实数创新题赏析1

专题21 人教七下精选新定义题型（解析版）类型一 实数中的新定义题型1．（2022秋•辉县市校级月考）对于任意两个实数a ，b 定义两种运算：aΔb =a(a ≥b)b(a ＜b)，a∇b =b(a ≥b)a(a ＜b)，并且定义运算顺序任然是先做括号内的，例如（﹣2）Δ3＝3，（﹣2）∇3＝2，[（﹣2）Δ3]∇2＝2，那么A B ．3C ．6D 思路引领：直接利用已知运算规律分别化简，进而得出答案．解：原式＝2Δ3＝3．故选：B ．总结提升：此题主要考查了实数的运算，正确理解题意是解题关键．2．（2022•台山市校级一模）定义：求乘方运算中的指数运算叫做对数，如果N ＝a x ，则log a N ＝x ．例如log 28＝3，那么log 3127× ．思路引领：根据已知新定义计算即可确定出结果；解：∵log 3127=log 33﹣3＝﹣3，=3＝3，∴log 3127×−3×3＝﹣9．故答案为：﹣9．总结提升：本题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．（2022•南京模拟）新定义一种运算@，其运算法则是x @y =2@（6@8）＝ ．思路引领：先根据新定义求出6@8＝7，然后计算2@7即可得到答案．解：由题意得：6@87，∴2@(6@8)=2@7=总结提升：本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．4．（2022秋•永兴县期末）定义[x ]为不大于x 的最大整数，如[2]＝2，=1，[4.1]＝4，则满足=5，则n 的最大整数为 ．思路引领：由题意得：5≤6，然后利用平方运算，进行计算即可解答．解：由题意得：∵56，∴25≤n＜36，∴n的最大整数为35．故答案为：35．总结提升：本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．5．（2022秋•隆回县期末）对于正实数a，b作新定义：a⊙b＝25⊙x2＝4，则x的值为 ．思路引领：直接利用已知得出关于x的方程，进而得出答案．解：由题意可得：=4，则10﹣|x|＝4，解得：x＝±6．故答案为：±6．总结提升：此题主要考查了实数运算，正确理解题意是解题关键．6．（2022秋•朝阳区校级期末）用⊗定义一种新运算：对于任意实数a和b，规定a⊗b＝a2﹣ab+1．（1（2⊗⊗= ．思路引领：（1）利用新运算的规定列式计算即可；（2）利用新运算的规定列式计算即可．解：（1）∵a⊗b＝a2﹣ab+1，∴原式=2×1＝2﹣1＝3﹣（2）原式=[2+1]=（3﹣+1）=（4﹣=2×（4﹣+1＝2﹣6+1＝9﹣故答案为：9﹣总结提升：本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义的规定是解题的关键．7．（2022•苏州模拟）对实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=a≥b，例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3=5，若x，y满足方程组4x−y=8x+2y=20，则x◆y＝　32　．思路引领：求出方程组的解得到x与y的值，再利用新定义求出所求即可．解：4x−y=8①x+2y=20②，①×2+②得：9x＝36，解得：x＝4，把x＝4代入②得：y＝8，则x◆y＝4◆8＝4×8＝32，故答案为：32．总结提升：本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．8．（2018秋•阳山县期末）对于实数x，y，定义一种新的运算“★”，规定x★y＝ax+by，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．如果3★5＝12，1★2＝3= ．思路引领：已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代入原式计算即可求出值．解：已知等式利用题中的新定义化简得：3a+5b=12①a+2b=3②，②×3﹣①得：b＝﹣3，把b＝﹣3代入①得：a＝9，则原式==−3．故答案为：﹣3．总结提升：此题考查了解二元一次方程组，立方根以及实数的运算，解二元一次方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．9．（2022秋•屯留区期末）对于任意的正实数a和b，我们定义新运算：a∗b=≥b)＜b)．如：27∗12=求：（5*2）×（18*45）的值．思路引领：根据定义确定好所用计算方法，再进行代入计算．解：∵5＞2，18＜45，∴（5*2）×（18*45）×（+＝3＝3[22]＝3（5﹣2）＝3×3＝9，即（5*2）×（18*45）的值是9．总结提升：此题考查了运用新定义进行实数运算的能力，关键是能准确理解并运用新定义，并进行正确地计算．类型二平面直角坐标系中的新定义题型10．（2022春•晋安区期末）定义：f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），例如：f（1，2）＝（﹣1，﹣2），g（2，3）＝（3，2），则g（f（5，﹣2））＝（ ）A．（2，﹣5）B．（﹣2，5）C．（﹣5，2）D．（﹣2，﹣5）思路引领：直接利用已知f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），进而分析得出答案．解：由题意可得：g（f（5，﹣2））＝g（﹣5，2）＝（2，﹣5）．故选：A．总结提升：此题主要考查了点的坐标，正确运用已知条件分析是解题关键．11．（2022春•景县期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（2，﹣1），Q（﹣1，0），则P，Q的“实际距离”为4，即PS+SQ＝4或PT+TQ＝4．图中点A（3，2），B（5，﹣3）为共享单车停放点，嘉淇在点P处，则（ ）A．他与A处的“实际距离”更近B．他与B处的“实际距离”更近C．他与A处和B处的“实际距离”一样近D．无法判断思路引领：根据实际距离的概念得出距离解答即可．解：P到A处的“实际距离”＝|3﹣2|+|2﹣（﹣1）|＝1+3＝4，P到B处的“实际距离”＝|5﹣2|+|﹣3﹣（﹣1）|＝3+2＝5，故选：A．总结提升：此题主要考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键．12．（2022春•思明区校级期末）给出一个新定义：若平面直角坐标系中的点（a，b）的横、纵坐标满足方程x﹣2y＝4，则称点（a，b）是方程x﹣2y＝4的坐标点，比如：点（6，1）就是方程x﹣2y＝4的坐标点．（1）写出方程x﹣2y＝4的另一个坐标点　；（2）若有一个点（3a，a+2）是方程x﹣2y＝4的坐标点，则a的值为 ．思路引领：（1）给出x的一个值，代入求y的值；（2）把点的坐标代入方程求解．解：（1）当x＝4时，y＝0，故答案为：（4，0）．（2）由题意得：3a﹣2（a+2）＝4，解得：a＝8．故答案为：8．总结提升：本题考查了方程的解，理解新定义是解题的关键．13．（2022春•天河区期末）在平面直角坐标系中取任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义新运算“*”，得到新的C的坐标为（x1y2，x2y1），即（x1，y1）*（x2，y2）＝（x1y2，x2y1）．若点A在第一象限，点B 在第四象限，根据上述规则计算得到的点C的坐标在第 象限．思路引领：根据每一象限内点的坐标特点进行分析解答．解：∵点A （x 1，y 1）在第一象限，点B （x 2，y 2）在第四象限，∴x 1＞0，y 1＞0．x 2＞0，y 2＜0．∴x 1y 2＜0，x 2y 1＞0，∴点C 的坐标（x 1y 2，x 2y 1）位于第二象限．故选答案为：二．总结提升：本题主要考查了点的坐标，解题的关键的理解新定义的运算法则以及每一象限内点的坐标符号特征．14．（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）的“非常距离”给出如下定义：若|x 1﹣x 2|≥|y 1﹣y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1﹣x 2|；若|x 1﹣x 2|＜|y 1﹣y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1﹣y 2|，例如：点P 1（1，2），点P 2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）．已知点A(−12，0)，B 为y 轴上的一个动点．（1）若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标 ；（2）直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值 ．思路引领：（1）根据点B 位于y 轴上，可以设点B 的坐标为（0，y ）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y |＝2，据此可以求得y 的值；（2）设点B 的坐标为（0，y ）．因为|−12−0|≥|0﹣y |，所以点A 与点B 的“非常距离”最小值为|−12−0|=12．解：（1）∵B 为y 轴上的一个动点，∴设点B 的坐标为（0，y ）．∵|−12−0|=12≠4，∴|0﹣y |＝2，解得y ＝2或y ＝﹣2；∴点B 的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；故答案为：（0，2）或（0，﹣2）；（2）∵|−12−0|≥|0﹣y |，∴点A 与点B 的“非常距离”最小值为|−12−0|=12；∴点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12．故答案为：12．总结提升：本题考查新定义问题，阅读并理解题意是解题关键．15．（2022春•青山区校级月考）在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点A ，B ，C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a 指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h 指任意两点纵坐标差的最大值，“矩面积”S ＝ah ．例如：A （1，2），B （﹣3，1），C （2，﹣2）则“水平底”a ＝5，“铅垂高”h ＝4，“矩面积”S ＝ah ＝20．若D （1，2），E （﹣2，1），F （0，t ）三点的“矩面积”为18，则t 的值为 ．思路引领：根据“矩面积”的定义，得出若D （1，2），E （﹣2，1），F （0，t ）三点的“矩面积”的“水平底”a ＝3，由矩面积”S ＝ah ＝18，得出“铅垂高”h ＝18÷3＝6，则D 、E 、F 三点的纵坐标差的最大值为2﹣t ＝6或t ﹣1＝6，从而求得t 的值．解：由题意知，D 、E 、F 三点的“矩面积”的“水平底”a ＝1﹣（﹣2）＝3，∵D 、E 、F 三点的“矩面积”S ＝ah ＝18，∴D 、E 、F 三点的“铅垂直”h ＝18÷3＝6，当点F 在点D 下方时，2﹣t ＝6，解得t ＝﹣4．当点F 在点D 上方时，t ﹣1＝6解得：t ＝7，故答案为：﹣4或，7．总结提升：本题考查坐标确定位置，掌握“矩面积”的定义是解题的关键．16．（2022秋•霍邱县校级月考）在平面直角坐标系中，对于点P 、Q 两点给出如下定义：若点P 到x ，y 轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点Q（﹣5，﹣1）就是等距点．