并查集

并查集路径压缩优化方法讲解并查集（Disjoint Set Union）是一种用于解决连通性问题的数据结构，常用于判断图中两个节点是否属于同一个连通分量。

在并查集中，每个节点表示一个元素，通过合并节点来构建集合，实现快速的查找和合并操作。

1. 并查集基本原理并查集最初的实现方法是通过使用树来表示集合，其中每个节点通过指向父节点来建立树结构。

树的根节点表示集合的代表元素，每个节点的父节点指向它所属集合的代表元素。

2. 查找操作查找操作用于找到某个元素所属的集合，即找到该元素的代表元素。

从给定的元素开始，不断向上查找直到找到根节点，即代表元素。

代码示例：```int find(int[] parent, int x) {if (parent[x] == x) {return x;}parent[x] = find(parent, parent[x]); // 路径压缩return parent[x];}```这段代码中的`find`方法使用了递归来实现路径压缩。

路径压缩的核心思想是将查找路径上的每个节点直接指向根节点，从而减少后续的查找时间。

3. 合并操作合并操作用于将两个集合合并成一个，即将两个集合的根节点连接起来。

合并操作可以简单地将一个根节点的父节点指向另一个根节点，从而实现合并。

代码示例：```void union(int[] parent, int x, int y) {int rootX = find(parent, x);int rootY = find(parent, y);if (rootX != rootY) {parent[rootX] = rootY;}}```4. 路径压缩优化路径压缩优化通过将每个节点直接指向根节点，使得查找操作的路径更短。

在常规的实现中，每个节点的父节点都指向其根节点，但这会导致树的高度较高，进而影响查找操作的性能。

路径压缩优化在查找操作中，将经过的节点直接指向根节点，从而使得树的高度减少。

并查集的路径压缩并查集（Disjoint Set）是一种用于解决“动态连通性”问题的数据结构。

它主要用于维护一个不相交的集合，支持快速判断两个元素是否属于同一个集合，以及合并两个集合。

并查集的路径压缩是一种优化算法，用于减少查找操作的时间复杂度。

1. 并查集基本操作并查集包括以下几种基本操作：初始化并查集、查找元素所属的集合、合并两个集合。

1.1 初始化并查集初始化并查集时，每个元素都是一个独立的集合。

可以使用数组来表示并查集，数组索引表示元素，数组值表示元素所属的集合。

示例：```cppint parent[MAX_SIZE];void init(int n) {for (int i = 0; i < n; i++) {parent[i] = i;}}```在上述示例中，`MAX_SIZE`表示并查集的最大容量，`init`函数用于初始化并查集。

1.2 查找元素所属的集合查找元素所属的集合时，可以通过递归的方式查找祖先节点，直到找到根节点。

示例：```cppint find(int x) {return parent[x] == x ? x : find(parent[x]);}```在上述示例中，`find`函数用于查找元素所属的集合，递归调用`find`函数可以找到根节点。

1.3 合并两个集合合并两个集合时，可以通过将一个根节点的父节点指向另一个根节点，将两个集合合并为一个集合。

示例：```cppvoid merge(int x, int y) {int root_x = find(x);int root_y = find(y);if (root_x != root_y) {parent[root_x] = root_y;}}```在上述示例中，`merge`函数用于合并两个集合，首先找到两个集合的根节点，然后将一个根节点的父节点指向另一个根节点。

2. 并查集路径压缩并查集的路径压缩是一种优化算法，通过将节点在查找的过程中直接指向根节点，减少后续查找的时间复杂度。

并查集并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的 合并及查询问题。

常常在使用中以森林来表示。

[编辑]并查集的主要操作1. 合并两个不相交集合 2. 判断两个元素是否属于同一集合 [编辑]主要操作的解释及代码需要注意的是，一开始我们假设元素都是分别属于一个独立的集合里的。

（1） 合并两个不相交集合操作很简单：先设置一个数组 Father[x]，表示 x 的“父亲”的编号。

那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合 最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个集合的最久远的祖先的 父亲指向它。

附图一张（摘自 CLRS）——Ronicea 图为两个不相交集合，b 图为合并后 Father(b):=Father(g) 代码：Procedure Union(x,y:integer);{其中 GetFather 是下面将讲到的操作} var fx,fy : integer; begin fx := GetFather(x); fy := GetFather(y); If fx<>fy then Father[fx] := fy;{指向最祖先的祖先} end;（2） 判断两个元素是否属于同一集合仍然使用上面的数组。

