三角函数和解三角形教学案

第六节解三角形☆☆☆2021考纲考题考情☆☆☆1．正弦定理错误!＝错误!＝错误!＝2R其中2R为△ABC外接圆直径。

变式：a＝2R in A，b＝2R in B，c＝2R in C。

a∶b∶c＝in A∶in B∶in C。

2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bc co A；b2＝a2＋c2－2ac co B；c2＝a2＋b2－2ab co C。

变式：co A＝错误!；co B＝错误!；co C＝错误!。

in2A＝in2B＋in2C－2in B in C co A。

3．解三角形1已知三边a，b，c。

运用余弦定理可求三角A，B，C。

2已知两边a，b及夹角C。

运用余弦定理可求第三边c。

3已知两边a，b及一边对角A。

先用正弦定理，求in B，in B＝错误!。

①A为锐角时，若ab，一解。

4已知一边a及两角A，B或B，C用正弦定理，先求出一边，后求另一边。

4．三角形常用面积公式1S＝错误!a·h a h a表示a边上的高。

2S＝错误!ab in C＝错误!ac in B＝错误!bc in A＝错误!。

3S＝错误!ra＋b＋cr为内切圆半径。

微点提醒1．在一个三角形中，边和角共有6个量，已知三个量其中至少有一边就可解三角形。

2．判断三角形形状的两种思路：一是化边为角；二是化角为边，并用正弦定理余弦定理实施边、角转换。

3．当a2＋b2<c2时判断三角形的形状，由co C＝错误!<0，得∠C为钝角，则三角形为钝角三角形。

小|题|快|练一、走进教材1．必修510A2A2A2A20A32A2A2A a A A A A2a c a c2A2C2A2A22A2a3a2a2a2如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于________。

32021·湖北高考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________ m。

高中数学教学备课教案三角函数的应用解三角形和海伦公式高中数学教学备课教案一、引言在高中数学课程中，三角函数的应用是一个重要的内容。

本教案将重点介绍如何使用三角函数解三角形以及应用海伦公式求解三角形的面积。

二、解三角形的基本概念1. 边的命名与对应的角：分别用小写字母a、b、c表示三角形的三条边，对应的角用大写字母A、B、C表示，即a对应角A，b对应角B，c对应角C。

2. 定义：已知三角形的三个角度或三个边长，可以利用三角函数关系解三角形。

三、已知两边和夹角的情况在已知两边和夹角的情况下，可以使用余弦定理和正弦定理求解三角形的其他边长和角度。

1. 余弦定理根据余弦定理，已知两边a、b和夹角C，可以求解第三边c：c² = a² + b² - 2abcosC2. 正弦定理根据正弦定理，已知两边a、b和夹角C，可以求解第三边c：sinC = （c / a） = （c / b）四、已知三边的情况在已知三边的情况下，可以利用余弦定理求解三角形的角度。

1. 余弦定理根据余弦定理，已知三边a、b、c，可以求解角A：cosA = （b² + c² - a²） / 2bc2. 求解其他角度利用三角形内角和为180°的性质，可以求解角B和角C。

五、海伦公式与三角形面积的求解海伦公式是用来求解三角形面积的一种方法，其公式如下：面积= √[s(s - a)(s - b)(s - c)]其中，s为三角形的半周长，即s = （a + b + c）/ 2。

六、教学案例下面通过一个教学案例来演示如何应用三角函数解三角形和使用海伦公式求解三角形的面积。

案例：已知三角形的两边分别为a = 5cm，b = 7cm，夹角为C = 60°，求解第三边c、角A和角B以及三角形的面积。

解答：1. 求解第三边c：根据余弦定理，可以计算：c² = a² + b² - 2abcosC= 5² + 7² - 2 × 5 × 7 × cos60°≈ 24.762因此，c ≈ √24.762 ≈ 4.976 cm。

