【全效学习】2018届中考数学全程演练：单元滚动专题卷(一)

单元滚动检测卷(六)【测试范围：第九单元 时间：100分钟 分值：100分】一、选择题(每题5分，共30分)1．下列说法正确的是( D )A ．长度相等的弧叫等弧B ．平分弦的直径一定垂直于该弦C ．三角形的外心是三条角平分线的交点D ．不在同一直线上的三个点确定一个圆【解析】 A ．能够完全重合的弧叫等弧，A 选项错误；B.平分弦(非直径)的直径一定垂直于该弦，B 选项错误；C.三角形的外心是三边垂直平分线的交点，C 选项错误；D.不在同一直线上的三个点确定一个圆，D 选项正确．故选D.2．如图1，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，连结AD ，BC ，BD ，下列结论中不一定正确的是 ( C )图1A ．AE ＝BEB ．AD ＝BDC ．OE ＝DED ．∠DBC ＝90°3．在圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的度数之比可能是( B )A ．1∶2∶3∶4B ．4∶2∶1∶3C ．4∶2∶3∶1D ．1∶3∶2∶44．[2017·日照]如图2，AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，连结PO 并延长交⊙O 于点C ，连结AC ，AB ＝10，∠P ＝30°，则AC 的长度是 ( A )A ．5 3B ．5 2C ．5 D.52图2 第4题答图【解析】 如答图，过点D 作OD ⊥AC 于点D ，∵AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，∴AB ⊥AP ，∴∠BAP ＝90°，∵∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∵OA ＝OC ，∴∠OAD ＝30°，∵AB ＝10，∴OA ＝5，∴OD ＝12AO ＝52，∴AD ＝AO 2－OD 2＝532，∴AC ＝2AD ＝5 3. 5．如图3，P 为⊙O 外一点，P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交P A ，PB 于点C ，D ，若P A ＝15，则△PCD 的周长为 ( D )图3A ．15B ．12C ．20D ．30【解析】 ∵P 为⊙O 外一点，P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交P A ，PB 于点C ，D ，∴AC ＝EC ，BD ＝DE ，AP ＝BP ，∵P A ＝15，∴△PCD 的周长为P A ＋PB ＝30.6．[2016·深圳]如图4，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C是AB ︵的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为( A ) A ．2π－4 B ．4π－8C ．2π－8D ．4π－4图4 第6题答图 【解析】 如答图，连结OC ，∵在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，正方形CDEF的顶点C 是AB ︵的中点，∴∠COD ＝45°，∴OC ＝（22）2＋（22）2＝4，∴S 阴影＝S 扇形BOC －S △ODC ＝45×π×42360－12×(22)2＝2π－4. 二、填空题(每题5分，共30分)7．[2017·白银]如图5，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝__58__°.图5 第7题答图【解析】 如答图，连结OB ，∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等腰三角形，∴∠OAB ＝∠OBA ＝32°，∴∠AOB ＝116°，∴∠C ＝58°.8．[2017·泰州]如图6，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，P 的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P 是△ABC 的外心，则点C 的坐标为__(7，4)或(6，5)或(1，4)__． 【解析】 ∵点A ，B ，P 的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．∴P A ＝PB ＝32＋22＝13，∵点C 在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P 是△ABC 的图6外心，∴PC ＝P A ＝PB ＝13＝22＋32，则点C 的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4)．9．如图7，在△ABC 中，∠C ＝90°，以AB 上一点O 为圆心，OA 长为半径的圆与BC 相切于点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F .若AC ＝6，AB ＝10，则⊙O的半径为__154__．图7 第9题答图 【解析】 如答图，连结OD .设⊙O 的半径为r .∵BC 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥BC .∵∠C ＝90°，∴OD ∥AC ，∴△OBD ∽△ABC .∴OD AC ＝OB AB ，即10r ＝6(10－r )，解得r ＝154.10．[2017·烟台]如图8，▱ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O交CD 于点E ，则劣弧DE ︵的长为__23π__．图8 第10题答图【解析】 如答图，连结OE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D ＝∠B ＝70°，AD ＝BC ＝6，∴OA ＝OD ＝3，∵OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠D ＝70°，∴∠DOE ＝180°－2×70°＝40°，∴DE ︵＝40π×3180＝23π.11．[2016·黄石]如图9，正方形ABCD 对角线AC 所在直线上有一点O ，OA ＝AC ＝2，将正方形绕O 点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是__2π＋2__．【解析】 用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上正方形ABCD 的面积即为阴影部分的面积．∵OA ＝AC ＝2，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2，OC ＝4，S 阴影＝60×π（42－22）360＋(2)2＝2π＋2. 12．如图10，在矩形ABCD 中，AD ＝8，E 是边AB 上一点，且AE ＝14AB .⊙O经过点E ，与边CD 所在的直线相切于点G (∠GEB 为锐角)，与边AB 所在直线相交于另一点F ，且EG ∶EF ＝5∶2.当边AD 或BC 所在的直线与⊙O 相切时，AB 的长是__12或4__．图10 第12题答图 【解析】 边AB 所在的直线不会与⊙O 相切．故当边BC 所在的直线与⊙O 相切时，如答图，过点G 作GN ⊥AB ，垂足为N ，设BC 与⊙O 切于点K ，连结OE ，OK .∴EN ＝NF ，又∵EG ∶EF ＝5∶2，∴EG ∶EN ＝5∶1.∵GN ＝AD ＝8，设EN ＝x ，则GE ＝5x ，根据勾股定理，得(5x )2－x 2＝64，解得x ＝4，GE ＝45，设⊙O 的半径为r ，由OE 2＝EN 2＋ON 2，得r 2＝16＋(8－r )2，∴r ＝5.∴OK ＝NB ＝5，∴EB ＝9，又∵AE ＝14AB ，∴AB ＝12.同理，当边AD所在直线与⊙O 相切时，AB ＝4.三、解答题(共40分)13．(8分)[2017·白银]如图11，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C .(1)若点A (0，6)，N (0，2)，∠ABN ＝30°，求点B 的坐标；图9(2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．图11 第13题答图解：(1)∵A的坐标为(0，6)，N(0，2)，∴AN＝4，∵∠ABN＝30°，∠ANB＝90°，∴AB＝2AN＝8，∴由勾股定理可知NB＝AB2－AN2＝43，∴B点坐标为(43，2)；(2)如答图，连结MC，NC.∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN＝90°，∴∠NCB＝90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD＝12NB＝ND，∴∠CND＝∠NCD，∵MC＝MN，∴∠MCN＝∠MNC，∵∠MNC＋∠CND＝90°，∴∠MCN＋∠NCD＝90°，即MC⊥CD.∴直线CD是⊙M的切线．14．(10分)如图12，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．(1)求AD的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．图12 第14题答图解：(1)如答图，连结BD ，则∠DBE ＝90°.∵四边形BCOE 是平行四边形，∴BC ∥OE ，BC ＝OE ＝1.在Rt △ABD 中，C 为AD 的中点，∴BC ＝12AD ＝1.∴AD ＝2；(2)BC 是⊙O 的切线．证明：如答图，连结OB ，由(1)得BC ∥OD ，且BC ＝OD ，∴四边形BCDO 是平行四边形．∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD .∴四边形BCDO 是矩形，∴OB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．15．(10分)[2016·湖州一模]如图13，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P .OF ∥BC 交AC 于点E ，交PC 于点F ，连结AF .(1)判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由；(2)已知⊙O 的半径为20，AF ＝15，求AC 的长．图13第15题答图 解：(1)AF 是⊙O 的切线．理由：如答图，连结OC .∵AB 是⊙O 直径，∴∠BCA ＝90°，∵OF ∥BC ，∴∠AEO ＝90°，∠1＝∠2，∠B ＝∠3，∴OF ⊥AC ，∵OC ＝OB ，∴∠B ＝∠1，∴∠3＝∠2， 在△OAF 和△OCF 中，⎩⎨⎧OA ＝OC ，∠3＝∠2，OF ＝OF ，∴△OAF≌△OCF(SAS)，∴∠OAF＝∠OCF，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCF＝90°，∴∠OAF＝90°，∴F A⊥OA，∴AF是⊙O的切线；(2)∵⊙O的半径为20，AF＝15，∠OAF＝90°，∴OF＝AF2＋OA2＝152＋202＝25，∵F A⊥OA，OF⊥AC，∴AC＝2AE，S△OAF ＝12AF·OA＝12OF·AE，∴15×20＝25AE，解得AE＝12，∴AC＝2AE＝24.16．(12分)[2017·威海]已知：AB为⊙O的直径，AB＝2，弦DE＝1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O的切线DF交BC 于点F.(1)如图14①，若DE∥AB，求证：CF＝EF；(2)如图②，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由．图14解：(1)证明：如答图，连结OD，OE，∵AB＝2，∴OA＝OD＝OE＝OB＝1，∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE，∴△ODE是等边三角形，∴∠ODE＝∠OED＝60°，∵DE∥AB，∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠EOB＝∠OED＝60°，∴△AOD和△BOE是等边三角形，∴∠OAD＝∠OBE＝60°，∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴∠EDF＝90°－60°＝30°，∴∠DFE＝90°，∴DF⊥CE，∴CF＝EF；(2)相等．理由：∵点E运动至与点B重合时，BC是⊙O的切线，又∵⊙O的切线DF交BC于点F，∴BF＝DF，∴∠BDF＝∠DBF，∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠FDC＝∠C，∴DF＝CF，∴BF＝CF.。

单元滚动专题卷(八)【测试范围：第十一单元 时间：120分钟 分值：150分】 一、选择题(每题4分，共40分)1．如图1，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则tan A 的值为(B )A ．2 B.12 C.55D.255 【解析】 tan A ＝BC AC ＝12. 2．计算2sin45°的结果等于(B )A. 2B ．1C.22D.12【解析】2sin45°＝2×22＝1.3．已知∠A 是锐角，sin A ＝35，则5cos A ＝ (A )A ．4B ．3C.154D ．5 4．计算：cos 245°＋tan60°·cos30°等于(C )A ．1B. 2C ．2D. 3【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋3×32＝12＋32＝2.5．如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD ＝(A )图2A.53B.23图1C.255D.52【解析】 在Rt △ABC 中， ∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴AB ＝3.∵∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∠B ＋∠BCD ＝90°， ∴∠ACD ＝∠B .∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.6．如图3，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，AC ＝22，BC ＝1，那么sin ∠ABD 的值是(A )A.223B.24C.23D ．2 2【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，AB ＝12＋（22）2＝3. ∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝223.7．如图4，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是(C )A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°【解析】 ∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22， ∴∠CAB ＝45°.∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°， ∴鱼竿转过的角度是15°.8．如图5，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°，已知滑梯AB 的长为3 m ，点D ，B ，C 在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD 的长是(C)图3图4图5A ．2 2 mB ．2 3 mC ．3 2 mD ．3 3 m【解析】 设AC ＝x ，∴BC ＝x . ∵滑梯AB 的长为3 m ， ∴2x 2＝9，解得x ＝322.∵∠D ＝30°，∴2AC ＝AD ，∴AD ＝3 2.故选C. 9．如图6，某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行23 h 到达B 处，那么tan ∠ABP ＝ (A )A.12 B ．2 C.55 D.255【解析】 ∵灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里，∴P A ＝20.∵客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行23 h 到达B 处，∴∠APB ＝90°，BP ＝60×23＝40， ∴tan ∠ABP ＝AP BP ＝2040＝12.故选A.10．如图7，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝35，BE ＝2，则tan ∠DBE 的值 (B ) A.12B ．2 C.52D.13图6图7【解析】 设菱形ABCD 边长为t . ∵BE ＝2， ∴AE ＝t －2. ∵cos A ＝35， ∴AE AD ＝35， ∴t －2t ＝35. ∴t ＝5， ∴AE ＝5－2＝3.∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4. ∴tan ∠DBE ＝DE BE ＝42＝2. 二、填空题(每题5分，共30分)11．如图8，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A ＝5．图8【解析】 过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ，设小正方形的边长为1，在Rt △ACD 中，CD ＝2，AC ＝25， ∴sin A ＝CD AC ＝225＝55. 12．计算：2sin30°＋2cos60°＋3tan45°＝__5__．13．△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，若sin A ＝32，cos B ＝12，则∠C ＝__60°__．【解析】 ∵△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，sin A ＝32，cos B ＝12， ∴∠A ＝∠B ＝60°.第11题答图∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－60°－60°＝60°.14．[2014·襄阳]如图9，在建筑平台CD 的顶部C 处，测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB 的底部B 的俯角为30°，已知平台CD 的高度为5 m ，则大树的高度为结果保留根号)．图9【解析】 如答图，作CE ⊥AB 于点E ， 在Rt △BCE 中， BE ＝CD ＝5 m ， CE ＝BEtan30°＝5 3 m ，在Rt △ACE 中，AE ＝CE ·tan45°＝5 3 m ， AB ＝BE ＋AE ＝(5＋53)m.15．如图10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，sin A ＝35，则DE ＝__154__．【解析】 ∵BC ＝6，sin A ＝BC AB ＝35， ∴AB ＝10， ∴AC ＝102－62＝8. ∵D 是AB 的中点， ∴AD＝12AB ＝5.第14题答图图10易证△ADE ∽△ACB ， ∴DE BC ＝AD AC ，即DE 6＝58，解得DE ＝154，故答案为154.16．[2015·杭州校级一模]如图11，在四边形ABCD 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，∠ADB ＝105°，sin ∠BDC ＝32，AD ＝4.则DC 的长为【解析】 作DH ⊥AB 于H ，如答图，∵∠A ＝30°，∴∠ADH ＝60°，DH ＝12AD ＝2， ∵∠ADB ＝105°，∴∠BDH ＝45°， ∴△BDH 为等腰直角三角形， ∴BD ＝2DH ＝22， 在Rt △BCD 中，∵sin ∠BDC ＝BC BD ＝32，∴BC ＝22×32＝6， ∴CD ＝BD 2－BC 2＝ 2. 三、解答题(共80分)17．(8分)[2015·安顺]计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2－(3.14－π)0＋||1－2－2sin45°.解：原式＝4－1＋2－1－2×22 ＝4－1＋2－1－2 ＝2.18．(8分)如图12，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，且∠BAC ＝60°，AD ＝10，求AB 的值．图11第16题答图图12解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝60°， ∴∠B ＝30°， ∴AB ＝2AC .∵AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠DAC ＝∠BAD ＝30°. 又∵AD ＝10，∠C ＝90°， ∴AC ＝53，∴AB ＝10 3.19．(8分)[2014·宁波]为解决停车难的问题，在如图13一段长56 m 的路段开辟停车位，每个车位是长5 m ，宽2.2 m 的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出多少个这样的停车位．(参考数据：2＝1.4)图13解：如答图，BC ＝2.2×sin45°＝2.2×22≈1.54 m ，CE ＝5×sin45°＝5×22≈3.5 m ， BE ＝BC ＋CE ≈5.04 m ，EF ＝2.2÷sin45°＝2.2÷22≈3.1 m ， (56－5.04)÷3.1＋1≈16＋1＝17(个)．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．20．(8分)[2015·铜仁]如图14，一艘轮船航行到B 处，测得小岛A 在船的北偏东60°的方向，轮船从B 处继续向正东方向航行200海里到达C 处时，测得小岛A 在船的北偏东30°的方向．已知在小岛170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？(参考数据：3＝1.732)第19题答图图14解：由题意，得BC ＝200，∠B ＝30°，∠ACD ＝60°，∠BAD ＝60°，∠D ＝90°，∴∠BAC ＝30°＝∠B ，∠CAD ＝30°， ∴AC ＝BC ＝200，∴CD ＝12AC ＝100，∴AD ＝3CD ≈173.2. ∵AD 的距离为173.2>170， ∴轮船无触礁的危险．21．(10分)[2015·徐州模拟]如图15，甲、乙两条轮船同时从港口A 出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向航行，1 h 后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了航行的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C 处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变．求： (1)港口A 与小岛C 之间的距离； (2)甲轮船后来的速度．解：(1)作BD ⊥AC 于点D ，如答图所示．由题意，得AB ＝30×1＝30海里，∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45°，在Rt △ABD 中， ∵AB ＝30海里，∠BAC ＝30°，∴BD ＝15海里，AD ＝AB ·cos30°＝153海里， 在Rt △BCD 中，∵BD ＝15海里，∠BCD ＝45°， ∴CD ＝15海里，BC ＝152海里， ∴AC ＝AD ＋CD ＝153＋15(海里)，图15第21题答图即A，C间的距离为(153＋15)海里；(2)∵AC＝153＋15(海里)，轮船乙从A到C的时间为153＋1515＝3＋1，由B到C的时间为3＋1－1＝3，∵BC＝152海里，∴轮船甲从B到C的速度为1523＝56(海里/小时)．22.(12分)[2014·广安]为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改．如图16，已知斜坡AB长60 2 m，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号)．(1)若修建的斜坡BE的坡比为3∶1，求休闲平台DE的长是多少米？(2)一座建筑物GH距离A点33 m远(即AG＝33 m)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑GH高为多少米？图16解：(1)∵BC⊥AC，∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形．∵DE∥AC，∴△BDF为等腰直角三角形．∵AB＝602，∴AC＝BC＝60.∵D为AB的中点，∴BD＝30 2.∴BF＝DF＝30.∵BE的坡比为3∶1，∴∠BEF＝60°.∴EF＝BF3＝303＝10 3.∴DE＝30－EF＝30－10 3.∴休闲平台DE的长为(30－103)m；(2)由题可知四边形GPDM为矩形．∵D为AB的中点，∴AD＝12AB＝30 2.∴AP＝DP＝GM＝30.∴MD＝GP＝33＋30＝63.∵tan∠HDM＝HMMD，即HM63＝33，∴HM＝6333＝21 3.∴GH＝GM＋HM＝30＋213(m)．∴建筑物GH高为(30＋213)m.23．(12分)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°＝12，cos30°＝32，则sin230°＋cos230°＝__1__；sin45°＝22，cos45°＝22，则sin245°＋cos245°＝__1__；sin60°＝32，cos60°＝12，则sin260°＋cos260°＝__1__；…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝__1__．(1)如图17，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；(2)已知：∠A为锐角(cos A>0)且sin A＝35，求cos A.图17解：(1)如答图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，BH 2＋AH 2＝AB 2，则sin A ＝BH AB ，cos A ＝AH AB .∴sin 2A ＋cos 2A ＝BH 2AB 2＋AH 2AB 2＝BH 2＋AH 2AB 2＝1；(2)∵sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A ＝35， ∴cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1625，∵cos A >0，∴cos A ＝45. 24．(14分)[2015·温州模拟]如图18，AB 是半圆O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交半圆O 于点E ，交AC 于点C ，使∠BED ＝∠C .(1)判断直线AC 与圆O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若AC ＝8，cos ∠BED ＝45，求AD 的长．图18解：(1)AC 与⊙O 相切．证明：∵弧BD 是∠BED 与∠BAD 所对的弧，∴∠BAD ＝∠BED ，∵OC ⊥AD ，∴∠AOC ＋∠BAD ＝90°，∴∠BED ＋∠AOC ＝90°，又∵∠BED ＝∠C ，即∠C ＋∠AOC ＝90°，∴∠OAC ＝90°，∴AB ⊥AC ，即AC 与⊙O 相切；第23题答图(2)连结BD.∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△AOC中，∠CAO＝90°，∵AC＝8，∠ADB＝90°，cos C＝cos∠BED＝4 5，∴ACCO＝cos C，∴CO＝10，∴AO＝6，∴AB＝12，在Rt△ABD中，∵cos∠OAD＝cos∠BED＝4 5，∴AD＝AB·cos∠OAD＝12×45＝485.。

第35课时 解直角三角形(60分)一、选择题(每题6分，共24分)1．[2015·长沙]如图35－1，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30 m 的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为(C)A.30tan αmB ．30sin α mC ．30tan α mD ．30cos α m2．[2015·南充]如图35－2，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是(C)A ．2海里B ．2sin55°海里C ．2cos55°海里D ．2tan55°海里【解析】 根据余弦函数定义“cos A ＝ABP A ”得AB ＝P A ×cos A ＝2cos55°.故选C.3．[2015·济宁]如图35－3，斜面AC 的坡度(CD 与AD 的比)为1∶2，AC ＝3 5 m ，坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连，若AB ＝10 m ，则旗杆BC 的高度为(A)A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．(3＋5)m【解析】 设CD ＝x ，则AD ＝2x ，由勾股定理可得，AC ＝5x ，∵AC ＝3 5 m ，∴5x ＝35，图35－1图35－2图35－3∴x ＝3 m ，∴CD ＝3 m ，∴AD ＝2×3＝6 m ， 在Rt △ABD 中，BD ＝8 m ，∴BC ＝8－3＝5 m.4．[2015·衡阳]如图35－4，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1 m 的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m 到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB (单位：m)为(C)A ．50 3B ．51C ．503＋1D ．101【解析】 由矩形CDFE ，得DF ＝CE ＝100 m ，由矩形EFBG ，得CD ＝GB ＝1 m ，因为∠ACE ＝30°，∠AEG ＝60°，所以∠CAE ＝30°，所以CE ＝AE ＝100 m ．在Rt △AEG 中，AG ＝sin60°·AE ＝32×100＝50 3 m ，所以AB ＝503＋1.故选C.二、填空题(每题6分，共18分)5．[2015·邵阳]如图35－5，某登山运动员从营地A 沿坡角为30°的斜坡AB 到达山顶B ，如果AB ＝2 000 m ，则他实际上升了__1__000__m.【解析】 图35－5过点B 作BC ⊥水平面于点C ， 在Rt △ABC 中，∵AB ＝2 000 m ，∠A ＝30°，∴BC ＝AB ·sin30°＝2 000×12＝1 000(m)．6．[2015·宁波]如图35－6，在数学活动课中，小敏为了测量校园图35－4图35－51第5题答图 图35－6内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是．(结果保留根号) 【解析】 在Rt △ACD 中， ∵tan ∠ACD ＝ADCD ， ∴tan30°＝AD9， ∴AD ＝3 3 m ，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝45°，∴BD ＝CD ＝9 m ， ∴AB ＝AD ＋BD ＝33＋9(m)．7．[2015·潍坊]观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图35－7，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°.已知楼房高AB 约是45 m ，根据以上观测数据可求观光塔的高CD 是__135__m. 【解析】 ∵爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°， ∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，tan30°＝AB AD ， ∴45AD ＝33，∴AD ＝453，∵在楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°， ∴在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝453×3＝135(m)． 三、解答题(共20分)8．(10分)[2015·台州]如图35－8，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知枕图35－7头上的点A 到调节器点O 处的距离为80 cm ，AO 与地面垂直．现调节靠背，把OA 绕点O 旋转35°到OA ′处．求调整后点A ′比调整前点A 的高度降低了多少厘米？(结果取整数)(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)图35－8解：如答图，过点A ′作A ′B ⊥AO ，交AO 于B 点，在Rt △A ′BO 中cos35°＝OBOA ′，OB ＝OA ′·cos35°＝80×0.82＝65.6≈66，∴AB ＝80－66＝14 cm ， 答：降低了14 cm.9．(10分)[2015·遂宁]如图35－9，一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ，从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10 m 到点D ，再次测得点A 的仰角为30°，求树高．(结果精确到0.1 m ．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图35－9解：由题意，∠B ＝90°，∠D ＝30°，∠ACB ＝45°，DC ＝10 m ， 设CB ＝x ，则AB ＝x ，DB ＝3x ，第8题答图∵DC＝10 m，∴3x＝x＋10，∴(3－1)x＝10，＝53＋5≈5×1.732＋5≈13.7.