x x x x n S n -+⋅⋅⋅+-+-==21)(1x x nni i-∑=3.(理科)排列数公式:!!()!(1)(1)(,,*)mn n m n m A n n n m m n m n N -=--+=≤∈,!n n A n =.组合数公式：(1)(1)()!(1)(2)321mm n nA n n n m C m n m m m m ⋅-⋅⋅⋅--==≤⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅,01nn n C C ==. 组合数性质：m n m n n C C -=；11r r r n n n C C C -++=.4. (理科)二项式定理：⑴掌握二项展开式的通项：1(0,1,2,...,)r n r rr nT C a b r n -+==； ⑵注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1项系数的区别. 6. 线性回归相关系数：=7．独立性检验（分类变量关系）：22()()()()()χ-=++++n ad bc a b c d a c b d .()20χ≥P x0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0x2.7063.841 5.024 6.635 7.87910.828随机变量2χ越大，说明两个分类变量，关系 ，反之，经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635。
高考数学常用结论集锦：排列组合二项式定理、概率统计（收藏）1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.2.分步计数原理（乘法原理）12n Nm m m =⨯⨯⨯. 3.排列数公式 mn A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．4.排列恒等式 （1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1m mn n n A A n m-=-;（3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-;（5）11m m m n n nA A mA -+=+. 5.组合数公式 m nC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ，m ∈N *，且m n ≤).6.组合数的两个性质(1) m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =mn C 1+7.组合恒等式（1）11m m n n n m C C m --+=;（2）1m mn n n C C n m-=-;（3）11mm n n n C C m--=; （4） 11k k n n kC nC --=（5）∑=nr r nC=n 2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r rrC C C C C . 8.排列数与组合数的关系是：mmn n A m C =⋅！ .9.二项式定理 nn n r r n r n n n n n n n nb C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;二项展开式的通项公式：rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 10.等可能性事件的概率()mP A n=.11.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． 12.n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．13.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B).14.n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 15.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k kn k n n P k C P P -=-16. n 个数据123,,n x x x x ,则它们的平均数为1231()n x x x x x n=++++,方差2s =22221231[()()()()]n x x x x x x x x n-+-+-++-（1）总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体.(2) 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. (3) 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. (4) 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量. 二、抽样方法： （1）简单随机抽样：设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单的随机抽样,简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法.(2)分层抽样：当已知总体是由有差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层.三、两种抽样方法的区别与联系：个体数N 的总体中抽取一个样本容量为n 的样本，那么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，且等于Nn.五、典型例题剖析：例1、一个总体含有6个个体，从中抽取一个样本容量为2的样本，说明为什么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等.解：设任意一个个体为α，那么个体α被抽到分两种情况：（1）第一次被抽到：根据等可能事件概率得P 1=61，（2）第二次被抽到：即是个体α第一次没被抽到、第二次被抽到这两件事都发生. 个体α第一次没被抽到的概率是65, 个体α第一次没被抽第二次被抽到的概率是51. 根据相互独立事件同时发生的概率公式, 个体α第二次被抽到的概率是P 2=65×51=61.(也可这样分析：根据等可能事件的概率求得，一共取了两次，根据分步原理所有可能结果为6×5=30，个体α第一次没被抽到第二次被抽到这个随机事件所含的可能结果为5×1=5，所以个体α第二次被抽到的概率是P 2=305=61)个体α在第一次被抽到与在第二次被抽到是互斥事件,根据互斥事件的概率加法公式,在先后抽取2个个体的过程中,个体α被抽到的概率P= P 1+ P 2=61+61=31. 