三维模型特征提取算法

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基于三维点云模型的特征线提取算法

ｓｈａｒｐａｎｄｎｏｎ — ｓｈａｐｒｆｅａｔｕｒｅｐｏｉｎｔｓ，ｔｈｅｅｘｔｒａｃｔｅｄｆｅａｔｕｒｅｐｏｉｎｔｓｗｅｒｅｒｅｌａｔｉｖｅｔｏｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ，ｏｒｆｅａｔｕｒｅｐｏｉｎｔｓｗｅｒｅｎ’ ｔｃｏｎｎｅｃｔ — ｅｄ．Ｆｉｒｓｔ，ｔｈｉｓａｌｇｏｉｔｒｈｍｃｏｎｄｕｃｔｅｄｄｉｓｃｒｅｔｅＧａｕｓｓｉａｎｍａｐｆｏｒｐｏｉｎｔｃｌｏｕｄｄａｔａ，ａｎｄｃｌｕｓｔｅｒｅｄｔｈｅｓｅｍａｐｐｉｎｇｐｏｉｎｔｓｅｔｓ．Ｔｈｅｎｉｔ
刘
北京１００８７５）
倩，耿国华，周明全，赵璐璐，李姬俊男
（１．西北大学信息科学与技术学院计算机系，西安７１０１２７；２．北京师范大学信息科学与技术学院计算机系，
摘
要：针对以往算法存在无法区分尖锐和非尖锐特征点、提取的特征点与视角有关、特征点未连线等问题，提
出一种基于高斯映射和曲率值分析的三维点云模型尖锐特征线提取算法。该算法先进行点云数据点的离散高
斯映射，并将映射点集聚类；然后使用自适应迭代过程得到两个或多个面的相交线上曲率值和法向量发生突变

三维模型检索相关的特征提取和语义研究

ＫｅｙｗｏｒｄｓＦｅｔｒＳｅｎｉｓ３Ｄｄｌ３Ｄｄｌｒｔｅａａｕｅｍａｔｃｍｏｅｍｏｅｅｒｖｌｉ
线部分和离线部分。在线部分与用户交互，用户可以浏览数据
０引言
随着ｉ维扫描技术以及三维建模软硬件的不断发展成熟，
Ｍｎｌ距ＤＸｙ＝∑ ａａｎ离：（，ｈｔａ）
ｌ≤ ｉｎ１≤ ，ｎ ≤ ≤
２１形状以及相似性计算方法．
２１１形状．．
形状是三维模型最重要的特性，与颜色、纹理相比能够更细
致地描述模型。而且形状是无量纲的，任何旋转，平移都不改变其特性。从整个三维模型的特征中计算形状模型，提供全局信
息如面积、体积、周长、半径等。既不需要初始分割步骤也不需
连通分量上的点归为一类，最终得到原顶点集的一个分类集
合，即商集。将商集中的点根据原有模型点间的邻接关系连接起来，就得到原有模型的一个骨架。骨架图法即首先计算出Ｊ模型的骨架节点，然后通过各节点构造出相应的骨架图，通过中轴线更简洁地再现三维几何的形状及拓扑变化，是一个有向这
库，通过接口给服务器发送一个三维请求，系统接收查询模型，并与所有相似模型的特征值比较。离线部分提取模型特征并计算三维模型的形状索引以及相似度。其中特征提取和相似性匹配是决定检索结果的重要步骤。
使得三维模型的创建过程变得越来越容易，产生了越来越多的ｊ模型库，维为用户实现资源共享提供了更多的便利条件，时同涉及到的领域也越来越广，比如工业设计、虚拟现实、ＡＣＤ应用、计算机视觉、游戏产业和医疗等… ，具有广阔的应用前景。其中有专门针对特定领域的数据库：国国家癌症研究所建立美的ＮＩＩ３ＣＳＤ模型库，Ｄ此模型库拥有４０００个模型；国００美ＭＤＬ信息系统有限公司的化学品三维结构ＡＤ３ＭＤＣ一ＤＬ模型库Ｊ此数据库拥有３０００个模型；常用的是美国普林斯顿，００最大学建立的三维模型数据库（Ｓ），数据库拥有６０ＰＢ此０００个模型，是通用模型库。针对这种三维模型数量迅速增加的现象，