解得x＝103－1答：树高为13.7 m.(24分)10．(12分)[2015·成都]如图35－10，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200 m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)图35－10解：在直角△ADB中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝200 m，∴BD＝12AB＝100 m，在直角△CEB中，∵∠CEB＝90°，∠CBE＝42°，CB＝200 m，∴CE＝BC·sin42°≈200×0.67＝134 m，∴BD＋CE≈100＋134＝234 m.答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234 m.11．(12分)[2015·泰州]如图35－11，某仓储中心有一斜坡AB ，其坡度为i ＝1∶2，顶部A 处的高AC 为4 m ，B ，C 在同一水平地面上． (1)求斜坡AB 的水平宽度BC ；(2)矩形DEFG 为长方体货柜的侧面图，其中DE ＝2.5 m ，EF ＝2 m ，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF ＝3.5 m 时，求点D 离地面的高．(参考数据：5≈2.236，结果精确到0.1 m)图35－11解：(1)∵坡度为i ＝1∶2，AC ＝4 m ， ∴BC ＝4×2＝8 m ；(2)作DS ⊥BC ，垂足为S ，且与AB 相交于H . ∵∠DGH ＝∠BSH ，∠DHG ＝∠BHS ， ∴∠GDH ＝∠SBH ， ∴GH GD ＝12，∵DG ＝EF ＝2 m ，∴GH ＝1 m ，∴DH ＝ 5 m ，BH ＝BF ＋FH ＝3.5＋(2.5－1)＝5 m ， 设HS ＝x m ，则BS ＝2x m ， ∴x 2＋(2x )2＝52，∴x ＝ 5 m ， ∴DS ＝5＋5＝25≈4.5 m. ∴点D 离地面的高为4.5 m.第11题答图(14分)12．(14分)[2014·泸州]如图35－12，海中有两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值) 解：如答图，作CE⊥AB于点E，AF⊥CD于点F，∴∠AFC＝∠AEC＝90°.∵∠FCE＝90°，∠ACE＝45°，∴四边形AFCE是正方形．设AF＝FC＝CE＝AE＝x，则FD＝x＋30，∵tan D＝AFFD，∠AFD＝90°，∠D＝30°，∴33＝xx＋30，解得x＝153＋15，∴AE＝CE＝153＋15.∵tan∠BCE＝BECE，∠CEB＝90°，∠BCE＝30°，∴33＝BE153＋15，解得BE＝15＋5 3.∴AB＝AE＋BE＝153＋15＋15＋53＝203＋30. ∴A，B间的距离为(203＋30)海里．图35－12第12题答图。

单元滚动检测卷(一)【测试范围：第一单元及第二单元 时间：100分钟 分值：100分】 一、选择题(每题3分，共30分) 1．[2017·泸州]－7的绝对值为( A )A ．7B ．－7 C.17D ．－172．[2017·重庆B 卷]若x ＝－3，y ＝1，则代数式2x －3y ＋1的值为 ( B ) A ．－10 B ．－8 C ．4D ．103．[2017·重庆B 卷]估计13＋1的值在( C )A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间【解析】 ∵3<13<4，∴4<13＋1<5，故选C. 4．[2017·菏泽]⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2的相反数是( B )A ．9B ．－9 C.19D ．－19【解析】 根据负整数指数幂的计算法则可知⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，∵9的相反数是－9，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2的相反数是－9. 5．在3.141 592，(－3)2，cos60°，sin45°，227，(π－2 018)0，2.062 006 200 06…，－316，－34＋3 这9个数中，无理数的个数为( B )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．[2017·眉山]某微生物的直径为0.000 005 035 m ，用科学记数法表示该数为( A )A ．5.035×10－6B ．50.35×10－5C ．5.035×106D ．5.035×10－5【解析】 用科学记数法表示一个数，就是把一个数写成a ×10n 的形式(其中1≤|a |＜10，n 为整数)，首先把0.000 005 035的小数点向右移动6位变成5.035，也就是0.000 005 035＝5.035×0.000 001，最后写成5.035×10－6.7．[2017·威海]从新华网获悉，商务部5月27日发布的数据显示，一季度，中国与“一带一路”沿线国家在经贸合作领域保持良好的发展势头，双边货物贸易总额超过16 553亿元人民币.16 553亿用科学记数法表示为 ( C )A ．1.655 3×108B ．1.655 3×1011C ．1.655 3×1012D ．1.655 3×1013【解析】 16 553亿＝1 655 300 000 000＝1.655 3×1012. 8．[2017·枣庄]下列计算，正确的是( D )A.8－2＝ 6B.⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2＝－32 C.38＝2 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2 【解析】 8－2＝22－2＝2，A 错误；⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2＝32，B 错误；38＝2，C 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，D 正确．故选D.9．已知x －1x ＝7，则x 2＋1x 2的值是( D )A ．49B ．48C ．47D ．51【解析】 已知等式x －1x ＝7，两边平方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＝x 2＋1x 2－2＝49，则x 2＋1x 2＝51.10．如图1①是一个长为2a ，宽为2b (a ＞b )的矩形，用剪刀沿矩形的两条对称轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图②拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是( C )A ．abB ．(a ＋b )2C ．(a －b )2D ．a 2－b 2图1【解析】 由图可得正方形的边长为(a ＋b )，故正方形的面积为(a ＋b )2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空白部分的面积＝(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2. 二、填空题(每题3分，共15分)11．若式子x －2x －3有意义，则x 的取值范围为__x ≥2且x ≠3__．【解析】 根据二次根式有意义，分式有意义，得x －2≥0且x －3≠0，解得x ≥2且x ≠3.12．[2017·南充]计算：|1－5|＋(π－3)0＝．【解析】 ∵1－5＜0，π－3≠0，∴原式＝5－1＋1＝ 5. 13．[2017·济宁]分解因式：ma 2＋2mab ＋mb 2＝__m (a ＋b )2__． 14．[2016·枣庄]一列数a 1，a 2，a 3，…满足条件：a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n ≥2，且n 为整数)，则a 2 016＝__－1__．【解析】 根据题意求出a 1，a 2，a 3，…的值，找出循环规律即可求解．a 1＝12，a 2＝11－12＝2，a 3＝11－2＝－1，a 4＝11－（－1）＝12，…可以发现，这列数以12，2，－1的顺序循坏出现，2 016÷3＝672，∴a 2 016＝－1.15．[2016·宁波]下列图案(图2)是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…按此规律，图案⑦需__50__根火柴棒．图2【解析】 ∵图案①需火柴棒：8根；图案②需火柴棒：8＋7＝15根；图案③需火柴棒：8＋7＋7＝22根；…∴图案n 需火柴棒：8＋7(n －1)＝7n ＋1根；当n ＝7时，7n ＋1＝7×7＋1＝50，∴图案⑦需50根火柴棒． 三、解答题(共55分)16．(5分)[2017·岳阳]计算：2sin60°＋||3－3＋(π－2)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.解：原式＝2×32＋3－3＋1－112＝3＋3－3＋1－2＝2.17．(6分)已知代数式(x －2)2－2(x ＋3)(x －3)－11. (1)化简该代数式；(2)有人说不论x 取何值该代数式的值均为负数，你认为这一观点正确吗？请说明理由．解：(1)原式＝x 2－4x ＋4－2(x 2－3)－11 ＝x 2－4x ＋4－2x 2＋6－11＝－x 2－4x －1； (2)这个观点不正确，理由：反例：当x ＝－1时，原式的值为2(答案不唯一，合理即可)．18．(6分)如图3，根据a ，b ，c 在数轴上的位置，化简代数式a 2－|a －b |＋|a －c |.图3解：由数轴可知a ＜0，a －b ＞0，a －c ＜0， 则原式＝－a －a ＋b ＋c －a ＝b ＋c －3a . 19．(8分)[2017·泸州]化简：x －2x ＋1·⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x ＋5x 2－4.解：原式＝x －2x ＋1·x 2－4＋2x ＋5x 2－4＝x －2x ＋1·（x ＋1）2（x －2）（x ＋2）＝x ＋1x ＋2. 20．(8分)[2017·鄂州]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋3－3x x ＋1÷x 2－x x ＋1，其中x 的值从不等式组⎩⎨⎧2－x ≤3，2x －4＜1的整数解中选取．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x ＋1＋3－3x x ＋1÷x （x －1）x ＋1＝（x －2）（x －1）x ＋1·x ＋1x （x －1）＝x －2x ，解不等式组⎩⎨⎧2－x ≤3，2x －4＜1，得－1≤x ＜52， ∴不等式组的整数解有－1，0，1，2，∵要使原式有意义，则x 2－x ≠0，x ＋1≠0，即x ≠1，0，－1， ∴取x ＝2，则原式＝2－22＝0.21．(10分)已知(a ＋2＋3)2与|b ＋2－3|互为相反数，求(a ＋2b )2－(2b ＋a )(2b －a )－2a 2的值．解：∵(a ＋2＋3)2与|b ＋2－3|互为相反数， ∴(a ＋2＋3)2＋|b ＋2－3|＝0， 又∵(a ＋2＋3)2≥0，|b ＋23|≥0， ∴a ＝－2－3，b ＝－2＋3，则原式＝a 2＋4ab ＋4b 2－4b 2＋a 2－2a 2＝4ab ＝4×(－2－3)×(－2＋3)＝4. 22．(12分)对于任何实数，我们规定符号⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 的意义是⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .(1)按照这个规定，请你计算⎪⎪⎪⎪⎪⎪567 8的值； (2)按照这个规定，请你计算当x 2－3x ＋1＝0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 3x x －2 x －1的值． 解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 67 8＝5×8－6×7＝－2； (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 3x x －2 x －1＝(x ＋1)(x －1)－3x (x －2) ＝x 2－1－3x 2＋6x ＝－2x 2＋6x －1， 又∵x 2－3x ＋1＝0，∴x 2－3x ＝－1， ∴原式＝－2(x 2－3x )－1＝－2×(－1)－1＝1.单元滚动检测卷(二)【测试范围：第三单元及第四单元 时间：100分钟 分值：100分】 一、选择题(每题5分，共30分) 1．解分式方程3x x －3＋x ＋23－x＝3时，去分母后变形正确的是( D )A ．3x ＋(x ＋2)＝3(x －3)B ．3x －x ＋2＝3(x －3)C ．3x －(x ＋2)＝3D ．3x －(x ＋2)＝3(x －3)2．已知等腰三角形两边长分别为3和5，第三边是方程x 2－5x ＋6＝0的解，则这个三角形的周长是( C )A ．9B ．10C ．11D ．143．[2017·临沂]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＞1，①x ＋52≥1②中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是( B )【解析】 解不等式①，得x ＜1，解不等式②，得x ≥－3.∴原不等式组的解集为－3≤x ＜1，而x ≥－3在数轴上表示应该从－3向右画，并且用实心圆点，x ＜1在数轴上表示应该从1向左画，并且用空心圆圈，∴其解集在数轴上表示正确的应为选项B.4．[2017·安徽]一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x ，则x 满足( D )A ．16(1＋2x )＝25B ．25(1－2x )＝16C ．16(1＋x )2＝25D ．25(1－x )2＝165．关于x 的方程kx 2＋2x －1＝0有实数根，则k 的取值范围是 ( A )A ．k ≥－1B ．k ≥－1且k ≠0C ．k ≤－1D ．k ≤1且k ≠0【解析】 当k ＝0时，2x －1＝0，解得x ＝12；当k ≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x 的方程kx 2＋2x －1＝0有实数根，∴Δ＝22－4k ×(－1)≥0，解得k ≥－1，综上所述，k 的取值范围是k ≥－1.6．若不等式组⎩⎨⎧x ＋6<4x －3，x >m 的解集是x ＞3，则m 的取值范围是( C )A ．m ＞3B ．m ＝3C ．m ≤3D ．m ＜3【解析】 ⎩⎨⎧x ＋6<4x －3，①x >m ，②解①，得x >3，∵原不等式组的解集是x >3，∴m ≤3.二、填空题(每题5分，共35分)7．已知⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎨⎧mx ＋ny ＝2，nx －my ＝1的解，则m ＋3n 的值为__3__．【解析】 把⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1代入⎩⎨⎧mx ＋ny ＝2，nx －my ＝1，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝2，①2n －m ＝1，②①＋②，得m ＋3n ＝3.8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？译文：假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少？若设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为 ⎩⎨⎧5x ＋2y ＝10，2x ＋5y ＝8 ．9．分式方程1x －2＋42－x＝1的解是__x ＝－1__． 10．[2017·连云港]已知关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个相等的实数根，则m 的值是__1__.【解析】 根据一元二次方程根的判别式，可由方程有两个相等的实数根得 Δ＝b 2－4ac ＝4－4m ＝0，解得m ＝1. 11．若关于x 的方程2m －3x －1－xx －1＝0有增根，则m 的值是__2__． 【解析】 方程两边都乘(x －1)，得2m －3－x ＝0，∵方程有增根，即增根是x ＝1，把x ＝1代入整式方程，得m ＝2. 12．我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d 称作二阶行列式，规定它的运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 345＝2×5－3×4＝－2，如果有⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 3－x 1 x >0，则x 的取值范围是__x ＞1__. 【解析】 列不等式，得2x －(3－x )＞0，整理，得2x －3＋x ＞0，解得x ＞1. 13．