则本操作即可 转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。

可以采用递归实现。

（有待补 图，制作中）代码：Function Same(x,y:integer):boolean; begin if GetFather(x)=GetFather(y) then exit(true else true) true exit(false false); false end;[编辑]并查集的优化（1）路径压缩 刚才我们说过，寻找祖先时采用递归，但是一旦元素一多起来，或退化成一 条链， 每次 GetFather 都将会使用 O （n） 的复杂度， 这显然不是我们想要的。

并查集的两种实现（按秩合并+路径压缩）并查集：就是有求并集，查找元素属于哪个集合的功能。

1、路径压缩：使X到根上的每⼀个节点的⽗节点都变为根节点。

查询：void Find(int x){if(a[x]==0) return x;else return a[x]=Find(a[x]);}合并：void Merge(int x,int y){int t1=Find(x),t2=Find(y);if(t1!=t2) a[t1]=t2;}2、按秩合并：使较浅的树成为较深的树的⼦树。

查询：void Find(int x){if(a[x]==0) return x;else return a[x]=Find(a[x]);}合并：void Merge(int x,int y){int t1=Find(x),t2=Find(y);if(t1!=t2){if(rank[t1]<=rank[t2]) a[t1]=t2,rank[t2]=max(rank[t2],rank[t1]+1);else a[t2]=t1,rank[t1]=max(rank[t1],rank[t2]+1);}}例题：解法⼀：路径压缩#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;const int maxn = 1200;int fa[maxn];int f(int x){if(fa[x]==0) return x;else return fa[x]=f(fa[x]);}int main(void){int n,m,t1,t2,i,x,y;while(~scanf("%d",&n)&&n){scanf("%d",&m);memset(fa,0,sizeof(fa));while(m--){scanf("%d%d",&x,&y);t1=f(x),t2=f(y);if(t1!=t2) fa[t1]=t2;}int cnt=0;for(i=1;i<=n;i++){if(fa[i]==0) cnt++;}printf("%d\n",cnt-1);}return0;}View Code解法⼆：按秩求和#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;const int maxn = 1200;int fa[maxn],rk[maxn];int f(int x){if(fa[x]==0) return x;else return fa[x]=f(fa[x]);}int MAX(int x,int y){return x>y?x:y;}int main(void){int n,m,x,y,t1,t2,i;while(~scanf("%d",&n)&&n){scanf("%d",&m);memset(fa,0,sizeof(fa));memset(rk,0,sizeof(rk));while(m--){scanf("%d%d",&x,&y);t1=f(x),t2=f(y);if(t1!=t2){if(rk[t1]<=rk[t2]) fa[t1]=t2,rk[t1]=MAX(rk[t1],rk[t2]+1);else fa[t2]=t1,rk[t2]=MAX(rk[t2],rk[t1]+1);}}int cnt=0;for(i=1;i<=n;i++)if(fa[i]==0) cnt++;printf("%d\n",cnt-1);}return0;}View Code。

并查集的应用探讨并查集在实际问题中的应用场景并查集的应用探讨：并查集在实际问题中的应用场景一、引言并查集（Disjoint Set）是一种常用的数据结构，主要用于解决集合的合并与查询问题。

