张量分析第四章

第四章 张量代数§4.1 张量的基本运算一、加法阶数相同、指标的结构和次序相同的诸张量可以加。

张量的代数和，就是将对应的同名分量相加。

1、 张量加法满足交换律和结合律。

2、 张量加法对坐标变换是不变的。

二、乘法对任何阶与结构的张量都可施行乘法。

用第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量。

由这些乘积所组成的集合仍是一个张量，即两个张量的乘积。

j i A ⋅与m kl B ⋅ 乘 mkl j i jm kl i B A C ⋅⋅⋅⋅⋅=为一个五阶张量。

1、 张量乘法是不可交换的。

2、 张量乘法对坐标变换是不变的。

3、 乘积张量的阶数等于因子张量阶数之和。

三、连并与缩并连并：当两个张量相乘时，如果一个张量的上标和另一个张量的下标相同，则按哑标求和，结果仍为一个张量。

这种乘积运算称为连并。

缩并：对于同一个张的某个上标和某个下标取为相同的标号，则对哑标求和，其结果仍为张量，称为缩并。

缩并只能对二阶以上的混变张量进行。

四、指标的上升与下降指标的上升和下降通过度量张量与张量的连并来进行。

度量张量的逆变分量可以提升指标。

度量张量的协变分量可以下降指标。

kij ijl klT T g ⋅⋅= i j km likl im T T g g =⋅ 五、对称化和反对称化1、对称化对于任意一个n 阶张量中的某些上标或某些下标中的r 个指标的对称化，就是把这r 个指标按不同次序排列所得到的!r 个同份异构张量求和，并除以!r 的算术平均值的运算。

其结果关于所参与的r 个指标对称，也即所得张量与对称化指标的位置元素，称为关于该r 个指标的对称张量。

一般把参与对称化的指标用（ ）括起来，未参与对称化的指标用一对竖线分开。

)(!21)(ji ij ij T T T +=)(!31)(ilkjm ljki m jikl m jlki m likj m ijkl m l k ij m T T T T T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=2、反对称化反对称化就是将参与反对称化的r 个上标或下标，通过指标的交换构成!r 个同份异构张量。

第一章：矢量和张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅c a b b c a a c b 指标记法：哑指标求和约定 自由指标规则 协变基底和逆变基底：张量概念i i'i'i β=g g i'i'i i β=g gi'i'i i v v β= i i 'i 'iv v β= i'j'i'j'k l ij..k'l'i j k'l'..kl T T ββββ= i i i i v v ==v g g ..kl i j ij k l T =⊗⊗⊗T g g g g度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v vT G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m )S U = ijk...lm T(i,j,k ,l,m )T =置换符号i i ir s t j j j ijk ijk ijkr s t rst rst rstk k kr s t e e δδδδδδεεδδδδ=== ijk j k j k jk ist s t t s st δδδδδδ=-2ijk k ijt t δδ= 6ijk ijk δ=置换张量i j k ijk ijk i j k εε=⊗⊗=⊗⊗εg g g g g gijk i j k ijk ()e ε=⋅⨯=g g gijkijki j k ()ε=⋅⨯=g g g ()::()i j k ijk ijk i j k a b a b εε⨯===⊗=⊗a b g g a b εεa b第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量1.()i i Tr T ζ==T 212i j l ml m .i .j T T ζδ= 3()det ζ=T1()()(())(())()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w标准形1. 特征值、特征向量λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 0 321230λζλζλζ-+-= 2. 实对称二阶张量标准形123112233i iλλλ=⋅⊗=⊗+⊗+⊗N N g g g g g g g g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())ϕϕϕϕ=+⊗+-+⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123μμμ=⊗-⊗=⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2μ=-=⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω 5. 正则张量极分解 =⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λςλςλςςςς-+-=⇒-+-=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012()f k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。