[2017·湖州期中]如图1，某小区有一块长为30 m ，宽为24 m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m 2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为__2__m.图1【解析】 设人行通道的宽度为x m ，将两块矩形绿地合在一起，长为(30－3x )m ，宽为(24－2x )m ，由已知得(30－3x )·(24－2x )＝480，整理得x 2－22x ＋40＝0，解得x 1＝2，x 2＝20，当x ＝20时，30－3x ＝－30，24－2x ＝－16，不符合题意，舍去，∴x ＝2，即人行通道的宽度为2 m. 三、解答题(共35分)14．(8分)解方程：(1)x 2－2x －1＝0； (2)2x ＝32x －1.解：(1)配方，得x 2－2x ＋1＝2， (x －1)2＝2，x －1＝±2，x ＝1±2， ∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2； (2)去分母，得2(2x －1)＝3x ， 去括号，得4x －2＝3x ，解得x ＝2. 经检验，x ＝2是原方程的根．15．(8分)(1)用代入消元法解方程组⎩⎨⎧x －y ＝2，3x ＋5y ＝14.(2)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x >x －2，x ＋13>2x .解：(1)配方，得x 2－2x ＋1＝2， (x －1)2＝2，x －1＝±2，x ＝1±2， ∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2； (2)去分母，得2(2x －1)＝3x ， 去括号，得4x －2＝3x ，解得x ＝2. 经检验，x ＝2是原方程的根．16．(9分)已知关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋2mx ＋m ＋3＝0 有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根．解：(1)根据题意，得m －2≠0且Δ＝4m 2－4(m －2)(m ＋3)＞0，解得m ＜6且m ≠2；(2)m 满足条件的最大整数为5，则原方程化为 3x 2＋10x ＋8＝0，(3x ＋4)(x ＋2)＝0， 解得x 1＝－43，x 2＝－2.17．(10分)[2017·泰安]某水果商从批发市场用8 000元购进了大樱桃和小樱桃各200 kg ，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克贵20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？(2)该水果商第二次仍用8 000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200 kg ，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%.若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最低应为多少？解：(1)设小樱桃的进价为每千克x 元，大樱桃为每千克y 元，根据题意可得⎩⎨⎧200x ＋200y ＝8 000，y －x ＝20，解得⎩⎨⎧x ＝10，y ＝30.∴小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃为每千克30元， 200×[(40－30)＋(16－10)]＝3 200(元)． 答：销售完后，该水果商共赚了3 200元； (2)设大樱桃的售价为每千克a 元，(1－20%)×200×16＋200a －8 000≥3 200×90%， 解得a ≥41.6.答：大樱桃的售价最低应为每千克41.6元．单元滚动检测卷(三)【测试范围：第五单元 时间：100分钟 分值：100分】 一、选择题(每题5分，共30分)1．已知反比例函数y ＝－2x ，下列结论不正确的是( B )A ．图象必经过点(－1，2)B ．y 随x 的增大而增大C ．图象分布在第二、四象限内D ．若x ＞1，则－2＜y ＜0 2．对于抛物线y ＝－(x ＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x ＞1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为( C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图1，一次函数y 1＝k 1x ＋b (k 1≠0)的图象和反比例函数y 2＝k 2x (k 2≠0)的图象交于A (1，2)，B (－2，－1)两点，若y 1<y 2，则x 的取值范围是( D )A ．x <1B ．x <－2C ．－2<x <0或x >1D ．x <－2或0<x <14．[2017·海曙区模拟]如图2①是两圆柱形连通容器(连通处体积忽略不计)．向甲容器匀速注水，甲容器的水面高度h (cm)随时间t (min)之间的函数关系如图②所示，根据提供的图象信息，若甲的底面半径为1 cm ，则乙容器底面半径为( D)图2A ．5 cmB ．4 cmC ．3 cmD ．2 cm【解析】 观察函数图象可知，乙容器底面积为甲容器底面积的4倍，∴乙容器底面半径为2 cm.图15．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图3所示，给出下列四个结论：①4ac －b 2<0；②4a ＋c <2b ；③3b ＋2c <0；④m (am ＋b )＋b <a (m ≠－1)，其中正确结论的个数是( B )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【解析】 ∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，∴4ac －b 2＜0，①正确；∵对称轴是直线x ＝－1，和x 轴的一个交点在点(0，0)和点(1，0)之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，∴把点(－2，0)代入抛物线，得y ＝4a －2b ＋c ＞0，∴4a ＋c ＞2b ，②错误；∵把点(1，0)代入抛物线，得y ＝a ＋b ＋c ＜0，∴2a ＋2b ＋2c ＜0，∵－b 2a ＝－1，b ＝2a ，∴3b ＋2c ＜0，③正确；∵抛物线的对称轴是直线x ＝－1，∴y ＝a －b ＋c 的值最大，即把x ＝m (m ≠－1)代入，得y ＝am 2＋bm ＋c ＜a －b ＋c ，∴am 2＋bm ＋b ＜a ，即m (am ＋b )＋b ＜a .④正确．正确的结论有3个，故选B.6．[2017·宁波一模]当m ，n 是实数且满足m －n ＝mn 时，就称点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m n 为“奇异点”，已知点A 、点B 是“奇异点”且都在反比例函数y ＝2x 的图象上，点O 是平面直角坐标系原点，则△OAB 的面积为( B )A ．1B 32 C.2 D 52【解析】 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a b ，∵点A 是“奇异点”，∴a －b ＝ab ，∵a ·a b ＝2，则b ＝a 22，∴a －a 22＝a 32，而a ≠0，整理得a 2＋a －2＝0，解得a 1＝－2，a 2＝1，当a ＝－2时，b ＝2，当a ＝1时，b ＝12，∴A (－2，－1)，B (1，2)．设直线AB的表达式为y ＝mx ＋n ，把A (－2，－1)，B (1，2)代入，得⎩⎨⎧－2m ＋n ＝－1，m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1，∴直线AB 与y 轴的交点坐标为(0，1)，∴S △OAB ＝12×1×(2＋1)＝32. 二、填空题(每题5分，共30分)7．二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋3的图象的对称轴为__x ＝1__，顶点坐标为__(1，5)__．图38．[2017·历下区一模]如图4，直线y ＝kx ＋b 过A (－1，2)，B (－2，0)两点，则0≤kx ＋b ＜4的解集为__－2≤x＜0__．【解析】 直线y ＝kx ＋b 经过A (－1，2)，B (－2，0)两点，则有⎩⎨⎧－k ＋b ＝2，－2k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝4，则不等式组0≤kx ＋b ＜4可化为0≤2x ＋4＜4，解得－2≤x ＜0.9．图5是反比例函数y 1＝k 1x 和y 2＝k 2x (k 1＜k 2)在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A ，B 两点，若S △AOB ＝2，则k 2－k 1的值为__4__．图5【解析】 设A (a ，b )，B (c ，d )，代入两函数表达式，得k 1＝ab ，k 2＝cd ，∵S △AOB ＝2，∴12cd －12ab ＝2，∴cd －ab ＝4，∴k 2－k 1＝4.10．如图6，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是__x ≥12__.【解析】 依题意将点(－1，0)，(1，－2)代入二次函数y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧0＝（－1）2－b ＋c ，－2＝1＋b ＋c ， 解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2， ∴y ＝x 2－x －2，对称轴为x ＝12，∴当x ≥12时，y 随x 的增大而增大．11．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图7图4图6图7所示．对于下列说法：①abc ＜0；②当－1＜x ＜3时，y ＞0；③3a ＋c ＜0；④a －b ＋c ＜0，其中正确的是__①③④__(把正确的序号都填上)．【解析】 根据图象，得a ＜0，b ＞0，c ＞0，则abc ＜0，故①正确；当－1＜x ＜3时，图象有的点在x 轴的上方，有的点在x 轴的下方，故②错误；根据图象，该抛物线的对称轴是直线x ＝1，即－b 2a ＝1，则b ＝－2a ，那么当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＜0，故③正确；当x ＝－1时，对应的二次函数图象上的点一定在x 轴的下方，因而其纵坐标a －b ＋c ＜0，故④正确．12．[2017·铜山区二模]正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图8所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3…和点C 1，C 2，C 3…分别在直线y ＝kx ＋b (k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)，则B 2 017的坐标是__(22__017－1，22__016)__．图8【解析】 ∵B 1(1，1)，B 2(3，2)，四边形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2…是正方形，∴点A 1(0，1)，A 2(1，2)．∵点A 1，A 2，A 3，…在直线y ＝kx ＋b (k ＞0)上，∴⎩⎨⎧b ＝1，k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1，∴B n 的横坐标为A n ＋1的横坐标，纵坐标为A n 的纵坐标，又∵A n 的横坐标数列为A n ＝2n －1－1，∴纵坐标为2n －1，∴B n 的坐标为(2n －1，2n －1)．∴B 2 017的坐标是(22 017－1，22 016)．三、解答题(40分)13．(8分)已知反比例函数y ＝5－m x ，当x ＝2时，y ＝3.(1)求m 的值；(2)当3≤x ≤6时，求函数值y 的取值范围．解：(1)把x ＝2，y ＝3代入y ＝5－m x ，得5－m ＝6，解得m ＝－1；(2)当x ＝3时，由y ＝6x ，得y ＝2，x ＝6时，由y ＝6x ，得y ＝1，当3≤x ≤6时，y 随x 的增大而减小，所以函数值y 的取值范围是1≤y ≤2.14．(10分)如图9，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝m x的图象交于A (n ，3)，B (3，－1)两点．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)根据所给条件，请直接写出不等式kx ＋b ＞m x 的解集；(3)过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，连结AC ，求△ABC的面积S .解：(1)将点B (3，－1)代入反比例函数表达式，得－1＝m 3，解得m ＝－3，∴反比例函数表达式为y ＝－3x .∵点A (n ，3)在反比例函数y ＝－3x 的图象上，∴3＝－3n ，解得n ＝－1，即点A 的坐标为(－1，3)．将点A (－1，3)，点B (3，－1)分别代入一次函数表达式，得⎩⎨⎧3＝－k ＋b ，－1＝3k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝2.∴一次函表达析式为y ＝－x ＋2；(2)观察函数图象发现，当x ＜－1或0＜x ＜3时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴不等式kx ＋b ＞m x 的解集为x ＜－1或0＜x ＜3；(3)如答图，设一次函数y ＝－x ＋2与x 轴的交点为点D .令一次函数y ＝－x ＋2中y ＝0，则有0＝－x ＋2，解得x ＝2，则点D 坐标为(2，0)．∵点B 的坐标为(3，－1)，且BC ⊥x 轴，∴点C 的坐标为(3，0)，∴CD ＝3－2＝1.图9第14题答图S＝12CD·(y A－y B)＝12×1×[3－(－1)]＝2.15．(10分)某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60)元时，销售量为y套．(1)求出y与x的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，月销售额为14 000元？(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)销售单价为x元，则销售量减少x－605×20，则销售量为y＝240－x－605×20＝－4x＋480(60≤x≤120)；(2)根据题意，可得x(－4x＋480)＝14 000，解得x1＝70，x2＝50(不合题意，舍去)，答：当销售单价为70元时，月销售额为14 000元；(3)设一个月内获得的利润为W元，根据题意，得W＝(x－40)(－4x＋480)＝－4x2＋640x－19 200＝－4(x－80)2＋6 400.当x＝80时，W的最大值为6 400.答：当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6 400元．16．(12分)[2017·慈溪模拟]如图10，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx 与x轴交于O，A两点，与直线y＝x交于点B，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，2)．点P在抛物线上，过点P作y轴的平行线交射线OB于点Q，以PQ 为边向右作矩形PQMN，且PN＝1，设点P的横坐标为m(m＞0，且m≠2)．图10(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)求矩形PQMN 的周长C 与m 之间的函数关系式；(3)当矩形PQMN 是正方形时，求m 的值．解：(1)把A (3，0)，B (2，2)两点坐标代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＝0，4a ＋2b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3， 故抛物线所对应的函数表达式为y ＝－x 2＋3x ；(2)∵点P 在抛物线y ＝－x 2＋3x 上，∴可设P (m ，－m 2＋3m )，∵PQ ∥y 轴，且点Q 在直线y ＝x 上，∴Q (m ，m )．①当0＜m ＜2时，如答图①，PQ ＝－m 2＋3m －m ＝－m 2＋2m ，C ＝2(－m 2＋2m )＋2＝－2m 2＋4m ＋2.②当m ＞2时，如答图②，第16题答图①第16题答图②PQ ＝m －(－m 2＋3m )＝m 2－2m ，C ＝2(m 2－2m )＋2＝2m 2－4m ＋2.综上所述，C 与m 的函数关系式为C ＝⎩⎨⎧－2m 2＋4m ＋2（0＜m ＜2），2m 2－4m ＋2（m ＞2）； (3)∵矩形PQMN 是正方形，∴PQ ＝PN ＝1，当0＜m ＜2时，如答图③，－m 2＋2m ＝1，解得m ＝1.