它在实际问题中有着广泛的应用，本文将探讨并查集在实际问题中的应用场景。

二、并查集简介并查集是一种用于处理集合的数据结构，它支持三种操作：查找（Find）、合并（Union）和创建（MakeSet）。

其中查找用于找到元素所属的集合，合并用于将两个集合合并为一个集合，创建则用于创建一个新的集合。

三、应用场景一：网络连通性问题在计算机网络中，经常需要判断两个主机是否能够互相通信或者是否处于同一个网络中。

通过使用并查集来处理网络连通性问题，可以快速判断两个主机是否连通，从而进行相应的网络配置。

以一个局域网中多个主机的连通性判断为例，将每个主机看作一个节点，使用并查集来管理它们的连通关系。

当两个主机通过网络连接后，可以通过合并这两个主机所在的集合，即执行Union操作，将它们放在同一个连通分量中。

当需要判断两个主机是否连通时，只需要执行Find操作判断它们是否属于同一个连通分量即可。

四、应用场景二：社交网络中的朋友圈在社交网络中，人们经常需要查找自己与他人的关系是否存在连接，如朋友圈等。

通过利用并查集，可以快速构建和查询人际关系，判断两个人是否属于同一个朋友圈。

将每个人看作一个节点，使用并查集来管理它们的社交关系。

当两个人成为朋友时，即执行Union操作，将它们放在同一个朋友圈中。

当需要判断两个人是否属于同一个朋友圈时，只需要执行Find操作，判断它们是否属于同一个连通分量即可。

五、应用场景三：图的连通分量在图论中，连通分量是指无向图中的一组顶点，其中任意两个顶点之间都存在路径。

通过并查集，可以快速找到图中的连通分量，从而进行相应的图分析和处理。

以社交网络中用户之间的关注关系为例，将每个用户看作一个节点，使用并查集来管理它们的关系。

js 并查集写法-回复JS并查集写法并查集是一种用于解决元素分组问题的数据结构，它可以高效地合并集合并判断两个元素是否属于同一集合。

在本文中，我们将详细讨论如何使用JavaScript实现并查集。

1. 基本实现在开始之前，我们需要创建一个类来表示并查集。

该类将包含以下两个主要方法：`find`和`union`。

`find`方法用于查找元素所属的集合。

如果两个元素属于同一集合，则它们具有相同的根节点。

`union`方法用于合并两个集合。

它接受两个元素作为参数，并将它们所属的集合合并为一个集合。

下面是一个基本的并查集实现：class UnionFind {constructor(size) {this.parent = new Array(size);for(let i = 0; i < size; i++) {this.parent[i] = i;}}find(x) {while(this.parent[x] !== x) {x = this.parent[x];}return x;}union(x, y) {let rootX = this.find(x);let rootY = this.find(y);if(rootX !== rootY) {this.parent[rootX] = rootY;}}}2. 使用示例现在我们来使用上面的并查集实现解决一个具体的问题。

假设我们有一组人员，每个人员都有一个唯一的标识符。

我们希望能够判断两个人员是否属于同一组。

首先，我们需要创建一个并查集对象，并将人员的数量作为参数传递给它。

javascriptlet uf = new UnionFind(10);现在，我们可以使用`union`方法合并两个人员所属的组：javascriptuf.union(1, 2); 合并1和2所属的组uf.union(3, 4); 合并3和4所属的组uf.union(1, 4); 合并1和4所属的组最后，我们可以使用`find`方法来判断两个人员是否属于同一组：javascriptconsole.log(uf.find(1) === uf.find(2)); trueconsole.log(uf.find(3) === uf.find(4)); trueconsole.log(uf.find(1) === uf.find(3)); false3. 优化上面的基本实现在合并操作时的效率较低，会导致并查集的高度过高。

并查集与的连通性问题并查集与图的连通性问题在图论中，连通性问题是一个非常重要的概念。

它研究的是在一个图中，任意两个节点是否存在路径相连。

而解决这类问题的一种常用数据结构就是并查集。

一、并查集的基本概念并查集（Disjoint Set Union）是一种树型的数据结构，常用于处理不相交集合的合并与查询问题。

它可以高效地判断两个元素是否处于同一集合，并进行集合的合并操作。

在并查集中，每个节点都有一个指针指向它的父节点，如果一个节点的父节点为自己，则代表该节点是集合的代表元素。

为了提高效率，还可以使用路径压缩和按秩合并两种优化策略。

二、并查集的操作1. 初始化操作首先，我们需要将每个元素初始化为一个单独的集合，也就是每个元素的父节点都指向自己。

2. 查找操作查找操作用于判断两个元素是否属于同一个集合。

它通过一层一层地往上查找，直到找到根节点，根节点就是集合的代表元素。

3. 合并操作合并操作用于将两个集合合并为一个集合。

首先需要找到两个元素所在集合的代表元素，然后将其中一个代表元素的父节点指向另一个代表元素。

三、并查集解决连通性问题在图的连通性问题中，可以使用并查集来快速判断两个节点是否连通。

具体步骤如下：1. 初始化并查集，将每个节点都初始化为一个独立的集合。

2. 遍历图中的所有边，对于每条边 (u,v)，找到 u 和 v 所在集合的代表元素。

3. 如果 u 和 v 的代表元素相同，则说明 u 和 v 已经连通，否则将 u 和 v 所在的集合合并。

4. 重复步骤2和步骤3，直到遍历完所有的边。

通过以上操作，就可以得到一个具有连通性信息的图。

在实际应用中，我们可以使用并查集来判断网络中是否存在通路、判断图中是否存在回路等。

四、应用场景举例并查集在算法和数据结构中有广泛的应用场景，例如：1. 最小生成树：使用 Kruskal 算法或者 Prim 算法来构造最小生成树时，可以使用并查集来判断各个节点之间是否连通。