（1）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点C 的坐标；（2）若点D（3，4+k）与点E（2k﹣5，6）是“等距点”，求k的值．思路引领：（1）根据“等距点”的定义解答即可；（2）根据“等距点”的定义分情况讨论即可．解：（1）由题意，可分两种情况：①|m﹣1|＝|﹣4|，解得m＝﹣3或5（不合题意，舍去）；②|m|＝|﹣4|，解得m＝﹣4（不合题意，舍去）或m＝4，综上所述，点C的坐标为（﹣4，﹣3）或（3，4）；（2）由题意，可分两种情况：①当|2k﹣5|≥6时，|4+k|＝|2k﹣5|，∴4+k＝2k﹣5或4+k＝﹣（2k﹣5），解得k＝9或k=13（不合题意，舍去）；②当|2k﹣5|＜6时，|4+k|＝6，∴4+k＝6或4+k＝﹣6，解得k＝2或k＝﹣10（不合题意，舍去）；综上所述，k＝2或k＝9．总结提升：本题主要考查了点的坐标，掌握“等距点”的定义是解答本题的关键．17．（2022春•莆田期末）对于平面直角坐标系中的图形M上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P （x，y）平移到P′（x+e，y﹣e）称为将点P进行“e型平移”，点P′称为将点P进行“e型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“e型平移”称为将图形M进行“e型平移”．例如，将点P（x，y）平移到P′（x+1，y﹣1）称为将点P进行“1型平移”．（1）已知点A（﹣1，2），B（2，3），将线段AB进行“1型平移”后得到对应线段A′B′．①画出线段A′B′，并直接写出A′，B′的坐标；②四边形ABB′A′的面积为 （平方单位）；（2）若点A（2﹣a，a+1），B（a+1，a+2），将线段AB进行“2型平移”后得到对应线段A′B′，当四边形ABB′A′的面积为8平方单位，试确定a的值．思路引领：（1）①根据定义平移即可；②根据平移后的图形，写出坐标即可；（2）利用割补法求四边形的面积．解：（1）①A （﹣1，2）“1型平移”后得到A '（0，1），B （2，3）“1型平移”后得到B '（3，2）；②S 四边形ABB ′A ′＝S △ABB '+S △AB 'A '=12×4×1+12×4×1＝4，故答案为：4；（2）A （2﹣a ，a +1）“2型平移”后得到A '（4﹣a ，a ﹣1），B （a +1，a +2）“2型平移”后得到B '（a +3，a ），如图，在四边形外作矩形CDEF ，∴C （2﹣a ，a +2），D （2﹣a ，a ﹣1），E （a +3，a ﹣1），F （a +3，a +2），∴BC ＝2a ﹣1，AC ＝1，BF ＝2，B 'F ＝2，AD ＝2，A 'D ＝2，AE ＝2a ﹣1，BE '＝1，∴CF ＝2a +1，CD ＝3，∴S 四边形ABB ′A ′＝3（2a +1）−12×（2a ﹣1）×1×2−12×2×2×2＝4a ，∵四边形ABB ′A ′的面积为8平方单位，∴4a ＝8，∴a ＝2．总结提升：本题考查坐标与图形变化，熟练掌握平面内点的坐标特点，利用割补法求四边形的面积是解题的关键．类型三二元一次方程组中的新定义题型18．（2022春•梁山县期末）对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+1．其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若2*5＝10，4*7＝28，则3*6＝（ ）A．18B．19C．20D．21思路引领：已知等式利用题中的新定义化简求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．解：根据题中的新定义得：2a+5b+1=10 4a+7b+1=28，解得a=12b=−3，∴3*6＝3×12+6×（﹣3）+1＝19．故选：B．总结提升：此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2022春•万州区校级期中）把y＝ax+b（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程y＝ax+b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4化为x＝3x﹣4，其“完美值”为x＝2．（1）x＝3是“雅系二元一次方程”y＝3x+m的“完美值”，求m的值；（2）类比“雅系二元一次方程”y＝kx+1（k≠0，k是常数）的定义，对于一个“雅系二元一次不等式”y＞kx+1（k≠0，k是常数）的“完美解集”为x＞2，请求出k的值．思路引领：（1）由已知可得x＝3x+m，将x＝3代入即可求m；（2）假设存在，得到x＝kx+1，所以（1﹣k）x＝1，当k＝1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，存在“完美值”x=11−k．解：（1）由已知得：x＝3x+m，把x＝3代入x＝3x+m得：3＝9+m，∴m＝﹣6；（2）若“雅系二元一次方程”y＝kx+1（k≠0，k是常数）存在“完美值”，则有x＝kx+1，∴（1﹣k）x＝1，当k＝1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，存在“完美值”，∵y＞kx+1（k≠0，k是常数），则有x＞kx+1，∴（1﹣k）x＞1，∵完美解集为x＞2，∴x＞11−k=2，解得k＝0.5．总结提升：本题考查二元一次方程的解，新定义；能够理解题意，将所求问题转化为一元一次方程求解是关键．20．（2022春•如皋市期中）定义：数对（x，y）经过运算φ可以得到数对（x'，y'），记作φ（x，y）＝（x'，y'），其中x′=ax+byy′=ax−by（a，b为常数）．如，当a＝1，b＝1时，φ（﹣2，3）＝（1，﹣5）．（1）当a＝2，b＝1时，φ（1，0）＝ ；（2）若φ（2，1）＝（0，4），则a＝ ，b＝ ；（3）如果组成数对（x，y）的两个数x，y满足x﹣2y＝0，xy≠0，且数对（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），求a和b的值．思路引领：（1）当a＝1且b＝1时，分别求出x′和y′即可得出答案；（2）根据条件列出方程组即可求出a，b的值；（3）根据对任意数对（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），得到ax+by=xax−by=y，，根据x﹣2y＝0，得到x＝2y，代入方程组即可得到答案．解：（1）当a＝2，b＝1时，x′＝2×1+1×0＝2，y′＝2×1﹣1×0＝2，故答案为：（2，2）；（2）根据题意得：2a+b=0 2a−b=4，解得：a=1b=−2，故答案为：1，﹣2；（3）∵对任意数对（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），∴ax+by=x ax−by=y，∵x﹣2y＝0，∴x＝2y，代入方程组解得：a=34 b=12．总结提升：本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．21．（2022春•兴化市月考）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1&1＝1，3⊗2＝8．（1）求a，b的值；（2）若关于x，y的方程组x&y=4−mx⊗y=5m的解也满足方程x+y＝5，求m的值；（3）若关于x，y的方程组a1x&b1y=c1a2x⊗b2y=c2的解为x=4y=5，求关于x，y的方程组3a1(x+y)&4b1(x−y)=5c13a2(x+y)⊗4b2(x−y)=5c2的解．思路引领：（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y＝3求解即可；（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．解：（1）由题意得a+b=13a−2b=8，解得a=2b=−1；（2）依题意得2x−y=4−m2x+5=5m，解得x=m+1y=3m−2，∵x+y＝5，∴m+1+3m﹣2＝5，解得m=3 2；（3）由题意得2a1+b1y=c12a2+b2y=c2的解为x=4y=5，由方程组3a1(x+y)&4b1(x−y)=5c13a2(x+y)⊗4b2(x−y)=5c2得6a1(x+y)−4b1(x−y)=5c16a2(x+y)+4b2(x−y)=5c2，整理，得2a1⋅35(x+y)−b2⋅45(x−y)=c12a2⋅35(x+y)+b2⋅45(x−y)=c2，(x+y)=4 (x−y)=5，解得x=15524y=524．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．22．（2022春•江阴市期中）对整数x、y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝ax y﹣by x（其中a、b是常数），如：T（2，1）＝a×21﹣b×12＝2a﹣b．（1）填空：T（2，﹣1）＝ （用含a，b的代数式表示）；（2）若T（3，2）＝10，T（8，﹣1）=−3 4．①求a与b的值；②若T（x，1）＝T（1，x），求出此时x的值．思路引领：（1）根据新运算的运算顺序计算即可；（2）①由题意列出二元一次方程组，再解方程组即可；②由题意得2x﹣1＝2﹣x，解方程可得x的值．解：（1）由题意得，T（2，﹣1）＝a×2﹣1﹣b×（﹣1）2=12a﹣b，故答案为：12a﹣b；（2）①=10a−b=−34，解得a=2，b=1答：a的值是2，b的值是1；（3）由题意得，2x﹣1＝2﹣x，解得x＝1．总结提升：本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．类型四一元一次不等式中的新定义问题23．（2022•南谯区开学）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果[x12]=3，则x的取值范围是（ ）A．5≤x＜7B．5＜x＜7C．5＜x≤7D．5≤x≤7思路引领：根据题意可得：3≤x12＜4，然后进行计算即可解答．解：由题意得：3≤x12＜4，∴6≤x+1＜8，∴5≤x＜7，故选：A．总结提升：本题考查了解一元一次不等式组，实数大小比较，理解定义的新运算是解题的关键．24．定义一种法则“？”如下：a？b=a(a＞b)b(a≤b)，例如：1？2＝2，若（﹣2m﹣5）？3＝3，则m的取值范围是 ．思路引领：根据题中新定义的运算可得出关于m的不等式﹣2m﹣5≤3；接下来求解即可得到m的取值范围．解：∵1⊕2＝2，若（﹣2m﹣5）⊕3＝3，∴﹣2m﹣5≤3，解得m≥﹣4．故答案为：m≥﹣4．总结提升：本题考查了不等式的解和解集，解答此题的关键是掌握不等式的解及解集的意义．25．（2022秋•临湘市期末）现定义一种新的运算：a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，则不等式（﹣2）*x≥0的解集为 ．思路引领：直接根据题意得出不等式，进而计算得出答案．解：∵a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，∴不等式（﹣2）*x≥0可变形为：4﹣2x≥0，解得：x≤2．故答案为：x≤2．总结提升：此题主要考查了解一元一次不等式，正确将原式变形是解题关键．26．（2022春•舒城县校级月考）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a−32（a+b），如1⊕5＝2×1−32（1+5）＝﹣7．（1）若x⊕4＝0，则x＝　；（2）解不等式x⊕6＞3；（3）求不等式x⊕2＞（﹣2）⊕（x+4）的负整数解．