由个体α的任意性,说明在抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等(都等于31) 点评：注意区分“任一个个体α每次抽取时被抽到的概率”与“任一个个体α在整个抽样过程中个体α被抽到的概率”的区别,一般地,如果用简单随机抽样从个体数为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本,那么“任一个个体α每次抽取时被抽到的概率”都相等且等于N1,“任一个个体α在整个抽样过程中被抽到的概率”为Nn .例2、（1）在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取一个容量为20的一个样本， 求 ① 每个个体被抽到的概率，② 若有简单随机抽样方法抽取时，其中个体α第15次被抽到的的概率，③ 若用分层抽抽样样方法抽取时其中一级品中的每个个体被抽到的概率. 解：① 因为总体个数为120，样本容量为20，则每个个体被抽到的概率P 1=12020=61② 因为总体个数为120，则体α第15次被抽到的的概率P 2=1201 ③ 用分层抽样方法：按比例12020=61分别在一级品、二级品、三级品中抽取24×61=4个，36×61=6个，60×61=10，所以一级品中的每个个体被抽到的概率为P 3=244=61.注：其实用分层抽样方法抽取时二级品、三级品中每个体被抽到的概率也都为61.点评：本题说明两种抽样方法都能保证在抽样过程中，每个个体被抽到的概率都相等.且为Nn .例3、某地区有3000人参加今年的高考，现从中抽取一个样本对他们进行分析，每个考生被抽到的概率为101，求这个样本容量.解：设样本容量为n ，则3000n =101，所以n=300. 点评：“在整个抽样过程中个体α被抽到的概率”为Nn这一结论的逆用.例4、下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?说明理由.(1) 从无限多个个体中抽取50个个体作样本.(2) 盒子里共有100个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.解：(1) 不是简单随机抽样.由于被抽取样本的总体个数是无限的.(2) 不是简单随机抽样.由于不符合“逐个抽取”的原则,且抽出的结果可能是只有一个零件重复出现. 点评：简单随机抽样的特点：(1) 它要求被抽取样本的总体个数是有限的. (2) 它是从总体中逐个地进行抽取. (3) 它是一种不放回抽样. 例5、 某校有学生1200人,为了调查午休对学习成绩的影响情况,计划抽取一个样本容量为60的样本,问此样本若采用简单随机抽样将如何进行?解：可用两种方法： 方法一：（抽签法）（1）编号： 将1200名学生进行随机编号为1，2， …，1200，（可按学生的学号或按学生的生日进行编号）.（2）制签：做1200个大小、形状相同的号签，分别写上这1200个数，放在个容器里，并进行均匀搅拌. （3）逐个抽取：连续抽取60个号签，号签对应的同学即为样本. 方法二：（随机数表法）（1）编号： 将1200名学生进行编号分别为0000，0001，…， 1199，（2）选数：在课本附表1随机数表中任选一个数作为开始.(如从第11行第7列的数9开始)(3) 读数：从选定的数开始向右（或向上、向下、向左）读下去，选取介于范围的号码，直到满60个号码为止. (4) 抽取：抽取与读出的号码相对应的学生进行分析.点评：抽签法和随机数表法是常见的两种简单随机抽样方法，本问题显然用随机数表法更方便一些，因为总体个数较多.另外随机数表法编号时,位数要一样,首数确定后,可向左、向右、向上、向下各个确定的方向进行抽取.例6、某工厂中共有职工3000人,其中,中、青、老职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个样本容量为400的样本，应采取哪种抽样方法较合理？且中、青、老年职工应分别抽取多少人？解：采用分层抽抽样样方法较为合理.由样本容量为400,中、青、老职工的比例为5∶3∶2,所以应抽取中年职工为400×105=200人, 应抽取青年职工为400×103=120人, 应抽取青年职工为400×102=80人.点评：因为总体由三类差异较明显的个体构成，所以应采用分层抽抽样样方法进行抽取.。
排列组合二项式定理与概率及统计一、复习策略排列与组合是高中数学中从内容到方法都比较专门的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题都有专门性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯〝重复〞或〝遗漏〞的错误，同时结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的明白得，把握知识的内在联系和区别，科学周全的摸索、分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点．概率那么是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意差不多概念的明白得，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题显现，题小而灵活，涉及知识点都在两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质运算或论证一些较简单而有味的小题也在高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年都有一道解答题，占12分左右．排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中要紧考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足专门元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足专门位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，运算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.〔4〕某些元素要求必须相邻时，能够先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为〝捆绑法〞；〔5〕某些元素不相邻排列时，能够先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为〝插空法〞；在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理依旧分步计数原理；(3)分析题目条件，幸免〝选取〞时重复和遗漏；(4)列出式子运算和作答．二、典例剖析题型一：排列组合应用题解决此类问题的方法是：直截了当法，先考虑专门元素〔或专门位置〕，再考虑其他元素〔或位置〕；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；关于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一样是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件．