《 2018 年高考数学分类汇编》
第十四篇：不等式选讲解答题
1.【2018 全国一卷23】已知 f (x) | x 1| | ax 1| .
（ 1）当a1时，求不等式 f ( x) 1 的解集；
（ 2）若x(0,1)时不等式 f ( x) x 成立，求a的取值范围.
2.【2018 全国二卷23】设函数f (x)5| x a || x
2 | ．
（1）当a 1时，求不等式 f ( x) 0 的解集；
（2）若 f (x) 1 ，求a
的取值范围．
3.【2018 全国三卷23】设函数 f x2x 1 x 1 ．
（ 1）画出y f x 的图像；
（ 2）当x∈0，，f x ≤ ax b ，求a b 的最小值．
4.【2018 江苏卷 21D】若 x， y， z 为实数，且x+2y+2z=6，求 x2y2z2的最小值．
参考答案
解答题
2, x1,
1.解：（1）当a 1 时， f ( x)| x1|| x 1| ，即 f (x)2x, 1 x1,
2, x 1.
故不等式 f (x)1的解集为 { x | x 1
} ．2
（ 2）当x (0,1)时| x 1|| ax1|x 成立等价于当 x(0,1) 时 | ax1| 1 成立．若 a 0 ，则当 x (0,1) 时 | ax 1| 1 ；
若 a
0 ， | ax 1| 1 的解集为 0 x
2 2 ，所以
1 ，故 0 a
2 ．
a
a
综上， a 的取值范围为 (0, 2] ．
2x 4, x
1,
2.
解： （ ）当 a 1 时， f ( x)2, 1 x
2,
1
2x 6, x 2.
可得 f ( x) 0 的解集为 { x | 2 x 3} ．
（ 2） f (x)
1等价于 | x a | | x 2 | 4 ．
而 | x a | | x 2 | | a 2 | ，且当 x
2 时等号成立．故 f ( x) 1 等价于 | a 2| 4 ．
由 | a 2 | 4 可得 a
6 或 a 2 ，所以 a 的取值范围是 (
, 6] [2, ) ．
3x, x
1
,
2
3.解：（ 1） f (x)x 2,
1
y f (x)
的图像如图所示．
x 1,
2 3x, x
1.
（ 2）由（ 1）知， y f ( x) 的图像与y
轴交点的纵坐标为 2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 3 ，故
当且仅当 a3且 b2时， f (x) ax b 在 [0,) 成立，因此 a b 的最小值为 5 ．4.证明：由柯西不等式，得( x2y2z2 )(122222 )(x 2y 2 z) 2．
因为 x 2 y 2 z=6 ，所以 x2y2z2 4 ，
当且仅当x
y
z 时，不等式取等号，此时x2， y4， z 4 ，122333
222
的最小值为 4．所以 x y z