思路引领：（1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可；（2）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可；（3）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可．解：（1）∵a⊕b＝2a−32（a+b），∴x⊕4＝2x−32（x+4）=12x−6，∵x⊕4＝0，∴12x−6=0，解得x＝12，故答案为：12；（2）由x ⊕6＞3，可得2x −32（x +6）＞3，解得x ＞12．（3）∵a ⊕b ＝2a −32（a +b ），∴x ⊕2＝2x −32（x +2）=12x−3，﹣2⊕（x +4）＝2×（﹣2）−32（﹣2+x +4）＝﹣4+3−32x ﹣6=−32x ﹣7∵x ⊕2＞（﹣2）⊕（x +4），∴12x−3＞−32x ﹣7，解得x ＞﹣2，∴不等式的负整数解为﹣1．总结提升：本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x 的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键．27．（2022秋•西湖区校级月考）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．（1）在不等式①3x ﹣5＜0，②x ≥1，③x ﹣（3x ﹣1）＜﹣5④3x 12＞x 中，不等式x 12−1≥x 的“云不等式”是 .（填序号）（2）若a ≠﹣2，若关于x 的不等式x +2≥a 与不等式（a +2）x ＜a +2互为“云不等式”，求a 的取值范围．思路引领：（1）分别求出各不等式的解，再根据“云不等式”的定义即可得出结论；（2）先求出不等式x +2≥a 的取值范围，再分a +2＞0和a +2＜0两种情况进行讨论．解：（1）①解不等式3x ﹣5＜0得，x ＜53；②x ≥1；③不等式的解集为：x ＞3；④不等式的解集为x ＞﹣1．解不等式x 12−1≥x 得，x ≤﹣1．∵只有不等式3x ﹣5＜0的解集与不等式x 12−1≥x 有公共部分，∴不等式x12−1≥x的“云不等式”是不等式3x﹣5＜0．故答案为：①；（2）不等式x+2≥a的解集为x≥a﹣2，①当a+2＞0时，即a＞﹣2，可得x＜1，根据题意a﹣2＜1，即a＜3，a的取值范围为a＜3；②当a+2＜0时，即a＜﹣2，可得x＞1，此时不论a为小于﹣2的何值均符合题意．故a＜3且a≠﹣2．总结提升：本题考查了解一元一次不等式，解出不等式、根据解集判断系数的取值范围是解题的关键．28．（2022春•永春县期中）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”．（1）最大的“对称数”为 ，最小的“对称数”为 ．（2）若上述定义中的x满足不等式|x+1|＜4，则这样的对称数有 个．（3）一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，且个位数字b −1≤x−22b有3个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值．思路引领：（1）根据题意，可以写出最小的“对称数”和最大的“对称数”；（2）根据个位数字b −1≤x−22b有3个整数解，可以求得b的值，然后根据题意，可以得到所有满足条件的“对称数”M的值．解：（1）由题意可得，最大的“对称数”是9999，最小的“对称数”为1010，故答案为：9999；1010；（2）∵|x+1|＜4，1≤x≤9，x为整数，∴x＝1或2，∴当x＝1时，对称数有1010，1100，当x＝2时，对称数有1111，1201，1021，2110，2200，2020，故定义中的x满足不等式|x+1|＜4，则这样的对称数有8个，故答案为：8；（3−1≤x−22b，得b18＜x≤4，∵个位数字b −1≤x−22b有3个整数解，∴1≤b18＜2，解得7≤b＜15，∵b为个位数字，∴b＝7，8，9，∵一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，∴百位数字为3a，十位数字是10﹣b，∴a+b＝3a+（10﹣b），∴a＝b﹣5，∴当b＝7时，a＝2，此时对称数”M的值是2637，当b＝8时，a＝3，此时对称数”M的值是3928，当b＝9时，a＝4，此时百位数字3a＝12不存在，舍去，由上可得，对称数”M的值是2637，3928．总结提升：本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出M的值．29．（2022春•如东县期中）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n 均为非零常数）．例如T（1，1）＝3m+2n．（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8．①求m，n的值；②若关于P的不等式组T(2p，2−p)＞4T(4p，3−2p)≤a恰好有3个整数解，求a的取值范围．（2）当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对于任何有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式．思路引领：（1）①构建方程组即可解决问题；②根据不等式即可解决问题；（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题；解：（1）①由题意，得−(m−n)=0 8n=8，∴m=1 n=1；②由题意，得(2p+2−p)(2p+4−2p)＞4①(4p+3−2p)(4p+6−4p)≤a②，解不等式①，得p＞﹣1．解不等式②，得p≤a−18 12．∴﹣1＜p≤a−18 12．∵恰好有3个整数解，∴2≤a−1812＜3．∴42≤a＜54．（2）由题意得：（mx+ny）（x+2y）＝（my+nx）（y+2x），∴mx2+（2m+n）xy+2ny2＝2nx2+（2m+n）xy+my2，∵对任意有理数x，y都成立，∴m＝2n．总结提升：本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．30．（2022春•长沙县期末）定义：对于任意实数a，b，如果满足a+b＝ab，那么称a，b互为“朋友数”，点（a，b）为“朋友点”．（1）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”；①1.5与3是互为“朋友数”的； ②若点（a，b）为“朋友点”，则点（b，a）也一定为“朋友点”； ③若点a与b互为相反数，则（a，b）一定不是“朋友点”； ④存在与1互为“朋友数”的实数． （2）填空：若（a，3）为“朋友点”，则a＝ ．（3）已知P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于x，y的二元一次方程组x−2y=m2−92x+y=2m2+7的解，请判断点P（x，y）是否为“朋友点”？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．思路引领：（1）①由1.5+3＝4.5，1.5×3＝4.5，可得①是真命题；②若点（a，b）为“朋友点”，则a+b＝ab，有b+a＝ba，可知②是真命题；③若a＝b＝0，则a+b＝ab，故③是假命题；④设1与x互为“朋友数”，则x+1＝x×1，方程无解，可知④是假命题；（2）若（a，3）为“朋友点”，则a+3＝a×3，解得a=3 2；（3）由x−2y=m2−92x+y=2m2+7得：x=m2+1y=5，若P（m2+1，5）是“朋友点”，则m2+1+5＝（m2+1）×5，可解得m＝±12，即可得答案．解：（1）①∵1.5+3＝4.5，1.5×3＝4.5，∴1.5与3是互为“朋友数”的，①是真命题，故答案为：√；②若点（a，b）为“朋友点”，则a+b＝ab，∴b+a＝ba，∴点（b，a）也一定为“朋友点”；②是真命题，故答案为：√；③若a＝b＝0，则a+b＝ab，∴此时（a，b）是“朋友点”，③是假命题，故答案为：×；④设1与x互为“朋友数”，则x+1＝x×1，方程无解，∴不存在与1互为“朋友数”的实数，④是假命题，故答案为：×；（2）若（a，3）为“朋友点”，则a+3＝a×3，解得a=3 2，故答案为：3 2；（3）当m＝±12时，P（m2+1，5）是“朋友点“，理由如下：由x−2y=m2−92x+y=2m2+7得：x=m2+1y=5，∴P（m2+1，5），若P（m2+1，5）是“朋友点”，则m2+1+5＝（m2+1）×5，解得m＝±1 2，∴当m＝±12时，P（m2+1，5）是“朋友点”题意，理解“朋友数”和“朋友点”的定义．31．（2022春•灌云县期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组x−1＞1x−2＜3的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组x−1＞1x−2＜3的“相依方程”．（1）在方程①x﹣3＝0；②3x+2＝x；③2x﹣10＝0中，不等式组x＞2x≤5的“相依方程”是　①　；（填序号）（2）若关于x的方程2x+k＝6＞x2x13−1的“相依方程”，求k的取值范围．思路引领：（1）求出不等式组的解集，以及各方程的解，判断即可；（2）求出已知不等式组的解集，根据方程为不等式组的“相依方程”，确定出k的范围即可．解：（1）方程①x﹣3＝0，解得：x＝3；②3x+2＝x，解得：x＝﹣1；③2x﹣10＝0，解得：x＝5，不等式组x＞2x≤5，解得：2＜x≤5，则方程①x﹣3＝0是不等式组x＞2x≤5的“相依方程”；故答案为：①；（2＞x2x13−1，解得：﹣1＜x≤1，方程2x+k＝6，解得：x=6−k 2，代入得：﹣1＜6−k2≤1，解得：4≤k＜8．总结提升：此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键．32．（2022春•蜀山区校级期中）阅读理解：我们把|a b c d |称为二阶行列式，规定它的运算法则为|a b c d |=ad ﹣bc ，例如：|2345|=2×5﹣3×4＝﹣2．（1）填空：若|−12x−10.5x |=0，则x ＝　14　，|213−x x |＞0，则x 的取值范围 ；（2）若对于正整数m ，n 满足，1＜|1n m 4|＜3，求m +n 的值；（3）若对于两个非负数x ，y ，|x−1y 23|=|x −y 2−1|=k ，求实数k 的取值范围．思路引领：（1）根据法则得到﹣x ﹣0.5（2x ﹣1）＝0、2x ﹣（3﹣x ）＞0，然后解得即可．（2）根据法则得到1＜4﹣mn ＜3，解不等式求得1＜mn ＜3，由m 、n 是正整数，则可求得m +n ＝3；（3）根据法则得到3（x ﹣1）﹣2y ＝﹣x +2y ＝k ，解方程组求得x ，y 的值，然后根据题意得关于k 的不等式组，解得即可．解：（1）由题意可得﹣x ﹣0.5（2x ﹣1）＝0，整理可得﹣x ﹣x +0.5＝0，解得x =14；由题意可得2x ﹣（3﹣x ）＞0，解得x ＞1，故答案为14，x ＞1；（2）由题意可得，1＜4﹣mn ＜3，∴1＜mn ＜3，∵m 、n 是正整数，∴m ＝1，n ＝2，或m ＝2，n ＝1，∴m +n ＝3；（3）由题意可得3（x ﹣1）﹣2y ＝﹣x +2y ＝k ，∴3x−2y =k +3①−x +2y =k ②，①+②得：2x ＝2k +3，解得：x =2k 32，将x =2k 32代入②，得：−2k 32+2y ＝k ，解得y=4k3 4，∵x、均为非负数，≥0≥0，解得k≥−3 4．总结提升：此题主要考查了解一元一次不等式和解一元二次方程组，关键是看懂题目所给的运算法则，根据题意列出等式或不等式．。

