沪教版高中数学高二下册：12.1 曲线和方程-求动点的轨迹方程 课件(共15张PPT)

结合现代科技手段，如人工智能、大数据等，对 轨迹方程进行数据分析和挖掘，揭示隐藏的运动 规律和模式。
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05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。

y

0
是方程
x

2的解，但 点 2，0 不在直线上.
2 以原点为圆心，4为半径的圆的方程是y 16 x2
解：不是
不满足“曲线上的点的坐标都是方程的解”，
如点0, 4不满足方程.
例4 画出下列方程表示的图形：
(1) x y 0
(2)x2 y2 0
(3)x y 0
而 x1
,
y1
正是点
M
到纵轴、横轴的距离，
1
因此点M1到两条直线的距离的积 是常数k,
点M
是曲线上的点。
1
由(1),(2)可知，xy k是与两条坐标轴的距离。
的积为常数k(k 0)的点的轨迹方程。
归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
课外练习:
1“. 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f (x, y) =0 的解”
是“方程 f (x, y) =0 是曲线 C 的方程”的（C ）条
件.
(A)充分非必要
(B)必要非充分
(C)充要
(D)既非充分也非必要
2.△ABC 的顶点坐标分别为 A(4, 3) ， B(2, 1) ，
C(5, 7) ，则 AB 边上的中线的方程为__________ _3x 2 y 0(1≤ x ≤5) .
1
1
O
பைடு நூலகம்
1 X -1 O
1X O
-1 -1
1X
B
C
D
①表示 B ②表示 C ③表示 D
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足 方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上 的点.（本教材对该步不作要求）
五个步骤可概括为：建系；设点；写等式；列方程并化简；证明.
说明：一般情况下，若化简前后方程的解集是相同的， 步骤（5）可以省略不写；如有特殊情况，可适当予以 说明.
例2、 已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到 点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这 条曲线的方程.
y
OABMx
例 3、已知定点 A(4, 0) 和曲线 x2 y2 1上 的动点 B，求线段 AB 的中点 P 的轨迹方 程.（课本 P34 例 5）
●课堂小结 1、明确解析法研究的两个基本问题； 2、掌握求曲线的方程的一般步骤.
3、明确建立适当的坐标系是求曲线方程 的基础；同时，根据曲线上的点适合的条 件列出等式，是求曲线方程的关键，在这 里常用到一些基本公式，如两点间距离公 式，点到直线的距离公式，直线的斜率公 式等。
说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.
例1、 求与两条互相垂直的直线的距离的积 是常数k(k>0)的点的轨迹方程.
y
Xy= k
M (x, y) R
OQ
x
求曲线（图形）的方程的一般步骤是： （1）建立适当的直角坐标系；
（2）设曲线C上任意一点M的坐标为（x,y）； （3）根据曲线C上点M适合条件，写出等式； （4）用坐标（x,y）表示这个等式（方程），并化简；
二、新课 1．解析几何与坐标法： 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫 解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何 问题的一门数学学科.
2．平面解析几何研究的两个基本问题： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质.

(1)曲线 C 为过 (1,1) , (1,1) 的折线，方程是
(x y)(x y) 0. y
y
1
1
1
o1 x
1
o1 x
第(1)题图
第(2)题图
(2)曲线 C 是顶点在原点、开口向上的抛物线，
方程是 x y 0.
例2. 证明：圆心为坐标原点，半径等于 5 的圆的
方程是 x2 y2 25.
x
y
1 1
o1 x
1
在平面直角坐标系下，
曲线 C
点的坐标 (x, y)
方程 F (x, y) 0
解 (x, y)
问题2：下述方程分别表示的是哪个曲线？为 什么？以方程(2)的解为坐标的点不都在图(2)曲线上.
(1) x y 0 (2) | x | | y | 0 (3) x | y | 0
点 P(x0 , y0 ) 在曲线上 F (x0 , y0 ) 0.
课堂练习：
1. 已知两点 A(1, 2) 和 B(3, 4) ， 求证：线段 AB 的垂直平分线 l 的方程是 x y 5 0.
课堂练习答案 1.
课堂小结：
1、通过学习，你觉得点、坐标、曲线、曲线的
方程之间存在着怎样的联系？谈谈你的认识.
•通过直角坐标系，点与坐标一一对应； •曲线是按照某种规律运动的点的轨迹.这个规律反映在“形” 上就是点的轨迹——曲线，反映在“数”上就是点的坐标 所满足的等量关系——方程. • “曲线C”上的点与“方程F(x，y)=0”的解应该满足一一对 应的关系，“曲线C”才是“方程F(x，y)=0”的曲线，“方 程F(x，y)=0”才是“曲线C”的方程.这种一一对应关系就是： •①曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)=0的解； •②以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.

