人教版高二数学必修二3.2.1《直线的点斜式方程》导学案设计(无答案)

3.2.1直线的点斜式方程1、知识与技能：（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

2、过程与方法：在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素----直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

3、情感态度与价值观:通过让体会直线的斜截式方程，进一步培养数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

1、重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

2、难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

1．直线倾斜角的概念2. 如何求直线的斜率问题1.在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？问题2.（1）若直线l 经过点),(000y x P ，),(111y x P （21x x ），请在平面直角坐标系中画出直线并写出直线的斜率k 。

（2）若直线l 图像如上所画且直线l 经过定点),(000y x P ，异于0P 的动点),(y x P ，且直线的斜率为k ，请写出k 与y x y x 、、、00之间的关系式（该关系式为方程（1）。

问题3.（1）过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程（1）吗？ （2）坐标满足方程（1）的点都在经过),(000y x P ，斜率为k 的直线l 上吗？问题4.直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？问题5.（1）x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？（2）经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是什么？ （3）经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是什么？问题7.已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，求直线l 的方程。

问题8.观察方程b kx y +=，它的形式具有什么特点？例1：直线l 经过点()2,3-p ，且倾斜角为045=α，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l .变式1：写出下列直线的点斜式方程（1）经过点）（2,3-，斜率为2. （2）经过点）（2,3-，倾斜角为030.（3）经过点）（2,3-，倾斜角为0120.变式2：求满足下列条件的直线方程.（1）经过点）（2,3-，倾斜角为00. （2）经过点）（2,3-，倾斜角为090.题型二：已知直线的方程求直线的斜率和倾斜角例2：请填空（1） 已知直线的点斜式方程式12-=-x y ，那么直线的斜率是_____ ，倾斜角是_____.（2） 已知直线的点斜式方程式)1(32+=+x y ，那么直线的斜率是_________，倾斜角是________.题型三：求斜截式方程例3：把下列直线的点斜式方程化为直线的斜截式方程（1）)3(21-=+x y （2）)3(331-=+x y （3）)3(31--=+x y （4）01=+y总结：1．已知直线的方程式12--=+x y ，则（ ）A .直线经过点)2,1(--，斜率为1-；B .直线经过点)1,2(-，斜率为1-；C .直线经过点)1,2(--，斜率为1；D .直线经过点)2,1(-，斜率为-1；2．斜率为43-，在y 轴上的截距是3的直线方程是（ ） )4(43.+-=x y A )4(43.--=x y B )3(43.+-=x y C )3(43.--=x y D 3．斜率与直线032=-y x 的斜率相等，且过点)3,4(-的直线方程为___________________.4.在y 轴上的截距为6，且与y 轴相交成045角的直线方程是___________________.5.求倾斜角是直线13+-=x y 倾斜角的41，且分别满足下列条件的直线方程。

章节
3.2.1 课题直线的点斜式方程教
学目标1.根据直线上一点与直线的斜率，探索直线的点斜式方程；
2.会推导直线的斜截式方程，并体会斜截式与一次函数的关系；
3.掌握直线的点斜式、斜截式方程的形式特点和适用范围；
4.能灵活选用直线的点斜式、斜截式求直线的方程.
教学重点直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

教学难点求直线的点斜式方程的方法。

【复习回顾】
1. 平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素是：(1) 一个点和；(2)两个点.
2.直线上任意一点的坐标(,)
x y满足的就是直线的方程。

课前预习案
【新知探究】
探究一、直线的点斜式方程的推导
问题1：经过点P0（x0,y0）且斜率k存在的直线l的方程如何推导？
y
x
O
P
P0
问题2：经过点P0（x0,y0）且斜率k不存在的直线l的方程是什么？
新知1：直线的点斜式方程是，它适用的前提是。