考点01.实数（精讲）【命题趋势】实数在中考数学中较为简单，每年考查3题左右，分值为8~12分，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查。

对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的运用、实数运算法则和顺序等。

【知识清单】1：实数的分类（☆☆）（1）正负数的概念：大于0的数叫做正数，正数前面加上符号“-”的数叫负数，负数前面的负号“-”不能省略。

0既不是正数，也不是负数。

正负数的意义：表示具有相反意义的量。

（2）整数和分数统称为有理数。

无限不循环小数叫做无理数。

有理数和无理数统称为实数。

（3）实数的分类：1）按定义分类；2）按性质分类。

2：实数的相关概念（☆☆☆）（1）数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴上所有的点与全体实数一一对应。

（2）相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数。

若a、b互为相反数，则a+b=0。

（3）绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|。

（4）倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数。

若a、b互为倒数，则ab=1。

（5）算术平方根：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

a叫做被开方数。

（6）平方根：若一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根。

（7）立方根：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根（或三次方根）。

3：实数的大小比较（☆☆）（1）数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

专题04《实数》解答题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《实数》中“化简求值题型”、“利用平方根与立方根的性质解方程题型”、“计算解答题型”、“数轴比较大小题型”、“整数部分与小数部分题型”、“创新题型”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：化简求值题型方法点拨：1.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应（数形结合）。

2.数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.4.绝对值、平方、算术平方根的双重非负性的应用。