三维模型检索中的特征提取方法

桴圣佰思乏
三维模型楦索巾的特征提取方法
海南大学信息科学技术学院潘萍
［摘要］三维模型检索的关键问题是如何有效地提取三维模型的特征。本文在查阅了国内外大量有关三维模型检索文献的基础上，对三维模型的特征提取方法进行了研究，总结了当前存在的特征提取算法，并对其进行了分析与比较。［关键词］三维模型检索特征提取
系进行归一化预处理，因此该算法对三维模型网格细分和网格简化的鲁棒性较差。此外，由于互联网多数三维模型通常是退化或松散的多边形集合，以应用这种方法有很大的局限性。所另一种函数分析方法是球面调和分析，算法也被称为单位球面该上的二维傅立叶分析，其算法思想是：先建立球面函数，然后对球面函数进行快速球面调和变换。Ｖａｉ首先将球面调和分析引入到三维模ｒｃｎ型特征提取领域，出了旋转相关特征描述符。Ｋｚｄｎ改进了该方提ａｈａ法，其与旋转无关，使具体过程如下：先将三维模型体素化为６首４Ｘ４６６ × 个体单元，整模型位置使其重心位于网格中心，４调以确保体素模型后有一个半径为３２的外包围球刚好覆盖该模型。以网格的中心为球心，使用半径分别为１２ … ，２同心球将网格分解成３个球面函，，３的２数，然后对每个球面函数进行球面调和变换，将其分解成１个频率由６低到高的球面调和函数的和。由于相对于旋转，球面调和函数其Ｌ范２数并没有改变，因此对每个球面函数定义１个球面调和函数的Ｌ范６２数，以此组成三维模型的３ ×１特征向量矩阵。矩阵元素（，值表示２６ｉｊ）球面调和函数的Ｌ范数，中ｉ２其表示半径为ｉ的球面函数，表示第ｊｊ个球面调和函数。两个模型相似度计算较简单，直接利用欧几里德距离。此算法的一个显著的优点是不用进行三维模型预处理就能具有很好的匹配性能。但是，该算法的使用有一个前提：三维模型中不能有洞且不能有悬垂的部分，这也是球面调和分析算法使用范围的一个限制。此外，小波变换也被用来描述三维模型的特征，小波分析在图像等领域具有广泛的应用，它是傅立叶变换的一个扩展，也是一种多尺度的函数分析，它适用于分层表示及比较，具有良好的时间和空间分辨并率。在三维模型检索领域中，ａｕｔＰｑｅ等使用了小波变换进行三维模型的几何特征提取。但由于这一特征提取算法没有进行规则的采样信号，而是从频域角度分析三维模型，因此三维模型特征提取之前的预处理过程会比较复杂，并且对三维模型的噪声、旋转变换和网格简化细分的鲁棒性较差，此外，由于三维模型的表示方法不统一，也增加了将这小波变换应用到三维模型检索的难度。

一种三维模型特征提取与压缩算法

第２卷第３９期２年９０１０月
成都大学学报（自然科学版）ＪｕｎｌｆｈｎｄｎｖｒｉｙＮｔｒｌｃｅｃｄｔｏ）ｏｒａｅｇｕｉｅｓｔ（ｕａＳｉｎｅｉｉｎｏＣＵａＥ
Ｖ＿１２９ｏ．ＮＯ．３Ｓｅｐ．２０１０
对于三维模型检索，征提取是整个检索系统特最主要和关键的问题．常，特征提取有两个基本通对要求：一个是提取的特征要足够区分各个三维模型，
要实现三维模型的检索，首先要把模型进行参数化处理，而参数化的三维模型必然要用到很多变量参数来表示．变量太多，会增加分析问题的难度与复杂性，增加计算的工作量，从而使检索的速度
文章编号：０４— ４２２１）３— ２５一４１０５２（００００４ｏ
一
种三维模型特征提取与压缩算法
刘作军
（阴工学院计算机工程学院，苏淮安淮江２３０）２０３
摘
要：特征提取是三维模型检索最主要的问题，提取的特征决定检索系统的性能和效率，如何对提取的特征
量所反映的信息．这样做既节省存储和后续计算索的性能．本文采用主元分析方法实现该功能，主元分析
是把原来多个变量转化为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度看是一种降维处理技
术．
征提取和压缩算法，该算法能同时确保三维模型检索的性能和速度．