小组合作问题1：
你能否编一道“解直角三角形”的问题，让别的同学验证一下，看是否能求出其它元素？
小组合作问题2：
组织学生分析生活中的实际问题。

（方向角问题） 各小组汇总、归纳解题方法。

三、能力拓展
近日，A 城气象局测得龙卷风中心在A 城的正西方向240公里的B 处，正以每小时12公里的速度向北偏东60º的方向转移。

距离沙尘暴中心150公里的范围为受影响区域。

问：A 城是否受这次龙卷风的影响？ 遵循巩固与发展相结合的原则，培养学生的创新意识
四、归纳总结 学生归纳总结
西 东
北
B
A
O。

2013高考数学二轮复习精品资料专题04 三角函数和解三角形教学案（教师版）【2013考纲解读】1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,sin tan cos x x x=.3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-2π,2π)内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解,,A ωϕ对函数图象变化的影响.5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换 【知识网络构建】【重点知识整合】一、三角恒等变换与三角函数1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:(1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二;2.函数sin()y A x ωϕ=+的问题:(1)“五点法”画图:分别令0x ωϕ+=、2π、π、32π、2π，求出五个特殊点；(2)给出sin()y A x ωϕ=+的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是ϕ,一般从“五点法”中取靠近y 轴较近的已知点代入突破;二、解三角形1．正弦定理已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，则a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．2．余弦定理已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，则a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A＝b 2＋c 2－a 22bc，另外两个同样．3．面积公式已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，则(1)三角形的面积等于底乘以高的12；(2)S ＝12ab s in C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc4R (其中R 为该三角形外接圆的半径)；(3)若三角形内切圆的半径是r ，则三角形的面积S ＝12(a ＋b ＋c )r ；(4)若p ＝a ＋b ＋c2，则三角形的面积S ＝p p －a p －b p －c .【高频考点突破】考点一 三角函数的概念、诱导公式1．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．对于形如2k π＋α(k ∈Z)，－α，π±α，2π－α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个将角α看成锐角时，原函数值的符号；对于形如π2±α，3π2±α的三角函数值，等于角α的余名三角函数值，前面加上一个将角α看成锐角时，原函数值的符号．例1、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝_______.【方法技巧】1．用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单；2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件.考点二 三角函数的性质 三角函数的单调区间：y ＝sin x 的递增区间是[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)，递减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z)； y ＝cos x 的递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z)，递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z)；y ＝tan x 的递增区间是(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)．例2、已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ²b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．【变式探究】已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z)C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z) D．[k π－π2，k π](k ∈Z)解析：因为当x ∈R 时，f (x )≤|f (π6)|恒成立，所以f (π6)＝sin(π3＋φ)＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6.因为f (π2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0，所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin(2x －5π6)，函数的单调递增区间为－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，所以x ∈[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z)．答案：C【方法技巧】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解．(2)求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间常用换元法：将ωx ＋φ作为一个整体，若求单调增区间，令ωx ＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)；若求单调减区间，则令ωx ＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z)．值得注意的是，若ω<0，则需要利用诱导公式将其转换为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再用换元法求单调区间.例3、已知函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像经过点(0,1)，如图所示．(1)求f 1(x )的表达式；(2)将函数f 1(x )的图像向右平移π4个单位长度得到函数f 2(x )的图像，求y ＝f 1(x )＋f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合．解： (1)由题图知，函数f 1(x )的周期T ＝11π12－(－π12)＝π，∴|ω|＝2ππ＝2.又ω>0，故ω＝2.又点(－π12，0)为函数f 1(x )图像一个周期内五点的起点．∴2²(－π12)＋φ＝0.从而φ＝π6，故f 1(x )＝A sin(2x ＋π6)，又f 1(x )的图像过点(0,1)． ∴1＝A sin(2³0＋π6)，得A ＝2，由此可得到f 1(x )的表达式为f 1(x )＝2sin(2x ＋π6)．【变式探究】已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图像如图，则f (π24)＝( )A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 3考点四 三角变换及求值三角函数求值有以下类型：(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变 换求三角函数式的值；(2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的 其他三角函数式的值；(3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角． 例1、已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R.(1)求f (0)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65.求sin(α＋β)的值．解：(1)∵f (x )＝2sin(13x －π6)，∴f (0)＝2sin(－π6)＝－1.(2)∵α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65.∴2sin α＝1013，2sin(β＋π2)＝65.即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513³35＋1213³45＝6365.【变式探究】已知：cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________．考点五 正、余弦定理的应用 解三角形的一般方法是：(1)已知两角和一边，如已知A 、B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ， 由正弦定理求a 、b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a 、b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a 、b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a 、b 、c ，可应用余弦定理求A 、B 、C .例5、△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且lg a －lg b ＝lgcos B －lgcos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )²(－m ＋n )＝14，求a ，b ，c .解：(1)由题lg a ＋lgcos A ＝lg b ＋lgcos B ，故a cos A ＝b cos B ， 由正弦定理sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B . 又cos A >0，cos B >0，故A ，B ∈(0，π2)，2A,2B ∈(0，π)．因a ≠b ⇒A ≠B ，故2A ＝π－2B . 即A ＋B ＝π2，故△ABC 为直角三角形．(2)由于m ⊥n ，所以2a 2－3b 2＝0， ①且(m ＋n )²(－m ＋n )＝n 2－m 2＝14， 即8b 2－3a 2＝14.②联立①②解得a 2＝6，b 2＝4，故在直角△ABC 中，a ＝6，b ＝2，c ＝10.考点 六 解三角形与实际应用问题在实际生活中，测量底部不可到达的建筑物的高度、不可到达的两点的距离及航行中的方位角等问题，都可通过解三角形解决．