1．若0,0a ab <<，化简a b a --【答案】【分析】由0,0a ab <<判断b ＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值，再计算即可．【详解】解：∵0,0a ab <<，∴b ＞0，∴0,0a b b a --<->∴a b a --((a b b a =-----a b b a =-+++=【点睛】本题考查二次根式的化简，正确的对含绝对值号的代数式的化简是解题的关键．分类的标准应按正实数，负实数，零分类考虑．掌握好分类标准，不断加强分类讨论的意识．2．先化简后求值：()()()()222232x y y x y x y x y -----+-，其中x ，y满足30x y +=．【答案】xy -，1-【分析】直接利用整式的混合运算法则以及绝对值、算术平方根的性质得出x ，y 的值，进a a而计算得出答案．【详解】解：原式2222244432x xy y x y xy y =-+-++-xy =-，30x y +=Q ，\3402350x y x y +-=ìí--=î，解得：313x y =ìïí=ïî，\原式1313=-´=-．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，绝对值的非负性，算术平方根，解题的关键是正确掌握相关运算法则．3．先化简，再求值：[（3x +y ）（3x ﹣y ）﹣2x （y +2x ）+（y ﹣2x ）2]÷（﹣3x ），其中x 、y满足1y =．【答案】﹣3x +2y ，﹣26【分析】原式中括号利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝（9x 2﹣y 2﹣2xy ﹣4x 2+y 2﹣4xy +4x 2）÷（﹣3x ）＝（9x 2﹣6xy ）÷（﹣3x ）＝﹣3x +2y ，∵1y =，∴x ﹣8≥0且8﹣x ≥0，解得：x ＝8，∴11y ==-，∴原式＝﹣3×8+2×（﹣1）＝﹣24﹣2＝﹣26．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．4．已知多项式A ＝x 2+2xy ﹣3y 2，B ＝2x 2﹣3xy +y 2，先化简3A +2B ；再求当x ，y 为有理数且满足x 2y +2y ＝﹣+17时，3A +2B 的值．【答案】2277,63x y -【分析】根据多项式的加减运算进行化简，进而根据x ，y 为有理数求得,x y 的值，代入求解即可．【详解】Q A ＝x 2+2xy ﹣3y 2，B ＝2x 2﹣3xy +y 2，\()()222232323223A B x xy y x xy y +=+-++-2222369462x xy y x xy y =+-+-+2277x y =-()227x y =-Q x 2+2y ＝﹣，x ，y 为有理数，22x y \+==-，4,5y x \=-=±2225169x y \-=-=\原式7963=´=【点睛】本题考查了整式的加减化简求值，实数的性质，求得,x y 的值是解题的关键．5．（1）化简：a 2+（5a 2﹣2a ）﹣2（a 2﹣3a ）；（2）先化简，再求值：14（﹣4x 2+2x ﹣8y ）﹣（﹣x ﹣2y ），其中x ＝23，y ＝2018．【答案】（1）244a a +；（2）232x x -+，59【分析】（1）去括号后合并同类项即可；（2）利用乘法分配律化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【详解】解：（1）a 2+（5a 2﹣2a ）﹣2（a 2﹣3a ），2225226a a a a a =+--+ ，244a a =+ ；（2）14（﹣4x 2+2x ﹣8y ）﹣（﹣x ﹣2y ），()()21114282444x x y x y =´-+´+´-++ ，21222x x y x y =-+-++ ，232x x =-+ ，当x ＝23，y ＝2018时，原式2232323æö=-+´ç÷èø ，419=-+ ，59= ．【点睛】此题主要考查了整式的化简求值和实数运算，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．6．已知数a a【答案】2【分析】直接利用数轴得出a 的取值范围，进而化简得出答案．【详解】解：由数轴得：0.50a -＜＜，a ＝121a a a-+++＝2．【点睛】本题主要考查了实数的运算与数轴，算术平方根的非负性，化简绝对值等知识点，正确化简各式是解本题的关键．7．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点位置如图所示，化简：【答案】3b【详解】解：原式=|-c |+|a -b |+a +b -|b -c |，=c +（-a +b ）+a +b -（-b +c ），=c -a +b +a +b +b -c ，=3b ．【点睛】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质．8．若一个正数的两个平方根分别为1a -，27a +，请先化简再求值：()()222123a a a a -+--+．【答案】25a +，9【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可求得a 的值，再对原式去括号合并同类项化简后，代入a 的值求解即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为1a -，27a +，∴（a -1）+（2a +7）=0，解得a =-2．()()222123a a a a -+--+2222223a a a a =-+-++25a =+，当a =-2时，原式()2259=-+=．【点睛】本题主要考查了平方根的性质，整式的加减求值．利用正数的两个平方根互为相反数列等式求值是解题的关键．9．我们可以把根号外的数移到根号内，从而达到化简的目的．例如：（1）请仿照上例化简．①②；（2）请化简【答案】（1）；②2）【分析】（1）①根据题意仿照求解即可；②根据题意仿照求解即可；（2）先根据被开方数的非负性判断a 的正负，然后根据题意求解即可．【详解】解：（1）①；②===（2）∵∴10a -³，∴0a <∴==【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．10．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简a 时，当a 在数轴上位于原点的右侧时，a a =；当a 在数轴上位于原点时，0a =；当a 在数轴上位于原点的左侧时，a a =-．当a ，b ，c 三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题，（1）当1a =时，求aa =______，当2b =-时，求bb =______．（2）请根据a ，b ，c 三个数在数轴上的位置，求abca b c ++的值．（3）请根据a ，b ，c 三个数在数轴上的位置，化简：a c c a b b c ++++--．【答案】（1）1；1- ；（2）1-；（3）c -．【分析】（1）当1a =时，点a 在原点右边，由题意可知，此时a a =，代入a a 即可求值；当2b =- 时，点b 在原点左边，由题意可知，此时b b =-，代入bb 即可求值；（2）由图中获取a b c 、、三点的位置信息后，结合题意即可求原式的值；（3）由图获取a b c 、、的正、负信息和三个数绝对值的大小后，就可确定原式中绝对值符号里面式子的值的符号，就可化简原式．【详解】解：（1）当1a =时，111a a ==；当2b =-时，212b b ==--，故答案是：1，-1；（2）由数轴可得：0b < ，0c < ，0a > ，∴abca b c ++=1111a b c a b c--++=--=-；（3）由数轴可知：0b c a <<<且c a b <<，∴000a c a b b c +>+<-<，，，∴a c c a b b c++++--()[()][()]a c c a b b c =++-+-+---a c c ab b c=+---+-c =-．【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．在解第3小问这类题时，需注意以下两点：（1）根据在数轴上表示的数中，左边的总小于右边的，确定好所涉及数的大小关系及每个数的正、负信息（涉及异号两数相加的还要获取它们绝对值的大小关系）；（2）根据有理数加、减法法则确定好需化简式子中绝对值符号里的式子的正、负，然后再根据绝对值的代数意义将绝对值符号去掉．考点2：利用平方根与立方根的性质解方程题型方法点拨：解方程时应把平方部分看成一个整体，先根据等式基本性质把方程化为平方部分等什么。

专题02 实数专题详解专题02 实数专题详解 (1)6.1 平方根 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 算术平方根的概念 (2)知识点2 平方根 (3)知识点3 算术平方根、平方根的特点及产生原因 (4)知识点4 算术平方根的性质及应用 (4)二、典型题型 (6)题型1 运用平方根和算术平方根的概念解题 (6)题型2 开平方解方程 (6)题型3 算术平方根的实际应用 (8)题型4 算术平方根的双重非负性 (8)三、难点题型 (10)题型1 估算a (10)6.2 立方根 (11)知识框架 (11)一、基础知识点 (11)知识点1 立方根的概念 (11)知识点2 立方根的特点 (11)知识点3 根指数 (12)知识点4 用计算器求值 (12)二、典型题型 (13)题型1 运用开立方法解方程 (13)题型2 利用估值法比较大小 (14)题型3 立方根在实际问题中的应用 (14)三、难点题型 (16)题型1 平方根与立方根的综合应用 (16)6.3 实数 (17)知识框架 (17)一、基础知识点 (17)知识点1 有理数与无理数 (17)知识点2 实数的分类 (18)知识点3 实数的运算规则 (19)二、典型题型 (20)题型1 无理数的辨别 (20)题型2 实数的综合计算 (20)三、难点题型 (21)题型1 实数的综合运算-数形结合 (21)题型2 实数的综合应用-特殊形式 (21)6.1 平方根知识框架{基础知识点{ 算术平方根的概念平方根算术平方根、平方根的特点及产生原因平方根的性质及应用典型题型{运用平方根和算术平方根的概念解题开平方解方程算术平方根的实际应用算术平方根的双重非负性难点题型{估算√a一、基础知识点知识点1 算术平方根的概念1）算术平方根概念：一个正数的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术平方根。