第16题答图③第16题答图④当m＞2时，如答图④，m2－2m＝1，解得m1＝1＋2，m2＝1－2(不合题意，舍去)．综上所述，m的值为1或1＋ 2.单元滚动检测卷(四)【测试范围：第六单元及第七单元时间：100分钟分值：100分】一、选择题(每题5分，共30分)1．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E，F 分别为AC，AB的中点，则EF＝(A)A．3B．4C．5D．6【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝102－82＝6.∵E，F分别为AC，AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝12BC ＝12×6＝3.故选A.2．[2017·临沂]如图2，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是(A) A．50°B．60°C．70°D．80°图1图2第2题答图【解析】如答图，先根据平行线的性质即可求得∠2＝∠3，再根据三角形外角的性质可求得∠3，进而得出答案．∵长方形的对边平行，∴∠2＝∠3，又∵∠3＝∠1＋30°，∴∠2＝∠1＋30°＝20°＋30°＝50°.3．如图3，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？(A)A．4 m B．3 mC．5 m D．7 m图3 第3题答图【解析】如答图，由题意，可知BE＝CD＝1.5 m，AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3(m)，AC＝5 m，由勾股定理，得CE＝52－32＝4(m)．故选A.4．如图4，∠E＝∠F，∠B＝∠C，AE＝AF，以下结论：①∠F AN＝∠EAM；②EM＝FN；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN.其中正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由题意可知，△ABE≌△ACF(AAS)，∴∠BAE＝∠CAF，∴∠F AN＝∠EAM，①正确；由①可得△AEM≌△AFN(ASA)，∴EM＝FN，②正确；∵由②可得AM＝AN，∴△ACN≌△ABM(AAS)，③正确；④无法得证，故不正确．∴正确的结论有3个．故选C.5．如图5，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，点D在BC上，且BD＝AB，图4连结AD ，则∠CAD 等于( B ) A ．30°B ．36°C ．38°D ．45°图5【解析】 ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝108°，∴∠B ＝12(180°－∠BAC )＝12×(180°－108°)＝36°，∵BD ＝AB ，∴∠BAD ＝12(180°－∠B )＝12×(180°－36°)＝72°，∴∠CAD ＝∠BAC －∠BAD ＝108°－72°＝36°.6．如图6，在Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使点A 与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为 ( C ) A.53B.52C ．4D ．5 【解析】 设BN ＝x ，由折叠的性质，可得DN ＝AN ＝9－x ，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝3，在Rt △NBD 中，x 2＋32＝(9－x )2，解得x ＝4.故选C.二、填空题(每题5分，共30分)7．如图7，AC 与BD 交于点P ，AP ＝CP ，从以下四个条件：①AB ＝CD ；②BP ＝DP ；③∠B ＝∠D ；④∠A ＝∠C 中选择一个，不一定能使△APB ≌△CPD 的是__①__.图7 图8 图68．如图8，在△ABC 中，已知∠B ＝46°，∠ACB ＝80°，延长BC 至点D ，使CD ＝CA ，连结AD ，则∠BAD 的度数为__94°__．【解析】 ∵∠ACB ＝80°，∴∠ACD ＝180°－∠ACB ＝180°－80°＝100°.又∵CD ＝CA ，∴∠CAD ＝∠D .∵∠ACD ＋∠CAD ＋∠D ＝180°，∴∠CAD ＝∠D ＝40°，∴∠BAD ＝180°－∠B －∠D ＝180°－46°－40°＝94°.9．泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图9，B是观察点，船A 在点B 的正前方，过点B 作AB 的垂线，在垂线上截取任意长BD ，C 是BD 的中点，观察者从点D 沿垂直于BD 的DE 方向走，直到点E ，船A 和点C 在一条直线上，那么△ABC ≌△EDC ，从而量出DE 的距离即为船离岸的距离AB ，这里判定△ABC ≌△EDC 的方法是__ASA __.【解析】 在△ABC 和△EDC 中，⎩⎨⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ，∴△ABC ≌△EDC (ASA )，∴AB ＝DE .10．如图10，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E .若AC ＝6 cm ，则AD ＝__2__cm.图10 第10题答图 【解析】 如答图，连结BD .∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，∴∠A ＝∠C ＝12(180°－∠ABC )＝30°，∵DE 垂直平分AB ，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝30°， 又∵∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝90°，∴在Rt △BDC 中，DC ＝2BD ，∴DC＝2AD .又∵AC ＝6，∴AD ＝13×6＝2(cm)．图911．如图11，在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两点，且AD ＝BD ，AE ＝CE ，∠ADE ＝82°，∠AED ＝84°，则∠BAC＝__97°__.【解析】 ∵AD ＝BD ，AE ＝CE ，∴∠B ＝∠BAD ，∠EAC＝∠C ，∵∠ADE ＝82°，∠AED ＝84°，∴∠B ＝12∠ADE＝41°，∠C ＝12∠AED ＝42°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝97°.12．如图12，DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线，分别交AB ，BC 于点D ，E ，AE 平分∠BAC ，若∠B ＝30°，则∠C 的度数为__90°__．图12【解析】 ∵DE 是AB 边的垂直平分线，∴EA ＝EB ，∴∠B ＝∠BAE .又∵∠B ＝30°，∴∠BAE ＝30°.又∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC ＝∠BAE ＝30°，即∠BAC ＝60°，∴∠C ＝180°－∠BAC －∠B ＝90°.三、解答题(共40分)13．(8分)如图13，一架梯子AB 长25 m ，斜靠在一墙面上：(1)若梯子底端离墙7 m ，这个梯子的顶端距地面有多高？(2)在(1)的条件下，如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米？解：(1)在Rt △AOB 中，AB ＝25 m ，OB ＝7 m ，∴OA ＝AB 2－OB 2＝252－72＝24(m)．答：梯子的顶端距地面24 m ；(2)根据题意，得AA ′＝4 m ，在Rt △A ′OB ′中，A ′O ＝24－4＝20(m)，OB ′＝A ′B ′2－OA ′2＝252－202＝15(m)，BB ′＝15－7＝8(m)．答：梯子的底端在水平方向上滑动了8 m. 图11图1314．(10分)如图14，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明．图14解：(1)△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB，△ABC≌△CDA(任选两组即可)；(2)选△ABE≌△CDF.证明：∵AF＝CE，∴AE＝CF，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(AAS)．15．(10分)如图15，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上的一点，E是AC 的中点．连结BE并延长交∠DAC的平分线AM于点F.(1)利用直尺和圆规把图补充完整，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)；(2)试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．图15第15题答图解：(1)如答图所示；(2)AF∥BC且AF＝BC.理由：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DAC＝∠ABC＋∠C＝2∠C.由作图可知，∠DAC＝2∠F AC，∴∠C＝∠F AC，∴AF∥BC.∵E是AC的中点，∴AE＝CE.在△AEF 和△CEB 中，⎩⎨⎧∠F AE ＝∠C ，AE ＝CE ，∠AEF ＝∠CEB ，∴△AEF ≌△CEB (ASA )，∴AF ＝CB .16．(12分)[2016·宁波一模]如图16，已知在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点D 从点A 出发，沿射线AB 方向以每秒1个单位长度的速度移动，同时点E 从点C 出发，沿射线CA 方向以每秒1个单位长度的速度移动．设点D 移动的时间为t (s)．图16(1)如图①，当0＜t ＜4时，连结DE ，记△ADE 的面积为S △ADE ，则当t 取何值时，S △ADE ＝2；(2)如图②，O 为BC 中点，连结OD ，OE .①当0＜t ＜4时，小明探索发现S △ADE ＋S △ODE ＝12S △ABC ，你认为他的发现正确吗？请做出判断并说明理由；②当t ＞4时，请直接写出S △ADE ，S △ODE ，S △ABC 之间的关系．解：(1)当0＜t ＜4时，∵AD ＝t ，AE ＝AC －CE ＝4－t ，∵∠A ＝90°，∴S △ADE ＝12AD ·AE ＝12t (4－t )＝2，解得t ＝2，∴当t ＝2时，S △ADE ＝2；(2)①正确，如答图①，连结AO .∵AD ＝CE ＝t ，∴BD ＝AE ＝4－t ，∵△ABC 是等腰直角三角形，O 为BC 中点，∴AO ＝BO ，∠B ＝∠EAO ＝45°，在△AOE 与△BOD 中，⎩⎨⎧AE ＝BD ，∠EAO ＝∠B ，OA ＝OB ，∴△AOE ≌△BOD (SAS )，∴S △AOE ＝S △BOD ，∴S △ADE ＋S △ODE ＝S △AOE ＋S △AOD ＝S △BOD ＋S △AOD ＝S △ABO ＝12S △ABC ；②S △ODE －S △ADE ＝12S △ABC .第16题答图① 第16题答图②如答图②，连结AO .∵S 四边形AEDO ＝S △AOE ＋S △ODE ＝S △ADE ＋S △BOD ＋S △ABO ，由题意可知AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．∴AO ＝BO ，∠ABC ＝∠C ＝∠BAO ＝∠CAO ＝45°.∴∠EAO ＝∠EAD ＋∠BAO ＝135°，∠DBO ＝180°－∠ABO ＝135°，∴∠EAO ＝∠DBO ，又∵CE ＝AD ，∴AE ＝BD ，∴△AOE ≌△BOD (SAS )，∴S △AOE ＝S △BOD ，∴S △ODE ＝S △ADE ＋S △ABO ，即S △ODE －S △ADE ＝12S △ABC .单元滚动检测卷(五)【测试范围：第八单元 时间：100分钟 分值：100分】一、选择题(每题5分，共30分)1．[2016·贵州]下列语句正确的是( C ) A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C ．矩形的对角线相等D ．平行四边形是轴对称图形2．如图1，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，AD ＝23，DE ＝2，则四边形OCED 的面积为( A ) A ．2 3 B ．4 C ．4 3 D ．8图1 第2题答图【解析】 如答图，连结OE ，与DC 交于点F ，∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，且AC ＝BD ，即OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∵OD ∥CE ，OC ∥DE ，∴四边形OCED 为平行四边形， ∵OD ＝OC ，∴四边形OCED 为菱形，∴DF ＝CF ，OF ＝EF ，DC ⊥OE ， ∵DE ∥OA ，且DE ＝OA ，∴四边形ADEO 为平行四边形，∵AD ＝23，∴OE ＝23，即OF ＝EF ＝3，在Rt △DEF 中，根据勾股定理，得DF ＝22－（3）2＝1，即DC ＝2，则S 菱形OCED ＝12OE ·DC ＝12×23×2＝2 3.3．如图2，小红在作线段AB 的垂直平分线时是这样操作的：分别以A ，B 为圆心，大于线段AB 长度的一半的长为半径画弧，相交于点C ，D ，则直线CD 即为所求．连结AC ，BC ，AD ，BD ，根据她的作图方法可知四边形ADBC 一定是( B ) A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形4．如图3，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 的长为( B )A.258 cmB.254 cmC.252 cm D ．6 cm 【解析】 设AF ＝x cm ，则DF ＝(8－x )cm ，∵DF ＝D ′F ，∴在Rt △AD ′F中，AF 2＝AD ′2＋D ′F 2，即x 2＝62＋(8－x )2，解得x ＝254cm.图3 图4 5．如图4，矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，∠CAE ＝15°，则下列结论：①△ODC 是等边三角形；②BC ＝2AB ；③∠AOE ＝135°；④S △AOE ＝S △COE ，其中正确结论有( C ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 根据矩形性质求出OD ＝OC ，根据角求出∠DOC ＝60°，即可得出△DOC 是等边三角形，进而得出AC ＝2AB ，即可判断②；求出∠BOE ＝75°，∠AOB ＝60°，相加即可求出∠AOE ，根据等底等高的三角形面积相等得出S △AOE ＝S △COE .∵四边形ABCD 是矩形，图2∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，∴OA＝OD＝OC＝OB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝45°，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝30°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAC＝30°，∴∠DOC＝60°，∵OD＝OC，∴△ODC是等边三角形，∴①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠DAC＝∠ACB＝30°，∴AC＝2AB，∵AC＞BC，∴2AB＞BC，∴②错误；∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°，∵AE平分∠DAB，∠DAB＝90°，∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∵∠ABE＝90°，∴∠AEB＝∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∵△ODC是等边三角形，∴OC＝CD，∵OC＝OB，CD＝AB，∴OB＝AB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO＝12(180°－∠OBE)＝75°，∵∠AOB＝∠DOC＝60°，∴∠AOE＝60°＋75°＝135°，∴③正确；∵OA＝OC，∴S△AOE ＝S△COE，∴④正确．故选C.6．如图5，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为(A) A．2 B．3C．4 D．5图5 第6题答图【解析】如答图，将△DAF绕点A顺时针旋转90°到△BAF′位置，由题意，得△DAF≌△BAF′，∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，∴∠F′AE＝45°，在△F AE和△F′AE中，⎩⎨⎧AF＝AF′，∠F AE＝∠F′AE，AE＝AE，∴△F AE≌△F′AE(SAS)，∴EF＝EF′，∵△ECF的周长为4，∴EF＋EC＋FC＝FC＋CE＋EF′＝FC＋BC＋BF′＝DF＋FC＋BC＝DC＋BC ＝4，∴2BC＝4，∴BC＝2.