北师大版高中数学必修四第二章第六节《平面向量数量积的坐

§6平面向量数量积的坐标表示知识点平面向量数量积的做坐标运算及方向向量[填一填]1．平面向量数量积的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2), a与b的夹角为θ，则(1) a·b＝x1y2+x2y1；(2) |a|＝x21＋y21；(3)若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；(4)cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.2．直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．[答一答]如何判断a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线与垂直？提示：(1)判断共线有两种方法：第一种方法是向量共线的判定定理，b＝λa(a≠0)⇔a∥b.第二种方法是坐标共线的条件，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)判断向量垂直的方法：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.1．对向量数量积的坐标运算与度量公式的两点说明(1)向量的坐标运算实现了向量运算的代数化，其将数与形紧密联系在一起，使向量的运算方式得到拓展．(2)向量的模的坐标运算的实质向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点P (x ，y )，使得OP →＝a ＝(x ，y )，故|OP →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点P 到原点的距离；同样若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，故|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．2．在不同表示形式下求向量夹角的策略(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求出a ·b ，|a |和|b |或直接得出它们之间的关系．(2)若a ，b 是坐标形式，则可直接利用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解．类型一 平面向量数量积及夹角的坐标表示【例1】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，求a ·b ，(a －b )·(2a ＋3b )． 【思路探究】 (1)利用平面向量数量积的坐标表示可直接求a ·b .(2)(a－b )·(2a ＋3b )可先展开，再求值，也可先求(a －b )及(2a ＋3b )的坐标，再求值．【解】 法1：∵a ＝(1,2)，b ＝(3,4)， ∴a ·b ＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a －b )·(2a ＋3b )＝2a 2＋a ·b －3b 2 ＝2|a |2＋a ·b －3|b |2＝2×(12＋22)＋11－3×(32＋42)＝－54. 法2：∵a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，∴a ·b ＝11. 又∵a －b ＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)， 2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(3,4)＝(11,16)，∴(a －b )·(2a ＋3b )＝(－2，－2)·(11,16)＝(－2)×11＋(－2)×16＝－54. 规律方法 (1)涉及向量数量积的坐标表示一般利用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解，其关键是确定向量a ，b 的坐标．(2)若题目中涉及图形的数量积运算，则要充分利用两点间的距离公式求出向量的坐标，再由向量的坐标求得数量积．(1)向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则(a ＋b )·(a －b )＝5.(2)已知平面向量a ，b 满足条件a ＋b ＝(0,1)，a －b ＝(－1,2)，则a ·b ＝－1.解析：(1)法1：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝[32＋(－1)2]－[12＋(－2)2]＝5； 法2：因为a ＋b ＝(4，－3)，a －b ＝(2,1)，所以(a ＋b )·(a －b )＝(4，－3)·(2,1)＝4×2－3×1＝5.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． 因为a ＋b ＝(0,1)，a －b ＝(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝0，x 1－x 2＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝1，y 1－y 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－12，x 2＝12，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝32，y 2＝－12.所以a ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，32，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－12，因此，a ·b ＝－12×12＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.类型二 两向量垂直的坐标表示【例2】 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，BC 边上的高为AD ，如图，求D 点及AD →的坐标．【思路探究】 解决此题的关键是确定D 点的位置，可知AD →与BC →垂直，又B ，D ，C 三点共线，利用向量平行与垂直的坐标表示求解．【解】 设D (x ，y )，所以AD →＝(x －2，y ＋1)，又因为BC →＝(－6，－3)，且AD →⊥BC →，所以AD →·BC →＝0，所以－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，即2x ＋y ＝3. ①又因为BD →与BC →为共线向量，BD →＝(x －3，y －2)，BC →＝(－6，－3)，所以－3(x －3)＋6(y －2)＝0，即x －2y ＝－1. ② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以D (1,1)，AD →＝(－1,2)．规律方法 利用向量数量积的坐标表示，可以使两个向量垂直的条件更加代数化，因而其判定方法也更加简捷，在以后解题中要注意应用．(1)已知a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋m b )⊥(a －b )，则实数m 为何值？ (2)在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．解析：(1)a ＋m b ＝(3＋2m,4－m )，a －b ＝(1,5)， 因为(a ＋m b )⊥ (a －b )，所以(a ＋m b )·(a －b )＝0， 即(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0， 所以m ＝233.(2)当∠A ＝90°时，AB →·AC →＝0， 所以2×1＋3×k ＝0，所以k ＝－23； 当∠B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，所以2×(－1)＋3×(k －3)＝0，所以k ＝113；当∠C ＝90°时，AC →·BC →＝0，所以－1＋k (k －3)＝0， 所以k ＝3±132. 