探究二、直线的斜截式方程的推导
问题3：与y轴交点为（0,b）且斜率k存在的直线l的方程如何推导？
l
y
x
O
·
·
P0。

l
y
x
O
·
·。

（0，b）。

3.2.1直线的点斜式方程课前自主预习知识点一直角坐标系内确定一条直线的几何要素(1)直线上的□1一点和直线的□2倾斜角(斜率)可以确定一条直线．(2)直线上□3两点也可以确定一条直线．知识点二直线的点斜式方程(1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线方程为□1y－y0＝k(x－x0)，称为直线的点斜式方程．(2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线方程为□2y＝y0，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线方程为□3x＝x0.知识点三直线的斜截式方程(1)斜率为k，且与y轴交于(0，b)点的直线方程为□1y＝kx＋b，称为直线的斜截式方程．(2)直线y＝kx＋b中k的几何意义是□2直线的斜率，b的几何意义是□3直线在y轴上的截距．1.关于点斜式的几点说明(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．2.斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝y 0.( )(2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．( )(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)(教材改编，P 95，T 1)过点P (－1,2)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程为________________________．(2)已知直线l ：y ＝2－3x ，直线l 的斜率是________，在y 轴上的截距为________．(3)(教材改编，P 95，T 1)斜率为2，过点A (0,3)的直线的斜截式方程为______________________．答案(1)y－2＝3(x＋1)(2)－32(3)y＝2x＋33.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A.直线经过点(－1,2)，斜率为－1B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1答案C课堂互动探究探究1求直线的点斜式方程例1写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线；(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到的直线l；(3)过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线．解(1)∵直线平行于y轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x＝－5.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1.由题意知，直线l与直线y＝x＋1垂直，所以直线l的斜率k′＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，∴直线方程为y－2＝2(x－1)．拓展提升直线的点斜式方程的适用范围已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，点斜式应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.【跟踪训练1】 写出下列直线的点斜式方程．(1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3；(2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行；(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点．解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)．(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＝－4.(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P (－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－(x ＋2).探究2 求直线的斜截式方程例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3.解 (1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y ＝2x ＋5.(2)由于倾斜角α＝150°，则斜率k ＝tan150°＝－33，由斜截式可得方程为y ＝－33x －2.(3)由于直线的倾斜角为60°，则其斜率k ＝tan60°＝ 3.由于直线与y 轴的交点到坐标原点的距离为3，则直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3，故所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.拓展提升直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断.【跟踪训练2】 (1)写出直线斜率为－1，在y 轴上截距为－2 的直线的斜截式方程；(2)求过点A (6，－4)，斜率为－43的直线的斜截式方程；(3)已知直线方程为2x ＋y －1＝0，求直线的斜率，在y 轴上的截距，以及与y 轴交点的坐标．解 利用直线的斜截式方程求解．(1)易知k ＝－1，b ＝－2，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y ＝－x －2.(2)由于直线斜率k ＝－43，且过点A (6，－4)，根据直线方程的点斜式得直线方程为y ＋4＝－43(x －6)，化为斜截式为y ＝－43x ＋4.(3)直线方程2x ＋y －1＝0，可化为y ＝－2x ＋1，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k ＝－2，截距b ＝1，直线与y 轴交点的坐标为(0,1).探究3 平行与垂直问题例3 (1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？解 (1)由题意可知，直线l 1的斜率k 1＝－1，直线l 2的斜率k 2＝a 2－2.∵l 1∥l 2，∴⎩⎨⎧ a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行．(2)由题意可知，直线l 1的斜率k 1＝2a －1，直线l 2的斜率k 2＝4.∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．[条件探究] 在本例(1)中将l 1改为y ＝－ax ＋2a ，又如何求a 值？解 由题意可知，直线l 1的斜率k 1＝－a ，直线l 2的斜率k 2＝a 2－2.∵l 1∥l 2，∴⎩⎨⎧ a 2－2＝－a ，2a ≠2，解得a ＝－2. ∴当a ＝－2时，直线l 1与l 2平行．拓展提升 (1)两条直线平行和垂直的判定已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，①若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，此时两直线与y 轴的交点不同，即b 1≠b 2；反之k 1＝k 2，且b 1≠b 2时，l 1∥l 2.所以有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2.②若l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1；反之k 1·k 2＝－1时，l 1⊥l 2.所以有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(2)若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b 1≠b 2这个条件．