例1、〔08安徽理12〕12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，假设其他人的相对顺序不变，那么不同调整方法的种数是〔〕A．B．C．D．解：从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，那么先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人那么要插入前排5人的空挡，有6种插法，故为；综上知选C．例2、〔08湖北理6〕将5名理想者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名理想者的方案种数为〔〕A．540B．300C．180D．150解：将5分成满足题意的3份有1，1，3与2，2，1两种，因此共有种方案，故D正确．例3、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为〔〕A．96B．48C．24D．0解：由题意分析，如图，先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放：7放入①，8放入②，5放入③，6放入④；或者6放入①，7放入②，8放入③，5放入④；两种放法．综上所述：共有种放法．应选B．例4、在正方体中，过任意两个顶点的直线中成异面直线的有____________对．解法一：连成两条异面直线需要4个点，因此在正方体8个顶点中任取4个点有种取法．每4个点可分共面和不共面两种情形，共面的不符合条件得去掉.因为在6个表面和6个体对角面中都有四点共面，故有种．但不共面的4点可构成四面体，而每个四面体有3对异面直线，故共有对．解法二：一个正方体共有12条棱、12条面对角线、4条体对角线，计28条，任取两条有种情形，除去其中共面的情形：〔1〕6个表面，每个面上有6条线共面，共有条；〔2〕6个体对角面，每个面上也有6条线共面，共有条；〔3〕从同一顶点动身有3条面对角线，任意两条线都共面，共有，故共有异面直线－－－=174对．题型二：求展开式中的系数例5、〔08广东理10〕〔是正整数〕的展开式中，的系数小于120，那么__________．解：按二项式定理展开的通项为，我们明白的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1．例6、假设多项式，那么a9等于〔〕A．9B．10C．－9D．－10解：=∴．例7、展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项．解：，依题意有，∴n=8．那么展开式中二项式系数最大的项为．设第r＋1项系数的绝对值最大，那么有．那么系数绝对值最大项为．例8、求证：．证：〔法一〕倒序相加：设①又∵②∵，∴，由①＋②得：，∴，即．〔法二〕：左边各组合数的通项为，∴．〔法三〕：题型三：求复杂事件的概率例9、〔08福建理5〕某一批花生种子，假如每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是〔〕A．B．C．D．解：由．例10、甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被剔除，然后负方的队员2号再与对方的获胜队员再赛，负者又被剔除，一直如此进行下去，直到有一方队员全被剔除时，另一方获胜，假设每个队员的实力相当，那么甲方有4名队员被剔除，且最后战胜乙方的概率是多少？解：依照竞赛规那么可知，一共竞赛了9场，同时最后一场是甲方的5号队员战胜乙方的5号队员，而甲方的前4名队员在前8场竞赛中被剔除，也确实是在8次独立重复试验中该事件恰好发生4次的概率，可得，又第9场甲方的5号队员战胜乙方的5号队员的概率为，因此所求的概率为．题型四：求离散型随机变量的分布列、期望和方差例11、某先生居住在城镇的A处，预备开车到单位B处上班. 假设该地各路段发生堵车事件差不多上相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．〔例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为〔1〕请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；〔2〕假设记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望解：〔1〕记路段MN发生堵车事件为MN．因为各路段发生堵车事件差不多上独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，因此路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为=1－[1－P〔AC〕][1－P〔CD〕][1－P〔DB〕]=1－；同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1－P〔〔小于〕．路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1－P〔〔小于〕．明显要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小．只可能在以上三条路线中选择．因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．〔2〕路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3．答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为例12、如下图，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的点和点，每只小蚂蚁都能够从每一个顶点处等可能地沿各条棱向各个方向移动，但不能按原线路返回．比如，甲在处时能够沿、、三个方向移动，概率差不多上；到达点时，可能沿、两个方向移动，概率差不多上，小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位．(Ⅰ)假设甲、乙两只小蚂蚁都移动1秒钟，那么它们所走的路线是异面直线的概率是多少？它们之间的距离为的概率是多少？(Ⅱ)假设乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒钟后，甲、乙两只小蚂蚁之间的距离的期望值是多少？解：(Ⅰ)甲蚂蚁移动1秒能够有三种的走法：即沿、、三个方向，当沿方向时，要使所走的路线成异面直线，乙蚂蚁只能沿、C1C方向走，概率为，同理当甲蚂蚁沿方向走时，乙蚂蚁走、C1C，概率为，甲蚂蚁沿时，乙蚂蚁走、，概率为，因此他们所走路线为异面直线的概率为；甲蚂蚁移动1秒能够有三种走法：即沿、、三个方向，当甲沿方向时，要使他们之间的距离为，那么乙应走，现在的概率为，同理，甲蚂蚁沿方向走时、甲蚂蚁沿方向走时，概率都为，因此距离为的概率为．