并查集应用场景全面梳理在计算机科学领域中，并查集是一种常用的数据结构，用于解决一些集合相关的问题。

并查集主要用于维护一组不相交的动态集合，并支持合并两个集合以及查询两个元素是否属于同一集合的操作。

本文将全面梳理并查集的应用场景，并介绍它们在不同领域的实际应用。

一、社交网络中的好友圈关系建立与查询在社交网络中，人与人之间存在着好友关系。

通过并查集可以方便地建立和查询好友圈关系。

首先，我们可以将每个人看作一个节点，利用并查集建立这些节点之间的关系。

当两个人成为好友时，我们将它们所在的两个集合进行合并操作。

通过查询某两个人是否属于同一个集合，我们就可以判断他们是否在同一个好友圈中。

二、电子地图中的连接性问题解决在电子地图中，我们经常需要判断两个地点之间是否存在路径。

并查集可以用来解决这个连接性问题。

我们可以将地图上的每个地点看作一个节点，利用并查集来表示各个地点的连接关系。

当两个地点之间存在路径时，我们将它们所在的两个集合进行合并操作。

通过查询两个地点是否属于同一个集合，我们就可以判断它们之间是否存在路径。

三、图像分割与图像压缩在图像处理领域，图像分割和图像压缩是非常重要的应用。

并查集可以用来实现图像分割的算法。

我们可以将图像的像素看作节点，利用并查集来表示各个像素的连通性。

通过对图像像素进行合并操作，将相邻像素划分为同一个集合，从而实现图像分割。

此外，图像压缩也可以借助并查集来实现。

通过将相邻像素合并为同一集合，减少图像中的冗余信息，从而实现图像压缩。

四、互联网网络中的网络连接问题在互联网网络中，我们经常需要处理网络连接的问题。

并查集可以被应用于解决网络连接问题。

我们可以将网络中的每个节点看作一个机器或者设备，利用并查集来表示网络中各个节点的连接关系。

通过对两个节点进行合并操作，将它们所在的集合合并为一个集合，从而建立网络连接。

通过查询两个节点是否属于同一个集合，我们就可以判断它们之间是否存在网络连接。

信息学奥赛中的特殊数据结构——并查集在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。

这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中，其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能采用一种全新的抽象的特殊数据结构——并查集来描述。

一、数学准备首先，我们从数学的角度给出等价关系和等价类的定义：定义1：如果集合S中的关系R是自反的，对称的，传递的，则称他为一个等价关系。

——自反：x＝x；——对称：若x＝y，则y＝x；——传递：若x＝y、y＝z，则x＝z。

要求：x、y、z必须要同一个子集中。

定义2：如果R是集合S的等价关系。

对于任何x∈S，由[x]R＝{y|y∈S and xRy}给出的集合[x]R S称为由x∈S生成的一个R的等价类。

定义3：若R是集合S上的一个等价关系，则由这个等价关系可产生这个集合的唯一划分。

即可以按R将S划分为若干不相交的子集S1，S2，S3，S4，……，他们的并即为S，则这些子集S i变称为S的R等价类。

划分等价类的问题的提法是：要求对S作出符合某些等价性条件的等价类的划分，已知集合S及一系列的形如“x等价于y”的具体条件，要求给出S的等价类的划分，符合所列等价性的条件。

（我们上面提到的联系，即可认为是一个等价关系，我们就是要将集合S划分成n个联系的子集，然后再判断x，y是否在一个联系子集中。

）二、引题——亲戚（relation）【问题描述】若某个家族人员过于庞大，要判断两个是否是亲戚，确实还很不容易，现在给出某个亲戚关系图，求任意给出的两个人是否具有亲戚关系。