例6、如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30)°＝105°， 在△DAB 中，由正弦定理得DB sin∠DAB ＝ABsin∠ADB ，∴DB ＝AB ²sin∠DAB sin∠ADB ＝53＋3²sin45°sin105°＝53＋3²sin45sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)，【方法技巧】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 【难点探究】难点一 简单的三角恒等变换 例1 、(1)若0<α<π2，－π2<β<0，cos （π4＋α）＝13，cos （π4－β2）＝33，则cos （α＋β2）＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69(2)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________． 【答案】(1)C (2)－142 【解析】 (1)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，0<α<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝233.又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，－π2<β<0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，【点评】 在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换，把求解的角用已知角表示出来，把求解的角的三角函数使用已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有，把π2＋2α变换成2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2²α＋β2，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β等；在进行三角函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂，则首先要变换这个求解目标，使之简化，以便看出如何使用已知条件．难点二 三角函数的图象例2 (1)已知函数f (x )＝A tan(ωx +φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.(2)要得到函数y ＝cos （2x ＋π3）的图象，只需将函数y ＝12sin2x ＋32cos2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π2个单位 C ．向右平移π3个单位 D ．向左平移π4个单位【点评】 (1)根据函数图象求函数的解析式，主要是根据函数的图象发现函数的性质，如周期性、对称性、特殊点等，然后根据这些性质求出函数解析式中的未知数，在本题中的函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期是π|ω|，注意这是近几年来考查的为数不多的一个正切型函数；(2)在进行三角函数的图象变换时，要把需要变换的两个函数化为同一种类型的函数，再根据两个函数解析式的差别确定变换方法．难点三 三角函数的性质例3、已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z) 【答案】C【规律方法】1．根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围．2．进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身，特别在平移变换中，如果这个变量的系数不是1，在进行变换时变量的系数也参与其中，如把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移π12个单位时，得到的是函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π4＝sin2x ＋5π12的图象． 3．解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究．难点四 正余弦定理的应用例4、 (1)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________. (2)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 【答案】(1)523(2)C 【解析】 (1)由正弦定理有：a sin A ＝b sin B ，即a 13＝522，得a ＝523. (2)根据正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，即有cos A ≥12，所以角A 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，选择C. 【点评】 解三角形依靠的就是正弦定理和余弦定理．正弦定理解决的是已知三角形两边和一边的对角、三角两内角和其中一边两类问题，余弦定理解决的是已知三角形两边及其夹角、已知三角形三边的两类问题．在解题中只要分析清楚了三角形中的已知元素，就可以选用这两个定理中的一个求解三角形中的未知元素．本例的第二小题中的不等式看上去是角的正弦的一个不等式，实际上给出的是边的不等式，正弦定理在三角形的边角关系互化中起关键作用．难点五 函数的图象的分析判断例5 、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b . (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【点评】本题的难点是变换cos A－2cos Ccos B＝2c－ab时，变换方向的选取，即是把角的函数转化为边的关系，还是把边转化为角的三角函数，从已知式的结构上看，把其中三个内角的余弦转化为边的关系是较为复杂的，而根据正弦定理把其中边的关系转化为角的正弦，则是较为简单的，在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．难点六解三角形的实际应用例6、如图6－1，渔政船甲、乙同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70 km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30 km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B、D两处相距42 km，问渔政船乙要航行多少千米才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救？在△BCD中，已知BD，DC，因此只要求出∠BDC 的余弦值，即可根据余弦定理求出BC.根据三角形的外角定理，∠BDC＝∠ABD＋60°，只要在△ABD中根据正弦定理求出∠ABD的正弦值，然后根据同角三角函数关系求出其余弦值，再根据和角的余弦公式即可求出∠BDC的余弦值．【变式探究】如图6－2，某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船？并指出巡逻艇航行方向．【规律技巧】1．使用正弦定理能够解的三角形有两类，一类是已知两边及其中一边的对角，一类已知一边和两个内角(实际就是已知三个内角)，其中第一个类型也可以根据余弦定理列出方程求出第三边，再求内角．在使用正弦定理求三角形内角时，要注意解的可能情况，判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角．2．当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理、也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三个边和其中的一个内角．3．正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．【历届高考真题】【2012年高考试题】一、选择题1.【2012高考真题重庆理5】设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）32.【2012高考真题浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是3.【2012高考真题新课标理9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（ ） ()A 15[,]24 ()B 13[,]24()C 1(0,]2 ()D (0,2] 【答案】A【解析】函数)4s in ()(πω+=x x f 的导数为)4c o s ()('πωω+=x x f ，要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上单调递减，则有0)4cos()('≤+=πωωx x f 恒成立， 则πππωππk x k 223422+≤+≤+，即ππωππk x k 24524+≤≤+，所以Z k k x k ∈+≤≤+，ωπωπωπωπ2424，当0=k 时，ωπωπ454≤≤x ，又ππ<<x 2，所以有πωππωπ≥≤45,24，解得45,21≤≥ωω，即4521≤≤ω，选A. 4.【2012高考真题四川理4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）ABD5.【2012高考真题陕西理9】在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）B. 2C. 12D. 12- 【答案】C.【解析】由余弦定理知214242)(212cos 222222222=≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ，故选Ｃ．6.【2012高考真题山东理7】若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ，则sin θ=（A ）35 （B ）45 （C ）4 （D ）347.【2012高考真题辽宁理7】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则tan α=(A) -1 (B) 2-(C) 2(D) 18.【2012高考真题江西理4】若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ= A ．15 B. 14 C. 13 D. 12【答案】D【解析】由4t a n 1t a n =+θθ得，4cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+θθθθθθθθ，即42s i n 211=θ，所以212sin =θ，选D. 9.【2012高考真题湖南理6】函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为A ．,2 , 2]10.【2012高考真题上海理16】在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 【答案】C【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sin sin sin <+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abc b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选C.11.【2012高考真题天津理2】设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分与不必要条件12.【2012高考真题天津理6】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257- （C ）257± （D ）2524【答案】A【解析】因为B C 2=,所以B B B C c o s s i n 2)2s i n (s i n ==,根据正弦定理有B bC c sin sin =，所以58sin sin ==B C b c ，所以545821s i n 2s i n c o s =⨯==B C B 。