3D模型重建中成型特征识别与参数提取技术

小鱼 ” 。
征识别能力，提出基于分类规则的特征识别算法。该算法针对等厚拉伸体，把特征的相互作用分为两
类５种，采用分治策略识别相交的特征。虽然能并
够识别圆柱面相互作用的特征，限制相交的特征但必须是拉伸方向相同。Ｓｈｙａａ等将基于图的方法引入二维视图的特征识别，特征定义为具有特定把几何属性的边集构成的子图。该算法只针对旋转体的轮廓线进行处理。张建勋等提出基于神经网络的特征识别方法，该算法准确率高、容错率好，但难点在于如何有效地将几何模型信息映射到神经网络的线性输人中。目前各种特征识别技术和方法都有自身的局限
ｔｅｍｉｍｕｒｖｌｉｇａｇｅ，ａｔｈｄｗｉｈｔｅｐｅｅｎｄｆａｕｅ．ｏｈｔｎａｄｆａｕｅ，ｉｃｎｈｎｉｍｅｏｖｎｎｌｎｄｍａｃｅｔｈｒｄｆｅｅｔｒＦｒｔｅｓａｄｒｅｔｒｉｔａｂｅｒｃｇｉｅｔｈｎｏｉｇｍｅｈｄ．ｈｅｈａａｔｒｆｆｒｎｅｔｒｉｈｈｖｅｎｒｃｇｅｏｎｚｄｗｉｈｔｅｅｃｄｎｔｏＴｎｔｅｐｒｍｅｅｓｏｏｍｉｇｆａｕｅｗｈｃａｅｂｅｅｏ — ｎｚｄｗｅｅｅｔａｔｄｆｏｄｍｅｓｏｒｉｇａｄｔｅ３Ｄｄｌｏｒｉｇｆａｕｅｃｎｂｅｒｃｎｔｕｔｄ．ｉｅｒｘｒｃｅｍｉｎｉｎｍａｋｎｓ，ｎｈｍｏｅｆｆｍｎｅｔｒａｅｏｓｒｃｅｒｏＦｎｌｙ，ａｐｏｏｙｙｔｍｓｄｖｌｐｄａｄｔｅｍｅｈｄｗａｅｉｅｉａｌｒｔｔｐｅｓｓｅｗａｅｅｏｅｎｈｔｏｓｖｒｆｄ．ｉＫｅｒｙｗｏｄｓ：ｒｉｇｆａｕｅ；ｐｏｅｓｍｏｅｅｏｓｒｃｉｎ；ｅｔｒｅｏｎｔｎ；ｒｍｅｅｘｒｅＦｏｎｅｔｒ３ｍＤｒｃｓｄｌｒｃｎｔｕｔｏＦａｕｅｒｃｇｉｏＰａａｔｒｅｔａ — ｉ

三维人脸特征提取方法

SW：总类内离散度矩阵

2、当采用主成分分析方法提取人脸特征时，人脸图像的局部特征往往反映了人脸的内在特性，对分类具有重要作用，但是主成分分析是对人脸图像特性的一种整体统计方法，图像中的像素占有了同等的地位，对于人脸特征如嘴巴，鼻子，眼睛等特征没有强调其重要性。 3、PCA方法是一种离线计算方法，训练库中添加新的训练样本，要重新计算特征向量，花费时间长。
两大优点

1、消除了模式样本的相关性 2、实现了样本的以所有样本的最优重建为目的，并没有利用样本之间的类别信息，因此就分类角度而言，PCA提取的特征不一定对分类有益。（fisher线性判别是以样本的最优可分为目标的监督子空间方法）
W0
1 Sw (m1 m2 ) 1 Sw (m1 m2 )

思路：寻找正交矩阵A使得A对x的变换得到的y的协方差矩阵Cy为对角矩阵
设x为n维的粗特征 y为m维的经加工后的特征则线性变换的关系为：y=Ax
K-L变换
由λ的N阶多项式|λI-Cx|=0，求矩阵Cx的特征值 λ0, λ1, …, λN-1 求矩阵Cx的N个特征向量A0, A1, …, AN-1 （CxAi=λi Ai, i=0, 1, …, N-1）将A0, A1, …, AN-1归一化，即令<Ai, Ai>=1, i=0,1,… N-1 由归一化的向量A0, A1, …, AN-1构成正交矩阵A，即A=[A0, A1, …, AN-1]T 由y=Ax实现对信号x的K-L变换，此时y的协方差矩阵Cy为对角阵
主成分分析法
c00 c01 c c11 10 Cx E x x x x T cN 10 cN 11 c0 N 1 c1N 1 cN 1N 1

