经济数学基础使用说明

经济数学基础与实践操作指南第1章微积分基础 (4)1.1 极限与连续 (4)1.1.1 极限的定义及性质 (4)1.1.2 连续性及其判断 (4)1.2 微分与积分 (5)1.2.1 微分的定义及性质 (5)1.2.2 积分的定义及性质 (5)1.3 多元函数微积分 (5)1.3.1 偏导数与全微分 (6)1.3.2 多重积分 (6)第2章线性代数 (6)2.1 矩阵与行列式 (6)2.1.1 矩阵的定义与基本性质 (6)2.1.2 行列式的定义与性质 (6)2.1.3 矩阵的秩与行列式的应用 (6)2.2 线性方程组 (7)2.2.1 高斯消元法 (7)2.2.2 克莱姆法则 (7)2.2.3 线性方程组的解的性质 (7)2.3 特征值与特征向量 (7)2.3.1 特征值与特征向量的定义 (7)2.3.2 特征值与特征向量的计算方法 (7)2.3.3 特征值与特征向量的应用 (7)第3章概率论与数理统计 (7)3.1 随机事件与概率 (7)3.1.1 随机试验与样本空间 (7)3.1.2 随机事件的运算 (7)3.1.3 概率的定义与性质 (8)3.1.4 条件概率与独立性 (8)3.2 随机变量及其分布 (8)3.2.1 随机变量的概念 (8)3.2.2 离散型随机变量的分布律 (8)3.2.3 连续型随机变量的概率密度 (8)3.2.4 随机变量的函数分布 (8)3.3 统计量与假设检验 (8)3.3.1 总体与样本 (8)3.3.2 统计量及其分布 (8)3.3.3 假设检验的基本原理 (8)3.3.4 常见假设检验方法 (8)3.3.5 假设检验的误差与功效 (8)第4章线性规划 (9)4.1.1 目标函数 (9)4.1.2 约束条件 (9)4.1.3 决策变量 (9)4.1.4 可行解 (9)4.1.5 最优解 (9)4.2 线性规划求解方法 (9)4.2.1 单纯形法 (9)4.2.2 内点法 (9)4.3 线性规划应用实例 (10)第5章非线性规划 (10)5.1 非线性规划模型 (10)5.1.1 非线性规划的定义与特点 (10)5.1.2 非线性规划的标准形式 (10)5.2 无约束优化方法 (10)5.2.1 梯度下降法 (10)5.2.2 牛顿法与拟牛顿法 (11)5.2.3 共轭梯度法 (11)5.3 有约束优化方法 (11)5.3.1 等式约束优化方法 (11)5.3.2 不等式约束优化方法 (11)5.3.3 遗传算法 (11)5.3.4 粒子群优化算法 (11)5.3.5 模拟退火算法 (11)5.3.6 人工神经网络法 (11)第6章投资组合理论 (11)6.1 证券市场概述 (11)6.1.1 证券市场的定义与功能 (12)6.1.2 证券市场的分类 (12)6.1.3 证券市场的运作机制 (12)6.2 风险与收益 (12)6.2.1 风险与收益的概念 (12)6.2.2 风险与收益的关系 (12)6.2.3 风险与收益的衡量方法 (12)6.3 资本资产定价模型 (12)6.3.1 资本资产定价模型的假设条件 (12)6.3.2 资本资产定价模型的表达式 (13)6.3.3 资本资产定价模型的应用 (13)第7章筹资决策与融资成本 (13)7.1 筹资方式与融资工具 (13)7.1.1 直接筹资与间接筹资 (13)7.1.2 股权融资与债务融资 (13)7.1.3 创新型融资工具 (13)7.2 资本成本与融资结构 (13)7.2.2 融资结构 (14)7.2.3 融资结构优化 (14)7.3 股利政策与股利分配 (14)7.3.1 股利政策类型 (14)7.3.2 股利分配方式 (14)7.3.3 股利政策的影响因素 (14)第8章金融市场与衍生品 (14)8.1 金融市场概述 (14)8.1.1 金融市场基本概念 (14)8.1.2 金融市场功能 (14)8.1.3 金融市场分类 (15)8.1.4 金融市场运行机制 (15)8.2 金融衍生品定价 (15)8.2.1 金融衍生品概述 (15)8.2.2 金融衍生品定价原理 (15)8.2.3 金融衍生品定价方法 (15)8.3 期权交易策略 (15)8.3.1 买入看涨期权 (15)8.3.2 买入看跌期权 (15)8.3.3 卖出看涨期权 (15)8.3.4 卖出看跌期权 (16)8.3.5 期权组合策略 (16)第9章宏观经济分析与政策 (16)9.1 宏观经济指标 (16)9.1.1 国内生产总值（GDP） (16)9.1.2 通货膨胀率 (16)9.1.3 失业率 (16)9.1.4 贸易余额 (16)9.2 宏观经济政策分析 (16)9.2.1 宏观经济政策目标 (16)9.2.2 货币政策分析 (16)9.2.3 财政政策分析 (16)9.2.4 汇率政策分析 (16)9.3 宏观经济模型及应用 (16)9.3.1 总供给与总需求模型 (16)9.3.2 ISLM模型 (16)9.3.3 联立方程模型 (16)9.3.4 宏观经济计量模型 (17)第10章经济预测与决策 (17)10.1 经济预测方法 (17)10.1.1 描述性预测法 (17)10.1.2 因果关系预测法 (17)10.1.3 主成分分析预测法 (17)10.2 决策分析与评价 (17)10.2.1 确定型决策 (17)10.2.2 风险型决策 (17)10.2.3 不确定型决策 (18)10.2.4 多目标决策 (18)10.3 风险分析与管理 (18)10.3.1 风险识别 (18)10.3.2 风险评估 (18)10.3.3 风险控制 (18)10.3.4 风险管理策略 (18)第1章微积分基础1.1 极限与连续微积分的起源可追溯至17世纪，其基础概念为极限与连续。