练 习
y2 a2
x2 b2
1(a 0,b 0)
2a | (2 0)2 5 (6)2 (2 0)2 (5 6)2 |
a 2 5
b2 c2 a2 62 (2 5)2 16 双曲线的标准方程为y2 x2 1
20 16
4 5
四
1. 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动点P， PF1－PF2= 6，求点P的轨迹方程。
六
我们知道，平面内与
两个定点F1，F2的距离的
拓 差的绝对值等于常数（小
展 于F1F2的正数)的点的轨 深 迹叫做双曲线。
M
F1 o F2
化
试分别讨论当常数等于F1F2和大于F1F2时
点的轨迹。
当2a = 2c时,点M的轨迹是两条射线；
F1
F2 M
当2a> 2c时,点M的轨迹不存在。
点在y轴上。
x2 (3)
y2
1
9 16
F1(5,0)， F2(-5,0)
y2 x2 (4) 1
16 9
F1(0,5)， F2(0,-5)
把双曲线方程化成标 准情势后，
x2项的系数为正，焦 点在x轴上；
y2项的系数为正，焦 点在y轴上。
三 2.写出合适下列条件的双曲线的标准方程：
基
(1)c 5,b 3, 焦点在x轴上；
A.1 B.－1 C. 65 D.－ 65
3
3
五
定义 | MF1-MF2 | =2a（０ < 2a<F1F2）
y
y
归
M
M
纳 图象
F2
小
F1 o F2 x
x
结
F1

8
x= —5
8
y=2
练习2：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x
（2）准线方程 是x =
1 4
；
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
小结：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图像的 对应关系以及判断方法
二.标准方程:
方程 y2 = 2px（p＞0）、 y2 = -2px（p＞0）、 x2 = 2py（p＞0）、 x2 = -2py（p＞0）
都是抛物线的标准方程
其中 p 为正常数，它的几何意义是: 焦点到准线的距离
想一想:
根据上表中抛物线的标准方程的不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程对应 关系，如何判断抛物线的焦点位置，开 口方向？
抛 物线的焦点在 x轴的正半
轴则 上 ：F(焦 p,0)； 点准 x 线 p
2
2
2、一条抛物线，由于它在坐标平面内的位
置不同，方程也不同，所以抛物线的标准
方程还有其它形式.
图形
﹒y
ox
﹒y ox ﹒y ox
焦点
﹒y o x
准线
标准方程
x 2 2 py ( p 0) x 2 2 py ( p 0)
2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程
3、求标准方程 （1）用定义 （2）用待定系数法
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知， 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服 表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微 存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以 定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是 而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做 让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚 并把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志 类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶 的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。 灾难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的， 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。