三维模型检索中若干特征提取方法的研究与应用

Abstract
With the development of 3D model acquisition, modeling methods, and hardware technology, 3D models are more and more widely used in many areas. Not only increasing number of 3D models are produced, did the quantity and scale of 3D model databases. Since constructing a new 3D model is a time-expending task as well as a energy-consuming job, it becomes more and more important to reuse the existing 3D models. In order to fully make use of the existing model resources, and find the models that one needs accurately and efficiently, the research on building the 3D model search engine is an urgent issue. A complete 3D model retrieval system typically includes feature extraction, similarity matching, index structure, and query interface. Among them, feature extraction is the most important for the 3D model retrieval. Hence 3D model feature extraction is the key technology in 3D model retrieval, and it is also the focus of this paper. The main job of this paper is to research and implement the technology of 3D model feature extraction, the innovation is that it proposes and implements three new methods of feature extraction: 1. The first method proposed in this paper is a 3D model geometric shape matching based on 2D projective point sets. It is different from the method of Min which compared the 3D shapes based on 2D contour map, also different from the means of Loffer which used the technology of of 2D image retrieval. This method compares the 3D shapes by measuring the statistical characteristic of 2D projective point sets, and it has low complexity. It is the first innovation of this paper. 2. Make use of multi-feature weighted distance to match the 3D models. Combine two characteristics, which is: the boundary feature of 2D projective point sets the former method had extracted, and the vertex density of triangle mesh of 3D models. The technology of the multi-feature weighted distance combining 2D boundary feature with 3D vertex density is the second innovation of this paper. 3. Introduce the curvature of discrete points into the 3D models matching. Extract the boundary conture of 2D projective point sets, compute the feature which is the product of the two: the curvature of discrete points on the boundary conture, and the distance between these points and

三维重建中特征点提取算法的研究与实现

（京航空航天大学机械工程及自动化学院，北京１０８）北００３
摘
一
要：利用特征点提取和匹配重建三维模型是基于图像的三维重建的关键技术之
，
其中特征点的提取是一个主要难题。在比较常用的提取方法后，着重研究了ＨＲＩＡＲＳ
算子并做出一定改进。采用灰度平均平方梯度矩阵的特征值作为角点响应函数，通过图像目标灰度和背景灰度的比较，得到一个自适应的角点响应阈值条件，从而提高了角点响应的适应性和精确性。此外，还提出提取图像边缘轮廓的幅度数据，基于此数据再进行角点检测的
ｉＤｃｎｔｕｔｏｎ３Ｒｅｏｓｒｃｉｎ
ＷＡＮＧ — ｉＦｕｘｎ，ＨＵＡＮＧ — ｕＭＥＮＧｉＷＡＹｕｙ，Ｃａ，ＮＧａｍｉｏＴｉｎ— ａ
（ｃｏｌｆｃａｉｌｎｉｅｒｇａｄｔｍａｏ，ｉｎｉｅｉｆｅｏａｔｓｎｓｏａｔｇｅｎｏｔｎＢｅｉｇｖｒｔｏＡｒｎｕｉｄＡｔｎｕｉ，ｅｉ００３ＣｉａｏａＥｎｉｎＡｕｉｊＵｎｓｙｃａｒｃｊｎ
方法，得到了更为满意的结果。
关
键
词：计算机应用；图像处理；特征点提取；Ｈｒｓａｉ算子ｒ
文章编号：１０ —１８２０）３０９ —６０３０５（０７０ —０１０
中图分类号：Ｔ９Ｐ３１文献标识码：Ａ
ＲｅｅｒｈｎｄａｉａｉｎｏｈｅＦｅｔｒｉｔａｔｏｇｒｔｓａｃａＲｅｌｚｔｏｆｔａｕｅＰｏｎｔＥｘｒｃｉｎＡｌｏｉｈｍ

3d-harris提取特征点

3d-harris提取特征点
3D-Harris特征点是一种在三维图像中提取特征的算法，它可以用于目标检测、定位和跟踪等应用。

与传统的Harris角点检测算法相比，3D-Harris特征点可以在三维空间中对物体的表面进行描述和匹配。

3D-Harris特征点提取算法基于图像的局部特征，通过计算每个像素点的Harris响应函数来判断其是否为特征点。

具体来说，它通过计算像素点在三个方向上的梯度，然后利用这些梯度信息来计算Harris矩阵，再通过计算矩阵的特征值来判断该点是否为特征点。

在计算Harris矩阵时，3D-Harris特征点算法考虑了像素点在三个方向上的梯度变化，这使得它在三维空间中能够更好地描述物体的表面特征。

通过计算Harris矩阵的特征值，我们可以得到每个像素点的响应值，从而判断其是否为特征点。

与传统的Harris角点检测算法相比，3D-Harris特征点算法具有以下优点：
1. 在三维空间中提取特征点，可以更好地描述物体的表面特征，从而提高目标检测和跟踪的准确性。

