高一数学四月段考题

高一数学必修4月考测试题第I 卷（选择题, 共60分）一 、选择题（本大题共12小题，每小题５分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．0sin 390=( ) A ．21 B ．21- C ．23 D ．23- 2．下列区间中，使函数sin y x =为增函数的是A ．[0,]πB ．3[,]22ππC ．[,]22ππ- D ．[,2]ππ 3．α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513- ４．函数 y = cos 2x – 3 cosx + 2 的最小值为(A) 2 (B) 0 (C) – 14(D) 6 ５．已知1sin cos 3αα+=，则ααcos sin = ( ) A ．21 B ．21- C ．89 D ．89- ６．在ABC ∆中，若).sin()sin(C B A C B A +-=-+ 则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形7．已知函数)62sin(π-=x y ，则下列判断正确的是（ ）（A ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭（C ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭ （D ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭８．要得到2sin(2)3y x π=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( ) A ．向左平移23π个单位 B ．向右平移23π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位 9．已知53)3sin(=+πα, , 则)6cos(απ-的值为 ( ) A ．16 B ．43 C ．53 D ．53- 10．已知α、β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，且cos α+sin β>0，则下列式子正确的是（ ） A 、πβα<+ B 、πβα23>+ C 、πβα23=+ D 、πβα23<+ 11、函数x x y cos -=的部分图象是12、已知函数)(x f 是定义在上的奇函数，其最小正周期为3，且)0,23(-∈x 时)1(log )(21x x f -=则=+)2013()2011(f f （ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2）第II 卷（非选择题, 共60分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．已知扇形的圆心角为32π，半径为3，则扇形的面积是 14．函数)32sin(2π-=x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32.6ππx 的值域为 15．函数sin y x =的定义域是 .16. 给出下列五个命题：①函数2sin(2)3y x π=-的一条对称轴是512x π=； ②函数tan y x =的图象关于点(2π,0)对称； ③正弦函数在第一象限为增函数 ④若12sin(2)sin(2)44x x ππ-=-，则12x x k π-=，其中k Z ∈ 以上四个命题中正确的有 （填写正确命题前面的序号）三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17(1)已知4cos 5，且为第三象限角，求sin 的值 (2)已知3tan =α，计算 ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+- 的值18已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----． （１）化简()f α（２）若31cos()25πα-=，求()f α的值19已知向量a , b 的夹角为60, 且||2a =, ||1b =,(1) 求 a b ; (2) 求 ||a b +.20已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时，(1) ka b +与3a b -垂直？(2) ka b +与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？22、已知(3sin ,cos )a x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+, 且()f x a b =(1) 求函数()f x 的解析式;(2) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.。

一、单选题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B ＝（ ）A ．B ．C ．D ． 53353757【答案】A 【解析】由条件利用正弦定理可得 ＝，运算求得结果. sin sin A B a b【详解】在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则由正弦定理可得＝＝， sin sin A B a b 53故选：A .【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于简单题.2．在中，若，则（ ）ABC A 3,2a b c ===A =A ．B ．C ．D ．30︒60︒45︒90︒【答案】B 【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】因为， 3,2a b c ===所以由余弦定理得， 2229471cos 22322b c a A bc +-+-===⨯⨯又，则．0180A ︒<<︒60A =︒故选：B.3．已知复平面内向量（O 为坐标原点）的坐标为（-2，1），则向量对应的复数为（ ） OP →OP →A ．B ．C ．D ．2i -+2i +12i -12i +【答案】A【分析】复数对应的点为（-2，1），即得解.2i -+【详解】解：复数对应的点为（-2，1），2i -+又向量（O 为坐标原点）的坐标为（-2，1），OP →故选：.A 4．利用斜二测画法画一个水平放置的平面四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形（如图所示），则原图形的形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】设直观图中的正方形为，则有，则对应在原图形中有且OABC (1,0),A B OA OB ⊥A1,OA OB ==5．在中，，，，则的面积为（ ）ABC A 4a =1b =60C =︒ABC AA ．1B ．2CD ．【答案】C【分析】直接利用三角形面积公式进行计算. 1sin 2S ab C =⋅【详解】的面积为. ABC A 11sin 4122ab C ⋅=⨯⨯=故选：C【点睛】本题考查三角形面积公式，属于基础题.6．如图所示，三棱台截去三棱锥后，剩余部分几何体是（ ）A B C ABC '''-A ABC '-A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．不规则几何体【答案】C【分析】根据图形特点进行判断.【详解】根据图形可见，底面四条边，所以为四棱锥.故选：C.7．复数的共轭复数是（ ） 2i 12i+-A ． B ． C ． D ．3i 5-35i i -i 【答案】C【分析】利用复数的乘除运算求出，结合共轭复数的概念求出它的共轭复数即可. 2i i 12i +=-【详解】由题意知，令， 2i (2i)(1+2i)i 12i (12i)(1+2i)z ++===--所以复数的共轭复数为，i z =-故选：C8．在中，角所对的边分别为，若，则三角形一定是（ ）ABC A ,,A B C ,,a b c 2cos c a B =A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简变形即可判断三角形的形状【详解】因为，2cos c a B =所以由正弦定理得,sin 2sin cos C A B =所以，()()sin sin 2sin cos A B A B A B π⎡⎤-+=+=⎣⎦所以，sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=所以，sin cos cos sin 0A B A B -=所以，in 0()s A B -=因为，所以，,(0,)A B π∈(,)A B ππ-∈-所以，所以，0A B -=A B =所以为等腰三角形，ABC A 故选：C二、多选题9．在中，若，则为（ ）ABC A 2,30a b A ===︒BA ．60°B ．150°C ．120°D ．30°【答案】AC【分析】由大边对大角可知，从而得，由正弦定理可得，根据特殊30B >︒(30,150)B ∈︒︒sin B =三角函数值即可得答案.【详解】解：因为，2,30a b A ===︒所以(大边对大角)，30B A >=︒由正弦定理可知， sin sin a b A B =∴，sin sin b A B a ===又因为，(30,150)B ∈︒︒∴或．60B =︒120B =︒故选:．AC 10．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） 21i z =-+iAB ． 22i z =C ．的共轭复数为D ．的虚部为 z 1i +z 1-【答案】ABD【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数的基本概念，逐项判定，即可求解.1i z =--【详解】由复数， ()()()21i 21i 1i 1i 1i z --===---+-+--则A 正确；z ==因为，所以B 正确；2222(1i)(1)2i (i)2i z =--=-++-=根据共轭复数的概念，可得复数的共轭复数为，所以C 不正确；z 1i z =-+根据复数的基本概念可得，复数的虚部为，所以D 正确.z 1-故选：ABD.11．下列说法正确的是（ ）A ．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱B ．棱锥的侧面一定都是三角形C ．棱台各侧棱所在直线必交于一点D ．有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台【答案】BC【分析】对A，根据棱柱的定义即可判断；对B，根据棱锥的定义即可判断；对C，根据棱台的定义即可判断；对D，根据棱台的定义即可判断.【详解】解：对A，如图所示：将两个平行六面体合在一起，但不是棱柱，故A错误；对B，根据棱锥的定义可知：棱锥的侧面一定都是三角形，故B正确；对C，根据棱台的定义可知：棱台各侧棱所在直线必交于一点，故C正确；对D，如图所示：该几何体的上下底面是两个全等的矩形，两矩形平行，且上面矩形的长与下面矩形的宽对应平行，则四个侧面均为等腰梯形，但四条侧棱并不交于同一点，故不是四棱台，故D错误.故选：BC.12．在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为了一种时尚旅游产品.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽）A ．若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为元B ．用此斗笠盛水，则需要立方厘米的水才能将斗笠装满1000πC ．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120D ．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为【答案】ABC【分析】根据圆锥的母线长为20，底面半径为.【详解】如图所示：由题意知：20,PA AB ==A. 圆锥的侧面积为：，所以若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元20S rl ππ==⨯=的材料，此斗笠的制作费为元，故正确；B. ，圆锥的体积为，所以用此斗笠盛10PO ==(221110100033V r PO πππ==⨯⨯⨯=水，则需要立方厘米的水才能将斗笠装满，故正确； 1000πC. ，所以，所以斗笠轴截面（过顶点和底sin AO APO PA ∠=60APO ∠= 120APB ∠= 面中心的截面图形）的顶角为，故正确；120 D.由C 知斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为，所以过斗笠顶点和斗笠侧面120 上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米，故错误； 12020sin 902002S =⨯⨯⨯= 故选：ABC三、填空题13．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.【答案】0【分析】由余弦定理化简求值．【详解】∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ，∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0. 故答案为：014．已知是关于x 的方程的一个根，则该方程的另一个根为________．2i 3-260(R)x x q q ++=∈【答案】32i --【分析】由韦达定理可得两根之和为，计算可得所求另一根．6-【详解】解：是关于的方程的一个根，设该方程的另一个根为， 2i 3-x 260(R)x x q q ++=∈0x 可得，0(2i 3)6x +-=-解得.032i x =--故答案为：．32i --15．如图，若斜边长为（与重合）是水平放置的的直观图，则A B C '''A B 'O 'ABC A 的面积为________．ABC A【答案】【分析】还原原图，计算面积即可.【详解】在斜二测直观图中， 由为等腰直角三角形，A B C '''A，．A B ''=2A C ''=2B C ''=还原原图形如图：则，2AB BC ==则 11222ABC S AB BC =⨯⨯=⨯=△故答案为：.16．如图所示，半径为R 的半圆内（其中）的阴影部分以直径所在直线为轴，旋30BAC ∠=︒AB 转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为______．【答案】 356R π【分析】要求旋转后阴影部分的体积即是球的体积减去两个圆锥的体积，根据，2AB R =，、的长，再根据圆锥的体积公式和球的体积公式进行计tan BAC ∠=AC BC CD 算． 【详解】解：为直径，AB ．90ACB ∴∠=︒tan BAC ∠ ， 1sin 2BAC =∴∠又，， sin BC BAC AB ∠= 2AB R =，，． 122BC R R ∴=⨯=AC =CD =，， 2311()32V CD AD BD R ππ∴=+=3243V R π= 3332145326V V V R R R πππ∴=-=-=故答案为： 356R π四、解答题17．已知复数，.11i z =+23i z =-(1)求； 21z z (2)若满足为纯虚数，求.4i()z a a R =+∈2z z +||z 【答案】(1)12i -(2)5【分析】（1）根据复数代数形式的运算法则即可求出；（2）根据纯虚数的概念即可求出参数，再根据复数模的计算公式即可求出．a 【详解】（1）． 213i (3i)(1i)33i i 112i 1i (1i)(1i)2z z ------====-++-（2）因为为纯虚数，∴，∴.2(3)3i z z a +=++30a +=3a =-即，．34i z =-+||5z ==18．的内角，，的对边分别为，，.已知，.ABC A A B C a b c a =2b =60A =︒（1）求的值；sin B （2）求的值.c 【答案】（1）；（2）. sin B =3c =【分析】由正弦定理求出，由余弦定理列出关于的方程，然后求出．sin B c c 【详解】解：（1）因为，. a =2b =60A =︒由正弦定理，所以； sin sin a b A B=2sin B =sin B =（2）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-22222cos 60c c =+-⨯︒，（舍），所以.3c =1c =-3c =【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．19．如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H 是的中点，O 为底面中心，，BC 60SHO ∠=︒(1)求出正六棱锥的高；斜高；侧棱长(2)求出六棱锥的表面和体积【答案】(1)高为6，斜高为(2)表面积是【分析】（1）由条件依次求得，，的长即可.SO SH SB （2）由棱锥表面积及体积的计算公式，求得表面积和体积.【详解】（1）因为正六棱锥的底面周长为24，所以正六棱锥的底面边长为4． 在正六棱锥中，，H 为中点，所以． S ABCDEF -SB SC =BC SH BC ⊥因为O 是正六边形的中心，所以为正六棱锥的高．ABCDEF SO中，，所以． OH ==Rt SOH △60SHO ∠=︒tan 606SO OH =⋅︒=在中，Rt SOH A SH ==在中，，所以． Rt SHB A SH =2BH =SB ==故该正六棱锥的高为6，斜高为（2）的面积为的面积为SBC △11422BC SH ⨯=⨯⨯=OBC △11422BC OH ⨯=⨯⨯=所以正六棱锥的表面积为66⨯⨯=体积为1663⨯⨯=20．已知复数． ()()22233i m m z m m m m--=+-∈R （Ⅰ）当取什么值时，复数是纯虚数？ m z（Ⅱ）当时，求． 1m =4izz z ++【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）20.1m =-【分析】（I ）利用复数为纯虚数的充要条件即可得出；（II ）利用复数的运算法则即可得出 【详解】（Ⅰ）若为纯虚数，则，解得． z 2223030m m mm m ⎧--=⎪⎨⎪-≠⎩1m =-故当时，复数是纯虚数．1m =-z （Ⅱ）当时，，1m =42i z =--∵，()()42i 42i 20z z ⋅=---+=∴． 2020204i 42i 4i izz z ===++--++-21．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC A ()2sin cos A bcosC c B +=（1）求A ；（2）若A 为锐角，，的周长． 5a =ABC A ABC A 【答案】（1）或； （2）. 3π23π5【分析】(1)由正弦定理将边化为对应角的正弦值，即可求出结果；(2)由余弦定理和三角形的面积公式联立，即可求出结果.【详解】（I ）()2sin cos cos A b Cc B +=由正弦定理得，∴()2sin sin cos sin cos A B C C B A +=， 或． ∴()sin B C +=sin A =()0,A π∈∴3A π=23A π=（II ），由余弦定理得， 3A π=2222cos a b c bc A =+-即 ， 2225b cbc =+-∴()2253b c bc =+-而 ． ABC A∴1sin 2bc A =∴10bc = 的周长为()2253055b c +=+=∴b c +=∴ABC A 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题型.22．如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC 的直观图，其中，．O A B C ''''3O A ''=1O C ''=（1）画出平面四边形OABC 的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC 的面积；（2）若该四边形OABC 以OA 为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．【答案】（1）平面图见解析，面积为2）体积为，表面积为.24π【分析】（1）根据斜二测画法所画的直观图与平面图的关系作出平面图形，然后根据面积公OABC 式求解出面积即可；（2）画出几何体的直观图，然后根据圆柱、圆锥的体积和表面积公式求解出旋转形成的几何体的体积及表面积.【详解】（1）平面四边形的平面图如下图所示：OABC由直观图可知菱形的高为： 12sin 45⎛⎫⨯= ⎪︒⎝⎭所以面积为；3⨯=（2）旋转而成的几何体如下图所示：该几何体可以看成圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥，由（1）可知圆柱的底面圆半径为， r ==3l =所以体积；(22324V r l πππ==⋅=所以表面积. ()222323S rl rl ππππ=+=⨯⨯+⨯=。