《经济数学基础》教学大纲课程编号：课程名称：经济数学基础学时安排：72学时学分: 4一、课程的性质和任务本课程是财经类、管理类及相关专业的一门必修的基础理论课程。

众所周知，高等数学在经济数学、管理科学中有着广泛的应用。

著名的边际分析和弹性分析就是以微积分理论为基础的。

因此，《经济数学基础》这门课程以“数学为体，经济为用”，教材内容突出实用性和职业性，涵盖了学校财经类、管理类及相关专业必要的数学基础。

本课程力求使学生系统地获得微积分的基础知识、必要的基础理论和常用的运算方法。

通过本课程的学习，使学生受到基本数学方法的训练和运用这些方法解决简单的财经、管理等实际问题的初步训练，为学生学习财经类、管理类各专业的后续课程和进一步扩大数学知识打好必要的数学基础。

二、课程的教学内容和基本要求第一章函数教学目的和基本要求：1.理解函数的概念，掌握函数的表示法.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念.5.会建立简单应用问题中的函数关系式.教学内容：函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性反函数、复合函数、隐函数、分段函数基本初等函数的性质及其图形初等函数第二章极限与连续教学目的和基本要求：1.了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念.2.了解无穷小的概念和基本性质.掌握无穷小的比较方法.了解无穷大的概念及其与无穷小的关系.3.了解极限的性质与极限存在的两个准则.掌握极限的性质及四则运算法则，会应用两个重要极限.4.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）.5.了解连续函数的性质和初等函数的连续性. 了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值与最小值定理和介值定理）及其简单应用.教学内容：数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小和无穷大的概念及关系无穷小的基本性质及阶的比较极限四则运算极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则）两个重要极限函数连续与间断的概念初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质第三章导数与微分教学目的和基本要求：1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念）.2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，掌握反函数与隐函数求导法以及对数求导法.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.教学内容：导数的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系导数的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的导数高阶导数微分的概念和运算法则第四章中值定理及导数的应用教学目的和基本要求：1.理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理、柯西（Cauchy)中值定理的条件和结论，掌握这三个定理的简单应用.2.会用洛必达法则求极限.3.掌握函数单调性的判别方法及其应用，掌握极值、最大值和最小值的求法（含解较简单的应用题）.4.会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的渐近线.5.掌握函数作图的基本步骤和方法，会作某些简单函数的图形.教学内容：微分中值定理及其应用洛必达（L'Hospital）法则函数单调性函数的极值函数图形的凹凸性、拐点、浙近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值第五章不定积分教学目的和基本要求：1，理解原函数与不定积分的概念.2，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式.3，掌握计算不定积分的换元积分法和分部积分法.教学内容：原函数与不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式不定积分的换元积分法和分部积分法第六章定积分教学目的和基本要求：1.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式，以及定积分的换元积分法和分部积分法.了解变上限定积分定义的函数并会求它的导数.2.会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，会利用定积分求解简单的经济应用问题.3.了解广义积分的概念，会计算广义积分，了解广义积分的收敛与发散的条件.教学内容：定积分的概念和基本性质定积分中值定理变上限定积分定义的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式定积分的换元积分法和分部积分法广义积分的概念和计算定积分的应用第七章无穷级数教学目的和基本要求：1.了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念.2.掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件.掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件.掌握正项级数的比较判别法和比值判别法.3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及它们之间的关系.掌握交错级数的莱布尼茨判别法.4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域.5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数.6.掌握特殊函数幂级数的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展成幂级数.教学内容：常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数以及它们的收敛性正项级数收敛性的判别任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式第八章多元函数微积分教学目的和基本要求：1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的直观意义，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,掌握求多元复合函数偏导数和全微分的方法,会用隐函数的求导法则.4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件。