第一节 锐角三角函数与解直角三角形 教学案
【回顾与思考】
【例题经典】 锐角三角函数的定义和性质
【例1】在△ABC 中，∠C=90°．
（1）若cosA=12，则tanB=______;（•2）•若cosA=45
，则tanB=______． 【例2】（1）已知：cos α=23
，则锐角α的取值范围是（ ） A ．0°<α<30° B ．45°<α<60°
C ．30°<α<45°
D ．60°<α<90°
（2）（2006年潜江市）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（ ）
A ．tan θ>cos θ>sin θ
B ．sin θ>cos θ>tan θ
C ．tan θ>sin θ>cos θ
D ．cot θ>sin θ>cos θ 解直角三角形
【例3】（1）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC
∠的平分线，∠CAB=60°，•CD=3，BD=23，求AC ，
AB 的长． （2）（2005年黑龙江省）“曙光中学”有一块三角形状的
花园ABC ，•有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？
（3）某片绿地形状如图所示，其中AB ⊥BC ，CD ⊥
AD ，∠A=60°，AB=200m ，CD=100m ，•求
AD 、BC 的长． 【点评】设法补成含60°的直角三角形再求解．。

高中数学教案：三角函数与解三角形一、引言三角函数是数学中的重要分支，解三角形是数学中的常见问题。

理解三角函数与解三角形对于学生的数学素养的提升至关重要。

本教案将以三角函数与解三角形为主题，设计一节高中数学课，帮助学生掌握相关知识和技能。

二、知识与技能目标1. 理解三角函数的概念和性质；2. 掌握常用三角函数的定义和计算方法；3. 学会利用三角函数解决实际问题；4. 理解解三角形的基本概念和原理；5. 掌握解三角形的常用方法。