类型三 向量的模【例3】 已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)． (1)求a －2b 及其模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )b ，求|c |.【思路探究】 (1)将已知向量的坐标代入运算即可；(2)主要是利用a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求得c 的坐标，然后求模的大小．【解】 (1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，∴|a－2b|＝72＋32＝58.(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，∴c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝12＋62＝37.规律方法本题是平面向量的数量积和模的基本运算，只要公式记忆熟练就不难求解．本例题中的条件不变，问题变为“若|2a＋k b|＝234，求k的值”，如何求解？解：由条件，知2a＋k b＝(6－2k,10＋k)．∵|2a＋k b|＝234，∴(2a＋k b)2＝(6－2k)2＋(10＋k)2＝5k2－4k＋136＝136，∴5k2－4k＝0，∴k＝0或k＝4 5.类型四坐标法的应用【例4】已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．【思路探究】【解】(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． 则AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，∴点C 的坐标为(0,5)． AC →＝(－2,4)，|AC →|＝(－2)2＋42＝25，故点C 的坐标为(0,5)，矩形ABCD 的对角线的长度为2 5.规律方法 利用向量的坐标运算解决平面图形问题，常见的题型有： (1)求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解．(2)证明两线段垂直：证明两线段所对应的向量的数量积为零即可． (3)求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( B )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析：如图所示，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线OA 为y 轴，O 为原点建立直角坐标系．则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，所以P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以PB →＋PC →＝(－2x ，－2y )，P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫y －322－32≥－32，当P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32时，所求的最小值为－32.——规范解答——与数量积的坐标运算相关的综合问题的解法【例5】 已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)．(1)求使CA →·CB →取到最小值时的OC →. (2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB . 【审题】审条件→三向量的坐标，C 在直线OP 上 ↓建联系→求解使CA →·CB →取到最小值时的向量OC →，需建立函数，求函数取得最值时的坐标↓找思路→根据坐标运算求得向量CA→，CB→，由数量积的坐标运算得函数，求坐标【解题】(1)因为点C是直线OP上一点，所以向量OC→与OP→共线，设OC→＝tOP→，则OC→＝(2t，t)．CA→＝OA→－OC→＝(1－2t,7－t)，CB→＝OB→－OC→＝(5－2t,1－t)，CA→·CB→＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，当t＝2时，CA→·CB→取得最小值，此时OC→＝(4,2)．(2)当OC→＝(4,2)时，CA→＝(－3,5)，CB→＝(1，－1)，所以|CA→|＝34，|CB→|＝2，CA→·CB→＝－8，cos∠ACB＝CA→·CB→|CA→||CB→|＝－41717.【小结】 1.隐含信息的挖掘对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含条件，如本例中“C是直线OP上的一点”隐含着“向量OC→与OP→共线”．2．注意函数思想在解决最值中的应用涉及求解最值的问题，常常先通过题设建立函数关系式，在此基础上，借助函数知识求解，如本例第(1)问．AB→＝(6,1)，BC→＝(4，k)，CD→＝(2,1)．(1)若A，C，D三点共线，求k的值．(2)在(1)的条件下，求向量BC→与CD→的夹角的余弦值．解：(1)因为AC→＝AB→＋BC→＝(10，k＋1)，由题意A，C，D三点共线，所以AC→∥CD→，所以10×1－2(k＋1)＝0，即k＝4.(2)因为CD→＝(2,1)，设向量BC→与CD→的夹角为θ，则cos θ＝BC→·CD→|BC→||CD→|＝1242×5＝31010.一、选择题1．已知m∈R，向量a＝(m,1)，若|a|＝2，则m等于(D)A．1 B. 3C．±1 D．±3解析：∵a＝(m,1)且|a|＝2，∴m2＋12＝2，解得m＝±3，故选D.2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(C)A．(－15,12) B．0C．－3 D．－11解析：本题考查平面向量加法及数量积运算．∵a＋2b＝(－5,6)，c＝(3,2)，∴(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3.3．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(B)A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：本题考查数量积的运算，向量垂直的条件．m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，∴λ＝－3.二、填空题4．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为(0，－2)．解析：考查向量相等的定义．∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．设D (x ，y )，∵AB →＝DC →，∴(8,8)＝(8－x,6－y )，∴x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2)．5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a与c 的夹角的大小为120°.解析：a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5，设c ＝(x ，y )，∵(a ＋b )·c ＝52，∴x＋2y ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，∵a ·c ＝x ＋2y ，∴cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525＝－12. 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.三、解答题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC→＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