《经济数学基础》课程考核说明I．相关说明与实施要求本课程的考核对象是中央广播电视大学财经类高等专科开放教育金融专业的学生．本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式．考核成绩由平时作业成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格．其中平时作业成绩占考核成绩的20%，期末考试成绩占考核成绩的80%．平时作业的内容及成绩的评定按《广播电视大学高等专科经济数学基础课程教学实施方案》的规定执行．经济数学基础课程考核说明是根据《广播电视大学高等专科“经济数学基础”课程教学大纲》制定的，参考教材是《经济数学基础》（黎诣远主编，高等教育出版社出版）和《跟我学经济数学》（李林曙主编，高等教育出版社出版）．考核说明中的考核知识点与考核要求不得超出或超过课程教学大纲与参考教材的范围与要求．本考核说明是经济数学基础课程期末考试命题的依据．经济数学基础是广播电视大学财经类各专业高等专科学生的一门重要的必修基础课，其全国统一的结业考试（期末考试）是一种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校财经类专业的大专水平．因此，考试应具有较高的信度、效度和一定的区分度．试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点．考试旨在测试有关一元函数微积分、概率论和矩阵代数的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力．期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点．一元函数微积分、概率论和矩阵代数各部分在期末试卷中所占分数的百分比与它们在教学内容中所占的百分比大致相当，一元函数微积分约占60%，概率论约占20%，矩阵代数约占20%．考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次．三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5．试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2．试题类型分为单项选择题、填空题和解答题．单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题、应用题或证明题等，解答题要求写出文字说明，演算步骤或推证过程．三种题型分数的百分比为：单项选择题30%，填空题10％，解答题60％(其中若有证明题，分数约占5％)．期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为120分钟．考试时不得携带除书写用具以外的任何工具．II. 考核内容和考核要求考核内容分为一元函数微分学、一元函数积分学、概率论和矩阵代数四个部分，包括函数、一元函数微分学、导数应用、一元函数积分学、积分应用、数据处理、随机事件与概率、随机变量与数字特征、矩阵、线性方程组等方面的知识．（一）一元函数微分学⒈函数考核知识点：函数的概念函数的奇偶性复合函数分段函数基本初等函数和初等函数经济分析中的几个常见函数建立函数关系式考核要求：⑴理解函数概念，掌握函数的两要素 定义域和对应关系，会判断两函数是否相同；⑵掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值；⑶掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点；⑷了解复合函数概念，会对复合函数进行分解；⑸了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法；⑹知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质及图形；⑺了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念；⑻会列简单应用问题的函数表达式．⒉一元函数微分学考核知识点：极限的概念无穷小量与无穷大量极限的四则运算法则两个重要极限函数的连续性和间断点导数的定义导数的几何意义导数基本公式和导数的四则运算法则复合函数求导法则高阶导数微分的概念及运算法则考核要求：⑴知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；⑵了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质；⑶掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法；⑷了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点；⑸理解导数定义，会求曲线的切线方程，知道可导与连续的关系；⑹熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单的隐函数导数的方法；⑺知道微分的概念，会求函数的微分；⑻知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数．⒊导数应用考核知识点：函数的单调性函数的极值和最大（小）值导数在实际问题中的应用考核要求：⑴掌握函数单调性的判别方法；⑵了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值；⑶了解边际概念和需求弹性概念，掌握求边际函数的方法；会计算需求弹性；⑷熟练掌握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大和利润最大等），会求几何问题中的最值问题．（二）一元函数积分学⒋一元函数积分学考核知识点：原函数、不定积分和定积分概念积分的性质积分基本公式第一换元积分法分部积分法无穷限积分考核要求：⑴理解原函数与不定积分概念，了解定积分概念，会求当曲线的切线斜率已知且满足一定条件时的曲线方程，知道不定积分与导数（微分）之间的关系；⑵熟练掌握积分基本公式和直接积分法；⑶掌握第一换元积分法（凑微分法）；⑷掌握分部积分法，会求被积函数是以下类型的不定积分和定积分：①幂函数与指数函数相乘，②幂函数与对数函数相乘，③幂函数与正（余）弦函数相乘；⑸知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分．⒌积分应用考核知识点：积分的几何应用积分在经济分析中的应用常微分方程考核要求：⑴掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积；⑵熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法；⑶了解微分方程的几个概念：微分方程、阶、解（通解、特解）线性方程等；⑷掌握简单的可分离变量的微分方程的解法，会求一阶线性微分方程的解．（三）概率论⒍数据处理考核知识点：总体与样本重要特征数直方图考核要求：⑴了解总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数等概念，掌握均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数的计算方法；⑵会作频数直方图和频率直方图．⒎随机事件与概率考核知识点：随机事件与概率事件的关系与运算概率的加法公式与乘法公式事件的独立性考核要求：⑴知道随机事件的概念，了解概率概念及性质；⑵知道事件的包含、相等以及和、积、差，了解事件互不相容和对立事件等概念；⑶会解简单古典概型问题；⑷了解条件概率概念，掌握概率的加法公式和乘法公式；⑸理解事件独立概念，掌握有关计算．⒏随机变量与数字特征考核知识点：两类随机变量常见分布（二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布）期望与方差 考核要求：⑴了解离散型和连续型随机变量的定义及其概率分布的性质；⑵了解二项分布、泊松分布的概率分布列或密度，记住它们的期望与方差，会计算二项分布的概率；⑶了解均匀分布，理解正态分布、标准正态分布，记住其期望与方差．