第4章曲面上的张量分析曲线和曲面几何,或更一般的Riemann几何问题,在力学和物理学中有着广泛的应用,如广义相对论,薄壳理论,细胞力学等等.本章着重介绍三维空间的曲线和曲面论及其上的张量分析,并对Riemann几何若干基本概念作简要介绍.Figure 4.1:曲面的例子:(a)悉尼歌剧院贝克结构,(b)露珠,(c)红血球细胞,(d)广义相对论星球附件的完全空间.4.1三维欧氏空间的曲线论4.1.1三维空间的曲线,弧长,单位切矢量若三维欧氏空间相对于笛卡儿坐标系{x,y,z }的原点O 的位置矢量r =(x,y,z )依赖于单参数t 变化,则对应的空间点集是一条空间曲线C :⎧⎪⎨⎪⎩x =x (t )y =y (t )z =z (t )例如,物理空间质点的运动轨迹是以时间为单参数的空间曲线.为简单起见,上述单变量t 的函数今后假定具有三阶连续导数.位置矢量对t 的导数r 0(t )=d r (t )/dt 是一个在r (t )点与曲线C 相切的矢量,并指向曲线随t 增加而延伸的方向(简称为曲线的正向).如果在t 0处r 0(t 0)=0,则称t 0参数点是r (t )的正则点;否则称作为奇点.今后研究的曲线除个别奇点外,都假设是正则点.特别地,如果曲线上所有点都是正则点,则称该曲线为正则曲线.Figure 4.2:例4.1.1曲线r (t )=(a cos t,a sin t,bt )当若a >0,b >0时是柱面x 2+y 2=a 2上间距为2πb 的一条圆柱螺线(见图4.2(a)),这是一条正则曲线.例4.1.2平面曲线r (t )=(t 3,t 2,0)在t =0处是一个奇点(见图4.2b).从参数点t 0到t 的一段曲线的弧长为s (t )=Z t t 0¯¯¯¯d r ¯¯¯¯dt 其中¯¯¯¯d r dt ¯¯¯¯=r (dx (t )dt )2+(dy (t )dt )2+(dz (t )dt)2是切矢量r 0(t )的长度.如果采用另一参数t ∗替代t ,t ∗与t 一一对应,且dt ∗/dt =0;为了使t ∗增加的方向也对应曲线的正向,则还进一步要求dt ∗/dt >0.则易得s (t )=Z t t o ¯¯¯¯d r dt ¯¯¯¯dt =Z t t o ¯¯¯¯d r dt ∗dt ∗dt ¯¯¯¯dt =Z t ∗t ∗o ¯¯¯¯d r dt ∗¯¯¯¯dt ∗=s (t ∗)其中t ∗o =t ∗(t o ),t ∗=t ∗(t ),可见曲线的弧长s 与参数的选择无关.对于正则曲线,由于ds/dt =|r 0(t )|>0,可见s 是t 的严格单调增函数,因此亦可选择s 作为曲线的新的参数.今后如特别说明除外,曲线的参数一概选择为s ,这时t =d r ds =r 0(s )(4.1.1)是曲线的单位长度的切矢量.4.1.2曲率,主法向,从法向从数学分析我们知道,用笛卡儿坐标(x,y )表示的平面曲线y =y (x )的曲率为κ=|y 00(x )|(1+y 02(x ))3/2(4.1.2)其几何含义是曲线上邻近两点切矢量之间夹角对弧长的变化率.如图4.3a所示,当曲线上凹时,y 00>0;上凸时则y 00<0.Figure4.3:对于一般的空间曲线r(s),如图4.3b所示,t(s+∆s)与t(s)的夹角∆ϕ可表示为∆ϕ=2arcsin[1|t(s+∆s)−t(s)|]=|t0(s)|∆s+o(∆s)因此,曲线在r(s)点的曲率为κ=lim∆s=0∆ϕ∆s=|t0(s)|=|r00(s)|(4.1.3)故存在一个单位矢量n(s)使得t0(s)=κ(s)n(s)(4.1.4)由于t是单位矢量,故t0(s),从而n(s)与t垂直,落在r(s)点与曲线垂直的平面内,且朝曲线的凹向,称为曲线在r(s)点的主法向.包含单位切矢量t(s)的所有平面都与曲线在r(s)点相切.然而,如果该曲线不是直线,则一般唯一存在一个平面是特殊的,叫做该曲线在r(s)点的密切平面.记P(s,∆s)为包含t(s)且与曲线在r(s+∆s)相交的平面,极限lim∆s=0P(s,∆s)称做为曲线在r(s)点的密切平面,由t和n张成.按照上述定义,密切平面是与曲线的r(s)点及邻点最靠近的平面.当κ(s)=0时,其倒数ρ(s)=κ−1(s)称为曲线的曲率半径,代表了密切平面上在r(s)点与曲线最靠近的圆(称做为密切圆)的半径.密切平面的法向记为l,并规定{t,n,l}遵循右手法则,即:⎧⎪⎨⎪⎩l=t×n t=n×l n=l×t见图4.4,称l为曲线的从法向;由t(s)和l(s)张成的平面称为曲线在r(s)点的从切平面;由n(s)和l(s)张成的平面在r(s)点与曲线垂直,叫法平面.例4.1.3对于直线r(s)=t0s+r0,其中t0和r0为常矢量且|t0|=1,得到t≡t0,κ≡0.反之,若κ≡0,则从微分方程r00(s)=0可解得r(s)=t0s+r0,因此直线的特征是κ≡0(或t=常矢量).4.1.3Frenet标架和Frenet公式在曲线的每一点s上,{t,n,l}形成一个标准正交基,称作为Frenet标架,式(4.1.4)给出了t随s的变化率,为求l的变化率,对l·t=0关于s求导得0=l0·t+l·t0=l0·t+κl·n=l0·tFigure4.4:曲线的Frenet标架和密切平面,法平面和从切平面.可见l0与t垂直.又由于l是单位矢量,故l0恒与l垂直,因此l0只能与n平行,记为l0=−τn(4.1.5)称τ=−l0·n为挠率.由定义,τ度量了曲线上邻近两点密切平面夹角对弧长的变化率.最后,由n=l×t及(4.1.4)和(4.1.5),不难求证n0=−κt+τl.综合起来,可得如下著名的Frenet公式⎧⎪⎨⎪⎩t0=κnn0=−κt+τll0=−τn(4.1.6)例4.1.4对螺旋线r(t)=(a cos t,a sin t,bt),求得r0(t)=(−a sin t,a cos t,b)于是ds=|r0(t)|=√单位切矢量为t=√a2+b2再由d t ds =(−a cos t,−a sin t,0)a2+b2=κn得到κ=aa2+b2,n=(−cos t,−sin t,0)可见螺旋曲线的主法向n正是柱面指向内部的法向,而曲线的曲率是一个常数.从法向等于l=t×n=√a2+b2挠率τ为τ=−d lds·n=−√a2+b2·(−cos t,−sin t,0)=ba2+b2亦为常数.下面证明,曲线落在某个平面上的充要条件是曲线上每一点的挠率都等于零.必要性:设该曲线r(s)位于单位法向量为l0的平面内,于是[r(s)−r(0)]·l0≡0,两边求导后得到t·l0=0,t0·l0=0,故t和n都与l0垂直,因此,从法向l=t×n与l0平行,故l0=0,即τ=0.充分性:设τ=0,不妨再设κ=0(否则曲线为直线,自然属于平面曲线).