专家点评（高新一中党效文）
本节课是对平面向量的进一步探究与应用，是对平面向量的几何意义的综合研究提高，故可以看出党老师的教案设计本着引导学生探究、发现、应用、提高的目标而设计的。

通过回顾复习前面相关知识，为后面的深入学习做好铺垫，之后提出问题，引导学生进行探究、同时让学生进行分组讨论，培养学生的自主学习、合作学习的学习方式。

进而指导学生进行公式推导，使学生从探究中感受知识间的联系，理解数学结论的形成过程，体会其中所蕴含的思想方法。

随后通过两个例题分析让学生体会到平面向量的坐标表示，能够使向量的数量积运算更为方便，简洁，尤其是在研究有关向量的夹角、长度、垂直等往往可以使问题简单化。

培养学生灵活运用坐标形式解决有关向量的综合性问题的能力，体现数形结合的思想。

让学生的能力在不知不觉中得到提高。

§6 平面向量数量积的坐标表示[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．[知识链接]1．已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．a ∥b 与a ⊥b 坐标表示有何区别？ 答 若a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0. 若a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反． 2．你能用向量法推导两点间距离公式|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2吗？ 答 AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴AB →·AB →＝AB →2＝|AB →|2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2， 即|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. [预习导引]1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和． 2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.5．方向向量给定斜率为k 的直线l ，则向量m ＝(1，k )与直线l 共线，我们把与直线l 共线的非零向量m称为直线l 的方向向量．要点一 向量数量积的坐标运算例1 已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求： (1)向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )·b . 解 (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)， ∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)． 又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a ·c )·b ＝0·b ＝0.规律方法 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系． (2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充． 跟踪演练1 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)．求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(2a －b )；(3)(a ·b )·c ，a ·(b ·c )．解 (1)a ·b ＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17. (2)∵a ＋b ＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a －b ＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， ∴(a ＋b )·(2a －b )＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8. (3)(a ·b )·c ＝17c ＝17(2,1)＝(34,17)，a ·(b ·c )＝a ·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)． 要点二 两向量的夹角例2 已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)． (1)求使CA →·CB →取得最小值时的OC →； (2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB . 解 (1)∵点C 是直线OP 上的一点， ∴向量OC →与OP →共线，设OC →＝tOP →(t ∈R )， 则OC →＝t (2,1)＝(2t ，t )， ∴CA →＝OA →－OC →＝(1－2t,7－t )， CB →＝OB →－OC →＝(5－2t,1－t )， ∴CA →·CB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8.∴当t ＝2时，CA →·CB →取得最小值，此时OC →＝(4,2)． (2)由(1)知OC →＝(4,2)，∴CA →＝(－3,5)，CB →＝(1，－1)，∴|CA →|＝34，|CB →|＝2，CA →·CB →＝－3－5＝－8. ∴cos ∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝－41717.规律方法 应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角．跟踪演练2 已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)． (1)试计算a ·b 及|a ＋b |的值； (2)求向量a 与b 夹角的余弦值．解 (1)a ＝e 1－e 2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)， b ＝4e 1＋3e 2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)， ∴a ·b ＝4×1＋3×(－1)＝1，|a ＋b |＝(4＋1)2＋(3－1)2＝25＋4＝29. (2)由a ·b ＝|a ||b |cos θ， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12×5＝210.要点三 向量垂直的坐标表示例3 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝5，即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1)．规律方法 将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法．跟踪演练3 已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b . 解 设向量b ＝(x ，y )．根据题意，得OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|. ∴(a －b )·(a ＋b )＝0，|a －b |＝|a ＋b |， ∴|a |＝|b |，a ·b ＝0. 又∵a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，即⎝ ⎛x 2＋y 2＝1，－12x ＋32y ＝0.解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－12.∴b ＝⎝⎛⎭⎫32，12或b ＝⎝⎛⎭⎫－32，－12.1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2答案 B解析 a ·b ＝3＋2＝5，|a |＝10，|b |＝5，设夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝55×10＝22.又θ∈[0，π]，∴θ＝π4.2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．82答案 D解析 易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋(－8)2＝8 2.3．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为________． 答案 5解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)， AC →＝(2,3)，∴BC →·AC →＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5. 4．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5.1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.一、基础达标1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－3 答案 B解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， 又a ·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－17 B.17 C ．－16 D.16答案 A解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( ) A.7 B.10 C.13 D ．4 答案 C解析 易知|a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝12，∴|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝13， ∴|a ＋3b |＝13.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－73.5．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4B.π6C.π4D.3π4答案 C解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)， a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)， (2a ＋b )·(a －b )＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∵α∈[0，π]，∴α＝π4.6．设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是________． 答案 x <58且x ≠－52解析 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b|a ||b |<0，即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85.∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52.7．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)． (1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值． 解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525.(2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， 又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.二、能力提升8．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案 B解析 因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)． 因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以－(2λ＋3)－3＝0， 解得λ＝－3.故选B.9．与向量a ＝⎝⎛⎭⎫72，12，b ＝⎝⎛⎭⎫12，－72的夹角相等，且模为1的向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫45，－35 B.⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，35 C.⎝⎛⎭⎫223，－13D.⎝⎛⎭⎫223，－13或⎝⎛⎭⎫－223，13答案 B10．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. 答案 2解析 因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c|b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.11．已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 和c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m 与向量n 的夹角的大小． 解 (1)∵a ∥b ，∴3x －36＝0.∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0.∴y ＝－3. ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2×72＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.12．设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 的夹角为45°，求实数m 的值．解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)， ∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)， d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )， ∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m . 又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2，∴cos 45°＝c ·d|c ||d |＝2－3m(1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35.三、探究与创新13．在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状． 解 在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0， 即a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝(－c )2，(a ＋c )2＝(－b )2，两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2， 则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2. ∵a ·b ＝c ·a ＝a ·c ， ∴2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|， 即△ABC 是等边三角形．。