高一数学4月月考测试卷年级：___________姓名：___________成绩：___________一、填空题（每题6分，合计30分）1．已知数列}{n a 的前n 项和231n S n n =++，则通项n a =2．已知等差数列{}n a 满足10,45342=+=+a a a a ，则前10项和=10S3．在等差数列}{n a 中，3773=+a a ，则=+++8642a a a a 。

4．{}n a 是公比为正数的等比数列，151,16,a a ==则数列{}n a 的前9项和9S =．5．已知x 是4和16的等比中项，则x ＝．二、解答题（每题10分，合计20分）6．已知等差数列｛n a ｝满足3577,26,{a }n a a a =+=的前n 项和为n s ．（1）（6分）求n a 及n S ；（2）（4分）令211n n b a =-（n N *∈）,求数列｛n b ｝的前n 项和n T ．7．等差数列{}n a 中,71998,2,a a a ==（1）（6分）求{}n a 的通项公式；（2）（4分）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和参考答案1．5,122,1,n n a n n n N *=⎧=⎨+>∈⎩ 【解析】当n=1时，115,1a S n ==>时，22131(1)3(1)122n n n a S S n n n n n -=-=++-----=+,所以5,122,1,n n a n n n N *=⎧=⎨+>∈⎩. 2．95【解析】试题分析：由于{}n a 为等差数列，所以35242()()1046,3,d a a a a d =+-+=-=∴= 1110109244,4,10(4)3952a d a S ⨯+=∴=-∴=⨯-+⨯= . 考点：等差数列的性质，通项公式及前n 项和公式.点评：由等差数列的性质利用35242()()d a a a a =+-+求出d,然后再求出a 1,再根据1(1)2n n n S na -=+直接求出S 10的值. 3．74 【解析】解：等差数列}{n a 中，37462837a a a a a a +==+=+，所以所求的为744．511【解析】试题分析：先根据条件a 1=1，a 5=16以及公比为正数求得q ，进而根据等比数列的求和公式，求得答案．根据题意，441511,1616a a a q q ===∴=，由于公比为正数可知q=2，那么对于991251112S -==-,故答案为511. 考点：等比数列的求和公式点评：本题主要考查了等比数列的求和公式．属基础题．在应用等比数列的求和公式时，一定要先判断公比的值，再代入公式，避免出错．5．8±【解析】试题分析：由x 是4和16的等比中项，得24168x x =⨯⇒=±考点：等比中项6． （1）221,S 2n n a n n n =+=+；（2）n T 4(1)n n =+．【解析】试题分析：（1）设等差数列{a }n 的公差为d ，根据等差数列的通项公式并结合已知可列出关于首项和公差的方程组，解方程组即可得出其通项公式及其前n 项和；（2）将n b 裂项成111()41n n -+，然后运用裂项相消求和即可求出所求的前n 项和n T ．试题解析：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则311571727326210262a a d a a a a d d =+==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+==⎩⎩⎩，∴221,S 2n n a n n n =+=+． 有（1）知214(n 1)n a n -=+，∴1111()4(1)41n b n n n n ==-++， ∴12n T b b =++．．．+n b =111111(1...)42231n n -+-++-+ =11(1)41n -+4(1)n n =+． 考点：1、等差数列的前n 项和；2、等差数列的通项公式；3、裂项相消法求和． 7．（1）1n a n =+（2）1n n S n =+ 【解析】试题分析：（1）将已知条件转化为等差数列的首项和公比表示，通过解方程组得到12,1a d ==，从而得到数列通项公式；（2）整理数列{}n b 通项为111n b n n =-+，结合特点采用裂项相消的方法求和试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,则1(1)n a a n d =+-因为719982a a a =⎧⎨=⎩,所以11168182(8)a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩． 解得,12,1a d ==．所以{}n a 的通项公式为1n a n =+． （Ⅱ）1111(1)1n n b na n n n n ===-++, 所以11111(1)()()22311n n S n n n =-+-++-=++ ． 考点：1．等差数列通项公式；2．裂项相消法求和。