由τ=0推出l=l0是常矢量,再由(r·l0)0=t·l0=0,从而进一步推断r(s)·l0是常数.记该常数为r0·l0,则(r(s)−r0)·l0=0,从而证明了r(s)是一平面曲线.下面的定理表明,曲率κ和挠率τ完全刻画了曲线的几何形状.定理4.1.1曲线论基本定理:给定区域I=(a,b)上连续可微函数κ(s)>0和连续函数τ(s),则:(1)必存在以弧长s为参数的正则曲线r(s),它的曲率和挠率分别恰好等于κ(s)和τ(s).(2)若进一步在定点r0处给定一个正向的标正基{t0,n0,l0},则存在唯一的一条曲线,它的曲率和挠率分别等于κ和τ,且在s=0处的r=r0而Frenet标架等于{t0,n0,l0}.基本定理第1部分的证明相当于求解微分方程组(4.1.6),其中κ(s)和τ(s)是已知函数,详细证明可参见微分几何教程.4.1.4曲线的局部性质作为Frenet公式的一个直接应用,我们来研究曲线C在一点邻域的局部性质.作Taylor展开得到:r(s+∆s)=r(s)+r0(s)∆s+12!r00(s)∆s2+13!r000(s)∆s3+R其中余项R是∆s3的高阶小,代入r0(s)=t,r00(s)=κn及r000(s)=(κn)0=κ0n+κn0=κ0n−κt+τl可得∆r(s)=r(s+∆s)−r(s)=(∆s−13!κ2∆s3)t+(12!κ∆s2+13!κ1∆s3)n+13!κτ∆s3l+R若重取r(s)为原点O,以{t,n,l}为局部笛卡儿坐标系{x,y,z}的方向,则有⎧⎪⎨⎪⎩x=∆s−13!κ2∆s3+R xy=12!κ∆s2+13!κ∆s3+R y z=1κτ∆s3+R z称作为Bouquet公式或曲线在r(s)邻域内的局部规范形.略去高阶小后,有⎧⎪⎨⎪⎩x=∆sy=1κ∆s2 z=1κτ∆s3因此,如图4.5所示,曲线C在密切平面上的投影是一条(局部)抛物线:y=12κx2;在法平面上的投影为溅射线;在从切平面上的投影为三次曲线:z=13!κτx3.由局部形式,还可直接读出如下几层含义:(i)若τ>0,则曲线穿过密切平面指向l的一侧;若τ<0则相反.(ii)曲线局部地完全落在从切平面指向n的一侧.Figure 4.5:(a)在空切平面的投影.(b)在法平面的投影(τ>0).(3)在从切平面的投影(τ>0).4.1.5曲线上的张量分析(未完待续):对于曲线C :r (s )上的矢量场u (s ),若采用Frenet标架,即u =u t t +u n n +u l l ,则有u 0=u 0t t +u t κn +u 0n n +u n (−κt +τl )+u 0l l +u l (−τn )=(u 0t −κu n )t +(u 0n +κu t −τu l )n +(u 0l +τu n )l用类似的推导过程可以建立C 上张量场的导数.总之Frenet标架是曲线论理论及应用上的一个十分有用的工具.4.1.6曲线的整体性质(未完待续):下面不加证明地引述曲线的一些整体性质.所谓闭曲线,是指没有实质起始点和终结点,或两点重叠的曲线.如果曲线本身(除封闭外)无相交点,则称作为一条简单曲线.特别地,注意到t (s )是单位矢量,故t 的末端形成单位球面上的一条闭曲线,称作为曲线r (s )的切向像.如果曲线的全长为L ,则切的像的全长为κ=Z lo |t 0(s )|ds =Z l oκds 称作为曲线的全曲率.当曲线进一步为平面曲线时,切向像落在单位球面上的一个大圆弧上.以该大圆弧所在平面的xy 坐标面,则t =r 0(s )=(cos ϕ,sin ϕ).此时t 0=κn =(−sin ϕ,cos ϕ)ϕ0κ=Z Loϕ0ds =ϕ(L )−ϕ(o )即全曲率正是角ϕ的总变化.例4.1.5求椭圆r (t )=(a cos t,b sin t,0)的全曲率.首先求得d r dt =(−a sin t,b cos t,0)ds =¯¯¯¯d r ¯¯¯¯=p a 2sin 2t +b 2cos 2t 不难求得曲率为κ=ab (a 2sin 2t +b 2cos 2t )3/2故全曲率为κ=Z2π0κds dt dt=4ab Zπ2o dta2sin2t+b2cos2t=2π4.1.7练习练习1(大练习)对于一个等截面曲杆,试采用弧长坐标和Frenet标架,建立曲杆的动力学方程,既内力(弯矩,扭矩,轴力,剪力)与线分布外力和惯性力之间的微分方程关系.对于细长曲杆,轴向应变和剪切应变常常可以略去不计,且应变在线性弹性范围,试建立此时的弯矩和扭矩与曲杆弯曲曲率与扭率的关系.练习2计算曲线从t=0起的弧长(a)双曲螺线r=(a cosh t,a sinh t,bt)(b)悬链线r=(t,a cosh t,0)练习3用弧长参数表示圆柱螺线和双曲螺线.练习4求以下曲线的曲率和挠率,并尝试绘出曲线:(1)r=(a cosh t,a sinh t,at)(2)r=(cos3t,sin3t,cos2t)练习5给定一个矢量m,试证明若曲线r(t)在任何点t的切向r0(t)都与m正交,且r(0)与m正交,则r(t)在任何t点与m正交.练习6试证明,对于任何参数t表征的曲线,曲率和挠率可由下述公式求得κ=|r0(t)×r00(t)||r0(t)|τ=[r0(t),r00(t),r000(t)] |r0×r00|2练习7如果一条曲线的切矢量始终与一固定方向交于定角,则称此曲线为一般螺线.试证明曲率不等于零的曲线是一般螺线的充要条件是τ/κ=常数.4.2三维欧氏空间曲面论4.2.1曲面与坐标曲面三维空间的一般曲面,记为Σ,可由位置矢量r=(x,y,z)的双参数方程⎧⎪⎨⎪⎩x=x(ξ1,ξ2) y=y(ξ1,ξ2) z=z(ξ1,ξ2)描述,其中(ξ1,ξ2)称作为曲面Σ的Gauss坐标.为了建立曲面上点与坐标的一一对应,要求(i)x,y,z 是(ξ1,ξ2)的单值,连续,可微的函数;(ii)矩阵"∂x1∂y 1∂z 1∂x∂ξ2∂y ∂ξ2∂z ∂ξ2#在曲面的每一点处都满秩(秩等于2).其实,我们早就遇到过曲面及其Gauss坐标表示.例如,球坐标系{r,θ,ϕ}:⎧⎪⎨⎪⎩x =r cos θcos ϕ,y =r sin θcos ϕ,z =r sin ϕ固定r =a 是一个半径为a 的球面,而(θ,ϕ)即为该球面的Gauss坐标.一般而言,给定一个空间曲线坐标系{x i }后,每固定x 3=x 30,都可由x 1-坐标线和x 2-坐标线织成一个曲面,叫x 3-曲面,且此时(x 1,x 2)即可作为该曲面的Gauss坐标.反之,给定曲面及其Gauss坐标(x 1,x 2),由曲面上点的位置矢量沿Gauss坐标x α(α=1,2)的导数g α=r ,α给出的是曲面在r (x α)点的两个切矢量,分别指向x α-坐标的增加方向.曲面在r (x α)点的单位法矢量记为n (x α),规定曲面的某一侧为正,并进一步规定n (x α)指向曲面的正侧.