北师大高中数学必修平面向量数量积的坐标表示教案第一章：向量概念回顾1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量的表示方法：用字母表示向量的名称，后面跟上箭头和坐标表示其大小和方向。

1.2 向量的坐标表示二维空间中的向量可以用两个坐标表示，通常用(x, y) 表示。

向量的长度（模）：表示向量的大小，计算公式为√(x^2 + y^2)。

第二章：向量的数量积2.1 向量数量积的定义两个向量的数量积（点积）是指它们之间的乘积再进行加法运算。

向量a 和向量b 的数量积表示为a ·b，计算公式为a ·b = |ab| cosθ，其中|a| 和|b| 分别表示向量a 和b 的长度，θ表示它们之间的夹角。

2.2 向量数量积的坐标表示两个二维向量a = (x1, y1) 和b = (x2, y2) 的数量积表示为a ·b = x1x2 + y1y2。

数量积的性质：交换律、分配律、共线向量的数量积为零。

第三章：向量的投影3.1 向量的投影概念向量的投影是指向量在某个方向上的位移，可以是正方向或负方向。

向量a 在向量b 方向上的投影表示为proj_b a，计算公式为proj_b a =(a ·b / |b|^2)b。

3.2 向量的投影坐标表示向量a = (x1, y1) 在向量b = (x2, y2) 方向上的投影表示为proj_b a = ((x1x2 + y1y2) / (x2^2 + y2^2))(x2, y2)。

投影的性质：投影是标量倍数不变、共线向量的投影相等。

第四章：数量积的应用4.1 向量的垂直判断两个向量垂直的条件是它们的数量积为零。

即a ·b = 0，表示向量a 和向量b 垂直。

4.2 向量的模长计算已知向量的数量积和其中一个分量，可以求解另一个分量。

例如，已知a ·b 和x1，可以求解y1 = (a ·b x1^2) / y2。