(Ⅱ)假设乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲乙两个蚂蚁之间距离的取值有且只有两个：和，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、，因此其概率为，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、、因此其概率为，因此三秒后距离期望值为．例13、〔08湖北理17〕袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个〔n=1，2，3，4〕.现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．〔Ⅰ〕求ξ的分布列，期望和方差；〔Ⅱ〕假设η=aξ－b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．解：〔1〕的分布列为：0 1 2 3 4因此．〔2〕由，得，即，又，因此当时，由，得；当时，由，得．，或，即为所求．题型五：统计知识例14、〔08广东〕某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，那么应在三年级抽取的学生人数为〔〕一年级二年级三年级女生373男生377 370A．24B．18C．16D．12解：依题意我们明白二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．答案：C例15、在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布．成绩在90分以上〔含90分〕的学生有12名．〔Ⅰ〕试问此次参赛学生总数约为多少人？〔Ⅱ〕假设该校打算奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的〔部分〕标准正态分布表．0 1 2 3 4 5 6 7 8 91.2 1.3 1.41.92.0 2.1 0.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880. 98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857解：〔Ⅰ〕设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，P(≥90)＝1－P〔<90〕＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.0228．这说明成绩在90分以上〔含90分〕的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，因此，参赛总人数约为≈526〔人〕．〔Ⅱ〕假定设奖的分数线为x分，那么P(≥x)＝1－P〔<x〕＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1．故设奖的分数线约为83.1分.。
基础知识大筛查-排列组合二项式定理、概率与统计一、概率与分布列1. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率nmP(A)=. 2. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ . ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 注意：i.对立事件的概率和等于1：1)P(A P(A)=+=+；ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A ·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：k n k k n n P)(1P C (k)P --=. 3. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.4、离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(=i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 4. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：k n k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] ，随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n ，p ），其中n ，p 为参数互斥对立5. 超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C rm=，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 6．概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；⑵古典概型：基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P =)(；⑶几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( ；（4）n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：kn k k n n P)(1P C (k)P --=. （5）事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.二、数学期望与方差.n n 2211.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)(（2）两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p + q = 1） （3）二项分布：∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B （P 为发生ξ的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差σξξσξ.D =为ξ的标准差ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） （2）两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1）（3）二项分布：npq D =ξ三、正态分布.1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ” 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(σμσπ--=x ex f .（σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.四、抽样方法⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