于是,n 与g 1×g 2平行:n =±g 1×g 212(4.2.7)正负号取决g 1,g 2和n 方向是否构成右手系.增加一个直线坐标ζ,并规定ζ=0对应曲面上的点,则(x 1,x 2,x 3=ζ)在曲面的邻域,构成一个曲线坐标系,见图4.6.Figure 4.6:曲面坐标x α,局部标架{g 1,g 2,n }和切平面T Σ.今后,为了与前面的张量分析以及后面的Riemann几何统一叙述,我们将在曲面及其邻域引进上述特殊的曲线坐标系(x α,ζ).于是,我们有g 3=g 3=ng 3α=0,g 3α=0,g 33=g 33=1希腊小写指标α,β,γ等取值范围限于1,2.4.2.2曲面的切矢量空间由记曲面Σ上任意给定点P(xα)或其位置矢量r(xα)处的基矢g1(xα)和g2(xα)张成的平面在r(xα)点与曲面相切,称作为Σ在该点的切平面,见图4.6.以r(xα)为原点,切平面上所有点的位置矢量的集合,构成一个二维矢量空间,记为TΣ,叫作曲面在r(xα)点的切矢量空间.以此二维矢量空间为基础可构成各阶张量,如协变度量张量gαβ,逆变度量张量gαβ,单位二阶张量I=gαβgαgβ=gαβgαgβ=gαgα=gαgα,(4.2.8)以及置换张量²= αβgαgβ= αβgαgβ(4.2.9)等等.协变和逆变度量gαβ互逆"g11g12g21g22#"g11g12g21g22#="1001#置换张量 αβ, αβ与置换符号eαβ的关系为αβ=√geαβ, αβ=√g1eαβ其中g=|gαβ|为gαβ的行列式.逆变基矢gα可由gα=gαβgβ给出.需要特别指出的是,以后谈及坐标变换,是限于曲面Σ的任何Gauss坐标之间的变换.对于这些变换,显然有gα0=r,α0=r,α∂xα=βαα0gαgα0β0=∂xα∂xα∂xβ∂xβ0gαβ=βαα0βββ0gαβ等等.即张量分量的坐标变换性质在形式上,仍然保持有欧式空间不同曲线坐标坐标变换下张量分量变换相同的性质.显然,曲面的单位法向n,是一个与曲面坐标变换无关的绝对矢量.例4.2.6旋转面:在笛卡儿坐标系{x,y,z}中把xz平面上的一条曲线C:(x=f(v)z=g(v),(a6v6b)绕z轴旋转一周后就得到一个旋转面:⎧⎪⎨⎪⎩x=f(v)cos uy=f(v)sin u,(06u62π) z=g(v)旋转面的u-曲线称作为纬线,另一曲线(v-曲线)为经线.求得g u=−f sin u i+f cos u jg v=f0sin u i+f0cos u j+g0kg u×g v=fg0cos u i+fg0sin u j−ff0kn=g u×g vu v =g kp g02+f024.2.3曲面的基本形式,第一基本张量,第二基本张量略去高阶小量后,曲面上点r (x α)与邻点r (x α+dx α)的距离平方为I =ds 2=d r ·d r =g αβdx αdx β(4.2.10)称之为曲.面.的.第.一.基.本.形..在微分几何学中,度量张量g αβ称作为曲面的第一基本形系数,它决定了曲面上的距离,夹角,面积等度量性质.为了刻划曲面在r (x α)点处的弯曲程度,我们研究邻点r (x α+dx α)与切平面的有向距离δ=[r (x α+dx α)−r (x α)]·n作Taylor展开4r =r (x α+dx α)−r (x α)=r ,βdx β+12r ,βγdx βdx γ+···注意到r ,β=g β与n 垂直,略去高阶小量后,我们得到2δ=r ,αβ·n dx αdx β曲面论中称II =b αβdx αdx β(4.2.11)为曲.面.的.第.二.基.本.形.,而b αβ=r ,αβ·n (4.2.12)为Σ的第二基本形系数.由上述定义(4.2.12)可见b αβ=b βα是对称的.由于n 与曲面坐标的选择无关,故b αβ的坐标变换满足协变分量的坐标变换关系:b α0β0=∂2r ∂x α∂x β0·n =(∂x α∂x α∂x β∂x β0)∂2r ∂x α∂x β·n =∂x α∂x α∂x β∂x β0b αβ因此b αβ是一个二阶协变张量,称作为曲面的第二基本张量.用g αβ提升b αβ的指标,得到混变和逆变分量如下b α.β=g αγb γβ,b .βα=g βγb αγ,bαβ=g αγg βλb b rλ并记行列式b =|b αβ|.需要注意的是,b αβ可正可负.例4.2.7对旋转面r =f (v )cos u i +f (v )sin u j +g (v )k求得I =ds 2=f 2du 2+(f 02+g 02)dv 2g uu =f 2,g uv =g vu =0,g vv =f 02+g 024.2.三维欧氏空间曲面论11进一步,由r ,uu =−f cos u i −f sin u jr ,uv =−f 0sin u i +f 0cos u jr ,vv =f 00cos u i +f 00sin u j +g 00kn =(f 02+g 02)−1(g 0cos u i +g 0sin u j −f 0k )求得b uu =r ,uu ·n =−fg p f 02+g 02b uv =b vu =r ,uv ·n =0b vv =r ,vv ·n =f g −f g p g 02+g 02特别地,对于旋转椭圆面r =a cos ϕ(cos θi +sin θj )+c sin ϕk ,或f =a cos ϕ,g =c sin ϕ,有g θθ=a 2cos 2ϕ,g θϕ=g ϕθ=0,g ϕϕ=a 2sin 2ϕ+c 2cos 2ϕb θθ=−2p 2b θϕ=b ϕθ=0b ϕϕ=−p b θ·θ=b ·θθ=p b θ·ϕ=b ·θϕ=0,b ϕ·θ=b ·ϕθ=0b ϕ·ϕ=b ·ϕϕ=−ac p a 2sin 2ϕ+κ2cos 2ϕ3对于球面(c =a ),关于非零的分量则进一步有g θθ=a 2cos 2ϕ,g ϕϕ=a 2b θθ=−a cos 2ϕ,b ϕϕ=−ab θ·θ=b ·θθ=−1,b ϕ·ϕ=b ·ϕϕ=−14.2.4曲面的曲率考虑曲面Σ上的一条曲线C :x 1=x 1(s ),x 2=x 2(s ),其中s 是弧长参数.该曲线的单位切矢量,曲率和主法向分别记作t ,κc 和n c .由定义,有t =dr ds =r ,αdx αds =g αdx αds=t αg α继续对s 求导,得κc n c =dt =r ,αβdx αdx β+g αd 2x α12两边点积曲面的法向n,注意到n与gα垂直,就最后得到κc n·n c=bαβdxαdsdxβds=bαβdxαdxβgλμdxλdxμ=III=t·b·t可见第二基本张量b完全刻画了曲面上各曲线的曲率.特别有意思的是,过曲面给定点r(xα)可作与该点处曲面的法向n平行的无数个平面,称之为r点的法截面.