熟练掌握一般正态分布的概率计算问题；⑷了解随机变量期望和方差的概念及性质，掌握其计算方法． （四）矩阵代数 ⒐矩阵考核知识点：矩阵概念与矩阵的运算 特殊矩阵矩阵的初等行变换与矩阵的秩 可逆矩阵与逆矩阵 考核要求：⑴了解矩阵和矩阵相等的概念；⑵熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质； ⑶了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质． ⑷理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件； ⑸了解矩阵秩的概念；⑹理解矩阵初等行变换的概念，熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵． ⒑线性方程组 考核知识点： 线性方程组 消元法线性方程组有解判定定理 线性方程组解的表示 考核要求：⑴了解线性方程组的有关概念：n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解；⑵理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理； ⑶熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解．III. 试题类型及规范解答举例一、单项选择题⒈若函数f x ()在x x =0处极限存在，则下列结论中正确的是（ ）． （A ）f x ()在x x =0处连续 （B ）f x ()在x x =0处可能没有定义（C ）f x ()在x x =0处可导 （D ）f x ()在x x =0处不连续 （B ）正确，将B 填入题中括号内．（中等题）⒉当（ ）时，线性方程组AX b b =≠()0有唯一解，其中n 是未知量的个数． （A ）秩秩()()A A = （B ）秩秩()()A A =-1 （C ）秩秩()()A A n == （D ）秩秩(),()A n A n ==+1 （C ）正确，将C 填入题中括号内．（容易题） 二、填空题 ⒈函数y xx =--42ln()的定义域是 ．在横线上填写答案“(,)(,]2334 ”．（容易题） ⒉若F x ()是f x ()的一个原函数，且a ≠0，则f ax b x ()+=⎰d ．在横线上填写答案“1aF ax b c ()++”．（中等题） 三、解答题⒈（计算题）设随机变量X 的密度函数为f x x x ()()=-≤≤⎧⎨⎩311202其它 试计算：⑴P X (..)1525<<；⑵E X ()解：⑴按密度函数定义有P X f x x x x x (..)()() (152531015)252152225<<==-+⎰⎰⎰d d d875.0)5.0(1)1(325.13=-=-=x⑵由期望的计算公式得E X x f x x x x x x x x ()()()()()==-=----∞+∞⎰⎰⎰d d d 111312312312=--=-=21421474412()x （中等题）⒉（应用题）已知某产品的销售价格p （单位：元／件）是销量q （单位：件）的函数p q=-4002，而总成本为C q q ()=+1001500（单位：元），假设生产的产品全部售出，求产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 解：由已知条件可得收入函数R q pq q q ()==-40022进而得到利润函数L q R q C q q q q q q ()()()()=-=--+=--400210015003002150022对利润函数求导得'=-L q q ()300令'=L q ()0得q =300，显然是唯一的极大值点，因此是最大值点．同时得L ()30030030030021500435002=⨯--=即产量为300件时利润最大．最大利润是43500元．（中等题） ⒊（证明题）设f x ()是连续的偶函数，试证f x x f x x aaa()()d d -⎰⎰=20．证明：由定积分的性质得f x x f x x f x x aaaa()()()d d d --⎰⎰⎰=+0对上式右端第一项做变量替换x t =-，由此可得f x x f t t f t t aaa()()()()d d d -⎰⎰⎰=--=--00由定积分的性质和偶函数的定义可得--==⎰⎰⎰f t t f t t f x x aaa()()()d d d 0最终得f x x f x x f x x f x x aaa a a()()()()d d d d -⎰⎰⎰⎰=+=02证毕．（较难题）IV. 样卷一、单项选择题（每小题3分，本题共30分） 1.下列极限计算中，正确的是（ ）． (A) limln()x x →+=011 (B) lim x x →∞-=12022πe(C) lim sin x xx→∞=1 (D) lim()t t t →-=011e2.关于函数f x x ()=-1，正确结论是（ ）． (A) f x ()在x =1处连续，但不可导 (B) f x ()在x =0处连续，但不可导 (C) f x ()在x =1处既不连续，又不可导 (D) f x ()在x =1处既连续，且可导3.曲线y x =-12在x =2处的切线斜率是（ ）．(A) -14 (B) -12 (C) －1 (D) 144.设y x =lg2，则d y =（ ）．(A) 12d x x (B) 1d xx (C) 1d x x ln10 (D) ln10x x d5.设某商品的需求函数为q p p()=-102e，则当p =6时，需求弹性为（ ）．(A) --53e (B) －3 (C) 3 (D) -126.设f x x F x C ()()d =+⎰，则sin (cos )x f x x d =⎰（ ）．(A) -+F x C (cos ) (B) F x C (cos )+ (C) -+F x C (sin ) (D) F x C (sin )+7.121x x -=⎰d （ ）．(A) ln()21x C -+ (B) ln()21x C -+(C) 1221ln()x C -+ (D) --+2212()x C 8.实际问题中，测量一物体的长度，反复测量6次，所得数据如下：数据次数484950321...则该物体的长度计算公式应选用（ ）． (A)16484950(...)++ (B) 13484950(...)++(C)16348249150(...)⨯+⨯+⨯ (D) 13348249150(...)⨯+⨯+⨯ 9.如果随机变量X B ~(,.)1003，则E X D X (),()分别为（ ）． (A) E X D X (),().==321 (B) E X D X (),()==33 (C) E X D X ().,()==033 (D) E X D X ().,().==0321 10.非齐次线性方程组A X b m n ⨯=有无穷多解的充要条件是（ ）． (A) m n < (B) 秩()A n <(C) 秩()A ＝秩()A m < (D) 秩()A ＝秩()A n < 二、填空题（每小题2分，本题共10分）11.函数y x x =+--113ln()的定义域是 ．12.设f x x()=e ，则lim ()()x f x f x→-=00 ．13.[(]x x x 201e )d '=⎰．14.齐次线性方程组AX =0的系数矩阵为A =--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥112301020000，则此方程组的一般解为．15.如果事件A B ,满足AB =∅，且A B U +=，那么称事件A B ,互为 事件．三、极限与微分计算题（每小题６分，本题共12分）16.求极限lim[sin()]x x x x →--++1211121．17.设y x =-ln()21，求d y ．四、积分计算题（每小题６分，本题共12分）18.计算积分ln x x x +⎰2d ．19.求微分方程'=y x yxe 32满足y ()00=的特解． 五、概率计算题（每小题６分，本题共12分） 20.假设事件A ，B 独立，已知P A ().=04，P B ().=07，求A 与B 只有一个发生的概率．21.设随机变量X N ~(,.)3052，求P X (.)236≤<．已知ΦΦ(.).,().1208849209772==六、矩阵代数计算题（每小题６分，本题共12分）22.设矩阵A =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥1213，且有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+2453TAB A ，求矩阵B ．23.就a b ,的取值，讨论线性方程组x x x x x x x x ax b12312312323136223++=++=++=⎧⎨⎪⎩⎪解的情况．七、应用题（本题8分）24.生产某种产品产量为q （单位：百台）时总成本函数为C q q ()=+3（单位：万元），销售收入函数为R q q q ()=-6122（单位：万元），问产量为多少时利润最大？最大利润是多少？八、证明题（本题4分）25.设A I 2=，且I AA =T ，则A 为对称矩阵．。