“排列、组合、二项式、概率、统计”复习资料一、基础知识和方法梳理 （一）排列组合 1．计数两原理：分类计数原理：完成一件事情，有n 类方法，在第1类方法中又有m 1种不同的方式可以完成这件事情，在第2类方法中，又有m 2种方式，……第n 类方法中有m n 种方式可以完成，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N +++= 21分步计数原理：完成一件事情，需要分成n 步完成，在第1步中，有m 1种不同的方式可以完成这一步，在第2步中，有m 2种方式，……第n 步中，有m n 种方式可以完成这一步，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N ⨯⨯⨯= 21 2．排列：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
排列数)!(!)1()1(m n n m n n n A mn -=+--=3．组合：从n 个不同的元素中不重复选取m 个元素组成一组，与顺序无关； 组合公式：)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C mn -=+--=；组合数性质：m n n m n C C -=，mn m n m n C C C 11+-=+4．排列组合常用方法：分类讨论法：将0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个无重复数字的五位偶数？间接法：100件产品含有5件次品，从中任取5件，则至少含有一件次品的取法有多少种？ 捆绑、插空法：将3本语文书，3本数学书，2本英语书排成一排，数学书必须排在一起，英语书不能相邻，则有多少中排列方式？特殊元素特殊位置优先考虑法：例如，将0,1,2,3可以组成多少个无重复数字的四位数 分组法：将5个苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少一个苹果，有多少种分配方案？ 隔板法：例如，将10个相同的小球装入3个编号为1,2,3的盒子(每次要把10个球装完),要求每个盒子里球的个数不少盒子的编号数,这样的装法总数有多少种？ 等可能性法：六个字母a 、r 、r 、r 、b 、c 排成一排，有多少种排列方式？（二）二项式定理1．二项式定理：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(，其中rn C 为第1+r 项的二项式系数，=-nb a )(2．通项公式：rr n r n r b a C T -+=1,),1,0(n r =3．二项式定理的性质： （1）对称性，二项式系数是关于2n对称 （2）增减性与最大值，当n 为偶数时，二项式系数最大项为第12+n项，最大值为2nn C当n 为奇数时，二项式系数最大项为第121+-n 项和第121++n 项，最大值为2121+-=n n n n C C （3）二项式系数之和nn n n n C C C 210=+++奇数项与偶数项的二项式系数之和相等131202-=++=++n n n n n C C C C（三）概率1．概率的定义：在大量重复进行同一试验时事件A 发生的频率nm总是接近于某个常数p ，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做)(A P ．2．事件的和A+B ：表示事件A 和B 至少有一个发生； 事件的积A ×B ：表示事件A 和B 同时发生B A B A B A B A ⋅=++=⋅,3．常见的几种类型的概率计算：（1）等可能事件：可预知的有限个结果，且每个结果出现的可能性相同 计算方法：nm A P =)( （2）互斥事件：在一次试验中，事件A 发生了，则事件B 一定不会发生，事件B 发生了，事件A 不可能发生互斥事件有一个发生的概率计算方法：)()()(B P A P B A P +=+， 特殊的，对立事件：1)()(=+A P A P（3）相互独立事件：在一次试验中，事件A 发生与否对事件B 发生的概率没有影响，同理，事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，若A 与B 是独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 都是独立事件 独立事件同时发生的概率的计算方法：)()()(B P A P B A P ⋅=⋅（4）n 次独立重复事件恰有k 次发生的概率：kn k k n n p p C k P --=)1()(4．关于两个事件常见的概率计算：（若21)(,)(p B P p A P ==）5．注意事项（1）等可能事件的概率中，基本事件数目的计算可以分化得细致一点或粗略一点，这样虽然形式上有所差别，结果往往是一样的，通常有这样一些不同考虑：“整体考虑或局部考虑” 、“元素可辨或不可辨” 、“元素放回或不放回” 、“元素有序或无序”.（2）重视几种概率类型的混合，注意概率加法、乘法的混合运算，适当注意概率类型的突破. （3）准确理解文字（生活）语言，如“至少”、“至多”、“都”、“不都”、“都不”、“恰有几个”、“有几个”，“只有第几次”、“第几次”，“直到第几次”等等，然后等价转化为数学（概率）语言，并注意表述规范.（四）统计1．离散型随机变量的定义：若随机试验的结果可以用一个变量表示，这个变量叫做随机变量。
排列组合二项式定理、概率统计知识点总结精华1．抽样方法;⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会 ，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为 ；②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。
③从含有N 个个体的总体中,抽取n 个体,则每个体第一次被抽到概率1N,第二次被抽到概率1N,…,故每个个体被抽到的概率为n N,即每个个体入样的概率为n N.⑵系统抽样：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l ；④按预先制定规则抽取样本。
⑶分层抽样：当总体差异比较明显，将总体分成几部分，然后按照各部分 进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数⨯Nn ; 2. 总体特征数的估计：⑴样本平均数x = ；⑵方差222121[()()nS x x x x =-+-+2()]n x x ⋅⋅⋅+-去估计总体方差。