2. 通过考虑像素点在三个方向上的梯度变化，3D-Harris特征点算法可以更好地适应不同物体的形状和表面特征。

3. 由于3D-Harris特征点算法可以在三维空间中提取特征点，因此它可以应用于三维重建和三维模型匹配等领域。

3D-Harris特征点是一种在三维空间中提取特征的算法，它通过计算像素点的Harris响应函数来判断其是否为特征点。

与传统的Harris 角点检测算法相比，3D-Harris特征点算法具有更好的描述能力和适应性。

它可以应用于目标检测、定位和跟踪等领域，为三维图像处理提供了一种有效的方法。

三维几何模型分割和对齐算法

三维几何模型分割和对齐算法三维几何模型分割和对齐算法是在三维计算机视觉领域中的一种重要技术，主要用于处理三维模型的分割和对齐任务。

三维模型分割是将一个三维模型划分成多个部分或物体的过程，而三维模型对齐是将多个三维模型以一定的准则对齐到同一个坐标系中的过程。

本文将详细介绍三维几何模型分割和对齐算法的原理、方法以及在实际应用中的一些应用案例。

一、三维几何模型分割算法1.数据预处理：对三维模型进行预处理，包括去噪、平滑等操作，以减少后续算法的误差和噪声。

2.特征提取：从三维模型中提取出特征信息，如曲率、法向量等。

这些特征信息对于分割算法非常关键，可以用来判断分割边界和区域。

3.区域生长：根据预定义的条件和阈值，从特征点开始，逐步生长出一个个区域。

区域的生长过程可以基于邻域信息，也可以基于一定的几何约束。

4.分割验证：对生长出的区域进行验证，剔除不符合条件的区域。

这一步骤通常需要根据应用场景和模型特点进行适当的调整。

5.后处理：对分割结果进行平滑处理，修复边界，减少噪声。

这一步骤可以使用一些图像处理或曲面重建的技术。

二、三维几何模型对齐算法1.数据预处理：对多个三维模型进行预处理，包括去噪、平滑等操作，以减少后续算法的误差和噪声。

2.特征提取：从每个三维模型中提取出特征信息，如特征点、特征曲线等。

这些特征信息对于对齐算法非常关键，可以用来匹配和对齐不同模型之间的相同部分。

3.特征匹配：将特征信息进行匹配，找到多个模型之间的对应关系。

匹配可以基于特征点、特征曲线等信息进行。

4.刚体变换：根据特征匹配的结果，计算出刚体变换矩阵，将不同模型对齐到同一个坐标系中。

5.优化调整：对刚体变换进行优化调整，以进一步提高对齐的准确性。

这一步可以使用一些优化算法，如最小二乘法等。

三维几何模型对齐算法在许多领域都有广泛应用，如三维建模、医学图像处理、机器人导航等。

例如，在机器人导航中，对齐算法可以将多个传感器采集到的三维地图对齐到同一个坐标系中，以提供一致的地图信息，便于机器人进行导航和路径规划。

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3.2 光线投射算法

( i, j), i (i 0.5) , j ( j 0.5) 2 , i, j 0,1,2,, N 1
N
N
对于每条向外发射的射线，记录它与三维模型表面的最远交点与模型重心之间的距离，这样就可以离散地给出一个球面函数的定义，采样点定义在切比雪夫节点的位置，因此可以直接利用球面调和变换的方法抽取一组旋转不变量。
综合实验及可视化实验平台
3. 三维模型特征提取算法
3.1 球面调和变换算法 3.2 光线投射算法 3.3 小波变换算法
3.1 球面调和变换算法[12]
将S2Kit从UNIX工作站上向Windows平台上移植，把相应的动态链接库同开发环境结合起来。
[12] 刑玉辉,几种重要的 2006年6月.
缺陷：对于较为复杂的三维模型，每条射线可能与模型表面有多个交点，因此只考虑最远交点也会丢失很多几何信息
3.2 光线投射算法
D. V. Vranic在文献[16]中提出了改进的光线投射算法：
[16] D. V. Vranic, “An improvement of rotation invariant 3D shape descriptor based on functions on concentric spheres,” Proc. Int. Conf. on Image Processing, 2003, volume 3, pp. 757–760.
内容提要
1. 本课题的主要工作和创新点 2. 本课题研究内容 3. 三维模型特征提取方法 4. 小波加速计算过程 5. 综合实验演示 6. 参考文献 7. 致谢