经济数学基础3（本）课程教学设计方案一、课程说明《经济数学3》课程是浙江广播电视大学经济、金融专业本科的一门基础选修课，它是为培养适应社会主义现代化经济发展和科学进步需要的本科管理应用型人才服务的，也是学习专业理论课程知识不可缺少的基础课程。

本课程是在学生完成经济数学、线性代数基本知识、基本理论和基本方法的学习基础上，介绍概率论和数理统计等内容。

这些内容的设置是为学生学习后继的专业课程和今后的实际工作提供必要的数学基础的知识和方法。

本课程36学时，2学分。

内容包括随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础。

二、课程的目的与要求本课程的教学目的是使学生在经济数学、线性代数学习的基础上，进一步扩充在后续课程的学习和今后实际工作中必须具备的数学学科的基本知识、基本理论和基本方法，使学生初步掌握概率论和数理统计的基本概念和基本方法，培养学生具有一定的抽象思维和概括能力，提高学生综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力以及自学能力，使学生具有较高的学习专业理论的素质。

因此，通过本课程的学习，要求学生：理解概率论和数理统计是研究随机现象数量规律性的科学，掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，以及处理随机现象的基本思想和基本方法，具有运用概率统计方法分析和解决实际问题的一定能力。

三、教学内容与教学要求第1章随机事件与概率（8 学时）(一)教学内容1.随机事件随机事件的关系与运算。

2.随机事件的概率随机事件的频率、概率，古典概型及其简单计算，概率的基本性质。

3.概率的运算法则概率的加法公式，条件概率与乘法公式，事件的独立性。

完备事件组概念，全概公式。

4.贝努里概型n重贝努里试验与二项概型。

（二）教学要求1.了解随机事件、频率、概率等概念。

2.掌握随机事件的运算，了解概率的基本性质。

3.了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题。

4.熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概公式。

5.理解事件独立性概念。

课程教学大纲审核表《经济数学基础》教学大纲学时数：198 学分：适用专业：财经类、土建类一、课程的性质、目的和任务《经济数学基础》是财务会计与工程管理类专业学生的一门重要的基础必修课。

它是为培养适应四个现代化需要的、符合社会主义市场经济要求的高职高专应用型经济管理人才服务的。

通过本课程的学习，使学生获得微积分、概率统计和线性代数的基本知识，培养学生的基本运算能力，增强学生用定性与定量相结合的方法处理经济问题的初步能力。

并为学习本专业的后继课程和今后工作需要打下必要的数学基础。

通过本课程的学习，使学生：1. 对极限的思想和方法有初步认识，对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系有初步的了解，初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，建立变量的思想，培养辩证唯物主义观点，并受到运用变量数学方法解决简单实际问题的初步训练。