三、教学重难点1. 三角函数的定义和性质；2. 解三角形的常用方法。

四、教学过程（一）引入教师可以从生活中的实际问题导入，如测量高楼的高度、计算两岸垂直相距较远的两点之间的距离等。

通过这些问题，引导学生思考如何利用三角函数和解三角形的知识来解决实际问题。

（二）三角函数的定义和性质1. 讲解正弦函数和余弦函数的定义，即直角三角形中的对边与斜边的比值；2. 介绍正弦函数和余弦函数的性质，如周期性、奇偶性等；3. 引导学生计算角度的度数和弧度的换算，并讲解正弦函数和余弦函数的图像特点。

（三）解三角形的基本概念和原理1. 讲解解三角形的基本概念，如角、边、高、中线等；2. 介绍解三角形的原理，即利用已知条件和三角函数的性质来确定未知边和角的关系。

（四）解三角形的常用方法1. 讲解正弦定理和余弦定理的原理和推导过程；2. 引导学生通过实例学会应用正弦定理和余弦定理解决三角形的问题；3. 介绍解直角三角形的特殊方法，如利用三角函数和勾股定理求解。

（五）练习与巩固布置相关练习题，包括计算正弦、余弦的值，解决三角形问题等。

通过练习，巩固学生对于三角函数与解三角形的理解和应用能力。

五、教学辅助手段1. 教学PPT：展示三角函数和解三角形的定义、性质、公式和解题步骤；2. 白板和马克笔：用于引导学生演算题目和解题思路。

六、教学评价与反思本节课教学以生活实际问题为切入点，通过讲解三角函数的定义和性质以及解三角形的基本概念和原理，引导学生掌握三角函数的计算和解决三角形问题的方法。

《解直角三角形》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

能够根据已知条件，将实际问题转化为解直角三角形的问题，并能正确选用适当的锐角三角函数关系式解决问题。

2、过程与方法目标通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，提高学生分析问题和解决问题的能力。

经历将实际问题转化为数学问题的过程，培养学生的数学建模思想和转化思想。

3、情感态度与价值观目标让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

通过合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力。

二、教学重难点1、教学重点解直角三角形的方法。

能够将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中的元素关系。

2、教学难点如何将实际问题转化为解直角三角形的问题，并选择合适的锐角三角函数关系式求解。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、复习引入复习直角三角形的性质：勾股定理、两个锐角互余。

复习锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切。

2、新课讲授介绍解直角三角形的概念：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

引导学生分析直角三角形中五个元素（三条边和两个锐角）之间的关系。

讲解解直角三角形的依据：三边关系：勾股定理 a²＋ b²＝ c²（其中 a、b 为直角边，c 为斜边）锐角关系：∠A ＋∠B ＝ 90°边角关系：sin A ＝ a/c，cos A ＝ b/c，tan A ＝ a/b （其中∠A 的对边为 a，邻边为 b，斜边为 c）3、例题讲解例 1：在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，a ＝ 3，c ＝ 5，求∠A、∠B 的度数及 b 的长度。

引导学生分析题目，已知斜边和一条直角边，先利用勾股定理求出另一条直角边 b。

再利用正弦函数求出∠A 的度数，进而求出∠B 的度数。

《解直角三角形》教学设计一、教材分析：本节课是在学习了“勾股定理”“锐角三角函数”等内容的基础上对运用所学知识解直角三角形的进一步探究。

通过直角三角形中边角关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，并为运用解直角三角形的相关知识解决简单的实际问题奠定了基础。

二、学情分析：学生已经牢固掌握了勾股定理，也刚刚学习过锐角三角函数，但锐角三角函数的运用还不熟练，综合运用所学知识解决问题，将实际问题抽象为数学问题的能力都比较差，因此要在本节课进行有意识的培养。

