“概率论与数理统计”测试题参考答案
1．设A , B 是两个随机事件，已知P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，P (A B )=0.2，求：（1）)(B A P ；（2）)(B A P .
解：（1） )(A P =)(1A P -= 0.4
)(B A P = )(A P )(A B P =0.4 ⨯0.2 = 0.08 （2） )(B A P =1-)(B A P
= 1 -
)()(B P B A P =1-8
.008
.0= 0.9
2．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋
子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率． 解：设1A =“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，2A =“取到的都是白子”，3A =“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则 （1）)(1)(1)(211A P A P A P -=-=
745.0255.011312
3
8=-=-=C C ．
（2）)()()()(3232A P A P A A P B P +=+=
273.0018.0255.0255.0312
34
=+=+C C ．
3．两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率．
解：设A i ：“是第i 台车床加工的零件”(,)i =12，B ：“零件是合格品”.由全概公式有 P B P A P B A P A P B A ()()()()()=+1122
显然43)(1=
A P ，4
1
)(2=A P ，99.0)(1=A B P ，P B A ().2098=，故 9875.098.04
1
99.043)(=⨯+⨯=B P
4．一袋中有9个球，其中6个黑球3个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽
取出的是白球的概率. 解：设如下事件：
i A ：“第i 次抽取出的是白球”（2,1=i ） 显然有9
3
)(1=
A P ，由全概公式得 )()()()()(1211212A A P A P A A P A P A P += 3
183328231=⨯+⨯=
5．设)4,3(~N X ，试求⑴)95(<X P ．（已知,8413.0)1(=Φ
9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）
解：⑴)32
3
1()23923235(
)95(<-<=-<-<-=<⑵)23723(
)7(->-=>X P X P )22
3
(1)223(≤--=>-=X P X P
0228.09772.01)2(1=-=Φ-= 6．设随机变量X 的概率密度函数为
⎩⎨
⎧≤≤=其它
10)(2x Ax x f
求（1）A ；（2）)(X E ；（3）)(X D .
解： （1）由13
3
1
d d )(11
3
1
2
==
===
⎰
⎰
∞
+∞
-A
x A x Ax x x f ，得出3=A （2） =)(X E 4
3
43d 3d )(1
41
02
=
=⋅=⎰⎰∞
+∞-x
x x x x x xf （3）=)(2
X E 5
35
3d 31
521
02=
=⋅⎰x
x x x 80
3
16953))(()()(22=
-=
-=X E X E X D 7．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9973.0)0.2(=Φ)． 解：（1）P （1< X < 7）=)2
3
723231(
-<-<-X P
=)22
3
1(<-<
-X P =)1()2(-Φ-Φ = 0.9973 + 0.8413 – 1 = 0.8386 （2）因为 P （X < a ）=)2323(
-<-a X P =)2
3
(-Φa = 0.9 所以
28.12
3
=-a ，a = 3 + 28.12⨯ = 5.56 8．从正态总体N （μ，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得x = 21，求μ的置信
度为95%的置信区间．(已知 96.1975.0=u ) 解：已知3=σ，n = 64，且n
x u σμ
-= ~ )1,0(N
因为 x = 21，96.12
1=-
α
u
，且
735.064
396.12
1=⨯
=-
n
u
σ
α
所以，置信度为95%的μ的置信区间为： ]735.21,265.20[],[2
12
1=+--
-
n
u
x n
u
x σ
σ
αα．
9．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5 cm ，标准差为0.15cm .从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ）
10.4，10.6，10.1，10.4 问：该机工作是否正常(05.0=α, 96.1975.0=u )？
解：零假设5.10:0=μH .由于已知15.0=σ，故选取样本函数
n
x U σ
μ
-=
～)1,0(N
经计算得375.10=x ，
075.04
15.0==
n
σ
，
67.1075
.05
.10375.10=-=
-n
x σ
μ
由已知条件96.12
1=-
α
u
，且
2
196.167.1αμ
σ
μ
-
=<=-n
x
故接受零假设，即该机工作正常.