法截面与曲面的交线称作为过r点的法截面曲线.根据定义,每条法截面曲线都是平面曲线,因此其挠率等于零,其曲率K决定了该曲线的形状.此时n与n c平行.由此我们得到κ=±t·b·t(4.2.13)可见法截面曲线的曲率完全由第二基本张量所确定.因此,也时常称b为曲率张量.由于b是二阶对称张量,由第二章我们知道,恒存在两个单位正交方向t1和t2,使得下述谱表示成立:b=κ1t1t1+κ2t2t2(4.2.14)其中κ1和κ2为b的两个特征值,t1和t2分别为对应κ1和κ2的特征方向:(b·t1=κ1t1b·t2=κ2t2由特征根方程可求解得κ1=H±√H2−K2κ2=H±√H2−K2其中2H=tr b=bα·α=gαβbαβ=b1·1+b2·2(4.2.15)K=det b=b1·1b2·2−b12b21=¯¯gαβ¯¯|bαβ|=b/g(4.2.16)我们同时知道,κ1和κ2正是曲率得两个极值(一个为极大值,一个为极小值),称作为曲面在该点的主曲率,其倒数R1=1/κ1,R2=1/κ2,则称作为主曲率半径.而H=12(κ1+κ2)=12(1R1+1R2)K=κ1κ2=1112(4.2.17)分别称作为平均曲率和Gauss曲率(或总曲率).如果在曲面Σ上的某点P处的κ1=κ2=ρ,则由谱表示(4.2.14),可见b=ρI在任何方向的法曲率都相等.此时P称作为曲面的一个脐点.当ρ=0时此脐点成为平点;ρ=0称为圆点.例4.2.8如果某曲面可由笛卡儿坐标表示为z=w(x,y),试求其平均曲率和总曲率.解由r=(x,y,w(x,y))知道g1=r,x=(1,0,w,x),g2=r,y=(0,1,w,y)g11=1+w2,x,g12=g21=w,x w,y,g22=1+w2,y4.2.三维欧氏空间曲面论13r ,xx =(0,0,w ,xx ),r ,xy =(0,0,w ,xy ),r ,yy =(0,0,w ,yy )因此n =p 1+w 2,x +w 2,y b 11=w p 1+w 2,x +w 2,y b 12=b 21=w p 1+w 2,x +w 2,y b 22=p 1+w 2,x +w 2,y求得K =|b αβ||g αβ|=w ,xx w ,yy −w 2,xy (1+w 2,x +w 2,y)2H =(1+w 2,x )w ,yy −2w ,x w ,y w ,xy +(1+w 2,y )w ,xx 2(1+w 2,x +w 2,y)3/2若记∇=i ∂∂x +j ∂∂y ,则可进一步写得如下绝对形式的平均曲率表示:H =12∇·∇w p 4.2.5曲率线,主坐标和渐近线曲面上的一条曲线C ,如果其每一点的切向正好是该点处的一个主曲率方向,则称C 为该曲面得一条曲率线.由定义,曲率线方程满足b ·d r =λd r或(b 1αdx α−λdx 1=0b 2αdx α−λdx 2=0或(b 1αdx α−λg 1αdx α=0b 2αdx α−λg 2αdx α=0消去λ后即得到曲率线微分方程如下:−b 2·1(dx 1)2+(b 1·1−b 2·2)dx 1dx 2+b 1·2(dx 2)2=0或(b 11g 12−b 12g 11)(dx 1)2+(b 11g 22−b 22g 11)dx 1dx 2+(b 12g 22−b 22g 12)(dx 2)2=014例4.2.9求旋转面r =(f (x 2)cos x 1,f (x 2)sin x 1,g (x 2))的曲率线,其中x 1=x 1,x 2=x 2.解:g 1=(−f sin x 1,f cos x 1,0)g 2=(f 0cos x 1,f 0sin x 1,g 0)g 11=f 2,g 12=0,g αα=f 02+g 02n =11p r ,11=(−f cos x 1,−f sin x 1,0)r ,12=(−f 0sin x 1,f 0cos x 1,0)r ,22=(f 00cos x 1,f 00sin x 1,g n )b 11=−fg p b 12=0b ,22=−f p 于是,曲率线方程为£f 2(f 00g 0−f 0g 00)+(f 02+g 02)fg 0¤dx 1dx 2=0如果旋转面无脐点,即b 1111=b 2222,则dx 1dx 2的前面的导数不为零,因此得到dx 1dx 2=0,即曲率线为x 1=常数和x 2=常数,正好是旋转面上的所有经线和纬线.由于两个主曲率方向相互正交,故由两条曲率线可组成曲面的一个正交曲线坐标系,叫作为主坐标系.此时g 12=0(正交性),b 12=0(主曲率性),且I =g 11(du )2+g 22(dx 2)2(4.2.18)II =b 11(du )2+b 22(dx 2)2(4.2.19)κ1=b 1·1=b 11g 11,κ2=b 2·2=b 22g 22(4.2.20)主坐标系这种特别简单的性质,使得主坐标系成为曲面研究中最有用的曲线坐标系.最后介绍渐近线的概念.若在某点沿某方向t 的法截线曲率为零,即t ·b ·t =κ1cos 2θ+κ2sin 2θ=0,则该方向称作为曲面的渐进方向.从b 的谱表示(4.2.14)和Gauss曲率K =κ1κ2知(i)K >0,此时渐进方向不存在;(ii)K <0,此时存在两个不共线的渐进方向;(iii)K =0,此时存在两个重叠的渐进方向例4.2.10锥面(待完成)如果曲面上一条曲线的每一点的切矢量都沿曲面的渐近方向,则称这条曲线为曲面的渐近线.由定义,曲面在渐近线上局部平面(见图4.7).在下小节还将看到,总曲率决定了曲面的局部形状.4.2.三维欧氏空间曲面论15Figure 4.7:渐近线4.2.6曲面的局部形状,Dupin标线按照曲面Σ上任意给定点P 处的曲率张量上的谱表示(4.2.14),在P 点切平面T Σ中过P 点的任何方向t =cos θt 1+sin θt 2都能算出相应的法曲率κt =±t ·b ·t .沿t 向P 点出发的射线截取长度为p 1/|κt |的点Q,除非κt =0,这种点形成曲面Σ上以P 为中心的一条曲线,称作为P 点的Dupin标线.根据定义Dupin标线的极坐标方成为ρ=√κt =p 122见图6.7所示,依总曲率K 的正负号和非零情况,形状分别为椭圆,双曲线和平行线.下面表面Dupin标线于曲面的局部形状有相等的关联.在曲面上采用主坐标系来考察邻点r (x α+dx α)对r (x α)的差∆r =r (x α+dx α)−r (x α).