其中，a 叫作被开方数，规定0的算术平方根为0。

第12章实数章节压轴题解题思路分析模块一：实数的运算1．（2021·上海九年级专题练习）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①④D．①③2．（2021·上海九年级专题练习）如图，若x=2211(1)x xx x-+÷-的值的点落在（）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④3．（2018110311)(64)5-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭4．（2018·上海普陀区·期中）（1）把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：（2）观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：211=n -____________________________________________________ （3）利用上述规律计算下式的值：22222111111111123499100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⋯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5．（2021·上海九年级专题练习）如果把一个奇数位的自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于0），且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“阶梯数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且|1﹣2|=|2﹣3|=|3﹣2|=|2﹣1|=1，因此12321是一个“阶梯数”，又如262，85258，…，都是“阶梯数”，若一个“阶梯数”t从左数到右，奇数位上的数字之和为M，偶数位上的数字之和为N，记P（t）=2N﹣M，Q（t）=M+N．（1）已知一个三位“阶梯数”t，其中P（t）=12，且Q（t）为一个完全平方数，求这个三位数；（2）已知一个五位“阶梯数”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求该五位“阶梯数”t的最大值与最小值．6．（2021·上海九年级专题练习）概念学习规定：求若干个相同的实数（均不为0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，类比实数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈3次方”，一般地，把n 个(0)a a ≠相除记作a ，读作“a 的圈n 次方” 初步探究计算：（1）2④；（2）1()3-③．深入思考我们知道，实数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，实数的除方也可以按照下面的方法转化为乘方运算．例如：31111112=22=()222228÷÷2÷2÷22⨯⨯⨯⨯==⑤．参考上面的方法，完成下列各题：（3）计算：=⑥ ，31()24-÷=④ ；（4）已知：2(5)105-=，求n 的值．模块二：分数指数幂1．（2018·上海杨浦区·七年级期末）用幂的运算性质计算：1112361322427-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯÷ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（结果表示为含幂的形式）2．（2019·上海浦东新区·）已知11223x x -+=，求1x x -+3．（2019·全国七年级课时练习）已知x =√3y =√33，求 [x−32•y(xy −2)−12•(x −1)23]2的值 ．4．（2019·全国七年级课时练习）已知11223x x-+=求33222232x x x x --+-+-的值.5．（2019·全国七年级课时练习）已知11223a a -+=，求下列各式的值: 11a a -+（）222a a -+（），33223a a -+(）6．（2019·全国七年级课时练习）利用幂的性质计算：（1 （27．（2019·全国七年级课时练习）计算：（1 （2）1225232---+（3）1029()25- （4）111322882-⨯（5）1112444111()()()242a a a -⋅+⋅+ （6）1521116636323(2)(4)x y x y x y ÷-⨯（7）111232648()[(]27--⨯--+ （8）11222[(23)(2]-+8．（2019·全国七年级课时练习）已知：a =b =43233253343a bb a b-+的值.9．（2019·全国七年级课时练习）化简：(1)√x(√x 2)23(2)√a √a √a 43(a >0)(3) (2a −12+3b 14)(2a−12−3b 14)+9√b (4)a+ba 23−a 13b 13+b 23+a−ba 23+a 13b 13+b 23(5)x−1x 23+x 13+1+x+1x 13+1−x−x 13x 13+1（6）(x+1x )2−[x +1x−11−x−1x]2÷x 2+1x 2−x−1x+3x 2+1x 2−2x−2x +3。