⑶样本标准差])()()[(122221x x x x x x n S n -+⋅⋅⋅+-+-==21)(1x x nni i-∑=3.(理科)排列数公式:!!()!(1)(1)(,,*)mn n m n m A n n n m m n m n N -=--+=≤∈,!n n A n =.组合数公式：(1)(1)()!(1)(2)321mm n nA n n n m C m n m m m m ⋅-⋅⋅⋅--==≤⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅,01nn n C C ==. 组合数性质：m n m n n C C -=；11r r r n n n C C C -++=.4. (理科)二项式定理：⑴掌握二项展开式的通项：1(0,1,2,...,)r n r rr nT C a b r n -+==； ⑵注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1项系数的区别. 6. 线性回归相关系数： =7．独立性检验（分类变量关系）：22()()()()()χ-=++++n ad bc a b c d a c b d .()20χ≥P x0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0x2.7063.841 5.024 6.635 7.87910.828随机变量2χ越大，说明两个分类变量，关系 ，反之，经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635。
当根据具体的数据算出的k>3.841时，有95%的把握说事件A 与B 有关；当k>6.635时，有99%的把握说事件A 与B 有关；当k ≤3.841时，认为事件A 与B 是无关的8. 统计学最关心的是：我们的数据能提供那些信息. 具体地说，面对一个实际问题，我们关心的是（1）如何抽取数据；（2）如何从数据中提取信息；（3）所得结论的可靠性.案例1 回归分析，函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系.学生的体重.作出散点图，得到回归方程是 712.85849.0ˆ-=x y所以，对于身高172cm 的女大学生，由回归方程可以预报其体重为316.60ˆ=y（kg ） 案例2 假设检验 假设检验是利用样本信息，根据一定概率，对总体参数或分布的某一假设作出拒绝或保留的决断，即在论述H 不成立的前提下，有利于H 的小概率事件发生，就推断H 发生.例2：某地区的羊患某种病的概率是0.4，且每只羊患病与否是彼此独立的，今研制一种新的预防药，任选6只羊做实验，结果6只羊服用此药后均未患病. 你认为这种药是否有效？现假设“药无效”，则事件“6只羊都不患病”发生的概率为0467.04.016≈-）（，这是一个小概率事件. 这个小概率事件的发生，说明“药无效”的假设不合理，应该认为药是有效的.案例3 独立性检验 独立性检验是对两种分类变量之间是否有关系进行检验.例3：为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果：（吸烟与患肺癌列联表;略）那么吸烟是否对患肺癌有影响？由列联表可以粗略估计出：在不吸烟者中，有0.54%患有肺癌；在吸烟者中，有2.28%患有肺癌.现在想要推断的论述是 H 0：吸烟与患肺癌没有关系 ----略 试题精粹江苏省20RR 年高考数学联考试题 7．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学20RR 届高三调研考试）用数字1,2,3作为函数c bx ax y ++=2的系数，则该函数有零点的概率为 ▲ ．（31） 4. （常州市20RR 届高三数学调研）现有性状特征一样的若干个小球，每个小球上写着一个两位数，一个口袋里放有标着所有不同的两位数的小球，现任意取一个小球，取出小球上两位数的十位数字比个位数字大的概率是 .0.57. （常州市20RR 届高三数学调研）在区间]1,1[-上任意取两点b a ,，方程02=++b ax x 的两根均为实数的概率为P ，则P 的取值范围为 .16921<<p 8．（姜堰二中学情调查（三））抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为R ，R ，则x y为整数的概率是 ．125. （泰州市20RR 届高三第一次模拟考试）某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为10人，则样本容量为 。
206. （泰州市20RR 届高三第一次模拟考试）设()()R x x x x f ∈--=322，则在区间[]ππ,-上随机取一个数x ，使()0<x f 的概率为 。
2π2．（江苏省南通市20RR 届高三第一次调研测试）已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下（含6环） 的概率为 ▲ 0.2．4、（南通市六所省重点高中联考试卷）指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等， 1． （无锡市1月期末调研）某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想收听电台整点报时，则他等待的时间短于5分钟的概率为 ▲ ．1125．（徐州市12月高三调研）已知集合π,,089n A n Z n αα⎧⎫==∈≤≤⎨⎬⎩⎭，若从A 中任取一个元素作为直线l 的倾斜角，则直线l 的斜率小于零的概率是 ▲ .495.（苏州市20RR 届高三调研测试）已知集合{}2,5A =,在A 中可重复的依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边恰好构成三角形”的概率是 ▲ . 5. 58【解析】“在A 中可重复的依次取出三个数,,a b c ”的基本事件总数为328=，事件“以,,a b c为边不能构成三角形”分别为()()()2,2,5,2,5,2,5,2,2,所以351.88P =-=22．若2011201122102011)21(x a x a x a a x ++++=- （R x ∈），求20112011221222aa a +++ 的值． 解：由题意得：2011,2,1,)2(2011=-=r C a r rr ， ………………………………………2 ∴201120112010201132011220111201120112011221222C C C C C a a a -++-+-=+++ ，…………………………6 ∵0201120112010201132011220111201102011=-++-+-C C C C C C …………………………8 ∴122220112011221-=+++a a a …………………………………………10 23．（江苏省南通市20RR 届高三第一次调研测试）【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8∶00，8∶20，8∶40这三个时刻随机发出，且在8∶00发出的概率为14，8∶20发出的概率为12，8∶40发出的概率为14；第二班客车在9∶00，9∶20，9∶40这三个时刻随机发出，且在9∶00发出的概率为14，9∶20发出的概率为12，9∶40发出的概率为14．