规定：x和y是亲戚，y和z是亲戚，那么x和z也是亲戚。

js 并查集写法-回复[JS并查集写法]是什么？JS并查集写法是一种用于解决集合合并与查询问题的数据结构和算法。

它起源于离散数学中的集合论，可以有效地解决一些实际问题，如社交网络中的关系分析、网络中的节点连接问题等。

JS并查集写法最常用的应用场景是求解连通性问题。

一、JS并查集的基本概念1. 集合：JS并查集将若干个元素分为若干个不相交的集合。

每个集合可以包含一个或多个元素。

2. 合并操作：JS并查集可以将两个不相交的集合合并成一个集合。

3. 查询操作：JS并查集可以判断两个元素是否在同一个集合中。

4. 树形结构：JS并查集可以用一棵树来表示集合。

每个节点表示一个元素，树中的父节点指向其父集合的代表元素，根节点表示集合的代表元素。

二、JS并查集的实现思路1. 初始化：将每个元素都初始化为一个单元素集合，即每个节点的父节点为自身。

2. 查询操作：通过递归或迭代的方式，查找节点所属的集合的代表元素。

如果节点的父节点为自身，则该节点为集合的代表元素。

3. 合并操作：找到两个元素所属集合的代表元素，然后将其中一个元素的代表元素的父节点指向另一个元素的代表元素。

三、JS并查集的示例代码下面是使用JavaScript实现的简单JS并查集示例代码：javascriptclass UnionFind {constructor(n) {this.parent = new Array(n + 1).fill(0).map((_, i) => i);}find(x) {if (this.parent[x] !== x) {this.parent[x] = this.find(this.parent[x]);}return this.parent[x];}union(x, y) {const rootX = this.find(x);const rootY = this.find(y);if (rootX !== rootY) {this.parent[rootX] = rootY;}}}const n = 10;const uf = new UnionFind(n);uf.union(1, 2);uf.union(2, 3);console.log(uf.find(1) === uf.find(3)); true这段代码中，我们首先创建了一个大小为10的并查集实例`uf`。

并查集优化技巧概述并查集（Disjoint Set）是一种用于处理集合问题的数据结构。

它主要支持两种操作：合并两个集合和判断两个元素是否属于同一个集合。

在实际应用中，我们经常需要对并查集进行优化，以提高效率和减少内存消耗。

本文将概述几种常见的并查集优化技巧。

一、路径压缩优化路径压缩是一种常见的并查集优化技巧。

在执行查找操作时，通过将路径上的所有节点直接指向根节点，可以大大减少后续查询的时间。

具体实现方式是使用递归或迭代的方式，在查找过程中修改节点的父节点指针。

二、按秩合并优化按秩合并是一种基于节点高度的优化策略。

在合并操作中，我们将较矮的树合并到较高的树中。

这样可以避免树的高度过大，提高后续查询和合并的效率。

具体实现方式是使用一个rank数组来记录每个节点的高度，将矮的树合并到高的树上时，需要更新rank数组。

三、路径分裂优化路径分裂是一种基于节点高度的优化策略。

在执行路径压缩时，我们可以选择将路径上的一部分节点修改为指向其祖父节点而非根节点，从而保持树的平衡性。

这种方式在实践中通常能够取得不错的效果。

四、按大小合并优化按大小合并是一种基于节点数量的优化策略。

在合并操作中，我们将较小的树合并到较大的树中，以减少树的高度。

具体实现方式是使用一个size数组来记录每个节点的大小，将规模较小的树合并到规模较大的树上时，需要更新size数组。

五、路径减半优化路径减半是一种基于节点高度的优化策略。

在执行路径压缩时，我们将路径上的每个节点的父节点指针更新为其祖父节点，从而减少路径的长度。

这种方式在实践中能够进一步提高查询和合并的效率。

六、基于哈希表的优化在某些场景下，我们可能需要对大规模数据进行动态合并，并查集的传统实现方式可能会导致内存消耗过大。

此时，可以考虑使用基于哈希表的优化方式。

具体实现方式是为每个节点分配一个唯一的标识符，并使用哈希表来存储节点之间的关系。

总结：并查集是一种非常有用的数据结构，能够高效处理集合问题。

克鲁斯卡尔算法并查集
克鲁斯卡尔算法是一种基于贪心策略的最小生成树算法，它的思想是先将所有边按照权值从小到大排序，然后依次选择权值最小的边，同时保证选择的边不会形成环，直到生成树的边数达到节点数减一为止。