二、填空题(每题5分，共30分)7．如图6，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，再添加一个条件__AB∥CD或AD＝BC或∠A＋∠D＝180°或∠B＋∠C＝180°(答案不唯一，合理即可)__(写出一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形(图形中不再添加辅助线)．【解析】添加的条件可以是另一组对边AD与BC相等，也可以是AB与CD 这一组对边平行．8．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形．你添加的条件是__∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD(答案不唯一，合理即可)__(写出一个即可)．9．如图7，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是__4__cm.图6图7 图810．[2016·临沂]如图8，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG.若AB＝4，BC＝8，则△ABF的面积为__6__．【解析】∵将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG，由折叠的性质可知AF＝CF.设AF＝CF＝x，则BF＝8－x，在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2＋BF2＝AF2，42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即CF＝5，BF＝8－5＝3，∴S△ABF＝12×3×4＝6.11．如图9，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，∠ACD＝30°，BD＝6.则求AC的长为__(结果保留根号)．【解析】∵O为菱形对角线的交点，∴AC＝2OC，OD＝12BD＝3，∠COD＝90°.在Rt△COD中，ODOC＝tan∠OCD＝tan30°，∴OC＝ODtan30°＝333＝33，∴AC＝2OC＝6 3.12．如图10，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是__172__．图10第12题答图图9【解析】如答图，此时菱形的周长最大，设菱形的边长AC＝x，则AB＝4－x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即x2＝(4－x)2＋12，解得x＝17 8，∴菱形的最大周长为178×4＝172.三、解答题(共40分)13．(8分)如图11，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE ＝BC，AE＝AB，AE，DC相交于点O，连结DE.(1)求证：四边形ACED是矩形；(2)若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，CE＝BC，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，AD＝CE，AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵AB＝DC，AE＝AB，∴AE＝DC，∴四边形ACED是矩形；(2)∵四边形ACED是矩形，∴OA＝12AE，OC＝12CD，AE＝CD，∴OA＝OC，∵∠AOC＝180°－∠AOD＝180°－120°＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC＝AC＝4，∴CD＝8.14．(10分)如图12，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连结BF，CE.(1)求证：四边形BFCE是平行四边形；(2)当边AB，AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由．解：(1)证明：∵在△ABC中，D是BC边的中点，∴BD＝CD，∵CF∥BE，图11图12∴∠CFD ＝∠BED ，在△CFD 和△BED 中，⎩⎨⎧∠FDC ＝∠EDB ，CD ＝BD ，∠CFD ＝∠BED ，∴△CFD ≌△BED (AAS )，∴CF ＝BE ，∴四边形BFCE 是平行四边形；(2)当AB ＝AC 时，四边形BECF 是菱形，理由：∵AB ＝AC ，D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥BC ，∴四边形BECF 是菱形．15．(10分)如图13，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，经过点O 的直线交AB 于点E ，交CD 于点F .(1)求证：OE ＝OF ；(2)连结DE ，BF ，则EF 与BD 满足什么条件时，四边形DEBF 是矩形？并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OD ＝OB ，DC ∥AB ，∴∠DFO ＝∠BEO .在△DOF 和△BOE 中， ⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FOD ＝∠EOB ，OD ＝OB ，∴△DOF ≌△BOE (AAS )，∴OE ＝OF ；(2)当EF ＝BD 时，四边形DEBF 是矩形．理由：∵△DOF ≌△BOE ，∴DF ＝BE ，∵DF ∥BE ，∴四边形DEBF 为平行四边形，∵EF ＝BD ，∴四边形DEBF 是矩形．16．(12分)如图14，在正方形ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B ，直角顶点P 在射线AC 上移动，另一边交DC 于点Q .(1)如图①，当点Q 在DC 边上时，猜想并写出PB 与PQ 所满足的数量关系，并加以证明；图13(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．图14解：(1)PB＝PQ.证明：如答图①，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F.∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形．∵∠BPE＋∠QPE＝90°，∠QPE＋∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，又∵∠PFQ＝∠PEB＝90°，∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)，∴PB＝PQ；①②第16题答图(2)PB＝PQ.证明：如答图②，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∵∠ECF＝∠DCB＝90°，∴PC平分∠ECF，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF＋∠QPF＝90°，∠BPF＋∠BPE＝90°，∴∠BPE ＝∠QPF ，∴Rt △PQF ≌Rt △PBE (ASA )，∴PB ＝PQ .单元滚动检测卷(六)【测试范围：第九单元 时间：100分钟 分值：100分】一、选择题(每题5分，共30分)1．下列说法正确的是( D )A ．长度相等的弧叫等弧B ．平分弦的直径一定垂直于该弦C ．三角形的外心是三条角平分线的交点D ．不在同一直线上的三个点确定一个圆【解析】 A ．能够完全重合的弧叫等弧，A 选项错误；B.平分弦(非直径)的直径一定垂直于该弦，B 选项错误；C.三角形的外心是三边垂直平分线的交点，C 选项错误；D.不在同一直线上的三个点确定一个圆，D 选项正确．故选D.2．如图1，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，连结AD ，BC ，BD ，下列结论中不一定正确的是 ( C )图1A ．AE ＝BEB ．AD ＝BDC ．OE ＝DED ．∠DBC ＝90°3．在圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的度数之比可能是( B )A ．1∶2∶3∶4B ．4∶2∶1∶3C ．4∶2∶3∶1D ．1∶3∶2∶44．[2017·日照]如图2，AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，连结PO 并延长交⊙O 于点C ，连结AC ，AB ＝10，∠P ＝30°，则AC 的长度是 ( A )A ．5 3B ．5 2C ．5 D.52。

单元滚动检测卷(八)【测试范围：第十一单元 时间：100分钟 分值：100分】 一、选择题(每题5分，共30分)1．[2017·湖州]如图1，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是( A )A.35B.45C.34D.432．计算2sin45°的结果等于( B )A. 2B ．1C.22D.12【解析】 2sin45°＝2×22＝1.3．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝34，则cos B 的值为( B ) A.74 B.34 C.35D.454．如图2，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，AC ＝22，BC ＝1，那么 sin ∠ABD 的值是(A )图2A.223B.24C.23D ．2 2【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，AB ＝12＋（22）2＝3. ∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝223.图15．如图3，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 3 m，则鱼竿转过的角度是(C)A．60°B．45°C．15°D．90°【解析】∵sin∠CAB＝BCAC＝326＝22，∴∠CAB＝45°.∵sin∠C′AB′＝B′C′AC′＝336＝32，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，∴鱼竿转过的角度是15°.故选C.6．如图4，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝35，BE＝2，则tan∠DBE的值为(B)图4A.12B．2 C.52 D.13【解析】设菱形ABCD边长为t.∵BE＝2，∴AE＝t－2.∵cos A＝35，∴AEAD＝35，∴t－2t＝35，∴t＝5，∴AE＝5－2＝3，∴DE＝AD2－AE2＝52－32＝4，∴tan∠DBE＝DEBE＝42＝2.二、填空题(每题5分，共30分)7．如图5，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A＝__55__．图5 第7题答图图3【解析】 如答图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D .设小正方形的边长为1，在Rt △ACD 中，CD ＝2，AC ＝25，∴sin A ＝CD AC ＝225＝55.8．计算：2sin30°＋2cos60°＋3tan45°＝__5__．9．[2017·广丰区一模]已知对任意锐角α，β均有：cos(α＋β)＝cos α·cos β－ sin α·sin β，则cos75°＝__6－24__.【解析】 cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°·cos45°－sin30°·sin45°＝32×22－12×22＝6－24.10．[2016·杭州模拟]如图6，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P 与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为 __cm(用根式表示)．图6第10题答图【解析】 如答图，过P 作PM ⊥AB 于M .在Rt △ABP 中，PB ＝AB ·cos30°＝8×32＝43，在Rt △BPM 中，PM ＝PB ·sin30°＝4 3 ×12 ＝2 3.故此时水杯中的水深为(10－23) cm.11．如图7，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，sin A ＝35，则DE ＝__154__．【解析】 ∵BC ＝6，sin A ＝BC AB ＝35，∴AB ＝10，∴AC ＝图7102－62＝8.∵D 是AB 的中点，∴AD ＝12AB ＝5.易证△ADE ∽△ACB ， ∴DE BC ＝AD AC ，即DE 6＝58，解得DE ＝154.12．[2017·乐清模拟]如图8，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且满足AC ＝DC ＝DE ＝BE ＝1，则tan A ＝【解析】 设∠B ＝x °，∵BE ＝DE ，∴∠B ＝∠BDE ＝x °， ∴∠CED ＝2x °，又∵DE ＝DC ，∴∠ECD ＝∠CED ＝2x °. ∴∠DCA ＝∠ACB －∠ECD ＝90°－2x °.∵Rt △ABC 中，∠A ＝90°－∠B ＝90°－x °.又∵CA ＝CD ，∴∠ADC ＝∠A ＝90°－x °.∵△ACD 中，∠ACD ＋∠A ＋∠ADC ＝180°，∴(90－2x °)＋2(90－x °)＝180°，解得x ＝22.5，则∠CED ＝∠ECD ＝45°，∴△ECD 是等腰直角三角形，∴EC ＝ 2 CD ＝2，∴BC ＝ 2＋1，∴tan A ＝ BCAC ＝2＋1. 三、解答题(共40分)13．(5分)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2－(3.14－π)0＋|1－2|－2sin45°.解：原式＝4－1＋2－1－2×22＝4－1＋2－1－2＝2.14．(5分)为解决停车难的问题，在如图9一段长56 m 的路段开辟停车位，每个车位是长5 m ，宽2.2 m 的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出多少个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图9 第14题答图解：如答图，BC ＝2.2×sin45°＝2.2×22≈1.54(m)，CE ＝5×sin45°＝5×22≈3.5(m)， BE ＝BC ＋CE ≈5.04(m)，EF ＝2.2÷sin45°＝2.2÷22≈3.1(m)，图8(56－5.04)÷3.1＋1≈16＋1＝17(个)．答：这个路段最多可以划出17个这样的停车位．15．(8分)[2017·嵊州模拟]小州在堤边垂钓，如图10，钓竿OA 的倾斜角α为60°，河堤AC 的坡角β为45°，且AC ＝2 m ，AO ＝4 m ，钓竿AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，其中浮漂在点B 处． (1)求点O 到水面的垂直距离； (2)求浮漂B 与河堤点C 之间的距离．图10第15题答图解：(1)如答图，作OD ⊥BC 于D ，AF ⊥BC 于F ，AE ⊥OD 于E ， ∵河堤AC 的坡角β为45°， ∴AF ＝CF ＝AC ·sin ∠ACF ＝2， ∵钓竿OA 的倾斜角α为60°， ∴OE ＝OA ·sin ∠OAE ＝23，AE ＝2， 则OD ＝OE ＋DE ＝OE ＋AF ＝2 3 ＋2， 答：点O 到水面的垂直距离为(23＋2)m ；(2)由题意得∠BOD ＝30°，∴BD ＝OD ·tan30°＝63＋2，∴BC ＝BD ＋AE －CF ＝63＋4－ 2.答：浮漂B 与河堤点C 之间的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫63＋4－2m.16．(10分)[2017·余姚模拟]如图11，我国某艘海舰船沿正东方向由A 向B 例行巡航南海部分区域，在航线AB 同一水平面上，有三座岛屿C ，D ，E .船在A 处时，测得岛C 在A 处南偏东15°方向距离A 处2a (a ＞0)海里，岛D 在A 处南偏东60°方向距离A 处a 海里，岛E 在A 处东南方向，当船航行到达B处时，此时测得岛E 恰好在船的正南方．(1)请说明船航行的距离AB 正好是岛E 与B 处的距离； (2)若岛D 距离B 处18海里，求岛C ，E 之间的距离．图11第16题答图解：(1)如答图，连结AE ， ∵岛E 在A 处东南方向， ∴∠BAE ＝∠EAF ＝45°， ∵E 恰好在B 的正南方， ∴∠ABE ＝90°，∴∠BEA ＝45°，∴AB ＝EB ，∴船航行的距离AB 正好是岛E 与B 处的距离； (2)∵∠ABE ＝90°，∠BAE ＝45°， ∴sin ∠BAE ＝BE AE ＝22＝AD AC ，∴AB AE ＝ADAC ， ∵∠CAF ＝15°，∠DAF ＝60°， ∴∠DAC ＝∠DAF －∠CAF ＝45°，∴∠BAE －∠DAE ＝∠DAC －∠DAE ，即∠BAD ＝∠EAC ， ∴△BAD ∽△EAC ，∴BD EC ＝AD AC ＝22， ∵BD ＝18海里，∴CE ＝18 2海里．17．(12分)如图12，AB 是半圆O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交半圆O 于点E ，交AC 于点C ，使∠BED ＝∠C .(1)判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若AC ＝8，cos ∠BED ＝45，求AD 的长．解：(1)AC 与⊙O 相切．证明：∵BD ︵是∠BED 与∠BAD 所对的弧， ∴∠BAD ＝∠BED ， ∵OC ⊥AD ，∴∠AOC ＋∠BAD ＝90°， ∴∠BED ＋∠AOC ＝90°，又∵∠BED ＝∠C ，即∠C ＋∠AOC ＝90°， ∴∠OAC ＝90°，∴AB ⊥AC ，即AC 与⊙O 相切； (2)如答图，连结BD . ∵AB 是⊙O 直径， ∴∠ADB ＝90°，在Rt △AOC 中，∠CAO ＝90°， ∵AC ＝8，cos C ＝cos ∠BED ＝45，∴AC CO ＝45，∴CO ＝10，AO ＝6，∴AB ＝12， 在Rt △ABD 中，∵cos ∠BAD ＝cos ∠BED ＝45， ∴AD ＝AB ·cos ∠BAD ＝12×45＝485.图12。