两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8∶10到站．求：（1）请预测旅客乘到第一班客车的概率； （2）旅客候车时间的分布列； （3）旅客候车时间的数学期望．解：（1）第一班若在8∶20或8∶40发出，则旅客能乘到，其概率为P =12+14=34．………………………………………………………………………………3分 （2）旅客候车时间的分布列为：……6分（3）候车时间的数学期望为10×12＋30×14＋50×116＋70×18＋90×116=5＋152＋258＋354＋458=30． ……………………………………………………………9分答：这旅客候车时间的数学期望是30分钟．……………………………………………10分6. （南通市六所省重点高中联考试卷）计算机考试分理论考试与上机操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为35，34，23；在上机操作考试中合格的概率分别为910，56，78．所有考试是否合格相互之间没有影响． （1）甲、乙、丙三人在同一次计算机考试中谁获得“合格证书”可能性最大？ （2）求这三人计算机考试都获得“合格证书”的概率；（3）用ξ表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 4.解：记“甲理论考试合格”为事件1A ，“乙理论考试合格”为事件2A ，“丙理论考试合格”为事件3A ， 记i A 为i A 的对立事件，1,2,3i =；记“甲上机考试合格”为事件1B ，“乙上机考试合格”为事件2B ，“丙上机考试合格”为事件3B ．（1）记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A ，记“乙计算机考试获得合格证书”为事件B ，记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C ， 则3927()51050P A =⨯=，355()468P B =⨯=，277()3812P C =⨯=，有()()()P B P C P A >>，故乙获得“合格证书”可能性最大； ………………………………3分（2）记“三人该课程考核都合格” 为事件D ．()()()()112233P D P A B A B A B =⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦()()()112233P A B P A B P A B =⋅⋅⋅⋅⋅ ()()()()()()112233P A P B P A P B P A P B =⋅⋅⋅⋅⋅=35×910×34×56×23×78=63320， 所以，这三人该课程考核都合格的概率为63320． …………………6分（3）用ξ表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，则ξ可以取0，1，2，3，故ξ的分布列如下：E ξ=0×130+1×1360+2×920+3×310=1260 …………………10分8. （苏北四市20RR 届高三第一次调研考试）一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 ▲ . 3422、（宿迁市高三12月联考）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 22、解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．……………5分 （2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，， 故30.30.9E np ξ==⨯=．……………10分解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，………8分2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=， 3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．２．（无锡市1月期末调研）设在12个同类型的零件中有2个次品，现抽取3次进行检验，每次抽一个，并且取出不再放回，若以变量R 表示取出的次品个数．（1） 求R 的分布列；（2） 求R 的数学期望及方差． 2．（1）R 的分布列为：X0 1 2 ()P X611922122…………………………………………………………………………………………………………………6分 （2）6911()0121122222E X =⨯+⨯+⨯=，……………………………………………………………8分2291115()122222444V X =⨯+⨯-=．……………………………………………………………10分3. （无锡市1月期末调研）若二项式n+的展开式中的常数项为第五项． (1)求n 的值；(2)求展开式中系数最大的项．3．（1）1rn r r r n T C -+=， …………………………………………………………………１分x 的指数为032n r r --+=，………………………………………………………………………２分3(n x+的展开式中的常数项为第五项，∴4r =，…………………………………………3分解得：10n =． ………………………………………………………………………………４分（2）10110rr rr T C -+=，其系数为10102r r C -⋅．……………………………………………５分 设第1k +项的系数最大，则1019101010111101022,22,k k k k k k k kC C C C -+----⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩ …………………………………………６分 化简得：2(1)10,112,k k k k +≥-⎧⎨-≥⎩即811,33k ≤≤∴3k =，………………………………………………８分即第四项系数最大，553766410215360T C xx --=⋅⋅=．……………………………………………１０分 23．（徐州市12月高三调研）（本小题满分10分）将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响. 记正面向上的次数为奇数的概率为1P ，正面向上的次数为偶数的概率为2P . （Ⅰ）若该硬币均匀，试求1P 与2P ；（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为1(0)2p p <<，试比较1P 与2P 的大小. 23.