在克鲁斯卡尔算法中，为了判断选取的边是否形成环，需要使用并查集数据结构。

并查集是一种用于处理集合的数据结构，它支持合并集合和查找元素所属集合的操作。

在克鲁斯卡尔算法中，每个节点都可以看作是一个独立的集合，当选取一条边时，需要将该边的两个端点所在的集合合并为一个集合，以防止形成环。

并查集的基本实现方式是使用一个数组来表示每个元素所在的
集合，数组中每个元素的值表示该元素所在的集合的根节点。

在合并集合的操作中，需要找到两个元素所在集合的根节点，将其中一个根节点的父节点指向另一个根节点，从而实现集合的合并。

在查找元素所属集合的操作中，需要递归查找元素的父节点，直到找到根节点为止。

在克鲁斯卡尔算法中，每次选取权值最小的边时，需要判断该边的两个端点是否已经在同一个集合中。

如果已经在同一个集合中，则说明选取该边会形成环，不能选取该边。

否则，选取该边，并将该边的两个端点所在的集合合并为一个集合。

通过不断执行这个过程，直到生成树的边数达到节点数减一为止，就可以得到最小生成树。

总之，克鲁斯卡尔算法和并查集数据结构是解决图论问题中非常
重要的工具，它们的结合可以实现高效的最小生成树算法。

选择题
并查集数据结构主要用于处理什么问题？
A. 图的最短路径问题
B. 树的遍历问题
C. 不相交集合的合并及查询问题（正确答案）
D. 排序问题
在并查集中，查找操作的主要目的是什么？
A. 确定某个元素是否属于某个集合
B. 确定某个集合的大小
C. 查找某个元素所在集合的代表元素（正确答案）
D. 合并两个集合
并查集的初始化过程中，每个元素所在集合的代表元素通常设置为什么？
A. 0
B. -1 （正确答案）
C. 1
D. 该元素自身
在并查集中，合并两个集合的操作通常涉及哪两个步骤？
A. 查找和删除
B. 查找和更新（正确答案）
C. 插入和删除
D. 插入和更新
使用并查集解决“朋友圈”问题时，每个朋友可以被视为一个什么？
A. 节点
B. 边
C. 集合中的元素（正确答案）
D. 图
在并查集中，路径压缩的主要目的是什么？
A. 减少集合的数量
B. 加快查找速度（正确答案）
C. 加快合并速度
D. 减少内存使用
并查集在处理动态连通性问题时，主要关注的是什么？
A. 边的数量
B. 节点的数量
C. 连通分量的数量（正确答案）
D. 图的遍历顺序
在并查集中，如果两个元素通过一系列操作最终指向同一个代表元素，那么这两个元素之间的关系是什么？
A. 无关
B. 属于同一个集合（正确答案）
C. 属于不同集合
D. 无法确定
使用并查集可以解决哪类典型问题？
A. 最小生成树问题
B. 拓扑排序问题
C. 网络流问题
D. 动态连通性问题（正确答案）。

可撤销并查集例题以下是可撤销并查集的一个简单例子：假设有一个班级有10个学生，每个学生属于一个不同的班级。

由于某种原因，一些学生离开了班级，我们想知道现在每个班级有多少学生。

数据结构定义：1.并查集是一个能够快速完成"查找"和"合并"操作的线性数据结构。

2.并查集的元素可以对应班级，或者对应其他任何可以进行合并与查找的实体。

3.并查集支持以下操作：⏹Find(x)：查找元素x所在的集合（或者说是班级）的代表元素（通常是最小的元素）⏹Union(x, y)：将元素x和y所在的集合合并为一个集合⏹是一种可以撤销的操作，撤销后可以使已经合并的集合再度分离。

算法实现：1.初始化每个班级为一个独立的集合，每个班级的代表元素为其最小值。

2.假设有学生离开，我们需要进行合并操作。

比如有学生1、2、3离开了第1班，我们需要将第1班和第2班合并，具体步骤为：Union(1, 2) -> Union(2, 3) -> Union(3, 4) -> ... -> Union(9, 10)。

这样第1班就变成了第2班。

3.现在我们可以进行撤销操作。

假设我们希望将第2班撤销为第1班，我们需要进行一系列的撤销操作：Undo(9, 10) -> Undo(8, 9) -> ... -> Undo(2, 3) -> Undo(1, 2)。

这样第2班就变回了第1班。

4.最后，我们可以统计每个班级的学生数量。

这个例子演示了如何使用并查集处理学生的班级管理问题，特别是当有学生离开和返回时的情况。