作Taylor展开可得∆r =r ,αdx α+12r ,αβdx αdx β+o (|d x |2)=(dx 1+o (|d x |))g 1+(dx 2+o (|d x |))g 2+(b αβdx αdx β+o (|d x |2))n由于主坐标系中g 1和g 2正交且b 12=b 21=0,故若取g 1,g 2的单位方向e 1,e 2与n 构成一个标准正交基并以这些方向引进以r (x α)为原点的笛卡儿坐标,略去高阶小后,则有∆r =x e 1+y e 2+z nx =A 1dx 1,y =A 2dx 2,z =b 11(dx 1)2+b 22(dx 2)2其中A α=|g α|为Lamé系数.注意到(4.2.7),若进一步略去高阶小,则有z =1(κ1x 2+κ2y 2)如果用与切平面T Σ平行(距为z =c )的平面与曲面Σ相截,则截口形状近似为2c =κ1x 2+κ2y 2与前面讨论过的Dupin标线的形状相似.故称曲面在该点当K >0时为椭圆点;在K <0时为双曲点;在K =0点为抛物点,则图4.7.从局部看K >0的点由椭球面密切,称作为椭圆点;K <0的点由双曲面密切,称作为双曲点;K =0的点由抛物面密切,称作为抛物点.164.2.7练习练习8证明:曲面为球面的充分必要条件是所有点处的法向n通过某给定点.练习9曲面的第三基本形定义为III=d n·d n,其中d n为曲面的单位法向n的微分.试证明III与曲面的第一和第二基本形存在关系III−2H II+K I=0,其中H为平均曲率,K为总曲率.练习10设在方程x2 a−λ+y2b−λ+z2c−λ=1中c>b>a>0.当参数λ∈(−∞,0)时得一族椭球面;λ∈(a,b)时得一族双叶双曲面;当λ∈(a,b)时得一族单叶双曲面.证明:经过空间每个不在坐标平面的点,有三张二次曲面,分别属于上述三族曲面,且它们沿着交线口相正交.练习11由g1=g2×n[g1,g2,n]和g2=n2×g1[g1,g2,n]求证g1=|g2|2g1−(g2g2)·g1|g1×g2|g2=|g1|2g2−(g1g1)·g2|g1×g2|2练习12证明:(1)曲线为旋转曲面的充要条件是法线通过定直线;(2)曲线为锥面的充要条件是切平面通过定点.练习13求单叶双曲面r=(a cosh cos v,b cosh u sin v,c sinh u)和双叶双曲面r=(a cosh u, b sinh u cos v,c sinh u sin v)的第一和第二基本形系数gαβ,bαβ.4.3曲面上的张量场导数4.3.1曲面上的基矢求导和联络系数由于gα和n可看作是三维曲线坐标系{xα,ζ}对应的基矢,故由第三章的基矢的求导关系与联络系数的关系或g i,j=Γκij gκ=Γijκgκ和g i,j=−Γi ijκgκ,可得gα,β=Γγαβgγ+Γ3αβn=Γαβγgγ+Γαβ3ngα,β=−Γαβγgγ−Γαβ3nn,α=Γβα3gβ+Γ3α3n=Γα3βgβ+Γα33n由此可见Γαβγ=gα,β·gγΓγαβ=gα,β·gγ=−gγ,α·gβ4.3.曲面上的张量场导数17Γαβ3=Γ3αβ=gα,β·n=bαβΓα3β=n,α·gβ=−bαβΓβα3=n,α·gβ=−b·βαΓα33=Γ3α3=n,α·n=0因此,曲面上基矢和法向的求导完全可以由曲面上的联络系数Γγαβ,Γαβγ和曲率张量点表示如下gα,β=Γγαβgγ+bαβn(4.3.21)gα,β=Γαβγgγ+bαβn−Γαβγgγ+bα·βn(4.3.22)n,α=−bαβgβ=−b·βαgβ(4.3.23)由(4.3.21),注意到gα与n垂直,可进一步得到Γαβγ=gα,β·gγ再由gαβ=gα·gβ对xγ求导,就得到与三维欧氏空间形式相同的联络系数与度量求导的下述关系gαβ,γ=Γαγ,β+Γβγ,α(4.3.24)以及Γαβγ=1(gαγ,β+gβγ,α−gαβ,γ)(4.3.25)这些关系与曲面的曲率无关,是一种内禀几何性质,反映了度量决定联络的这一曲面上张量分析的基本性质.4.3.2曲面上标量和矢量场的微分和导数对于曲面Σ上的标量场f(xα),由d f=f,αdxα=f∇αdxα=f|αdxα可见f∇α=f,α是切矢量空间TΣ上的一阶张量(或矢量).对于Σ上的矢量场u=u i g i=uαgα+u j n=u i g i=uαgα+u3n由u,α=(u i,α+Γiαj u j)g i=(u i,α−Γjαi u j)g i可得u,α=(uβ,α+Γβαγuγ−b·βαu3)gβ+(u3,α+bαβuβ)n=(uβ,α−Γγαβu r−bαβu3)gβ+(u3,α+b·βαuβ)n18特别地,如果u是切空间的矢量场(即u3=0),则u,α=uβ|a gβ+bαβuβn=uβ|αgβ+b·βαuβn其中uβ|α=uβ,α+Γβαγuγuβ|α=uβ,α−Γγαb uγ为曲面上切空间矢量场的协变导数.注意到u和n都是绝对矢量,因此协变导数uβ|α是切空间TΣ上的二阶张量,满足坐标变换关系如下:uβ0|α0=∂xβ0∂β∂xα∂αuβ|α4.3.3曲面上切空间张量场的导数对于曲面上切空间TΣ上的张量场,例如三阶张量场T=Tαβ··r gαgβg r,不难求得T,λ=Tαβ··r|λgαgβg r+b rηTηβ··r ngβg r+b rηTαη··r gαng r+b·ηr Tαβ··ηgαgβn其中协变导数Tαβ··r|λ为Tαβ··r|λ=Tαβ··r,λ+ΓαληTηβ··r+ΓβληTαη··r−Γηλr Tαβ··η不难验证这是切空间TΣ上的一个四阶张量.例4.3.11曲面上一度量张量gαβ和置换张量 αβ的协变导数恒为零.关于gαβ|r=0,可由gαβ|r=gαβ,r−Γλαr gλβ−Γλαr gλβ−Γλβr gαλ=gαβ,r−Γαrβ−Γβrα及联络与度量导数的关系()直接得出.类似于对三维置换张量协变导数为零的证明,利用Γrαr= (ln√g),α和 αβ=√geαβ,可证明 αβ|r=0.4.3.4Riemann-Christoffel曲率张量在上一章讨论Riemann-Christoffel曲率张量时,由于协变导数仅涉及度量张量及度量张量表达的联络系数,故Riemann-Christoffel曲率张量的与度量张量及联络系数的关系及与张量交换协变导数的Ricci关系适合任意空间维数.特别地,曲面Σ上的Riemann-Christoffel曲率张量如下:Rαβγλ=1(gαλ,βγ−gβλ,αγ−gαγ,βλ+gβγ,αλ)+(ΓnαλΓβλη−ΓηαγΓβλη)由于指标对称性Rαβγλ=−Rβαγλ=−Rαβλγ=Rγλαβ该张量非零的独立分量只有一个,如R1212=R2121=−R1221=−R2112矢量场uα和张量场Bα·β的交换协变导数的Ricci关系与三维问题类似,分别为:uα|βγ−uα|γβ=uηRη·αβγBα·β|γλ−Bα·β|λγ=Bη·βR·αη·γλ+Bα·ηRη·βγλ4.3.曲面上的张量场导数19 4.3.5曲面论基本方程和曲面论基本定理本小节结束前将谈到度量gαβ和曲率bαβ完全决定了一个曲面的几何形状---称作为曲面论基本定理.