1. 本课题的主要工作及创新点
1.1 主要工作
分析了光线投射算法的缺陷，提出了基于三维小波变换的光线投射算法。
将小波变换引入到体素表示的三维模型中，分别实现了表面体素小波变换和实体体素小波变换。
[15]G. Burel, H. Henocq, Three-dimensional invariants and their application to object recognition, Signal Processing, 1995, 45(1), pp. 1-22. [16] D. V. Vranic, An improvement of rotation invariant 3D shape descriptor based on functions on concentric spheres, Proc. Int. Conf. on Image Processing, 2003, volume 3, pp. 757–760.
3.2 光线投射算法

G. Burel等在文献[15]中提出了光线投射方法。光线投射算法沿等经度，
等纬度方向从模型重心发射出一组射线：
[15] G. Burel, H. Henocq, “Three-dimensional invariants and their application to object recognition,” Signal Processing, 1995, 45(1), pp. 1-22.
采用了L2和L1两种相似性度量方式进行匹配。实现了进行特征评价的可视化实验平台。
1.2 创新点
本文提出的小波变换特征提取方法，部分解决了文献[15]存在的球函数定义二义性问题，在一定程度上解决了文献[16]存在的球函数定义的不稳定性。
本文提出的方法与文献[15]和文献[16]相比，在查全率、查准率、ST、FT等方面有所提高，算法的复杂度由原来的O(B4)变为O(B3log(B))。
3.2 光线投射算法
算法的基本思想：以三维模型的重心为球心的最小包围球剖分成一系列同心球壳，落入每个球壳的射线与模型表面的交点定义一个球坐标方程。一般地，对于每条射线，它与模型表面的多个交点同时落入一个球壳的几率大大降低了，这样就可以尽可能的减少信息的丢失。对应每个球壳的方程的定义：如 ( ,) 方向的射线在该球壳内与模型表面无交点，则 f (,) 0 如有交点，则 f (,) 的值定义为落入该球壳内的最远交点与模型重心的距离。
2. 本课题研究的内容
三维模型的表示方法
➢ 三角网格法和体素法
相似性度量方式和评价
➢ L2和L1两种基于距离的度量方式 ➢ Precision-Recall 曲线和FT、ST
三维模型的规范化预处理
➢ 平移不变 ➢ 缩放不变 ➢ 旋转不变
三维模型特征提取算法
➢ 球面调和变换方法 ➢ 光线投射方法 ➢ 小波变换方法（包括三角网格、表面体素和实体体素）
3.1 球面调和变换算法
FST_semi_memo(rdata2，idata2, rcoeffs，icoeffs, size， seminaive_naive_table， workspace， 1， cutoff)；
rdata2和idata2两数组用来存储函数输入也就是球面函数在各方向的采样方向的实部和虚部值，对于本文的情况，输入的球面函数采样值均为实数，这样idata2输入为全等于0的数组首地址。rcoeffs和icoeffs两个数组用来存储函数的输出的实部和虚部值，size为截止频率即B，剩下两个参数为系统为了计算而开辟的一块内存间的指针，cutoff默认值为截止频率B 。
3.2 光线投射算法
上面两种方法都没有根本上解决球面函数定义的二义性问题，并且，改进的光线投射算法虽然减轻了出现二义性的几率，但同时带来了新的不稳定性。当引入的同心球面数增大时，三维模型的表面受到噪声因素影响，在不同的球面之间跳跃的几率也同样开始增大，如下图所示。
左图中红色的圆环代表一个球状三维模型的表面，我们可以看到，全部的模型表面均分布在最外层球面内。这样经过球面调和变换后，该模型所有的能量均包含在这层球面内，其它球面对应的能量为零。右图所示带有一个突起噪声的球状三维模型，可以看出，最外层球面内分布的模型表面只占很小一部分，绝大部分模型的表面分布在次外层球面内这样，经过球面调和变换后最外层球面只包含了很小一部分能量，模型的绝大部分能量