2. 初步认识概率统计是研究随机现象数量规律性的学科，初步掌握有关的基本知识和处理随机现象的基本方法。

3. 初步熟悉线性代数的研究方法，提高学生抽象思维、逻辑推理以及运算能力。

二、课程教学内容及基本要求1.函数、极限和连续（1）理解函数概念，复合函数，分段函数，反函数；理解函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性；（2）掌握基本初等函数及其性质；（3）掌握极限的定义，左右极限，无穷大量、无穷小量的概念及其相互关系；掌握极限的四则运算，两个重要极限；（4）掌握连续函数的定义和四则运算，间断点；（5）理解需求与供给函数的概念，会用函数关系描述经济问题（成本函数、收益函数、利润函数、复利公式）；（6）掌握无穷小的比较；掌握利用两个重要极限求极限；会判断间断点的类型、求连续函数和分段函数的极限。

2. 导数与微分（1）理解导数定义，了解导数的几何意义，会求曲线的切线方程；（2）熟练掌握导数基本公式和运算法则，熟练掌握复合函数求导法、隐函数求导法；了解高阶导数的概念，会求函数的二阶导数；（3）理解微分概念，会求函数的微分；（4）了解边际及弹性的概念，熟练掌握边际函数和需求弹性的求法；（5）掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间；了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，会求函数的极值；熟练掌握求经济问题中的最大值和最小值的方法。