专题4.7 实数章末八大题型总结（拔尖篇）【苏科版】【题型1 算术平方根的双重非负性】 (1)【题型2 无理数的估算】 (3)【题型3 探究平方根和立方根的规律】 (6)【题型4 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】 (9)【题型5 与实数运算有关的规律问题】 (13)【题型6 程序框图中的实数运算】 (16)【题型7 新定义中的实数运算】 (19)【题型8 实数运算的应用】 (22)【题型1算术平方根的双重非负性】【例1】（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）若|a−2022|+2，其中a，b均为整数，则|a+b|=．【答案】0，2，4【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解【详解】解：∵|a−2022|+=2，其中a，b均为整数，又∵|a−2022|≥00①当|a−2022|=02时，∴a=2022，b=−2018∴|a+b|=|2022−2018|=4②当|a−2022|=11时，∴a=2023或a=2021，b=−2021∴|a+b|=|2023−2021|=2或|a+b|=|2021−2021|=0③当|a−2022|=20时，∴a=2024或a=2020，b=−2022∴|a+b|=2024−2022=2或|a+b|=|2020−2022|=2故答案为：4或2或0【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．【变式1-1】（2023春·安徽芜湖·八年级统考期中）已知实数a满足|2000−a|+=a，那么a−20002的值是()A．1999B．2000C．2001D．2002【答案】C【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案【详解】解：∵a−2001≥0，∴a≥2001>2000，即2000−a<0，∴|2000−a|+=a−2000+=a，2000，∴2=20002，即a−2001=20002，∴a−20002=2001，故选：C．【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值性质与算术平方根的性质，根据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键．【变式1-2】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级新疆师范大学附属中学校考期中）已知a,b=0，求a2015−b2016的值.【答案】-2=0，利用二次根式有意义的条件得到1-b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，然后根据有理数的乘方运算计算即可得出结果．【详解】解：=0，0，∵1-b≥0，∴1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，∴a2015-b2016=（-1）2015-12016=-1-1=-2．【点睛】本题考查了非负数的性质及求代数式的值、有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．【变式1-3】（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级校联考期中）若mm = ．【答案】201【分析】根据能开平方的数一定是非负数，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①+，再根据算术平方根的非负性可得出3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③解方程组可得出m 的值．【详解】解：由题意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0，∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①．，∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③得，x +y =199①3x +5y−2−m =0②2x +3y−m =0③，②×2-③×3得，y=4-m ，将y=4-m 代入③，解得x=2m-6，将x=2m-6，y=4-m 代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201．故答案为：201．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性以及方程组的解法，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．【题型2 无理数的估算】【例2】（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图所示，数轴上点P 所表示的数可能是（ ）ABCD【答案】B【分析】根据数轴上的点处于3.5和4.【详解】解：设点P表示的数为x，<x<4，得72x<x<4，∴A选项不符合题意，<4，∴选项B符合题意，∴C选项不符合题意，∴D选项不符合题意，故选：B．【点睛】此题主要考查数轴上点的判定，关键是转化为二次根式的形式，即可解题．【变式2-1】（2023春·北京丰台·八年级校考阶段练习）已知a2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（）A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．3＜a＜4D．4＜a＜＜5【答案】B【详解】∵4<<5，∴2<<3，在2和3之间，即2＜a＜3．故选：B．【变式2-2】（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【详解】解：∵2．62=6．76，2．72=7．29，2．82=7．84，2．92=8．41，∵7．84＜8＜8．41，∴2．82＜8＜2．92，∴2．82．9，③段上．故选：C【变式2-3】（2023春·浙江杭州·八年级期中）若a，b均为正整数，且a b<a+b的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】Ba、b的最小值，即可计算a+b的最小值．【详解】∴2<3．∵a>a为正整数，∴a的最小值为3．∴1<2．∵b b为正整数，∴b的最小值为1，∴a+b的最小值为3+1=4．故选B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：确定a、b的最小值．【题型3探究平方根和立方根的规律】【例3】（2023春·北京·八年级校考期中）为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中．(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；表1．(2)请你仿照表1中的规律，将表2补充完整．表2．(3)通过表1和表2，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．（提示：如果没有思路，你可以先观察第1组、第3组、第5组、第7组中的被开方数和结果，再观察第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果）．【答案】(1)1；10；100(2)1.732；17.32；54.77(3)被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就随之向左或向右移动n位．【分析】（1）根据表中的数据，可以发现数字规律，即可求得答案（2）观察第1组、第3组、第5组中的被开方数和结果以及第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果，可得出答案（3）根据（1）（2）中发现的规律解答即可【详解】（1100．故答案为：1；10；100．（2=0.1732，=1.732=17.32．∵=5.477，=54.77．故答案为：1.732；17.32；54.77．（3）解：通过观察表1和表2可发现，被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就随之向左或向右移动n位．【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是从表格中发现数字的规律．【变式3-1】（2023春·四川广元·八年级校联考期中）已知按照一定规律排成的一列实数：−1−2…，则按此规律可推得这一列数中的第2023个数是．【答案】【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数．【详解】解：∵一列实数：−1−2…∴这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，∵2023÷3=674 (1)∴这一列数中的第2023个数应是故答案为：【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．【变式3-2】（2023春·甘肃庆阳·八年级统考期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题；(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位．(2)≈2.35≈______．(3)≈1.913______．【答案】(1)右；一；(2)0.235；23.5；(3)19.13；191.3【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律；（2）根据（1）的规律可得结论；（3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值．【详解】（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位．故答案为：右，一；（2） 2.35，≈0.235≈23.5，故答案为：0.235，23.5；（3）在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位．1.913，19.13≈191.3．故答案为：19.13，191.3．【点睛】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值．【变式3-3】（2023春·福建福州·八年级统考期中）若记[x]表示任意实数的整数部分例如：[3.5]=3=2，⋯，则−+−+⋯+−（其中“+”“−”依次相间）的值为【答案】−22【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算．【详解】解：∵12=1，此时n=1，2，3，∴−+=1−1+1=1；∵2≤3=2，此时n=4，5，6，7，8，∴−++−=−2+2−2+2−2=−2；∵3≤4=3，此时n=9，10，11，12，13，14，15，∴−+−+−+3−3+3−3+3−3+3=3；由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，∵442=1936，452=2025，∴44≤45=44，∴++，∴−+−+⋯+−=1-2+3-4+5-6+…+43-44=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)=−1×22=-22，故答案为：-22．【点睛】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．【题型4利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】【例4】（2023春·湖北随州·1，请回答以下问题：________，________．(2)若a b a+的平方根．(3)若7+x+y，其中x是整数，且0<y<1，求x−y【答案】，(2)±3；(3)11．【分析】（1数部分，从而确定（2a b的值，则可以求得代数式a+的值，从而求得其平方根；（3）由2<3得即9<7+10，从而得x=9，y，将x、y的值代入原式即可求解．【详解】（1）解：∵3<<4，3，，∵3<<4，∴−3＞−4，∴5−3＞5−4即1＜2，∴1，∴，（2）解：∵9<<10，a∴a=9，∵1<2，1，∵b∴b=，∴a++1=9+1=9∵9的平方根等于±3，∴a++1的平方根等于±3；（3）解：∵2<3，∴7+2<7+7+3即9<7<10，∵7+x+y，其中x是整数，且0<y<1，∴x=9，y=7=，∴x−y+−211．【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．【变式4-1】（2023春·湖北恩施·m，n，则m+n=．【答案】+7m，n的值，进而可得出结论．【详解】解：∵9<13<16，∴3<<4，m，∴m=3；∵3<<4，∴−4<−3，∴6<7，∵n，∴n==∴m+n=3+故答案为：【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．【变式4-2】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）阅读下列材料：∴1<2，1．请根据材料提示，解答下列问题．________，小数部分是________；(2)m n，求5，直接写出a的取值范围．(3)【答案】(1)3(2)−2(3)25≤a<36【分析】（134，从而即可得出答案；（2m、n的值，代入进行计算即可得到答案；（35=5=6即可得到答案．【详解】（1）解：<∴3<<4，∴3，∴，故答案为：3；（2）解：<<∴2<3，4<<5，∵m n，∴m，n=4，∴=2×)=−8，∴−2；（3）解：556，∴25≤a<36．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，求一个数的立方根，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是得出正确答案的关键．【变式4-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5−2得来的，而1<2，1，．料2：若=a+a，b要满足a=10，b=−12根据以上材料，完成下列问题：______，小数部分是_____；(2)3a<3<b，求a+b的算术平方根．【答案】(1)4(2)3【分析】（1（2）根据算术平方根的定义估算无理数3+a、b的值，再代入计算即可．【详解】（1）解：∵4<<5，∴4，故答案为：4；（2）∵1<2，∴4<3<5，∵3+a<3+b，∴a=4，b=5，∴a+b=9，∴a+b=3；【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是正确解答的前提．【题型5与实数运算有关的规律问题】【例5】（2023春·山东聊城·八年级统考期中）阅读下列解题过程：=1；2=2；3==3；4……(1)________；(2)=_______；（n为正整数）(3)×．．．×【答案】(1)67(2)nn1(3)1100【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可；（2）利用式子的规律解答即可；（3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可．【详解】（1）解：=6；7（2）解：依据上述运算的规律可得：＝n；n1（3）解：原式=12×23×34×...×99100=1100．【点睛】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键．【变式5-1】（2023春·河北唐山·=4用含n （n ≥2且n 为整数）的等式表示上述规律为 ．=【分析】观察规律可直接得到规律．【详解】解：=====…，=【点睛】此题考查了数字规律的运算，会求一个数的立方根，正确分析已知中的等式由此得到变化规律是解题的关键．【变式5-2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）观察下列等式：①x 132=1+11×2；②x 276=1+12×3；③x 31312=1+13×4；…(1)写出④x 4=______；(2)猜想：x n =______；(3)由以上规律，计算x 1+x 2+x 3+⋅⋅⋅+x 2022−2023的值．【答案】=2120=1+14×5(2)1+1n(n 1)(3)−12023【分析】（1）观察已知等式找到规律，即可求解；（2）根据规律直接得出结果即可；（3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可．【详解】（1）解：x 4=2120=1+14×5，=2120=1+14×5．（2）解：根据规律可知，x n = 1+1n(n 1)，故答案为： 1+1n(n 1)；（3）x 1+x 2+x 3+⋅⋅⋅+x 2022−2023=112+116+1112+⋅⋅⋅+112022×2023−2023=2022+1−12+12−13+⋅⋅⋅+12022−12023−2023=2022+1−12023−2023=−12023．【点睛】题目主要考查算术平方根及有理数规律性运算，根据题意找出相应规律是解题关键．【变式5-3】（2023春·湖北武汉·八年级武汉市洪山高级中学校考期中）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题.（1____________；（2）利用（1（3）设x =y =x ,y【答案】（12））2；（2x 2y.【分析】（1）先求出每个式子的值，再比较即可；（2）根据规律，把被开方数相乘，根指数不变，即可求出答案；（3××.【详解】（1）∵×=2×4=88，∴×==×故答案为=，=，=，=a≥0，b≥0）；（2=2；（3）∵x=y=∴×=x⋅x⋅y=x2y.【点睛】本题考查了实数的乘除，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键.【题型6程序框图中的实数运算】【例6】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（）A．输入值x为16时，输出y值为4B．输入任意整数，都能输出一个无理数C．输出值y x为9D．存在正整数x，输入x后该生成器一直运行，但始终不能输出y值【答案】D【分析】根据运算规则即可求解．【详解】解∶A．输入值x为1642，即y A错误；B．当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，故B错误；C．x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故C错误；D．当x= 1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数；故D正确；故选∶D．【点睛】本题考查了算术平方根及无理数的概念，正确理解给出的运算方法是关键．【变式6-1】（2023春·浙江温州·八年级统考期中）如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为．【分析】根据题意利用立方根和算术平方根的定义即可求解．【详解】解：输入的x值为64，取立方根为4，4是有理数，则取4的算术平方根为2，2是有理数，则取2所以输出的y【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根以及无理数，正确把握定义是解题的关键．【变式6-2】（2023春·山东德州·八年级统考期中）如图是一个数值转换器的工作原理．(1)当输入的x值为−19时，求输出的y值；(2)是否存在输入x值后，始终输不出y值的情况，若存在，请写出所有满足要求的x值；若不存在，请说明理由；(3)若输出的y x值．【答案】(2)x=−2或−3或−4(3)x=0或x=−6或x=−12或x=6时，输出的y【分析】（1）根据运算规则计算即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断；（3）根据运算法则，9的算术平方根是3，3数．【详解】（1）解：|−19+3|=16，16的算术平方根是4，4不是无理数，4的算术平方根是2，2不是无理数，2故输出的y（2）解：存在输入x值后，始终输不出y值的情况．∵0和1的算术平方根是0和1，∴当|x+3|=0或|x+3|=1时，始终输不出y值，∴x=−2或−3或−4．（3）解：∵9的算术平方根是3，3∴当|x+3|=3或|x+3|=9，即x=0或x=−6或x=−12或x=6时，输出的y(答案不唯一)．【点睛】本题考查了绝对值，算术平方根，正确理解给出的运算方法是关键．【变式6-3】（2023春·北京·八年级校考期中）给出下列程序：若输入的x值为1时，输出值为1；若输入的x 值为−1时，输出值为−3；则当输入的x值为8时，输出值为．【答案】3【分析】设输出的值为y，根据程序可得计算法则：y=b，根据待定系数法确定k，b的值，再将8代入即可．【详解】解：设输出的值为y，根据图示可得计算法则为y=+b，∵若输入的x值为1时，输出值为1；若输入的x值为−1时，输出值为−3，∴k+b=1−k+b=−3，解得k=2b=−1，∴y=，当x=8时，y=2×2−1=3，故答案为：3．【点睛】本题以程序为背景考查了求代数式的值，关键是弄清楚图示给出的计算程序．【题型7新定义中的实数运算】【例7】（2023春·重庆彭水·八年级校联考期末）对实数m，n定义一种新运算，规定：f(m,n)=mn+an−3（其中a为非零常数）；例如：f(1,2)=1×2+a×2−3；已知f(2,3)=9，给出下列结论：①a=2；②若f(1,n)>0，则n>1；③若f(m,m)=2m，则m=④f(n,n)−2n有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据新定义运算法则，一元一次不等式的解法，平方根的定义判断即可．【详解】解：∵f(2,3)=9，∴2×3+3a−3=9，解得：a=2，故①正确；若f(1,n)>0，f(1,n)=1×n+2n−3>0，则n>1，故②正确；f(m,m)=m2+2m−3=2m，解得：m③错误；f(n,n)−2n=n2+2n−3−2n=n2−3，当n=0时，有最小值−3，故④错误．故选：B．【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，平方根的定义，理解新定义运算法则是本题的关键．【变式7-1】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）对于任意不为0的有理数m，n，定义一种新运算“※”，规则如下：m※n=3m−n．例如：(−1)※2=3×(−1)−2=−3−2=−5．(1)若(x−2)※5x=6，求x的值；(2)判断这种新运算“※”是否满足分配律a※(b+c)=a※b+a※c，并说明理由．【答案】(1)−6(2)这种新运算“※”不满足分配律a※(b+c)=a※b+a※c【分析】（1）根据新定义运算得出方程3(x−2)−5x=6，解方程即可得到答案；（2）先根据新定义运算分别表示出等式左边和右边，再观察左右两边是否相等，即可得到结论．【详解】（1）解：∵(x−2)※5x=6，∴3(x−2)−5x=6，解得：x=−6，∴x的值为−6；（2）解：根据题意得：左边a※(b+c)=3a−(b+c)=3a−b−c，右边a※b+a※c=3a−b+3a−c=6a−b−c，∴左边≠右边，∴这种新运算“※”不满足分配律a※(b+c)=a※b+a※c．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数的运算，解一元一次方程，理解新定义的运算法则，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．【变式7-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）任何实数a ，可用[a ]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4,=1，现对72进行如下操作：72第1次→=8第2次→=2第3次→=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对2023只需进行次操作后变为1．【答案】4【分析】确定2023的范围，即可求得，再依次下去，通过4次操作后可变为1．【详解】解：∵1936=442<2023<452=2025，∴=44；∵36<44<49，∴=6；∵4<6<9，∴=2，∴=1；经过4次操作可以变为1；故答案为：4．【点睛】本题考查了新定义，无理数的估算，理解新定义，正确进行估算是解题的关键．【变式7-3】（2023春·重庆梁平·八年级统考期末）材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为3，则称这个三位数为“尚美数”，例如：234，因为2+4−3=3，所以234是“尚美数”；材料二：若t =abc （1≤a ≤9,0≤b ≤9,0≤c ≤9，且a,b,c 均为整数），记F(t)=2a−c ．已知t 1=2y6,t 2=myn 是两个不同的“尚美数”，且F (t 1)+2F (t 2)+4n 能被13整除，则y = ．t 2= ．【答案】 5 652【分析】根据t 1=2y6,t 2=myn 是两个不同的“尚美数，可得方程组；再根据F (t 1)+2F (t 2)+4n 列代数式，最后根据F (t 1)+2F (t 2)+4n 能被13整除进行分类讨论，即可得答案．【详解】解：∵t 1=2y6,t 2=myn 是两个不同的“尚美数，∴2+6−y =3m +n−y =3得y =5，即m +n =8，∴n =8−m ，∵t=abc（1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，且a,b,c均为整数），记F(t)=2a−c，∴F(t1)+2F(t2)+4n=2×2−6+2(2×m−n)+4n=4m+2n−2=4m+2(8−m)−2=2m+14．∵1≤m≤9，∴16≤2m+14≤32．∵2m+14能被13整除，∴2m+14=26解得m=6,n=8−m=2，故t2=myn=652，故答案为：5,652．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义、数的整除、实数的运算，不等式等知识，消元求解是解题的关键．【题型8实数运算的应用】【例8】（2023春·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期中）“探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．我们知道面积是2 1.4 1.4+x，画出如下示意图．由面积公式，可得x2+______=2．因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001_____．(2)现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小敏同学的做法是：设新正方形的边长为x(x>0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=2，解得x=1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．【答案】(1)2.8x+1.96，2.8x+1.96=2，0.014，1.414；(2)见解析【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．【详解】（1）由面积公式，可得x2+2.8x+1.96=2∵x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程2.8x+1.96=2，解得x≈0.014（保留到0.001≈1.4+x≈1.414．故答案为：2.8x+1.96，2.8x+1.96=2，0.014，1.414；（2）小敏同学的做法，如图：排列形式如图（3），如图：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键．【变式8-1】（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．（1）求S阴=_______________．（2）在5×5【答案】（1）10；（2）见解析【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积；(5×5−13)=3，据此作图即（22=13，则每个三角形的面积为14可．×1×3×4=10，【详解】解：（1）S阴=4×4−12故答案为：10；（22=13，(5×5−13)=3，则每个三角形的面积为14则作图如下：.【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长．【变式8-2】（2023春·八年级课时练习）如图，长方形ABCD的长为2cm，宽为1cm．（1）将长方形ABCD进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）（2）求所拼正方形的边长．【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2.【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形；（2）设拼成的正方形边长为x cm，根据面积相等得到方程，即可求解．【详解】（1）如图，∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形；（2）设拼成的正方形边长为x cm，根据题意得x2=1×2=2，∴x=．【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割．【变式8-3】（2023春·浙江·八年级期末）阅读材料，回答问题：（1）对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的第一个整数点，如[3]=3，[−2]=−2，[2.5]=2，[−1.5]=−2，则[3.4]=________，[−5.7]=________．（2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体权费标准如下：里程范围4公里以内（含4公里）4-12公里以内（含12公里）12-24公里以内（含24公里）24公里以上收费标准2元4公里/元6公里/元8公里/元①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元；②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？【答案】（1）3；−6；（2）①2；3；6．②这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．【分析】（1）根据题意，确定实数左侧第一个整数点所对应的数即得；（2）①根据表格确定乘坐里程的对应段，然后将乘坐里程分段计费并累加即得；②根据表格将每段的费用从左至右依次累加直至费用为7元，进而确定7元乘坐的具体里程即得．【详解】（1）∵3<3.4<4∴[3.4]=3∵−6<−5.7<−5∴[−5.7]=−6故答案为：3；−6．（2）①∵3.07<4∴3.07公里需要2元∵4<7.93<12∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元，后3.93公里1元∴7.93公里所需费用为：2+1=3（元）∵12<19.17<24∴19.17公里所需费用分为三段计费即：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元；∴19.17公里所需费用为：2+2+2=6（元）故答案为：2；3；6．②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元；∴乘坐24公里所需费用为：2+2+2=6（元）∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：24+8=32（公里）∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．【点睛】本题是阅读材料题，考查了实数的实际应用，根据材料中的新定义举一反三并挖掘材料中深层次含义是解题关键．。