三、学习目标：1.知道直角三角形的六个元素和解直角三角形的含义.2.会用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形，并能解决简单的实际问题.四、学习重点：会通过已知条件解直角三角形五、教学过程：1.自主学习(1)直角三角形有哪些元素？分别是什么？它们之间有什么关系？ 三边之间的关系:a 2+b 2=_____；锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； 边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.(2)利用这些关系，除直角外，至少需要知道几个元素就可以求其他的元素了？2.重点研讨(1)已知两边例1：如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，2=AC ，6=BC ，求这个直角三角形的其他元素.(2)已知一边和一锐角例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，b=20，求这个直角三角形的其他元素 .AB C 26A C B c a b=20 30° BAC c a b小结：1.在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的 个元素（至少有1个是 ），就可以求出其余的3个未知元素.2.由直角三角形中 求出 的过程，叫做 .3.巩固训练(1)在△ACB 中，∠C=90°，AB=4,AC=3,欲求∠A 的值，最适宜的做法是( )A.计算tanA 的值求出B.计算sinA 的值求出C.计算cosA 的值求出D.先根据sinB 求出∠B ，再利用90°-∠B 求出(2)在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=35°，AB=3，则BC 的长为（ ）A.3sin35°B.2cos35°C.3cos35°D.3tan35° (3)在Rt △ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：（1）∠B=45°，c=14；（2）b=15，∠B=60°.4.延伸迁移 (1)如图，在△ABC 中， 求sinA 的值.(2)在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 是BC 边上的高， 求△ABC 的面积.4.达标检测(1)如果等腰三角形的底角为30°,腰长为 6 cm ，那么这个三角形的面积为（ ）A.4.5 cm 2B. 39 cm 2C. 318 cm 2D.36 cm 2(2)如图，在 △ABC 中，32=AC ,︒=∠30A ，︒=∠45B ,求AB 的长.A B 410,sin 5AB AC B ===5. 学习反思：通过本节课的学习，你有什么收获？六、作业布置：（1）《作业设计》1-5.（2）选做题：《作业设计》6.七、板书设计：八、教学反思：通过本节课的学习，学生进一步熟悉了直角三角形边角之间的关系，并为运用解直角三角形解决实际问题做了准备，在本章的教学中具有承上启下的作用。

数学教案－解直角三角形一、教学目标1.理解直角三角形的定义及性质。

2.学会使用勾股定理和三角函数解决直角三角形的问题。

3.能够运用解直角三角形的知识解决实际问题。

二、教学内容1.直角三角形的定义及性质。

2.勾股定理及其应用。

3.三角函数的概念及其应用。

4.解直角三角形的步骤和方法。

三、教学重点与难点1.教学重点：理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和三角函数的应用。

2.教学难点：灵活运用三角函数解决实际问题。

四、教学过程1.导入新课与学生互动，回顾初中阶段学习的直角三角形知识，如直角三角形的定义、性质等。

提问：同学们，你们知道直角三角形有哪些特殊的性质吗？2.直角三角形的定义及性质介绍直角三角形的定义：一个角为90度的三角形。

讲解直角三角形的性质：两个锐角互余，斜边最长，直角边相等。

通过图示和实例，让学生更好地理解直角三角形的性质。

3.勾股定理及其应用介绍勾股定理：直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。

讲解勾股定理的应用：求解直角三角形的边长。

出示例题，引导学生运用勾股定理解决问题。

4.三角函数的概念及其应用介绍三角函数：正弦、余弦、正切。

讲解三角函数的应用：求解直角三角形的角度和边长。

出示例题，引导学生运用三角函数解决问题。

5.解直角三角形的步骤和方法讲解解直角三角形的步骤：确定直角三角形，标出已知和未知，运用勾股定理或三角函数求解。

讲解解直角三角形的方法：根据已知条件，选择合适的方法求解。

出示例题，引导学生按照步骤和方法解直角三角形。

6.实践与拓展出示练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

鼓励学生运用所学知识解决实际问题，如测量高度、距离等。

回顾本节课所学内容，让学生分享自己的收获和感悟。

引导学生思考：如何将所学知识应用到实际生活中？五、课后作业1.巩固练习：完成课后练习题，巩固所学知识。

2.拓展阅读：查阅相关资料，了解直角三角形在其他领域的应用。

六、教学反思1.本节课的教学效果如何？学生对直角三角形的理解是否深入？2.在教学过程中，有哪些环节需要改进？如何调整教学方法，提高学生的学习兴趣？3.课后作业的布置是否合理？如何调整作业难度，满足不同学生的学习需求？通过本节课的教学，希望学生能够掌握直角三角形的性质和求解方法，为后续学习打下坚实基础。