高一数学试题分值：150分 时间：120分钟 命题人：路杰、邵会礼注意事项：请将I 卷（选择题）答案涂在答题卡上，第II 卷（非选择题）答案用黑色钢笔（作图除外）做在答题卡上，不得出框。

I 卷（主观题 共80分）一、选择题(每小题5分)1、满足条件的所有集合B 的个数为A ．8B ．4C ．3D ．22、与角6-π终边相同的角是（ ）A ． B. C. D.3、62015sinπ的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知平面向量，，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．5、三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系为 ( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a6、设角属于第二象限，且，则角属于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7、已知与之间的一组数据：则与的线性回归方程必过点（）A． B.C．D．8、要得到的图象只需将y=3sin2x的图（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位9、函数的图象的一个对称轴方程为( )A． B． C． D．10、已知函数等于（）A ．B ．C ．D ．11、函数是（ ）A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数12、在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率为( )A . B. C. D.二、填空题（每小题5分）13、已知角的终边经过点，则 =14、=+︒︒15tan 115tan -115、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是16、若，则＝ ．（第15题图）II 卷（客观题 共70分）三、简答题17、（10分）已知，（1）求sinx3cosx 5cosx2-sinx 4+的值。

（2）求的值。

18、（12分）若cos α＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值19、（12分）已知，，求的值20、（12分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（2）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上的概率；21、（12分）如果函数)200(sin y πϕωϕω<>>++=，，）（A B x A 的一段图象。

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高一数学4月份段考试题______年______月______日____________________部门考生注意：1。

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2。

考生作答时，请将答案答在答题卡上。

第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II卷请用直径0。

5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

第Ⅰ卷（选择题）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣1060o的终边落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设向量=（x，﹣4），=（1，﹣x），若向量与同向，则x=（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．03．已知向量与的夹角为，||=，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．22624．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2 B． C．2sin1 D．sin25．已知向量，，，若（）与互相垂直，则k 的值为（ ） A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣36．已知角α的终边上有一点P （m ，5），且，则sin α=（ ）cos (0)13mm α=≠A ．B ．C ．或D ．或51312135137．在△AOB 中，G 为AB 边上一点，OG 是∠AOB 的平分线，且=+m （ m ∈R ），则的值为（ ）A ．B ．1C ．D ．28．已知，且α为第四象限角，则（ ）1cos +=3πα（）sin =πα-（2）A ．B ．C ．D ．223139．已知点A （﹣1，2），B （1，﹣3），点P 在线段AB 的延长线上，且=3，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，﹣）B ．（，﹣）C ．（2，﹣）D ．（，﹣）10．已知sin α+cos α=﹣，则的值等于（ ）1tan tan αα+A ．2B ．C ．﹣2D ．﹣11。

一、单选题1．已知复数（i 为虚数单位），则z 在复平面对应的点位于（ ） ()i 12i z =+A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】由复数的乘法化简复数，再根据几何意义得出对应点的坐标，从而得其象限． z 【详解】，对应点坐标为，在第二象限． ()i 12i i 2z =+=-+(2,1)-故选：B ．2．经过同一条直线上的3个点的平面 A ．有且只有一个 B ．有且只有3个 C ．有无数多个 D ．不存在【答案】C【分析】根据平面的性质，直接判定即可得出结果. 【详解】经过一条直线可以作无数多个平面. 故选：C.【点睛】本题主要考查由线确定平面的数量，熟记基础题型. 3．在中，，，，则此三角形（ ）ABC A 5a =8b =6A π=A ．有两解 B ．有一解C ．无解D ．解的个数不确定【答案】A【分析】求出点到的距离与比较大小可得结论 C AB d ,a b 【详解】解：因为，，8b =6A π=所以顶点到的距离，C AB sin 8sin 46d b A π===因为，所以，5a =d a b <<所以以为圆心，为半径画弧与有两个交点， C 5a =AB 所以三角形有两解， 故选：A4．已知向量，，且与平行，则（ ）(3,2)a =- (1,)b x = a b - 2a b +x =A ．1 B ．0C ．D ．23-52【答案】C【分析】求出与的坐标，再借助向量共线的坐标表示列式计算即得.a b - 2a b +【详解】因向量，，则，，(3,2)a =- (1,)b x = (2,2)a b x -=-- 2(7,4)a b x +=-+又与平行，于是得，解得，a b - 2a b + 2(4)7(2)x x -+=--23x =-所以.23x =-故选：C5．在中，，.点满足，则 ABC A 90B Ð=°1AB BC ==M 2BM AM = CM CA ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据，建立坐标系，利用坐标求向量的数量积 90B Ð=°【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，2BM AM =点A 是BM 的中点，∴在中，，，ABC A 90B Ð=°1AB BC ==，，，，∴(0,0)B (1,0)C (0,1)A (0,2)M ，， ∴(1,1)CA =- (1,2)CM =-∴(1)(1)123CA CM =-⨯-+⨯= A 故选：C【点睛】本题考查向量的坐标运算，属基础题。

树德协进中学 高一4月月考数学试题（本卷满分：150分，考试时间：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 选择题：（本大题共有10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的.）望()00090604530125310.1D C B A B A C C A BC B A B A 的视角是、望，则从两岛视角、，从两岛视角、望海里，从两小岛相距、海上有ππ的等差数列公差为的等差数列公差为的等差数列公差为的等差数列首项为，则数列已知2n - 33 D. C. B. A.)(}{2n 3.22-n a n a -=()n n n n s n --=+===22na122-ns D. 1- -2n s C. B. -2n A.2n 2 }n {a }n {a .3ns数列的是是等差，下列可以判断项和是的前数列大小不定与时，下列说法正确的是中sinB sinA sinB sinA D. sinB sinA C.sinB sinA B. A.)( .4≤<><∆B A ABC前面说法都错等腰三角形等腰直角三角形正三角形时，三角形的形状是中 D. C. B. A.)( cos cos .5B b A a ABC =∆⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛≥-∆320 65650 D. 32 C. B. A.)(sin sin 32sin - 2sin 2sin .6ππππππ，，，，的取值范围是时，角中A C B C B A ABC ()50aD. a C.44a B. a A.451}{201220137的最小项是时，数列、n a n n n a --=8.公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =( )A.2B.4C.8D.169．等差数列{an}和{bn}的前n 项和分别为Sn 和Tn ，且132+=n nT S n n ，则55a b =A ．32B ．97C ．3120D ．149一定构成等比数列；，，数列中比一定构成等差数列，等，，，则等差数列中项和是）数列前；（则，成等差数列，，的等比数列。