下面首先来检查偏导的可交换性条件gα,βγ=gα,γβ所带来的对曲面度量和曲率张量之间的约束关系.不难作如下推导gα,βγ=(Γηαβgη+bαβn),γ=Γηαβ,γgη+Γηαβ(Γληγgλ+bηγn)+bαβ,γn−bαβb·ηγgη=(Γλαβ,γ+ΓηαβΓληγ−bαβb·λγ)gλ+(bαβ,γ+Γηαβbηγ)n因此,由gα,βγ=gα,γβ可得如下两组方程Γλαβ,γ+ΓηαβΓληγ−bαβb·λγ=Γλαγ,β+ΓηαγΓληβ−bαγb·λβbαβ,γ+Γηαβbηγ=bαγ,β+Γηαγbηβ回忆起Riemann-Christoffel曲率张量与联络系数的关系,易见上述第一个方程可表示成:Rλ·αγβ=bαβb·λγ−bαγb·λβ称作为曲面的Gauss方程;而上述第二个方程则可表示成对曲率张量的如下微分约束:bαβ|γ=bαγ|β称作为曲面的Codazzi方程.Gauss和Codazzi方程共同构成了微分几何中极为重要的所谓基本方程.由Gauss方程推得R1212=b11b22−b212=b这是Gauss方程最早,也是最有用的形式.注意到总曲率K=b/g,故K=112=b=R1212表明总曲率K仅仅由度量张量gαβ所决定.因此,Gauss定理揭示了曲面的内禀几何(即由gαβ特征的几何)与外部几何(由bαβ特征)之间的一个基本关系.作为Gauss定理的一个推论,由于曲面的两个曲率一般而言不等于零,故与三维欧氏空间Riemann-Christoffel曲率张量R ijkl处处为零不同,曲面的Riemann-Christoffel曲率张量一般不为零.特别地,当选择主曲率坐标系时R1212=g12任一正交坐标系下的物理分量为R<1212>=K=1 R1R2的的确确是曲率的一个特征.最后,我们不加证明地叙述如下曲.面.论.基.本.定.理..定理4.3.2如在单连通双参数域中给出两组对称函数gαβ(xγ),bαβ(xγ),且gαβ正定,bαβ满足Codagzi方程,则存在曲面Σ,它以gαβ,bαβ为度量和曲率张量.且满足这些性质的曲面除相差三维欧氏空间的一个刚性运动外是唯一的.204.3.6测地曲率和测地线考察曲面Σ上的一条曲线C:xα=xα(s),其中s是弧长参数.曲线在Σ上任意点P的单位切矢量t为t=dxαdsgα.对t进一步求导,则得dtds=τ+κn n(4.3.26)其中κn=bαβdxαdxβ为曲面在P点的法曲率,τ=(d2xαds2+Γαβγdxβdsdxγds)gα(4.3.27)称作为曲线C在曲面Σ上P点处的测地曲率矢量.显然,τ是切空间TΣ上的矢量,即与n垂直;其次,由于t是单位矢量,故d t/ds,从而τ(和n)必然与t垂直,因此τ可表示为τ=κg(t×n)称κg为曲线C在曲面Σ上P点处的测地曲率,由曲线论Frenet公式及(4.3.27),曲线的主曲率则为pκ2g+κ2n.下面解释κg的几何含义.将曲线C投影到切平面TΣ上,得一平面曲线C∗.注意到该曲线在P点的单位切矢量t∗与t相同,故由(4.3.26)投影到切平面,得d t∗/ds=κg(t×n).按曲线论Frenet公式,可见该平面曲线的主法向与t×n平行,主曲率恰为|κgFigure4.8:曲面上曲线C的测地曲率矢量τ,测地曲率κg,和曲线C在切平面的投影C∗.特别地,当Σ上一条曲线C上每点的测地曲率都等于零时,称C为Σ的一条测地线.几何上,在曲面Σ上测地线的每一点处的切平面上测地线的投影,都(局部地)是一条直线.注1测地线方程d2xαds2+Γαβγdxβdsdxγds=0是一个二阶常微分方程组.在初始条件xα(s o)=xαo,dxα|s=s o=tαo时方程的解唯一.换句话说,过定点xαo及该点的给定单位方向tαo,可以引出位移一条测地线.4.3.曲面上的张量场导数21注2曲面上的一条曲线是否为测地线的充分必要条件是在该曲线上的每一点,曲线的主法向与曲面在该点的法向平行.4.3.7曲面上的最短路径考察如何从曲面上的一点A到另一点B的最短路径.给定从A到B的一条曲线C:xα=xα(s),其中s是其弧长参数,a6s6b.让曲线保持两个端点不变,得到一族参数曲线Cλ:xα= xα(s,λ),其中λ=0或C o正好是曲线C.需要注意的是虽然s是C的弧长参数,但一般不再是曲线Cλ的弧长参数.然而,由于弧长的计算与参数无关,故所有总长度ABFigure4.9:曲面上从定点A到定点B的单参数曲线族Cλ.L(λ)=Z b a¯¯¯¯∂r∂s¯¯¯¯ds=Z b a r∂r∂s·∂r∂s ds对λ求导,得dL=Z b a(∂r·∂r)−12(∂r·∂2r)ds注意到∂γλ|λ=0是沿C的切空间矢量场,故可分解为∂r∂λ¯¯¯¯λ=0=l(s)t+h(s)t×n考虑到t=∂r|λ=0是C的单位切矢量,故∂L|λ=0=Z b a t·∂[l(s)t+h(s)t×n]ds=Z b a t·[l0t+l t0+h0t×n+h(k g t×n+k n n)×n+h t×n0]ds=Z b a(l0hk g)ds=l(b)−l(a)−Z b a hk g ds需要注意:在s=a,b曲线固定相应l(a)=l(b)=0,而l(s)和h(s)可以是满足上述条件的任意(变分)函数.因此我们有如下测地线定理:定理4.3.3曲面上曲线C是测地线的充要条件是曲线C的长度达到驻值.224.3.8曲面上矢量的平移(未完)欧氏空间矢量平移意指从一点到另一点的矢量变换,且变换前后的矢量相对于一个笛卡儿坐标系的分量是不变的.由于曲面各点切空间一般不是平行的,如何来定义不同切空间矢量的平移呢?回忆一下,欧氏空间矢量平移有下述两个基本性质:(i)保.线.性.性.:如果P∗点的矢量u∗,v∗分别与P点的矢量u,v平行,则对任何标量λ,μ,线性组合λu∗+μv∗与λu+μv平行.(ii)保.内.积.性.:如果u∗,v∗分别与u,v平行,则u∗·v∗=u·v.希望曲面上切空间矢量的平移至少保持上述两个性质.对于沿曲面Σ上一条曲线C上各点切空间的一个矢量场u,可得:d u=u,βdxβ=[uα,βgα+uα(Γγαβgγ+bαβn)]dxβ=uα|βdxβgα+bαβuαn dxβ称D u=uα|βdxβgα=(duα+Γαβγuγdxβ)gα为u的绝对微分.注意到D u为空间组合d u在切平面TΣ上的投影.如果D u=0,则称u在C上是平移的.4.4等距曲面和弹性薄壳基本方程(未完待续)4.4.1等距曲面及基矢记曲面Σ的位矢为r(xα),r点的单位法矢量为n(xα),则与曲面Σ在n的正向距离为z的空间点的位矢为：ˆr(xα)=r(xα)+z n(xα)(4.4.28)固定z,由上述所有点的集合构成了一张与Σ等距离z的新的曲面ˆΣ,称作为Σ的一个等.距.曲.面.,而Σ称作为参考曲面。