2018年中考数学试卷说明：1.全卷共6页，满分为150 分，考试用时为120分钟。

2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号。

用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑。

3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。

4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再这写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

5.考生务必保持答题卡的整洁。

考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共42分）一、选择题：本大题共16个小题,共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列运算结果为正数的是（）23)?( B． CA．． D．2017)??(0322?3??n（，为整数）的形式，则为（）2.把0.0813写成an10?a10?1?a A． B． C． D．8.130.8132?13.用量角器测量的度数，操作正确的是（）MON?m个22?2?…?2?（）4. 3?3?…?3n个3m22mm22mD．．C．．AB 3n n33nn35.图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（）A．① B．② C．③ D．④6.如图为张小亮的答卷，他的得分应是（）A．100分 B．80分 C．60分 D．40分7.若的每条边长增加各自的得，则的度数与其对应角的度数相比'C10%B?A'?ABC'B'??B（）A．增加了 B．减少了 C．增加了 D．没有改变10%)(1?10%10%8.如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是（）9.求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形是菱形，对角线，交于点．OABCDACBD求证：．BD?AC 以下是排乱的证明过程：①又，DO?BO②∴，即．BDAC?AO?BD③∵四边形是菱形，ABCD④∴．ADAB?证明步骤正确的顺序是（）A．③→②→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．①→④→③→②同时出发，并以等速驶向某、在码头10.如图，码头的正西方向，甲、乙两船分别从BBAA为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（）,海域，甲的航向是北偏东?35 B．北偏东A ．北偏西．北偏西．北偏东CD??553555??3511.如图是边长为10的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪cm线长度所标的数据（单位：）不正确的（）cm12.如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（）?1003?4??644??4?4?4664?4?4 BA．．．． C D64?4?4?3?2x1，则（若13.）中的数是（）（）??x?1x?1A． B． C． D．任意实数3?21??14.甲、乙两组各有12名学生，组长绘制了本组5月份家庭用水量的统计图表，如图，比较5月份两组家庭用水量的中位数，下列说法正确的是（）A．甲组比乙组大 B．甲、乙两组相同 C．乙组比甲组大 D．无法判断2?x3?y?x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是15.如图，若抛物线与k（）的图象是（整数）的个数为，则反比例函数）?y0?xk x16.已知正方形和正六边形边长均为1，把正方形放在正六边形中，使边OKABCDEFMNOK与边重合，如图所示．按下列步骤操作：AB将正方形在正六边形中绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旋转；再绕点BCKMB 顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，CDCMN点，间的距离可能是（）MBA．1.4B．1.1C．0.8D．0.5第Ⅱ卷（共78分）个小题，满分10分，将答案填在答题纸上）二、填空题（本题共有3，连接不能直接测量其距离．如图，，两点被池塘隔开，于是，小明在岸边选一点，17.CACBA，分别延长到点，，使，，测得，则，间的距离mBCMN?200??CBNAMACBNBAM m．为?．18.如图，依据尺规作图的痕迹，计算???????1,2两数中较小的数，如min，因此对于实数，，我们用符号min1p,q，表示19.ppqq???22?32,min??；若．，则?x1?,(minx?1)x三、解答题（本大题共7小题，共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）20.在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中，，如图所示．设点1?BCC2?AABB，，所对应数的和是．pCBA（1）若以为原点，写出点，所对应的数，并计算的值；若以为原点，又是多少？ppCCAB（2）若原点在图中数轴上点的右边，且，求．p28COC?O21.编号为号的5名学生进行定点投篮，规定每人投5次，每命中1次记1分，没有命中51~记0分．如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图，之后来了第6号学生也按同样记分规定投了5次，其命中率为．40%（1）求第6号学生的积分，并将图增补为这6名学生积分的条形统计图；（2）在这6名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于的学生的概率；50%（3）最后，又来了第7号学生，也按同样记分规定投了5次．这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数，求这个众数，以及第7号学生的积分．22.发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．2222232?1?1)(???0的结果是5）的几倍？验证（1（2）设五个连续整数的中间一个为，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．n23.如图，，为中点，点在线段上（不与点，重合），将绕点逆OCO16OOBOCAB?BAB CD于点，，且点，在异时针旋转后得到扇形，，分别切优弧QQBQ COD270?ABPAPP侧，连接．OP（1）求证：；BQAP??34BQ?）；的长（结果保留（2）当时，求QD（3）若的外心在扇形的内部，求的取值范围．OCAPO?COD339xx轴，直线轴交于点与24.如图，直角坐标系中，，直线与?y??x(0,5)xOyA5??xD88x轴对称，连接．关于，及直线．点，分别交于点C??5xABEBE（1）求点，的坐标及直线的解析式；CABE S?S?S，求（2）设面积的和的值；S ABDO?CDE（3）在求（2）中时，嘉琪有个想法：“将沿轴翻折到的位置，而与四x CDB?CDE?SCDB?边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积不更快捷吗？”但大AOC??AOCABDOS S?S，请通过计算解释他的想法错在哪里．家经反复验算，发现AOC?4．点为边上任意一点，，25.平面内，如图，在中，，?Atan15?10ABCDADAB?ADP3连接，将绕点逆时针旋转得到线段．PQ?90PPBPB（1）当时，求的大小；??10?DPQ APB?（2）当时，求点与点间的距离（结果保留根号）；Q23:tanA??tanABP:B（3）若点恰好落在的边所在的直线上，直接写出旋转到所扫过的面积（结PQQ ABCDPB?）．果保留x（件）完成一种产品的生产，其中．每件的售价为某厂按用户的月需求量26.18万元，0x?x（件）浮动价与月需求量是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，每件的成本（万元）y xnn为整数，成反比．经市场调研发现，月需求量（与月份）符合关系式12?1?n2?2kn?9(k?2x?n3)（为常数），且得到了表中的数据．k2 1 月份（月）n12 11 件）成本（万元/y100（件需求量/月） 120x 12万元；满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是（1）求与y x）求，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；（2k．个月的利润相差最大，求个月和第3（）在这一年12个月中，若第mm1)?(m。

单元滚动专题卷(二)【测试范围：第三单元及第四单元 时间：120分钟 分值：150分】一、选择题(每题4分，共40分)1．[2015·杭州模拟]方程x －2＝x (x －2)的解为(D)A ．x ＝0B ．x 1＝0，x 2＝2C ．x ＝2D ．x 1＝1，x 2＝22．[2015·平遥县模拟]一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况为(B)A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3．[2015·重庆校级模拟]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，2x －5≤1的解集在数轴上表示正确的是(C)4．[2015·临淄区校级模拟]方程1－x x －2＋2＝12－x 的解为(D)A ．x ＝2B ．x ＝4C ．x ＝3D ．无解【解析】 去分母，得1－x ＋2(x －2)＝－1，解得x ＝2， 经检验x ＝2是原方程的增根，所以原方程无解．5．[2015·诸城校级一模]某厂一月份的总产量为500 t ，三月份的总产量达到720 t ．若平均每月增长率是x ，则可以列方程(B)A ．500(1＋2x )＝720B ．500(1＋x )2＝720C ．500(1＋x 2)＝720D ．720(1＋x )2＝5006．[2015·仁寿县一模]已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 (D)A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a ＜－2D ．a ＜2且a ≠1【解析】 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－2)2－4×(a －1)＝4－4a ＋4＝8－4a ＞0， 解得a ＜2，又∵a ≠1， ∴a 的取值范围为a <2且a ≠1.7．[2015·石家庄模拟]已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝m ，nx －y ＝1的解，则m ＋n 的值是(B)A ．0B ．－2C ．1D ．3【解析】 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝m ，－n －2＝1，解得m ＝1，n ＝－3，则m ＋n ＝1－3＝－2.8．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6<4x －3，x >m的解集是x ＞3，则m 的取值范围是(C)A ．m ＞3B ．m ＝3C ．m ≤3D ．m ＜3【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6<4x －3， ①x >m ， ②解①得x >3，因为不等式的解集是x >3， 则m ≤3.9．[2015·潍坊校级一模]若关于x 的一元二次方程x 2＋(k ＋3)x ＋2＝0的一个根是－2，则另一个根是(C)A ．2B ．1C ．－1D ．0【解析】 设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋(k ＋3)x ＋2＝0的两个根，得x 1·x 2＝2，即－2x 2＝2，解得x 2＝－1.即方程的另一个根是－1.10．[2015·石家庄模拟]为了维修某高速公路需开凿一条长为1 300 m 的隧道，为了提高工作效率，高速公路建设指挥部决定由甲、乙两个工程队从两端同时开工．已知甲工程队比乙工程队每天能多开凿10 m ，且甲工程队开凿300 m 所用的天数与乙工程队开凿200 m 所用的天数相同，则甲、乙两个工程队每天各能开凿多少米(B)A ．甲20、乙30B ．甲30、乙20C ．甲40、乙30D ．甲20、乙50【解析】 设乙工程队每天能开凿x m ，那么甲工程队每天能开凿(x ＋10)m ，依题意得300x ＋10＝200x， 解得x ＝20，所以乙工程队每天能开凿20 m ，甲工程队每天能开凿30 m. 二、填空题(每题5分，共30分)11．[2015·滨州模拟]方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝1，x －4y ＝7的解是__⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝－2.5__. 12．一艘轮船顺流航行时，每小时行32 km ；逆流航行时，每小时行28 km ，则轮船在静水中的速度是每小时行__30__km.(轮船在静水中的速度大于水流速度)【解析】 设船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32，x －y ＝28， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝2.即轮船在静水中的速度是每小时行30 km.13．已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为__1__. 14．[2014·白银]一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1__. 【解析】 ∵一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，∴a ＋1≠0且a 2－1＝0， ∴a ＝1.15．若关于x 的方程2m －3x －1－x x －1＝0有增根，则m 的值是__2__.【解析】 方程两边都乘(x －1)，得2m －3－x ＝0， ∵方程有增根，即增根是x ＝1， 把x ＝1代入整式方程，得m ＝2.16．[2015·青神县一模]我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 称作二阶行列式，规定它的运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad－bc ，如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 34 5＝2×5－3×4＝－2，如果有⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 3－x 1 x >0，则x __>1__. 【解析】 列不等式，得2x －(3－x )＞0， 整理，得2x －3＋x ＞0， 解得x ＞1. 三、解答题(共80分) 17．(8分)解方程：(1)x 2－2x －1＝0；(2)2x ＝32x －1.解：(1)根据求根公式得x ＝－（－2）±（－2）2－4×1×（－1）2∴x ＝2±222.