第3章导数应用3.1 函数的单调性从这一讲开始讲第3章导数应用．在上一章的总结中指出，导数是特别重要的，不仅在本课程中有很多应用，而且在将来的工作中也有很多应用．这一章中，主要讲导数在两方面的应用：1．导数在研究函数时的应用2．导数在经济中的一些应用股市及股市曲线在生活中，随着经济的发展，同学们或多或少都会接触股市．在股市上，人们特别关注股市曲线，关心在哪一段时间股市在上升，哪一段时间股市会下降；或者在哪一个时间达到峰值，哪一个时间达到低谷，低谷的值是多少？生产场景及生产曲线在工业管理中，关心投入与产量之间的关系，产量随投入变化的情况，何时达到最高．在下两节中就是要讨论这个问题．单调性判别下面首先讨论3.1 函数的单调性．什么叫函数的单调性？1.1节中定义函数的单调性为：一个函数在一个区间之间随着自变量的增加，函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫做单调减少的．从函数本身或图形，都能判断函数的单调性，但有时还需要用导数工具判别单调性．先考察y = x2，它的图形是抛物线．在x > 0 处，函数单调上升；在x < 0 处，函数单调下降．当在x > 0 这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x轴正向的夹角一定小于90当在 x < 0 这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x 轴正向的夹角一定大于90200202<='<>='>='x y x x y x xy 时，当时，当定理 设函数y = f (x )在区间[a , b ]上连续，在区间(a , b )内可导.(1) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) > 0，则f (x )在[a , b ]上单调增加；(2) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) < 0，则f (x )在[a , b ]上单调减少．意义：利用导数的符号判别函数的单调性．说明：闭区间[a , b ]换成其它区间，如(a , b )，(-∞,b ]，(a , +∞)．使定理结论成立的区间，称为y = f (x )的单调区间．定理3.1 设函数y = f (x )在区间[a , b ]上连续，在区间(a , b )内可导．(1) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) >(≥) 0，则f (x )在[a , b ]上单调增加(不减)；(2) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) <(≤) 0，则f (x )在[a , b ]上单调减少(不增) ．“单调增加”与“单调不减”之间的区别在哪里呢？单调增加是自变量变大，函数值也变大；而单调不减是自变量变大，函数值不变小，即函数值也变大或函数值保持相等．所以，单调增加与单调不减是有一些差别的．修改后的定理3.1如下：定理3.1 设函数y = f (x )在区间[a , b ]上连续，在区间(a , b )内可导.(1) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) ≥ 0，则f (x )在[a , b ]上单调不减；(2) 如果x ∈(a , b )时，f '(x ) ≤ 0，则f (x )在[a , b ]上单调不增．由此我们可以说第二位同学的回答是正确的，下面给出证明．结论：若0)(≡'x f ，],[b a x ∈，则c x f =)(．证： 0)(≡'x f ⇒)(x f 既单调不增又单调不减⇒c x f =)(例1 判别y = x 3+1的单调性．[分析]函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断，在学了定理3.1后，就可以用导数来判断．解： 定义域为(-∞,+∞) y '(x ) = 3x 2 > 0，x ∈(-∞,+∞)，且x ≠0∴y 在(-∞,+∞)上单调增加．从图形上可以看出，这个函数的确在整个定义域上是单调增加的．例2 求y = 2x 3 - 9 x 2 + 12 x - 6的单调区间.[分析]首先求出定义域，再利用定理3. 1（利用导数作为工具）判断该函数在哪个范围内单调增加，哪个范围内单调减少，即判断在哪个范围内导数大于0，在哪个范围内导数小于0．因此，要求出使导数等于0的点（分界点），再作判断．解： 定义域为(-∞,+∞),y ' = 6x 2 - 18 x + 12； x 2- 3 x + 2 = 0 (x – 1)( x – 2) = 0； x 1 = 1, x 2 = 2∴单调增加区间为(-∞,1]，[2，+∞)；单调减少区间为[1，2]．在右图形中x 1 = 1, x 2 = 2是分界点，在区间(-∞,1]内，函数是单调增加的；而在区间 [1，2]内，函数单调减少；在区间[2，+∞)内，函数是单调增加的．例3 求xx y +=1的单调区间. 解： 定义域为(-∞,-1)，(-1，+∞),22)1(1)1()1(x x x x y +=+-+='∴ 单调增加区间为(-∞,-1)，(-1，+∞)从图形中看出，该函数确实在整个定义域内是单调增加的．归纳：求函数单调区间的步骤：①确定)(x f 的定义域；②求f '(x ) = 0和f '(x )不存在的点，并组成若干子区间；③确定f '(x )在每个子区间内的符号，求出 f (x ) 的单调区间．例4 当x > 0时，试证ln(1+ x ) >x 2. [分析]先建立一个函数F (x )，将问题转化为函数单调性讨论的问题；再利用导数判断 F (x )的单调增加性，得到要证明的结论．证：F (x ) = ln(1+ x ) –( x 2 )F (x ) 单调增加．又F (0) = 0，故当x > 0时，F (x ) > 0 ；即 ln(1+ x ) > x 2． 3.2 函数极值3.2.1 函数极值及其求法首先要明确什么叫函数极值，先看定义：定义3.1 设函数f (x )在点x 0的某邻域内有定义．如果对该邻域内的任意一点x (x ≠x 0)，恒有f (x ))(≥≤f (x 0)，则称f (x 0)为函数)(x f 的极大(小)值，称x 0为函数)(x f 的极大(小)值点．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 大家看下面这个图形：在一个坐标平面中画出一条曲线，即给出一个函数，并找出一些特殊点x 1，…，x 5和两个端点哪些点是极大值点呢？可以看到x 1是极大值点，x 4也是极大值点．端点b 是不是极大值点呢？极大值点是指它的函数值要比周围的值都大，而端点b 的右边是没有函数值，所以它不是极大值点．极大值点：x 1, x 4； 极小值点：x 2, x 5再找一找哪些是极小值点？x 2是一个极小值点，x 5也是一个极小值点．下面利用这个图形来解决怎样求极值点的方法．分析函数在极值点处具有什么特征．