高一下学期4月联考数学试题一、单选题1．已知角的终边经过点，则（ ） α()1,6-cos α=A B ． C D ． 【答案】D【分析】利用三角函数的定义求解.【详解】由题意，得cos α==故选：D.2．已知向量，，且，的夹角为，则（ ）(a =- 1b = a b π42a b -= A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】先求出，然后对平方，结合向量数量积的坐标运算即可求解.a r 2ab -【详解】由.(a =- =πcos 24a b a b ⋅=⋅⋅=于是.2a -= 故选：B 3．若，，则是（ ） sin 0tan αα>tan 0cos αα<αA ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】D【分析】判断出、的符号，由此可判断出角的终边所在的象限. cos αsin αα【详解】由，，得，，所以是第四象限角. sin cos 0tan ααα=>2tan sin 0cos cos αααα=<cos 0α>sin 0α<α故选:D.4．（ ） cos54cos 242sin12cos12sin126︒︒+︒︒︒=A ．BCD 12【答案】C【分析】利用诱导公式，二倍角公式和和差公式进行化简求值.【详解】 ()cos54cos 242sin12cos12sin126cos54cos 24sin 24sin 18054︒︒+︒︒︒=︒︒+︒︒-︒()cos54cos 24sin 24sin 54cos 5424cos30=︒︒+︒︒=︒-︒=︒=故选：C5．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，把得到的图象向左平移tan y x =14个单位长度，再把得到的图象向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则图象的π12()f x ()f x 对称中心为（ ） A ．B ．()ππ,0124k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ()ππ,0128k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z C ．D ．()ππ,2124k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ()ππ,2128k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 【答案】D【分析】通过正切函数图象变换求出，然后利用整体代换法求解函数的对称()πtan 423f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭中心.【详解】由题意，得，()ππtan 42tan 42123f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由，得， ()ππ432k x k +=∈Z ()ππ128k x k =-+∈Z 所以图象的对称中心为.()f x ()ππ,2128k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 故选：D.6．如图，在正方形网格中，蚂蚁甲从点爬到了点，蚂蚁乙从点爬到了点，则向量44⨯A B C D AB与夹角的余弦值为（ ）CDA ．B ．C ．D ．15253545【答案】C【分析】建立合适的坐标系后，使用夹角公式求解即可.【详解】如图，以为原点，为2个单位长度，建立直角坐标系，则，，A AC ()4,2B ()2,0C ，，，()4,1D -()4,2AB =()2,1CD =-所以向量，夹角的余弦值为. AB CD35AB CD AB CD ⋅==故选：C7．若，，，则（ ） 1.2a =sin1.2b =tan1.2c =A ． B ．C ．D ．c a b >>c b a >>a c b >>b c a >>【答案】A【分析】设扇形的面积为，由三角函数线结合得到答案. OBC 1S 1OBC OBD S S S << 【详解】画出的三角函数线，如下：π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，，， sin AC θ=tan AD θ= BC θ=设扇形的面积为，OBC 1S 则，，112S θ=1111sin ,tan 2222OBC OBD S OB AC S OB BD θθ=⋅⋅==⋅⋅= 又，故，1OBC OBD S S S << 111sin tan 222θθθ<<所以，，sin tan <<θθθπ0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为，所以.π1.20,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin1.2 1.2tan1.2<<所以. c a b >>故选：A8．某超市2022年从1月到12月冰激凌的销售数量与月份近似满足函数()f x x ，该超市只有8月份冰激凌的销售数量()()()cos 0,0,π,112,f x A x B A x x ωϕωϕ=++>><≤≤∈N 达到最大值，最大值为8500，只有2月份冰激凌的销售数量达到最小值，最小值为500，则该超市冰激凌的销售数量不少于6500的月份共有（ ） A ．4个月 B ．5个月C ．6个月D ．7个月【答案】B【分析】通过最大值与最小值求出，利用最值横坐标之差求出，代入最值，根据，求,A B ωπ<ϕ出值，则得到，列出不等式，求出的范围即可.ϕ()π2π4000cos 450063f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭x 【详解】由题意，得，， 850050040002A -==850050045002B +==由，得，所以. 8262T =-=12T =2ππ126ω==因为，()π84000cos 8450085006f ϕ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭所以，所以，所以， 4πcos 13ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭()4π2π3k k ϕ+=∈Z ()4π2π3k k ϕ=-+∈Z 又，所以当时，，故.π<ϕ1k =2π3ϕ=()π2π4000cos 450063f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由，得，π2π4000cos 4500650063x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭π2π1cos 632x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭则，所以， ()ππ2ππ2π2π3633k x k k -+≤+≤+∈Z ()612212k x k k -+≤≤-+∈Z 当时，，又，所以，7，8，9，10， 1k =610x ≤≤x ∈N 6x =即该超市冰激凌的销售数量不少于6500的月份数是5. 故选：B.二、多选题9．已知某时钟的分针长4cm ，将快了5分钟的该时钟校准后，则（ ） A ．时针转过的角为36πB ．分针转过的角为6πC ．分针扫过的扇形的弧长为 2cm 3πD ．分针扫过的扇形的面积为28cm 3π【答案】BC【分析】根据分针转一圈为60分，时针转一圈为12小时，分别求得其圆周角，再利用弧长公式和面积公式求解.【详解】由题意，得时针转过的角为，分针转过的角为， 52601276ππ⨯=52606ππ⨯=分针扫过的扇形的弧长为，面积为. 24cm 63ππ⨯=21416cm 263ππ⨯⨯=故选：BC.10．已知点，，，，则（ ）()3,2A -()10B ,()4,1C ()2,4D -A ． B ．()4,2AB =-AB AD ⊥ C ．D ．四边形为直角梯形AB DC ∥ ABCD 【答案】BCD【分析】由向量的坐标表示逐一计算即可.【详解】由题意得，故A 错误；()4,2AB =-，因为，所以，故B 正确；()1,2AD = 41220AB AD ⋅=⨯-⨯= AB AD ⊥，而，所以，且, ()6,3DC =- 23AB DC = AB DC ∥AB DC ≠结合，可得四边形为直角梯形，故CD 正确.AB AD ⊥ABCD 故选：BCD.11．已知函数，且，在上的图像()()5ππ2sin cos 01212f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()π3f =()f x π0,12⎛⎫⎪⎝⎭与直线2个交点，则的值可能是（ ） y =ωA ． B ． C ．D ． 12412125121261212812【答案】AC【分析】先利用诱导公式将化简为，利用条件，得到()f x ()π3cos 12f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()π3f =，再利用在上的图像与直线2个交点，从而求出的12π(Z)12k k ω=+∈()f x π0,12⎛⎫⎪⎝⎭y =ω范围，得到结果.【详解】，()5ππ2sin cos 1212f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，又因为，()ππππ2sin ()cos 3cos 1221212f x x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-++-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭()π3f =，即.ππ2π(Z)12k k ω∴-=∈()12Z 12k k ω=+∈又在上的图像与直线2个交点， ()f x π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭y =由，得到π3cos 12x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 12x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以或，得到或， ππ2π126x k ω-=-+ππ2π(Z)126x k k ω-=+∈π2π12k x ω-+=π2π4(Z)k x k ω+=∈，当取1时，由，得到， 0ω> k π2π12k x ω-+=23π12x ω=当取0，1时，由，得到，， k π2π4(Z)k x k ω+=∈π4x ω=9π4x ω=所以且，即， 23ππ1212ω<9ππ412ω≥2327ω<≤故或. 12412ω=12612ω=故选：AC12．若，则的值可能为（ ） cos10tan 8sin 70cos10sin10α︒=︒︒-︒αA ．B ．C ．D ．3π23π43π53π【答案】AC【分析】利用三角函数诱导公式和恒等变换求解.【详解】因为， 2cos102cos 10tan 8sin 70cos108cos 20cos10sin102sin10cos10α︒︒=︒︒-=︒︒-︒︒︒，4sin 20cos 20cos102sin 40cos102cos102cos10sin 20sin 20︒︒-︒︒-︒=︒⨯=︒⨯︒︒()2sin 3010cos102cos102cos10sin 20︒+︒-︒=︒⨯=︒===所以，由选项可知，AC 符合.()3k k παπ=+∈Z 故选：AC.三、填空题13．若，则______，______tan 2α=-tan2α=πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】437-【分析】利用正切的和角及倍角公式，再利用条件即可求出结果. 【详解】因为，所以，tan 2α=-222tan 2(2)4tan21tan 1(2)3ααα⨯-===---所以. 41πtan 213tan 27441tan 213ααα++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-故答案为：，. 437-14．LED （发光二极管）是一种能够将电能转化为可见光的固态的半导体器件，它可以直接把电转化为光.LED 灯的抗震性能非常好，被广泛运用于手机、台灯、家电等日常家电.如图，小明同学发现家里的LED 灯是正六边形形状的，其平面图可简化为正六边形，若向量在向量ABCDEF AC方向上的投影为，则______.EDaED =a【答案】32【分析】根据投影向量的定义即可计算.【详解】如图，，过点作垂直于直线，垂足为，因为，所以ED AB = C CG AB G 2π3ABC ∠=，则，在方向上的投影为.π3CBG ∠=1122BG BC AB ==AC AB3322AG AB ED ==故答案为：3215．若，则的取值范围是______. 212sin cos 11αα+>()cos α-【答案】11,43⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】将化简得到求解. 212sin cos 11αα+>11cos 43α-<<【详解】解：由，()2212sin cos 121cos cos 11αααα+=-+>得，()212cos cos 14cos 1ααα--=+()3cos 10α-<得， 11cos 43α-<<因为，()cos cos αα-=所以的取值范围是.()cos α-11,43⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：11,43⎛⎫- ⎪⎝⎭16．