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2；(2)去分母，得2(2x －1)＝3x ，去括号，得4x －2＝3x ， 合并，得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的根．18．(8分)用代入消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，3x ＋5y ＝14.解：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2， ①3x ＋5y ＝14. ②由①得x ＝y ＋2，③将③代入②，得3(y ＋2)＋5y ＝14， 解得y ＝1，把y ＝1代入③，得x ＝3.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.19．(8分)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x >x －2，x ＋13>2x .解：由3x >x －2，得x >－1， 由x ＋13＞2x ，得x ＜15，∴不等式组的解集为－1＜x ＜15.20．(10分)[2014·日照]先化简，再求代数式⎝⎛⎭⎫1－3x ＋2÷x 2－1x ＋2的值，其中x 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，2x ＋1<8的整数解． 解：原式＝x ＋2－3x ＋2÷（x ＋1）（x －1）x ＋2＝x －1x ＋2·x ＋2（x ＋1）（x －1）＝1x ＋1， ⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0， ①2x ＋1<8， ② 由①解得x ＞2；由②解得x ＜72，∴不等式组的解集为2＜x ＜72，∴不等式组的整数解为3， 当x ＝3时，原式＝14.21．(8分)[2015·福州]已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m 的值．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0， ∴2m －1＝±4， ∴m ＝52或m ＝－32.22．(12分)[2014·扬州]某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？ 解：设原来每天制作x 件，由题意得 480x －10＝480x （1＋50%）， 解得x ＝16，经检验x ＝16是原分式方程的解． 答：原来每天制作16件．23．(12分)[2015·六合区一模]某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x＞40)，请你分别用含x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中；(2)在(1)问条件下，若商场获得了10 000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．解：(2)－10x2＋1 300x－30 000＝10 000，解得x1＝50，x2＝80，答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10 000元销售利润．24．(14分)[2014·丽水]为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同．每台设备价格及月处理污水量如下表所示．(1)求m的值；(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．解：(1)由题意得，90 m＝75m－3，解得m＝18，经检验，m＝18是原方程的解，符合题意．∴m＝18；(2)设购买A型号x台，则购买B型号(10－x)台，由题意得18x＋(18－3)(10－x)≤165，解得x≤5，因为x是指自然数，所以购买方案有6种．因为A型号污水处理设备的处理能力强，所以A型号处理设备最多时，处理的污水量最多，此时处理污水量为220×5＋180×(10－5)＝2 000(t)．答：一共有6种购买方案，每月最多能处理污水量2 000 t．。

单元滚动专题卷(四)一、选择题(每题5分，共50分)1．[2014·滨州]下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(B) A．4，5，6 B．1.5，2，2.5C．2，3，4 D．1，2，32．[2015·河北]如图1，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝(C) A．120°B．130°C．140°D．150°图1 第2题答图【解析】如答图，延长AC交EF于点G.∵AB∥EF，∴∠DGC＝∠BAC＝50°，∵CD⊥EF，∴∠CDG＝90°，∴∠ACD＝90°＋50°＝140°.3．如图2，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，点E，F分别为AC和AB的中点，则EF＝(A)A．3 B．4 C．5 D．6【解析】∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝102－82＝6.∵点E，F分别为AC，AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝12BC＝12×6＝3.故选A.4．如图3，一架梯子AB长5 m，顶端A靠在墙AC上，这时梯图2图3子下端B 与墙角C 距离为3 m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为1 m ，则梯子顶端A 下落了 (A)A ．1 mB ．2 mC ．3 mD ．5 m【解析】 在Rt △ABC 中，AB ＝5 m ，BC ＝3 m ，根据勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝4 m ，Rt △CDE 中，ED ＝AB ＝5 m ，CD ＝BC ＋DB ＝3＋1＝4 m ， 根据勾股定理得CE ＝DE 2－CD 2＝3 m ， 所以AE ＝AC －CE ＝1 m ， 即梯子顶端A 下滑了1 m.5．如图4，AC ＝BC ＝10 cm ，∠B ＝15°，AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长为 (C) A ．3 cm B ．4 cm C ．5 cm D ．6 cm 【解析】 ∵AC ＝BC ， ∴∠B ＝∠BAC ＝15°，∴∠ACD ＝∠B ＋∠BAC ＝15°＋15°＝30°， ∴在Rt △ACD 中，AD ＝12AC ＝12×10＝5 cm.6．如图5，AD ，BE 是锐角△ABC 的高，两高相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为 (B) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解析】 ∵AD ，BE 是锐角△ABC 的高， ∴∠ACB ＋∠DBO ＝∠ACB ＋∠DAC ＝90°， ∴∠DBO ＝∠DAC .又∵BO ＝AC ，∠BDO ＝∠ADC ＝90°， ∴△BDO ≌△ADC ， ∴BD ＝AD ，DO ＝CD . ∵BD ＝BC －CD ＝5， ∴AD ＝5，∴AO ＝AD －OD ＝AD －CD ＝3.图4图57．[2014·苏州]如图6，在△ABC 中，点D 在BC 上，AB ＝AD ＝DC ，∠B ＝80°，则∠C 的度数为(B)A ．30°B ．40°C ．45°D ．60°图6 图78．[2014·安徽]如图7，Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为 (C)A.53B.52 C ．4 D ．5【解析】 设BN ＝x ，由折叠的性质可得DN ＝AN ＝9－x ， ∵D 是BC 的中点，∴BD ＝3，在Rt △NBD 中，x 2＋32＝(9－x )2，解得x ＝4. 故线段BN 的长为4.9．[2014·黔西南]如图8，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是(C)A ．CB ＝CD B ．∠BAC ＝∠DAC C ．∠BCA ＝∠DCAD ．∠B ＝∠D ＝90°【解析】 若添A 则由SSS 证明△ABC ≌△ADC ，若添B ，则由SAS 证明△ABC ≌△ADC ，若添D ，则由HL 证明△ABC ≌△ADC ，若添C 不能由SSA 证明全等．10．如图9，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连结BD .下列结论错误的是(C)A ．∠C ＝2∠AB ．BD 平分∠ABC图8图9C．S△BCD＝S△BODD．点D为线段AC的黄金分割点【解析】A．∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝72°，∴∠C＝2∠A，故本选项结论正确；B．∵DO是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴∠DBC＝72°－36°＝36°＝∠ABD，∴BD是∠ABC的角平分线，故本选项结论正确；C．根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD的面积相等，故本选项结论错误；D．∵∠C＝∠C，∠DBC＝∠A＝36°，∴△CBD∽△CAB，∴BCAC＝CDBC，∴BC2＝CD·AC.∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，∴∠BDC＝72°＝∠C，∴BC＝BD.又∵AD＝BD，∴AD＝BC，∴AD2＝CD·AC，即点D是线段AC的黄金分割点，故本选项结论正确．故选C. 二、填空题(每题5分，共30分)11．泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图10，B是观察点，船A在B的正前方，过B作AB的垂线，在垂线上截取任意长BD，C是BD的中点，观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点E、船A和点C在一条直线上，那么△ABC≌△EDC，从而量出DE的距离即为船离岸的距离AB，这里判定△ABC≌△EDC的方法是__ASA__.图10【解析】 在△ABC 和△EDC 中，⎩⎨⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ，∴△ABC ≌△EDC (ASA )， ∴DE ＝AB .12．如图11，AC 与BD 交于点P ，AP ＝CP ，从以下四个论断①AB ＝CD ，②BP ＝DP ，③∠B ＝∠D ，④∠A ＝∠C 中选择一个论断作为条件，则不一定能使△APB ≌△CPD 的论断是__①__.图11 图1213．[2014·徐州]如图12，在等腰三角形纸片ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝50°折叠该纸片，使点A 落在点B 处，折痕为DE ，则∠CBE ＝__15°__.14．如图13，已知：在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两点，且AD ＝BD ，AE ＝CE ，∠ADE ＝82°，∠AED ＝48°，则∠BAC ＝__115°__.图13【解析】 ∵AD ＝BD ，AE ＝CE ， ∴∠B ＝∠BAD ，∠EAC ＝∠C ， ∵∠ADE ＝82°，∠AED ＝48°， ∴∠DAE ＝50°，∵∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ，∠AED ＝∠EAC ＋∠C ， ∴∠BAD ＝41°，∠EAC ＝24°，∴∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAE ＋EAC ＝41°＋50°＋24°＝115°.15．如图14，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线交AC 于点D .若AC ＝6 cm ，则AD ＝__2__cm.图14 第15题答图【解析】 连结BD .∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，∴∠A ＝∠C ＝12(180°－∠ABC )＝30°， ∴DC ＝2BD .∵AB 的垂直平分线是DE ， ∴AD ＝BD ，∴DC ＝2AD .又∵AC ＝6，∴AD ＝13×6＝2(cm)．16．如图15是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后以此类推，若正方形①的边长为64 cm ，则第4个正方形的边长为图15【解析】 根据题意，第1个正方形的边长为64 cm ； 第2个正方形的边长为22×64＝32 2 cm ； 第3个正方形的边长为22×322＝32 cm ； …此后，每一个正方形的边长是上一个正方形的边长的22， 所以第n 个正方形的边长为64×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1cm ，则第4个正方形的边长为64×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝16 2 cm.三、解答题(共70分)17．(10分)如图16，在△ABC 中，已知∠ABC ＝46°，∠ACB ＝80°，延长BC 至D ，使CD ＝CA ，连结AD ，求∠BAD 的度数． 解：∵∠ACB ＝80°，∴∠ACD ＝180°－∠ACB ＝180°－80°＝100°. 又∵CD ＝CA ， ∴∠CAD ＝∠D .∵∠ACD ＋∠CAD ＋∠D ＝180°，∴∠CAD ＝∠D ＝40°， ∴∠BAD ＝180°－∠ABC －∠D ＝180°－46°－40°＝94°. 18．(10分)如图17，DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线，分别交AB ，BC 于D ，E ，AE 平分∠BAC ，若∠B ＝30°，求∠C 的度数．解：∵DE 是AB 边的垂直平分线， ∴EA ＝EB ，∴∠B ＝∠1. 又∵∠B ＝30°， ∴∠1＝30°. 又∵AE 平分∠BAC ，∴∠2＝∠1＝30°，即∠BAC ＝60°， ∴∠C ＝180°－∠BAC －∠B ＝90°.19．(10分)如图18，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，BD ＝CE .求证：AD ＝AE . 证明：∵AB ＝AC ，图16图17 图18∴∠B ＝∠C .在△ABD 与△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE ， ∴AD ＝AE .20．(10分)如图19，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E .求证：BD ＝CE .【解析】 证明BD ，CE 所在的两个三角形全等． 证明：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ， ∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°. 在Rt △ABD 和Rt △ACE 中，∠ADB ＝∠AEC ＝90°，∠A ＝∠A ，AB ＝AC ， ∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE .21．(15分)[2014·邵阳]如图20，已知点A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE ＝∠CDF ，AF ＝CE .(1)从图中任找两组全等三角形； (2)从(1)中任选一组进行证明．解：(1)△ABE ≌△CDF ，△ABC ≌△CDA ； (2)选△ABE ≌△CDF . 证明：∵AF ＝CE ， ∴AE ＝CF ， ∵AB ∥CD ， ∴∠BAE ＝∠DCF . 又∵∠ABE ＝∠CDF ， ∴△ABE ≌△CDF (AAS )．22．(15分)[2015·杭州模拟]如图21，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BA 延长线上的一点，点E 是AC 的中点．连结BE 并延长交∠DAC 的平分线AM 于点F . (1)利用直尺和圆规把图形补充完整，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，图19不写作法)；(2)试猜想AF 与BC 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．图21 第22题答图解：(1)如答图所示； (2)AF ∥BC 且AF ＝BC . 理由如下：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ，∴∠DAC ＝∠ABC ＋∠C ＝2∠C . 由作图可知，∠DAC ＝2∠F AC ， ∴∠C ＝∠F AC ， ∴AF ∥BC . ∵E 是AC 的中点， ∴AE ＝CE .在△AEF 和△CEB 中，⎩⎨⎧∠F AE ＝∠ECB ，AE ＝EC ，∠AEF ＝∠CEB ，∴△AEF ≌△CEB (ASA )， ∴AF ＝BC .。