x 1是极大值点，曲线在这一点处是较光滑的，切线是存在的，而且切线是一条水平线；x 5是极小值点，曲线在这一点处也是较光滑的，切线也是存在的，也是一条水平线．由此可得到，若曲线在一点处是较光滑的，而这一点是极值点，那么它的切线一定是水平的，即它的导数为0．定理3.2如果点x0是函数f (x)的极值点，且f'(x0)存在，则f'(x0) = 0使f'(x0) = 0的点，称为函数f (x)的驻点．定理3.2表示，如果一个点是极值点，而且在可导的条件下，这个点一定是驻点．这样，极值点可以在驻点或不可导点处找到．说明：若f'(x0)不存在，则x0不是f (x)的驻点．定理3.2是极值存在的必要条件．根据刚才的分析，函数的极值点或者是不可导点，或者是驻点．但是，驻点并不一定是极值点．例如：函数y = x3在x0=0处，f'(x0) = 0，由图可知，x0 = 0不是极值点．因此，请大家想一想：极值存在的充分条件是什么？回答这个问题之前，我们先借助于几何直观来分析．从这个图形中很容易的看出，函数 f (x)在点x0处达到极大，x0是极大值点．当然，函数在这一点处切线是存在的，函数在这一点是可导的，而且满足极值的必要条件f'(x0) = 0．特征：点x0的左边曲线是上升的，即导数值大于0；右边曲线是下降的，即斜率小于0．由此可知，在可导的条件下，极值点的左右两边的导数符号是不一样的．从图形上显然看出x0也是极大值点，但在这一点处导数不存在，这个极大值点是不可导点．特征：在点x0的左右两边的曲线都是可导的情况下，若点x0是极大值点，则它左边的导数大于0，右边的导数小于0．由这两个图可知，若x0是函数f (x)的驻点或不可导点，且在点x0的左、右两边的导数由正变负，则x0是极值点，而且是极大值点．这一结论具有一般性，它是充分条件的一部分．再看极小值点．从图中很容易发现x0是极小值点．由于x0是f (x)的可导点，所以满足极值的必要条件f'(x0) = 0．若x0是极小值点，则它的右边曲线的斜率大于0，即导数值大于0；而在左边，它的斜率小于0，即导数值小于0．所以，一个驻点是极小值点时，它的左、右两边的导数符号也是不一样的．x0是这个函数极小值点，但是不可导点．它所具有的特征是：在可导的条件下，x0右边的导数大于0，x0左边的导数小于0．归纳：只要x0满足极小值点的必要条件，那么在x0左右两边函数可导的条件下，左右两边的导数符号是不一样的，而且从左到右，导数的符号从负的变为正的．在这种情况下，x0不是极值点．在x0左右两边函数可导的条件下，两边的切线方向是一致的．也就是说，尽管x0满足了极值点的必要条件f'(x0) = 0，但在x0的左右两边，导数不变号，因此可以肯定x0不是极值点x0也不是函数的极值点，且在x0左右两边，导数的符号是一样的．由上面的分析可以归纳出判别极值点的充分条件．定理3.3 设函数f (x )在点x 0的邻域内连续并且可导(f (x 0)可以不存在)．如果在点x 0的左邻域内f '(x )>(<) 0，在点x 0的右邻域内f '(x )<(>) 0，那么x 0是f (x )的极大(小)值点，且f (x 0)是f (x )的极大(小)值．如果在点x 0的邻域内，f '(x )不变号，那么x 0不是f (x )的极值点．例1 设函数y = e x - x +1，求驻点．[分析]驻点就是使导数等于0的点．解：y '= e x - 1， 由 y '= e x – 1 = 0， 得x = 0注意：这里求出的x = 0不能说是函数的一个极值点，只能说是函数的一个驻点．可导函数f '(x 0) = 0是点x 0为极值点的必要条件，但不是充分条件．例2 设y = x – ln(1+x )，求极值点．[分析] 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点．解： 定义域),1(∞+-,0111=+-='xy ，解得x = 0 (驻点)在x = 0的左右两边，y '的符号由负变正，故x = 0是极小值点．例3 设y = 3223x - x + 7，求极值点． [分析] 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点．解： 定义域),(∞+-∞；131-='-x y ,x = 0处导数不存在，x = 1是驻点.在x = 0的左右两边，y '的符号由负变正，故x = 0是极小值点；在x = 1的左右两边，y '的符号由正变负，故x = 1是极大值点．例4 设4343x x y -=，求极值．[分析] 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点，最后写出极值．解： 定义域),(∞+-∞在x = 0的左右两边y '同号，故x = 0不是极值点；在x = 1的左右两边，y '的符号由正变负，故x = 1是极大值点．求函数极值的步骤：∙ 确定函数f (x )的定义域，并求其导数f '(x )；∙ 解方程f '(x ) = 0，求出f (x ) 在定义域内的所有的驻点；∙ 找出)(x f 所有在定义域内连续但导数不存在的点；∙ 讨论f '(x )在驻点和不可导点的左、右两侧附近符号变化情况，确定函数f (x )的极值点；∙ 写出函数f (x )的极值点和极值．3.2.2 最大值、最小值及其求法极值与最值的区别：极值是在其左右小范围内比较最值是在指定的范围内比较所以，说到最大（小）值，要使问题提得明确，就必须明确指定考虑的范围．如果在指定的范围内函数值达到最大，它就是最大值．这个函数在区间[a ，b ]内的极大值点是x 1，x 4；极小值点是x 2，x 5．现在要问这个函数在闭区间[a ，b ]上最大值点是哪一个，那么应该是整个指定区间上曲线最高处的点就是最大值点．从图中可以看出，端点b 处的函数值最大，所以点b 就是该函数在区间[a ，b ]上的最大值点．同样，从图中可以看出x 2是区间[a ，b ]上最小值点．若将b 点往左移至5x ，从图中可以看出，最大值点是 x 4，而最小值点仍然是x 2．若将区间改为],[42x x ，则最大值点仍然是x 4，最小值点仍然是x 2．明确了最值点与极值点的区别后，最值点的求法也就较容易得到了．函数f (x )在[a ，b ]上的最值点一定在端点、驻点和不可导点中．端点：a ，b驻点：使f '(x ) = 0的点不可导点：f '(x )不存在的点求函数最值的步骤：① 求导数f '(x )；② 解f '(x ) = 0，求出f (x )的驻点；③ 找出f (x )连续但f '(x )不存在的点；④ 比较f (x )在驻点、导数不存在点和端点处的值，确定最 大值和最小值．例1 求y = x 3- 3x 2 – 9x + 5在[-4，4]上的最大值和最小值．[分析]可能成为最值点的是端的、驻点和不可导点．因此，先求驻点和不可导点，再比较这些点和端点处的函数值的大小，确定最大值和最小值．解：y '= 3x 2 – 6x - 9 = 3(x 2– 2x – 3)= 3(x + 1)(x – 3) = 0 ，x 1 = -1，x 2 = 3所以，最大值为(-1) = 10，最小值为(-4) = -71．说明：不用判别-1，3是否为极值点，只要计算-4，-1，3，4处的函数值，确定最大值和最小值。