在正方形中，，，分别为线段，上的动点，且，则ABCD 2AB =E F CD BC π6EAF ∠=的取值范围为______.AE AF ⋅【答案】 -【分析】设，确定，由正弦定理表示出的长，根据数量积定义求得DAE α∠=ππ124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,,AE AF 的表达式，结合三角恒等变换以及正弦函数性质，即可求得答案. AE AF ⋅【详解】设，则，，DAE α∠=ππ124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,π3BAF α∠=-得，， 2cos cos AD AE αα==22πcos cos 3AF BAF α==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭所以22cos πcos cos 3AE AF AE AF EAF αα⋅=⋅∠=⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭====由，得，得，ππ124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,ππ2π2,633α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦πsin 26α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦所以, AE AF ⋅=-故答案为： -四、解答题17．已知. ()()5πsin πsin 23π2sin sin π2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(1)求的值；tan α(2)求的值.24sin cos 2cos ααα+【答案】(1)7tan 4α=-(2) 1613-【分析】（1）先根据诱导公式将题干条件化简，然后所得分式的分子分母同时除以，得到cos α的方程后进行求解；tan α（2）待求表达式补上一个分母：，然后分子分母同时除以即可.22sin cos αα+2cos α【详解】（1）依题意得，，解得()()5πsin πsin sin cos 2π2cos sin 2sin sin π2αααααααα⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭=--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭tan 132tan αα+==--7tan 4α=-（2）. 22224sin cos 2cos 4sin cos 2cos sin cos αααααααα++=+24tan 2tan 1αα+=+1613=-18．已知点，，，为线段的中点，为线段上靠近的三等分点. ()2,0A ()8,3B ()6,1C -D BC E AB B (1)求，的坐标.D E (2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答. ADE V BDE 问题：按角分类，判断______的形状，并说明理由. （注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分）【答案】(1)的坐标为，的坐标为 D ()7,1E ()6,2(2)答案见解析【分析】（1）根据中点坐标公式求出的坐标，先得到，从而得到点的坐D ()24,23AE AB ==E 标；（2）根据数量积的正负判断角的类型，得到三角形的形状. 【详解】（1）因为，故的坐标为， 86317,122+-==D ()7,1，故，()6,3AB =()24,23AE AB == 所以，即的坐标为；()6,2OE OA AE =+=E ()6,2（2）选①，为钝角三角形，ADE V 理由如下：由（1）可知，，，()4,2AE = ()5,1AD = ()1,1DE =-因为，所以为锐角.4521220AE AD ⋅=⨯+⨯=>DAE ∠易得，因为，所以为锐角. ()5,1DA =-- 5140DA DE ⋅=-=>ADE ∠因为，所以为钝角.4220EA ED AE DE ⋅=⋅=-+=-<AED ∠故为钝角三角形.ADE V选②，为锐角三角形.BDE 理由如下：由（1）可知，，，()1,2BD =-- ()2,1BE =-- ()1,1DE =- 因为，所以为锐角.2240BD BE ⋅=+=> DBE ∠易得，因为，所以为锐角. ()1,2DB = 1210DB DE ⋅=-+=> BDE ∠因为，所以为锐角.2110EB ED BE DE ⋅=⋅=-=> AED ∠故为锐角三角形.BDE 19．已知向量，，函数.()sin ,0a x = ()cos ,sin b x x = ()2f x a b a =⋅+ (1)求的单调递减区间；()f x (2)若，，是的三个内角，且，求的取值范围. A B C ABC 12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f B 【答案】(1)递减区间为 ()3π7ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2) ⎛ ⎝【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示、二倍角正余弦公式、辅助角公式化简得()f x，根据正弦型函数的性质求减区间； π1242x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）根据已知可得，再确定的范围，利用正弦型函数的性质求范围. π2A =B ()f B 【详解】（1）()2sin cos sin f x x x x =+11cos 2111sin 2sin 2cos 222222x x x x -=+=-+， π1242x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由，得：， ()ππ3π2π22πZ 242k x k k +≤-≤+∈()3π7πππZ 88k x k k +≤≤+∈故的单调递减区间为. ()f x ()3π7ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由，得， π11242A f A ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 4A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πA <<所以或，即或（舍去）， ππ44A -=π3π44A -=π2A =π因为，所以，则， πAB +<π02B <<ππ3π2444B -<-<则，故，πsin 214B ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭π10242B ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭所以的取值范围为. ()fB ⎛ ⎝20．在平行四边形中，点和点关于点对称，.ABCD E B D 3AF FC = (1)用，表示，；AB AD AE AF (2)若为线段上一点，且，求.G EF AG xAB y AD =+57x y +【答案】(1)， 2AE AB AD =-+ 3344AF AB AD =+ (2)579x y +=【分析】（1）结合图形，由向量的加法和减法、数乘运算求解即可；（2）由向量的运算得出，再由，得出的值. 751244AG AB AD λλ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ AG xAB y AD =+ 57x y +【详解】（1）由题意，可得， ()222AE AB BE AB BD AB AD AB AB AD =+=+=+-=-+ . ()33334444AF AC AB AD AB AD ==+=+ （2）设，， EG EF λ= []0,1λ∈则 ()()1AG AE EG AE EF AE AF AE AE AF λλλλ=+=+=+-=-+ ， ()()337512124444AB AD AB AD AB AD λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为，所以 AG xAB y AD =+ 71,452,4x y λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以.579x y +=21．已知，，. π03<<αππ-23β-<<πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2sin 63αβ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭(1)求；sin α(2)求.()cos 3αβ-【答案】(2)【分析】（1）根据两角和差公式用已知角表示未知角求解即可；（2）应用同角三角函数关系结合两角和差公式求解即可.【详解】（1）由，得， π03α<<πππ662α<+<因为， πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭则 ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 12=-=（2）由，得，得， ππ23β-<<-ππ32β<-<πππ26αβ<-+<得πcos 6αβ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭由，得， π03α<<ππ2π33α<+<因为， 2ππ1cos 22cos 1363αα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以 πsin 23α⎛⎫+== ⎪⎝⎭故 ()ππcos 3sin 3sin 2236παβαβααβ⎛⎫⎛⎫-=-+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππsin 2cos cos 2sin 3636ααβααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22．若函数满足，且，，则称为“型()f x ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()f a x f x a -=+a ∈R ()f x M a 函数”.(1)判断函数是否为“型函数”，并说明理由； πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭M 3π8(2)已知为定义域为的奇函数，当时，，函数为“型函数”，当()g x R 0x >()ln g x x =()h x M π6时，，若函数在上的零点个数为ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()2cos 2h x x =()()()()F x g h x m m =-∈R 5π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9，求的取值范围.m 【答案】(1)函数是“型函数”，理由见解析 πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭M 3π8(2)()1,2【分析】（1）判断出关于直线对称，且最小正周期为，由定义可判断出πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3π8x =π答案；（2）由题意得到的零点为，0，1，即或或，由对称性和周期性画出()g x 1-()1h x m =-m 1m +在上的图象，数形结合求出. ()h x 5π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12m <<【详解】（1）由，得，所以的周期为， ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()πf x f x =+()f x π由，，得的图象关于直线对称，()()f a x f x a -=+a ∈R ()f x x a =因为，所以的图象关于直线对称， 32842πππ⨯-=πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3π8x =又的最小正周期为，所以函数是“型函数”. πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2ππ2=πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭M 3π8（2）令，得，因为是定义域为的奇函数，所以的零点为，0，1. ()ln 0g x x ==1x =()g x R ()g x 1-令，所以或0或1，即或或.()()()0F x g h x m =-=()1h x m -=-()1h x m =-m 1m +画出在上的图象，由的图象关于直线对称， ()h x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()h x π6x =可画出在上的图象.由的最小正周期为， ()h x π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦()h x π可画出在上的图象. ()h x 5ππ,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故在上的图象如图所示， ()h x 5π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以函数在上的零点个数等于在上的图象与直线，()F x 5π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()h x 5ππ,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1y m =+y m =，的交点个数之和.1y m =-当，即时，在上的图象与直线，，的011m <-<12m <<()h x 5ππ,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1y m =+y m =1y m =-交点个数之和为9.故的取值范围为m ()1,2【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.。