【跟踪训练3】 已知直线l 过点A (2，－3)．(1)若l 与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l ′平行，求其方程；(2)若l 与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l ′垂直，求其方程． 解 (1)由斜率公式得直线l ′的斜率k ′＝2－4－3－(－4)＝－2， ∵l 与l ′平行，∴直线l 的斜率k ＝－2.由直线的点斜式方程知y ＋3＝－2(x －2)，∴直线方程为2x ＋y －1＝0.(2)∵直线l ′的斜率为k ′＝－2，l 与其垂直，∴直线l 的斜率k ＝12.由直线的点斜式方程知l ：y ＋3＝12(x －2)，∴直线方程为x－2y－8＝0.1.求直线的点斜式方程的方法步骤2．判断两条直线位置关系的方法直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，则两直线相交．(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合．(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．课堂达标自测1.已知直线l过点P(－1,2)，倾斜角为45°，则直线l的方程为()A.x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C.x－y－3＝0 D．x－y＋3＝0答案D解析 由已知，可得直线l 的斜率k ＝tan45°＝1，又直线l 过点P (－1,2)，所以直线l 的方程为y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0.2.直线y ＝k (x ＋2)＋3必过一定点，该定点为( )A.(3,2) B ．(2,3) C ．(2，－3) D ．(－2,3)答案 D解析 直线方程可化为y －3＝k (x ＋2)，由直线的点斜式方程可知该直线斜率为k ，且过点(－2,3).3.倾斜角为120°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．答案 y ＝－3x －3解析 ∵所求直线的倾斜角为120°，∴它的斜率k ＝tan120°＝－3，又b ＝－3，∴它的斜截式方程为y ＝－3x －3.4.过点(－3,2)且与直线y －1＝23(x ＋5)平行的直线的点斜式方程是________．答案 y －2＝23(x ＋3)解析 所求直线与y －1＝23(x ＋5)平行，∴它的斜率为23，又过(－3,2)，∴它的点斜式方程为y －2＝23(x ＋3).5.已知直线y ＝－33x ＋5的倾斜角是直线l 的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l 的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在x轴上截距(直线与x轴交点的横坐标)为－2；(3)在y轴上截距为3.解直线y＝－33x＋5的斜率k＝tanα＝－33，∴α＝150°.故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝33.(1)过点P(3，－4)，由点斜式方程得y＋4＝33(x－3)，∴y＝33x－3－4.(2)在x轴上截距为－2，即直线l过点(－2,0)，由点斜式方程，得y－0＝33(x＋2)．∴y＝33x＋23 3.(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y＝33x＋3.课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1.已知直线方程y－3＝3(x－4)，则这条直线经过的定点，倾斜角分别为()A.(4,3)，60° B．(－3，－4)，30°C.(4,3)，30° D．(－4，－3)，60°答案A解析由直线的点斜式方程易知直线过点(4,3)，且斜率为3，所以倾斜角为60°.2.已知ab >0，bc >0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A.第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限答案 B解析 把直线ax ＋by ＝c 化为y ＝－a b x ＋cb ， ∵ab >0，bc >0，∴－a b <0，cb >0. 故直线通过第一、二、四象限. 3.下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为π2，则其方程为x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确的个数为( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ①中，k ＝y －2x ＋1表示的直线不过(－1,2)，而y －2＝k (x ＋1)过点(－1,2)，∴①不对．②，③均正确；④中，点斜式与斜截式方程只适用斜率存在的直线，∴④错．故选B.4.经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线是( )A.x ＝－1 B ．y ＝1C.y －1＝2(x ＋1) D ．y －1＝22(x ＋1)答案 C解析 ∵y ＝22x －2的斜率为22，∴所求直线的斜率为2，又过(－1,1)，∴其直线方程为y －1＝2(x ＋1).5.在同一直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2(k 1>k 2，b 1<b 2)的图象可能是( )答案 A解析 在选项B 、C 中，b 1>b 2，不合题意；在选项D 中，k 1<k 2，D 错，故选A.二、填空题6.已知直线l 1：y ＝2x ＋3a ，l 2：y ＝(a 2＋1)x ＋3，若l 1∥l 2，则a ＝________.答案 －1解析 因为l 1∥l 2，所以a 2＋1＝2，a 2＝1，所以a ＝±1.又两直线l 1与l 2不能重合，则3a ≠3，即a ≠1，故a ＝－1.7.若点A (－1,3)在直线l 上的射影为N (1，－1)，则直线l 的点斜式方程为________．答案 y ＋1＝12(x －1)解析 由题意可知直线AN ⊥l ，且直线l 过点N (1，－1)，又k AN ＝3－(－1)－1－1＝－2，所以直线l 的斜率为12，故直线l 的点斜式方程为y ＋1＝12(x －1).8.直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程为________．答案 y ＝－32x 或y ＝x －5解析 设直线方程为y －(－3)＝a (x －2)，显然a ≠0，令y ＝0，得x ＝3a ＋2；令x ＝0，得y ＝－2a －3.所以3a ＋2＋(－2a －3)＝0，解得a ＝1或a ＝－32.故所求直线方程为y ＋3＝x －2或y ＋3＝－32(x －2)，即y ＝x －5或y ＝－32x .三、解答题9.已知点A (1,2)和直线l ：y ＝－34x ＋54，求： (1)过点A 与直线l 平行的直线l 1的方程； (2)过点A 与直线l 垂直的直线l 2的方程． 解 (1)由y ＝－34x ＋54，得直线l 的斜率k ＝－34. ∵l ∥l 1，∴直线l 1的斜率k 1＝k ＝－34. ∴直线l 1的方程为y －2＝－34(x －1)， 即3x ＋4y －11＝0.(2)由y ＝－34x ＋54，得直线l 的斜率k ＝－34. ∵l ⊥l 2，∴k 2·k ＝－1，∴k 2＝43.∴直线l 2的方程为y －2＝43(x －1)， 即4x －3y ＋2＝0.B 级：能力提升练10.已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1. (1)求证：直线l 过定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．解 (1)证明：由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(－2,1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)．若－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎨⎧f (－3)≥0，f (3)≥0，即⎩⎨⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k的取值范围是－15≤k≤1.。