赏析实数新题型实数是初中数学的基础内容，又是中考命题的一个热点，许多与实数有关的新颖试题频频亮相于各地的中考数学试卷中，现以2010年中考试题为例说明如下，与同学们共赏析.一、开放型例1 （2010吉林长春）写一个比5小的正整数，这个正整数是 （写出一个即可）.解析：答案不唯一，小于或等于２的整数均可，如：2，1等.点评：开放题，即满足条件的结果不唯一的题.在求解本题时只要依据题意，先估算出5的大小，再在实数范围内写出一个比它小的整数即可.二、定义新运算型例2 （2010年贵州铜仁）定义运算“@”的运算法则为：x@y ＝xy －1，则（2@3）@4＝__ __．解析：根据法则可知，2@3=2×3-1=5，5@4=5×4-1=19.∴（2@3）@4=（2×3-1）@4=5@4=5×4-1=19.点评：定义新运算题，即题中给出了一个全新的运算法则，要求按新定义解析运算.解决这类问题要学会把陌生的运算转化为常见的运算，从而解决问题.三、规律探究型例 3 （2010年湖北荆门）观察下列计算：211211-=⨯，3121321-=⨯ 4131431-=⨯，5141541-=⨯，······从计算结果中找规律，利用规律计算+⨯+⨯+⨯+⨯541431321211···=⨯+201020091 . 解析：观察所给的等式，发现两个连续正整数的积的倒数等于这个数的倒数的差，故 +⨯+⨯+⨯+⨯541431321211 (201)2091⨯+ =1-21+21-31+31-41+···+20091-20101 =1-20101=20102009. 点评：规律探究题，即给出一些特殊的数、式或图形，从中找出一般性的规律，进而利用其规律求解问题.四、阅读理解型例4 （2010年广东汕头）阅读下列材料：1×2=31(1×2×3－0×1×2)，2×3=31(2×3×4－1×2×3)， 3×4=31(3×4×5－2×3×4)， 由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4=31×3×4×5=20．读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；（2）1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n ＋1) =_________；（3）1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 =_________．分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n ＋1) ＝ [])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯n n n n n n )2)(1(31++=n n n ；照此方法，同样有公式： 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋n ×(n +1)×(n +2)＝41×[])2)(1()1()3)(2)(1()43215432()32104321(++--+++++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯n n n n n n n n )3)(2)(1(41+++=n n n n ． 解：（1）∵1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)， ······10×11 ＝31(10×11×12－9×10×11)， ∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝31×10×11×12＝440． （2）)2)(1(31++n n n ． （3）1260．点评：本题系阅读理解题，通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．。