一、填空题 1．若是第一象限角，则__. 5sin ,13αα=tan α=【答案】512【分析】根据同角三角函数关系求解. 【详解】因为是第一象限角， 5sin ,13αα=所以. 12sin 5cos ,tan 13cos 12αααα===故答案为:. 5122．函数的最小正周期为_____________ sin 2y x =【答案】π【详解】函数的最小正周期为 sin2y x =2T 2ππ==故答案为π3．已知与的夹角为，则在方向上的投影向量为__.||1,||a b ==a b 4πa b 【答案】12b r【分析】由向量投影的定义即可求得则在方向上的投影向量. a b【详解】在方向上的投影向量为.ab 1||cos 42||b a b b π⋅=故答案为：12b4．已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为__________．3π【答案】6π【分析】根据扇形的面积公式直接求解.【详解】，221166223S r παπ==⨯⨯=故答案为：. 6π5．若，则________． 1sin cos 5αα+=sin 2α=【答案】 2425-【分析】直接将两边平方，结合二倍角公式计算可得； 1sin cos 5αα+=【详解】解：因为，所以，即1sin cos 5αα+=()21sin cos 25αα+=221sin +2sin cos cos 25αααα+=，即，所以11+sin 225α=24sin 225α=-故答案为： 2425-6．函数，，则严格单调递减区间是__.πsin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]0,2πx ∈【答案】2π5π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由可求得的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得原函数的递减区02x π≤≤π6x -间.【详解】由可得，由可得，02x π≤≤ππ11π666x -≤-≤ππ3π262x ≤-≤2π5π33x ≤≤所以，函数，的严格单调递减区间为.πsin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]0,2πx ∈2π5π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：.2π5π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知，且，则与夹角为___________. ()7a b b +⋅=|||2a b == a b 【答案】6π【分析】由条件算出，然后可求出答案.a b ⋅【详解】因为，所以，因为，所以()7a b b +⋅=27a b b ⋅+= ||2b = 743a b ⋅=-= 所以 cos ,a b a b a b⋅===⋅因为，所以与夹角为[],0,a b π∈ a b6π故答案为：6π8．，则__.tan 3α=sin cos sin cos αααα-=+【答案】## 120.5【分析】弦化切求解. 【详解】.sin cos tan 11sin cos tan 12αααααα--==++故答案为：129．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边落在第三象限内，且αx α，则__.π3cos 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 2=α【答案】## 7250.28【分析】根据三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式求解.【详解】由，得，即.π3cos()25α+=3sin 5α-=3sin 5α=-所以. 223cos 212sin 72512(5αα=-==-⨯-故答案为:. 72510．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且，则ABC A 224S (a b)c =+-cosC =______． 【答案】0【分析】由三角形面积公式和余弦定理可将化为，进而可224S (a b)c =+-2absinC 2abcosC 2ab =+求出结果. 【详解】因为，余弦定理，又， 1S ab 2sinC =222c a b 2abcosC =+-224S (a b)c =+-所以有，即，2absinC 2abcosC 2ab =+sinC cosC 1-=C 14π⎛⎫-= ⎪⎝⎭因此或，所以或， C 244k πππ-=+()3C 2k Z 44k πππ-=+∈C 22k ππ=+()C 2k Z k ππ=+∈因为C 三角形内角，所以，故.C 2π=cosC 0=故答案为0【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型.11．函数的图象与轴相交的相邻两点，()sin()(0,π0)y f x A x ωϕωϕ==+>-<<x π2π(,0),(,0)63B C 又过点，则__.π,14D ⎛⎫⎪⎝⎭()f x =【答案】π2sin 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据三角函数的图象性质求解即可. 【详解】由题意得，所以，所以，2ππ236T =-2ππT ω==2ω=又过点，，所以，π,06B ⎛⎫ ⎪⎝⎭π,14D ⎛⎫⎪⎝⎭ππsin()0,sin()132A A ϕϕ+=+=又，解得，所以.π0ϕ-<<π2,3A ϕ==-π()2sin(2)3f x x =-故答案为: .π2sin 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12．在边长为的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，1ABCDEF A 1a 2a，，，若与的夹角记为，其中，且，则的最大值为3a 4a 5ai a j a ij θ{},1,2,3,4,5i j ∈i j ≠cos i ij a θ⋅ ()．【分析】由向量的投影的几何意义有：||cosθij 的几何意义为向量在向量方向上的投影，由i a i aj a 图可知：在直角三角形AED 中，向量在向量方向上的投影最大，即可得解．AD AE【详解】由向量的投影的几何意义有：||cosθij 的几何意义为向量在向量方向上的投影， i a i aj a 由图可知：在向量方向上的投影最大，AD AE此时三角形AED 为直角三角形，其中AD 与AE 垂直，又正六边形边长为1，所以所以在向量方向上的投影为AD AE．【点睛】本题考查了向量的投影的几何意义，属于中档题．二、单选题13．已知函数为偶函数，则的最小正数值为（ ） sin()y x a =+a A ．B ．C ．D ．π6π4π3π2【答案】D【分析】根据偶函数的性质以及三角恒等变换公式求解. 【详解】因为函数为偶函数， sin()y x a =+所以，sin()sin()x a x a -+=+则有， sin cos cos sin sin cos cos sin x a x a x a x a -+=+即，所以，sin cos 0x a =cos 0a =则有，所以的最小正数值为， ππ,Z 2a k k =+∈a π2故选:D.14．“”是“”成立的（ ）()4x k k Z ππ=+∈tan 1x =A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据三角函数，充分必要条件的定义判断． 【详解】解：，tan 1x = ()4x k k Z ππ∴=+∈则，()4x k k Z ππ=+∈ tan 1x =根据充分必要条件定义可判断：∴“ ”是“”成立的充要条件()4x k k Z ππ=+∈tan 1x =故选：C ．15．函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中正确的πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π3()f x 是（ ）①的一个周期为；②的图象关于对称； ()f x 2π-()f x 7π12x =-③是的一个零点；④在单调递减. 7π6x =()f x ()f x π5π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】A【分析】函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，可求得的解πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π3()f x ()f x 析式，再由函数的周期为的整数倍可判断①的正误，由正弦型函数的对称轴为可判2πT ω=ππ2k +断②正误，由正弦型函数的对称中心为可判断③正误，由正弦型函数的单调区间为()π,0k 可判断④正误. ππ2π,2π,Z 22k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【详解】函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π3()f x 所以，()πππsin 2sin 2333f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以的一个周期为，故①正确；()f x 2π-的对称轴满足，， ()y f x =ππ2π32x k -=+Z k ∈当时，的图象关于对称，故②正确； 2k =-()y f x =7π12x =-由，得,当时，，()πsin 203f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ππ62k x =+1k =7π6x =所以是的一个零点，故③正确；7π6x =()f x 当时，，此时为单调递增,π5π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ2,322x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以在上单调递增，故④错误.()f x π5π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：A.16．已知函数在 上有两个零点，则的取值范围为（ ）()()cos 0f x x x ωωω=+>[]0,πωA ．B ．C ．D ．1117,66⎛⎫ ⎪⎝⎭1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭58,33⎛⎫ ⎪⎝⎭58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】先化简，再令，求出范围，根据()πcos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭t =π6x ω+t 在上有两个零点，作图分析，求得的取值范围.2sin y t =t ∈[,]66ππωπ+ω【详解】，由，又，()πcos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭[0,]x π∈0ω>则可令，t =π[,]666x ππωωπ+∈+又函数在上有两个零点，作图分析：2sin y t =t ∈[,]66ππωπ+则，解得. 236πωπππ≤+<ω∈1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B.【点睛】本题考查了辅助角公式，换元法的运用，三角函数的图象与性质，属于中档题.三、解答题17．已知函数的最小值为，最大值为2，求、的值.sin (0)y k x b k =+>4-k b【答案】. 31k b =⎧⎨=-⎩【分析】根据正弦函数的性质求解.【详解】由题意得，解得. 42k b k b -+=-⎧⎨+=⎩31k b =⎧⎨=-⎩18．已知在中，，，，求、的值. ABC A a =60A ∠= ABC S =A b c 【答案】，或，.3b =4c =4b =3c =【分析】根据三角形的余弦定理和面积公式求解.【详解】在中，由余弦定理与面积公式得，ABC A 2222cos 60b c bc ︒=+-，化为，，1sin 602bc ︒=2213b c bc +-=12bc =解得，或，.3b =4c =4b =3c =19．已知平行四边形的对角线相交于点，设向量，.ABCD O OA a = OB b =（1）用向量､分别表示向量､.a b DC BC（2）若为直线处上一点，是实数，且，用向量､表示向量.P AB k AP k AB =a b OP 【答案】（1）；；（2）．DC b a =- BC b a =--(1)O a k kb P =-+ 【分析】（1）由向量的三角形法则计算即可得解； （2）由向量的三角形法则计算即可得解．【详解】解：（1）因为平行四边形的对角线相交于点， ABCD O 所以，DC AB OB OA b a ==-=-．2()BC AC AB OA OB OA OB A b a O =-=---=--=-- （2）．()(1)(1)OP OA AP OA k AB OA k OB OA k OA kOB k a kb =+=+=+-=-+=-+【点睛】方法点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答．20．已知函数. ()2cos 21()f x x x x R =+-∈(1)写出函数的最小正周期和严格单调递增区间；()f x (2)在中，角、、所对的边分别是、、，若，，且，ABC A A B C a b c ()0f B =32BA BC ⋅= 4a c +=求的周长.ABC A 【答案】(1)；，ππππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈(2)4【分析】由辅助角公式将化简成形式，由正()2cos 21()f x x x x R =+-∈()sin y A x B ωϕ=++弦型函数的周期及单调区间即可求得函数的最小正周期和严格单调递增区间.()f x 将角代入（1）中函数化简后的解析式，由求得角的大小，再由求得B ()f x ()0f B =B 32BA BC ⋅= 的值，联合由余弦定理求得，即可求得的周长.ac 4a c +=b ABC A【详解】（1）.()π2cos 212sin 216f x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭所以； 2ππ2T ==由，得. πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以函数的严格单调递增区间为，；()f x πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈（2）由，得.()2sin(2)106f B B π=+-=1sin(262B π+=所以或，.π22π66B k π+=+π5π22π66B k +=+Z k ∈因为是三角形内角，所以. B π3B =而所以.3cos ,2BA BC ac B ⋅== 3ac =又，所以. 4a c +=222()2162310a c a c ac +=+-=-⨯=所以，则， 2222cos 7b a c ac B =+-=b所以的周长为ABC ∆421．如图，学校门口有一块扇形空地，已知半径为常数，，现由于防疫期间，OMN R 2MON π∠=学校要在其中圈出一块矩形场地作为体温检测室使用，其中点、在弧上，且线段ABCD A B MN 平行于线段．AB MN（1）当点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；A MN ABCD （2）设，当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？ AOB θ∠=A ABCD【答案】（1）；（2）点在弧的四等分点处时，． 2S =A 2max 1)S R =-【分析】(1)补全四分之一圆，由圆的中心对称性，结合相应辅助线及余弦定理确定AB 、BC 与半径R 的数量关系，即可求面积；(2)应用(1)的思路，结合余弦定理及辅助角公式得到关于的三角函数θ形式，由函数的最大值即可得矩形的面积最大值ABCD 【详解】(1) 由线段平行于线段，为弧的一个三等分点，知：所对的圆心角为AB MN A MN AB30°，由余弦定理有，即而 222(1cos30)AB R =-︒AB =DC AB =将扇形所在的圆O 补全，延长AD 、BC 分别交⊙O 于E 、F ，延长MO 、NO 分别交DE 、CF 于G 、H ，并连接OF 、OB ，如下图示可知：由圆的对称性，有DCHG 为正方形，且 2BF CHAD BC -==150BOF ∠=︒∴，即，故 222(1cos150)BF R =-︒BF =AD BC ==∴ 2ABCD S AB BC =⋅=(2) 时，；此时，，即 AOB θ∠=222(1cos )AB R θ=-BOF πθ∠=-222(1cos )BF R θ=+∴，AD BC R ==(0,2πθ∈∴2)1]4ABCD S AB BC R πθ=⋅=+-当且仅当，时，即A 在弧的四等分点处，矩形的面积最大，sin()14πθ+=4πθ=ABCD2max 1)S R =【点睛】本题考查了余弦定理及辅助角公式，其中将扇形所在圆补全，应用圆的对称性找到相关线段的数量关系，并结合余弦定理求边长，进而得到面积；利用辅助角公式得到关于已知角的三角函数，面积的最值转化为函数的最值。