(2)若焦点在y轴上,双曲线的标准方程为 4
焦点的坐标为：(0,-3),(0,3)
y2 5 =1
x2 5 =1
设F1(-3,0),F2(3,0),动点M到F1的距离减去M到 F2的距离之差为常数4，写出动点M的轨迹方程
解： ∵ /MF1/ － /MF2/ ＝4
（动点M的轨迹是双曲线的右支）
∴2a=4 ∴a=2
［思考］
平面上两定点F1F2相距2c，动点M到F1F2的距离之 差的绝对值为常数2a，则动点M的轨迹一定是双曲线 吗解？：不一定。
当2a<2c(即a<c)时，动点M的轨迹是双曲线
当2a=2c(即a=c)时，动点M的轨迹是两条射线 （即直线F1F2，除去F1F2 之间的部分） 当2a>2c(即a>c)时，动点M的轨迹不存在
x2
=1
a2
b2
（三）应用
1、例题 2、课堂练习
例题
已知：双曲线的焦距为６，双曲线上的点到 两个焦点的距离之差的绝对值为４。
求： 双曲线的标准方程及焦点的坐标
解： ∵2c=6 ∴c=3 ∵2a=4 ∴a=2
∴b2=c2－a2=9－4=5
∴(1)若焦点在x轴上,双曲线的标准方程为 x2 4
焦点的坐标为：(-3,0),(3,0) y2
双曲线与它的标准方程
（一）双曲线的定义 （二）双曲线的标准方程 （三）应用 （四）小结 （五）作业
（一）双曲线的定义
平面上到两个定点F1和F2的距离之 差的绝对值等于常数2a（2a</F1F2/） 的点的轨迹，叫做双曲线。
（1）双曲线的焦点：两个定点F1和F2 （2）焦距：两个焦点的距离/F1F2/(设/F1F2/=2c)
16 9 =1

以是相同的，另外，在建立曲线的参 数参数时，要注明参数及参数的取值 范围。
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点， Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O 作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
y P
o
M QxΒιβλιοθήκη 高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
角函数的定义有：
cos t
x r
, sin t
y r
即
x y
r cos t(t为参数 r sin t
)
这就是圆心在原点 O，半径为 r的圆的参数方
程。其中参数 t有明确的物理意义 (质点作匀
速圆周运动的时刻 )
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
考虑到＝t，也可以取为参数，于是有
x y
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
y
o
2
2
x
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
例4、求椭圆x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t,t为参数
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
小节：
1、参数方程的概念 2、能够解决一些简单的参数方程 3、圆的参数方程的表达式 4、将参数方程化为普通方程的方法 5、将普通方程化为参数方程的方法
求它与曲 xy线 22csions(为参)的 数交点。
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
解：参数方程xy
1 t(t为参数)的普通方程为 1t
x y20
曲线xy
2cos 2sin
(为参数)的普通方程为x2

观 察 下 列 直 线 和 方 程 ，曲 线 上 的 点 的 坐 标 是 否 都 是 方 程 的 解 ？ 以 方 程的 解 为 坐 标 的 点 是 否 都在 曲 线上？
1. 方程：x y 1 0
y B(0,1)
曲线：
A(1,0) o
x
（线段AB,A(-1,0),B(0,1)）
观 察 下 列 直 线 和 方 程 ，曲 线 上 的 点 的 坐 标 是 否 都 是 方 程 的 解 ？ 以 方 程的 解 为 坐 标 的 点 是 否 都在 曲 线上？
课后思考
如 何 求 到 点A(1，1)的 距 离 等 于 到x轴 的 距 离 的 动 点 的 轨 迹 方 程.
类 比 直 线 和 方 程 的 关 系， 观 察 下 列 曲 线 和 方 程中 ， 曲 线 上 的 点 的 坐 标 与 方程 的 解 之 间 有 怎 样 的 联系 ？
1. 方 程 ：x2 y2 1
例3. 求证：以点 A(1，0)为圆心，半径 为1的圆的方程是x2 y2 2x 0.
练 习: 1. 若点P(1，a )在曲线x2 2xy 5y 0, 则a ________
练 习: 2. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画出 方 程
y x 所 表 示 的 曲 线.
练 习: 3. 到直线x 3的距离等于2 的点所组成的
12.1(1)曲线和方程
复习回顾 直 线l经 过 点A(1,0)和B(0，1),写 出 直 线l 的 方 程.
y
x y 1 0
1
-1 o
x
直线l
二元一次方程： ax by c 0 ( a, b 不同时为零）
直线l 上所有点的坐标都是方程 ax by c 0 的解，以方程ax by c 0 的解为坐标的点都在直线 l 上。 把方程ax by c 0 叫做直线l 的方 程，直线l叫做方程ax by c 0的直线。