解：（Ⅰ）抛硬币一次正面向上的概率为12P =，所以正面向上的次数为奇数次的概率为 151515(1)(3)(15)P P P P =+++111143312155151515111111()()()()()222222C C C =+++= …3分故112P P =-=21 ……………………………………………………5分 （Ⅱ）因为111433121515151515(1)(1)P C p p C p p C p =-+-++1， 0015221314141151515(1)(1)(1)P C p p C p p C p p =-+-++-2…………………………7分则001511142213151515(1)(1)(1)P P C p p C p p C p p -=---+-211414115151515(1)C p p C p++--1515[(1)](12)p p p =--=-，而102p <<，∴ 120p ->，∴ P P >21………10分 22．（盐城市第一次调研）（本小题满分10分）设,m n N ∈,()(12)(1)mnf x x x =+++.（Ⅰ）当m n ==20RR 时,记220110122011()f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，求012201a a a a -+-⋅-；（Ⅱ）若()f x 展开式中x 的系数是20，则当m 、n 变化时，试求2x 系数的最小值．22.解：（Ⅰ）令1x =-，得0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-=20112011(12)(11)1-+-=-……………4分（Ⅱ）因为112220m n C C m n +=+=，所以202n m =-,则2x 的系数为2222m n C C +2(1)(1)1422(202)(192)222m m n n m m m m --=⨯+=-+--=2441190m m -+……7分所以当5,10m n ==时，()f x 展开式中2x 的系数最小，最小值为85…………………………10分 23．（盐城市第一次调研）（本小题满分10分）有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子（各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体）决定是否过关，在闯第(1,2,3)n n =关时，需要抛掷n 次骰子，当n 次骰子面朝下的点数之和大于2n 时,则算闯此关成功,并且继续闯关，否则停止闯关. 每次抛掷骰子相互独立.（Ⅰ）求仅闯过第一关的概率；（Ⅱ）记成功闯过的关数为ξ，求ξ的分布列和期望． 23.解：（Ⅰ）记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A,则339()41664P A =⋅= ………………4分（Ⅱ）由题意得, ξ的取值有0,1,2,3,且1(0)4p ξ==, 9(1)64p ξ==, (2)p ξ==3135641664⋅⋅273512=, (3)p ξ==313841664⋅⋅39512=, 即随机变量ξ的概率分布列为:8分所以,19273397350123464512512512E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………10 8. （苏北四市20RR 届高三第二次调研）在区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，使得221{|20}x x ax a ∈+->的概率为 ▲ ．0.322. （苏北四市20RR 届高三第二次调研）（本小题满分10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,2a a (01)a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ. （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求实数a 的取值范围.22.(1)()P ξ是“ξ个人命中,3ξ-个人未命中”的概率.其中ξ的可能取值为0，1，2，3.0022121122(0)C 1C (1)(1)P a a ξ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭,1020121212111222(1)C C (1)C 1C (1)(1)P a a a a ξ⎛⎫==⋅-+--=- ⎪⎝⎭, 1102221212111222(2)C C (1)C 1C (2)P a a a a a ξ⎛⎫==⋅-+-=- ⎪⎝⎭,21221212(3)C C 2a P a ξ==⋅=.所以ξ的分布列为ξ22221112222410(1)1(1)2(2)32a a E a a a a ξ+=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=. ……………5分(2) ()221(1)(0)1(1)(1)2P P a a a a ξξ⎡⎤=-==---=-⎣⎦,22112(1)(2)(1)(2)22a P P a a a ξξ-⎡⎤=-==---=⎣⎦, 222112(1)(3)(1)22a P P a a ξξ-⎡⎤=-==--=⎣⎦. 由2(1)0,120,21202a a a a ⎧⎪-≥⎪-⎪≥⎨⎪⎪-≥⎪⎩和01a <<，得102a <≤,即a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦. …… 10分22. （苏州市20RR 届高三调研测试）（本小题满分10分）一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为X .⑴求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率； ⑵求X 的分布列及X 的数学期望. 22.【解析】（1）记“摸出的三球中既有红球又有白球”为事件A ，依题意知()122153533845.56C C C C P A C +== 所以摸出的三个球中既有红球又有白球的概率为45.56（2）()()0312535333881150,1,5656C C C C P X P X C C ====== ()()21305353338830102,3,5656C C C C P X P X C C ======所以X 的数学期望()1153010150123.565656568E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 试题精粹江苏省20RR 年高考数学联考试题 一、填空题:[] 4．（江苏省南通市20RR 年高三二模）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =1，BC =2．在BC 边上任取一点M ，则∠AMB ≥90°的概率为 ▲ ． 解析：由∠A =90°，AB =1，BC =2知BM =12,要使∠AMB ≥90° 则M 在BM 上运动，即11224P ==.5．（江苏省无锡市20RR 年普通高中高三质量调研）今年9月10日，某报社做了一次关于“尊师重教”的社会调查，在A 、B 、C 、D 四个单位回收的问卷数一次成等差数列，因报道需要，从回收的问卷中按单位分层抽取容量为300的样本，其中在B 单位抽的60份，则在D 单位抽取的问卷是 份。