智才艺州攀枝花市创界学校西北大学附中二零二零—二零二壹高一数学下学期4月月考试题〔含解析〕一、选择题 1.0sin(660)-=〔〕A.12-B.12C. D.2【答案】D 【解析】sin(660)sin(72060)sin 60-︒=-︒-︒=︒=. 此题选择D 选项.2.角θ是第三象限角，且|sin |sin22θθ=-，那么角2θ的终边在〔〕 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据象限角的表示，可得,224k k k Z πθπππ-+≤≤-+∈，当k 为偶数和当k 为奇数时，得到2θ角的象限，再由|sin|sin22θθ=-，即sin02θ≤，即可得到答案. 【详解】由题意，角θ是第三象限角，所以22,2k k k Z πππθπ-+≤≤-+∈，那么,224k k k Z πθπππ-+≤≤-+∈，当k 为偶数时，2θ是第四象限角，当k 为奇数时，2θ是第二象限角， 又由|sin|sin22θθ=-，即sin02θ≤，所以2θ是第四象限角，应选D. 【点睛】此题主要考察了三角函数的符号，以及象限角的表示，其中解答中熟记象限角的表示和三角函数的符号是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.3.假设扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，那么这个扇形的面积为〔〕 A.21sin 1B.22sin 2C.21cos 1D.22cos 2【答案】A 【解析】分析：求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求解即可.详解：由题意得扇形的半径为：1sin1又由扇形面积公式得该扇形的面积为：2211122sin 1sin 1⨯⨯=. 应选：A.点睛：此题是根底题，考察扇形的半径的求法、面积的求法，考察计算才能，注意扇形面积公式的应用.4.函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为〔〕.A.[]0,1B.11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【解析】 【分析】由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到42333x πππ≤+≤，现利用余弦函数的的图象和性质求解.【详解】因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以42333x πππ≤+≤所以11cos 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 所以cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦应选：B【点睛】此题主要考察了余弦函数的图象和性质，还考察了运算求解的才能，属于中档题. 5.以下关系式中正确的选项是〔〕 A.000sin11cos10sin168<< B.000sin168sin11cos10<< C.000sin11sin168cos10<<D.000sin168cos10sin11<<【答案】C 【解析】试题分析：先根据诱导公式得到sin168°=sin12°和cos10°=sin80°，再结合正弦函数的单调性可得到sin11°＜sin12°＜sin80°从而可确定答案． 解：∵sin168°=sin〔180°﹣12°〕=sin12°， cos10°=sin〔90°﹣10°〕=sin80°． 又∵y=sinx 在x∈[0，]上是增函数，∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°． 应选C ．考点：正弦函数的单调性．6.1tan 751tan 75-︒=+︒〔〕A.D.-【答案】D 【解析】 【分析】先用“1”的代换转化1tan 75tan 45tan 751tan 751tan 45tan 75-︒-︒=+︒+⋅︒，再利用两角差的正切公式的逆用求解.【详解】()1tan 75tan 45tan 75tan 301tan 751tan 45tan 753-︒-︒==-=-+︒+⋅︒ 应选：D【点睛】此题主要考察了两角差的正切公式的逆用及“1”的代换，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 7.函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的局部图象如下列图，那么函数表达式为〔〕 A.4sin()84y x ππ=-+B.4sin()84y x ππ=- C.4sin()84y x ππ=-- D.4sin()84y x ππ=+ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图像的最值求出A ，由周期求出ω，可得4sin()8y x πϕ=+，再代入特殊点求出ϕ，化简即得所求.【详解】由图像知4A =，6(2)82T =--=，216T πω==，解得8πω=，因为函数4sin()8y x πϕ=+过点(2,4)-，所以4sin(2)48πϕ⨯+=-， sin(2)18πϕ⨯+=-，即22()82k k Z ππϕ=-π⨯++∈，解得32()4k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以54πϕ=，54sin()4sin()8484y x x ππππ=+=-+.应选：A【点睛】此题考察根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于根底题.8.假设02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭那么cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于〔〕A.3B.3-D.9-【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的根本关系求出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值．【详解】02πα<<，3444πππα∴<+<，那么sin 4πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，02πβ-<<，那么4422ππβπ<-<，所以，sin 423πβ⎛⎫-==⎪⎝⎭，因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos cos sin sin 44244233ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 应选C ．【点睛】此题考察利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点：①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用角来配凑未知角，然后利用适宜的公式求解． 9.函数()()12cos 2f x x x =的递减区间是〔〕A.,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈ B.5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k z ∈ C.2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k z ∈ D.5,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈ 【答案】A 【解析】 【分析】通过三角恒等变换，将()()12cos 2f x x x =，转化为()f x 2cos(2)3x π=+，再令2223k x k ππππ≤+≤+求解.【详解】因为()()12cos 2cos 2=-=⎝⎭f x x x x 令2223k x k ππππ≤+≤+解得63k xk ππππ所以函数()()12cos 2f x x x =的递减区间是,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈应选：A【点睛】此题主要考察了两角和与差三角函数公式的逆用及余弦函数的单调性，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题.10.函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像为C ，那么以下说法正确的个数是〔〕①图像C 关于直线1112x π=对称；②图像C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数；④由函数3sin y x =的图像向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到图像C . A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】 【分析】①验证当1112x π=能否获得最值.②验证23f π⎛⎫⎪⎝⎭是否为0，③当5,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，验证23x π-的范围是否为3sin y x =增区间的子集.④按照平移变换和伸缩变换进展验证.【详解】①因为111133sin 23sin 3121232ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 所以图象C 关于直线1112x π=对称，正确.②因为223sin 23sin 0333ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，所以图像C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，正确. ③因为当5,1212x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2,322x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，正确. ④由函数3sin y x =的图像向右平移3π个单位长度，得到3sin()3y x π=-，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到13sin()23π=-y x ，不正确.应选：C.【点睛】此题主要考察了正弦函数的图象和性质及图象变换，还考察了理解辨析问题的才能，属于中档题.11.奇函数f 〔x 〕在[-1,0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，那么〔〕 A.f 〔cosα〕＞f 〔cosβ〕 B.f 〔sinα〕＞f 〔sinβ〕 C.f 〔sinα〕＜f 〔cosβ〕 D.f 〔sinα〕＞f 〔cosβ〕【答案】C 【解析】∵奇函数y =f (x )在[−1,0]上为单调递减函数， ∴f (x )在[0,1]上为单调递减函数， ∴f (x )在[−1,1]上为单调递减函数， 又α、β为锐角三角形的两内角， ∴2παβ+>，∴22ππαβ>>-，∴02sin sin cos παββ⎛⎫>-=> ⎪⎝⎭，∴()()f sin f cos αβ<.应选C.点睛：〔1〕在锐角三角形中2παβ+>，22ππαβ>>-，2sin sin cos παββ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，同理可得： sin cos βα>，即锐角三角形中的任意一个角的正弦值大于其它角的余弦值；〔2〕奇函数图象关于原点对称，单调性在y 轴左右两侧一样. 12.a 是实数，那么函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是〔〕A. B . C .D.【答案】D 【解析】 【详解】由题知，．假设，，选项C 满足；假设，，，其中，，函数周期，选项A 满足；假设，，，其中，，函数周期，选项B 满足；假设,那么，且周期为．而选项D 不满足以上四种情况，故图象不可能是D ．故此题正确答案为D ． 二、填空题 13.函数2cos 1y x =-________【答案】|22,33xk x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】这是根式型函数求定义域，根据二次根式的性质，有2cos 10x -≥，再由余弦函的性质进展求解. 