各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。

第四章：曲线坐标系张量分析张量场函数：()=T f r 在空间中每一点定义一个张量T 曲线坐标系回顾：笛卡尔坐标系下空间一点的矢径 123123x x x =++r e e ei x 坐标线：只变化一个坐标i x 时，矢径的轨迹。

直线坐标系下，坐标线都是直线。

当()i i 123x x ,,=ξξξ，1ξ，2ξ，3ξ坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系协变基：i i ∂=∂ξrg所以：ki k i x ∂=∂ξg e '''k i i i i i k i i x ∂ξ∂ξ==∂ξ∂∂∂ξξe g gjj mm x∂ξ=∂g e '''j j j j j m m j jx ∂ξ∂∂ξ∂ξ==∂ξ∂ξg e g 原因：k j m jj j m m i i ji ii k m x x x x ∂ξ∂∂ξ⋅=⋅=∂==δ∂∂ξ∂∂ξ∂ξξ∂e e g g 曲线坐标系中，基矢量是曲线坐标的函数 基矢量的导数基矢量对曲线坐标的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示：j k k ij k ij,k i∂=Γ=Γ∂ξg g g其中组合系数kijΓ 称为第二类Christoffel 符号 ij,k Γ称为第一类Christoffel 符号Christoffel 符号是协变基矢量对曲线坐标的导数在基底矢量下的分解系数。

事实上：j k k iji ∂Γ=⋅∂ξg g jij,k k i∂Γ=⋅∂ξg g① 指标对称性第二类Christoffel 符号的两个协变指标用于指示哪一个协变基矢量（第二个协变指标）对哪一个曲线坐标（第一个协变指标）求导数。

然而，根据协变基矢量的定义：j j ∂=∂ξrg 可得：2jk k k i i kk ij ji i j j ∂∂∂=⋅=⋅=⋅=∂ξ∂ξ∂ξΓ∂ξΓg r g g g g2ji k k k i i j ij,kji,j k ∂∂∂=⋅=⋅=⋅=∂ξ∂ξ∂ξΓΓ∂ξg r gg g g 说明Christoffel 符号相对它的前两个协变指标是对称的。