【详解】要使函数有意义那么2cos 10x -≥ 所以1cos 2≥x 解得2233k x k ππππ-+≤≤+所以函数2cos 1y x =-故答案为：|22,33xk x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】此题主要考察了根式函数定义域的求法及余弦函数的性质，还考察了运算求解的才能，属于中档题.14.1cos 123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，那么5sin 12πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________ 【答案】13【解析】 【分析】因为51212ππθθ-++=2π，所以结合三角函数的诱导公式求值；【详解】因为51212ππθθ-++=2π，由诱导公式得：5sin 12πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin --212ππθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（）=1cos 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故答案为13【点睛】此题考察三角函数的化简求值，考察三角函数中的恒等变换应用，关键是“拆角配角〞思想的应用，是中档题． 15.sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，那么()sin αβ+__________． 【答案】12- 【解析】【详解】因为，所以，①因为，所以，②①②得，即， 解得，故此题正确答案为16.0>ω，函数()sin f x x ω=在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有9个零点，那么ω的取值范围是________.【答案】[)16,20【解析】 【分析】由奇偶性可得()f x 在0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上恰有4个零点,那么24224T T T ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩,进而求得ω的范围即可【详解】()sin f x x ω=在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有9个零点,等价于()f x 在0,4π⎛⎤⎥⎝⎦上恰有4个零点,设()f x 的周期为T ,那么24224T T T ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩,即810T T ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,所以28210ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,那么1620ωω≥⎧⎨<⎩,故ω的取值范围为1620ω≤<, 故答案为：[)16,20【点睛】此题考察三角函数周期性的应用,考察求ω的范围 三、解答题 17.tan 3α=，求以下各式的值.〔1〕3sin 2cos sin 4cos αααα+-.〔2〕223sin 2cos αα-. 【答案】〔1〕-11〔2〕307【解析】 【分析】〔1〕利用商数关系将3sin 2cos sin 4cos αααα+-.变形为3tan 2tan 4αα+-求解.〔2〕利用“1”的代换将223sin 2cos αα-变形为()22223sin cos sin 2cos αααα+-，再商数关系变形为()223tan 1tan 2αα+-求解.【详解】〔1〕将3sin 2cos sin 4cos αααα+-分子分母同除以cos α.得3tan 233211tan 434αα+⨯+==--- 〔2〕因为()2222223sin cos 3sin 2cos sin 2cos αααααα+=--. 分子分母分别除以2cos α得：【点睛】此题主要考察了同角三角函数的根本关系，还考察了转化化归的思想，运算求解的才能.属于中档题. 18.1sin cos 5αα+=-〔1〕求sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； 〔2〕假设2παπ<<，且角β终边经过点(P-，求()()()112sin cos cos 2παπαβπ++-+--的值【答案】〔1〕1225-；〔2〕14【解析】【分析】 〔1〕由1sin cos 5αα+=-平方可解得12sin cos 25αα⋅=-，利用诱导公式化简sin cos 22sin cos ππαααα⎛⎫⎛⎫+⋅-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得结果；〔2〕结合〔1〕利用2παπ<<得，7sin cos 5αα-=，由角β终边经过点(P -，可得3cos 4β=-，原式化为2cos sin sin cos cos ααααβ-=+⋅，从而可得结果.【详解】〔1〕∵1sin cos 5αα+=-，∴()21sin cos 25αα+=， 即112sin cos 25αα+=， ∴12sin cos =sin cos 2225ππαααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭〔2〕由〔1〕得，()249sin cos 12sin cos 25αααα-=-=又2παπ<<，sin cos 0αα∴->，7sin cos 5αα∴-=，又角β终边经过点(P-，3cos 4β∴=-【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值〞：一般所给出的角都是非特殊角，从外表上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值〞：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角〞，使其角一样或者具有某种关系．(3)“给值求角〞：本质是转化为“给值求值〞，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 19.化简求值〔1〕()1tan2αβ-=，1tan 7β=-，且α，()0,βπ∈，求2αβ-的值.〔2〕(cos10tan10sin 50︒︒⋅︒【答案】〔1〕34π-〔2〕2-【解析】【分析】〔1〕根据角的变换，利用两角和的正切，由()1tan2αβ-=，1tan 7β=-，求得1tan 3α=再求得()tan21αβ-=，利用为α，()0,βπ∈，1tan 07β=-<，1tan 03α=>确定α，β相对小的范围，进而确定2αβ-的范围来确定角的取值.〔2〕先利用正切化正弦，余弦，然后通分，利用两角和与差的正弦函数公式的逆用，再用诱导公式化简求值.【详解】〔1〕因为()()tan tan 1tan tan[()]=1tan tan 3αββααββαββ-+=-+=--⋅ 所以()()()()tan tan tan 2tan[]11tan tan αβααβααβαβα-+-=+-==--⋅又因为α，()0,βπ∈1tan 07β=-<，1tan 03α=>所以50,,,66ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,2παβπ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭所以324παβ-=-〔2〕(cos10tan10sin 50︒︒⋅︒【点睛】此题主要考察了三角恒等变换中的求值求角问题，还考察了转化化归，运算求解的才能，属于中档题.()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的局部图象如下列图.〔1〕写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；〔2〕求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】〔1〕π，076x π=，03y =；〔2〕最大值0，最小值3-.【解析】【详解】试题分析：〔1〕由图可得出该三角函数的周期，从而求出00,x y ；〔2〕把26x π+看作一个整体，从而求出最大值与最小值. 〔1〕由题意知：()f x 的最小正周期为π，令y=3，那么2+2k k 62x Z πππ+=∈，，解得+k k 6x Z ππ=∈，，所以076x π=，03y =. 〔2〕因为[,]212x ππ∈--，所以52[,0]66x ππ+∈-，于是 当206x π+=，即12x π=-时，()f x 获得最大值0； 当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 获得最小值3-.考点：本小题主要考察三角函数的图象与性质，求三角函数的最值等根底知识，考察同学们数形结合、转化与化归的数学思想，考察同学们分析问题与解决问题的才能.21.函数()()()()cos 0,0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+<<>为偶函数，且函数()y f x =图像的两相邻对称轴间的间隔为2π. 〔1〕求ω，ϕ及8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 〔2〕将函数()y f x =的图像向右平移6π个单位，再将得到的图像上每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间.【答案】〔1〕2ω=，23ϕπ=〔2〕2844,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 【解析】 【分析】〔1〕将将函数变形为()2sin 6πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭f x x ，利用()f x 是偶函数，那么有62k ππϕπ-=+求得ϕ，利用函数()y f x =图像的两相邻对称轴间的间隔为2π，求得,2T πω==，进而确定函数()2cos2f x x =，再求8f π⎛⎫⎪⎝⎭.〔2〕根据图象变换，函数()y f x =的图像向右平移6π个单位，得到2cos 2()6π=-y x ，再将得到的图像上每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到()12cos 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭gx x ，再求单调区间.【详解】〔1〕()()()cos f x x x ωϕωϕ=+-+2sin 6x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为()f x 是偶函数 所以62k ππϕπ-=+又因为0,ϕπ<<又因为函数()y f x =图像的两相邻对称轴间的间隔为2π. 所以22T π=，所以,2T πω==所以()2cos2f x x =，2cos 84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭〔2〕函数()y f x =的图像向右平移6π个单位，得到2cos 2()6π=-y x ， 再将得到的图像上每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到()12cos 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭gx x令12223ππππ≤-≤+k x k 解得2842,33ππππ+≤≤+∈k x k k Z 所以()gx 的单调递减区间是2844,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 【点睛】此题主要考察了三角函数的图象和性质及图象变换，还考察数形结合的思想及运算求解的才能，属于中档题.22.如图，假设河的一条岸边为直线MN ，AC MN ⊥于C ，点B ，D 在MN 上，现将货物从A 地经陆地AD 又经水路DB 运往B 地，10AC km =，30BC km =，又知陆地单位间隔的运费是水路单位间隔运费的两倍；水运费用为每公里100元. 〔1〕假设设CAD x ∠=，求运费y 与x 的函数关系式〔2〕要使运费最少，那么点D 应选在距点C 多远处？【答案】〔1〕sin 210003,0,cos 2x yx x π⎛⎫⎛⎫-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭〔2〕3 【解析】 【分析】 〔1〕由CAD x ∠=，将AD ，BC 用都用x 表示，进而将运费表示成x 的函数.〔2〕根据〔1〕的结论2sin 10003cos x yx ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，用换元法令2sin cos xt x -=，变形为sin cos 2x t x +=，再利用辅助角法求解.【详解】〔1〕设CAD x ∠=那么10cos AD x=，10tan CD x =所以303010tan BD CD x =-=-所以10(3010tan )100200cos yx x ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭〔2〕由〔1〕知2sin 10003cos x yx ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭令2sin cos xt x-=所以sin cos 2x t x +=sin()2x ϕ-=2≥所以t≥当t=时，sin()1,3x π+=,6x π=所以D 应选在距点C3远处【点睛】此题主要考察了三角函数的实际应用及最值的求法，还考察了抽象概括，运算求解的才能，属于中档题.。