编号： gswhsxbx2----03-03文华高中高二数学必修 2§ 3.2 《直线的点斜式方程》导教案学习目标1．记着直线的点斜式方程、直线方程的斜截式是点斜式的特例。

2．能依据已知条件求直线方程3．点斜式，斜截式方程的合用范围。

要点难点1.商讨确立一条直线的条件并求出直线方程2.点斜式、斜截式方程的特点及合用范围感情态度与价值观由斜截式是点斜式的特例，培育学生思想的谨慎性和互相合作意识，形成谨慎的科学态度和求简的数学精神。

学习过程一．知识链接1.确立一条直线的条件有二．自主学习1.直线的点斜式方程形式是合用条件是（1）x轴所在直线的方程是（2） y 轴所在直线的方程是2.假如直线 l 的斜率为 k , 且与 y 轴的交点为(0, b) , 则直线 l 的方程为这就是直线的，简称，此中b 称为直线在y 轴上的.3. 已知直线l1 : y k1 x b1，直线l 2 : y k2 x b2，l1 // l 2的条件是,l1l 2的条件是三．合作研究1. 直线 l 经过点 P (-2,3),且倾斜角为450,求直线l的点斜式方程，并画出直线l2. 直线l1过点P( 2, 1) , 斜率为33，把 l1绕P点按顺时针方向旋转30 0获得 l 2，则（ 1）l1的点斜式方程为 ________________________, （2）l2的点斜式方程为 __________________________四．讲堂展现1. 已知直线 l 的斜率为3，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，4求直线 l 的方程 .2.已知直线 l 的斜率为3，在x轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1， 2求直线 l 的方程 .（每天一题）过点 ( 5, 4) 作向来线l，使它与两坐标轴所围成的三角形的面积为5，求直线 l 的方程本节课我最大的收获是：.我存在的迷惑有：文华高中高二数学必修 2《直线的点斜式方程》节节过关达标检测班级：组名：姓名：1. 直线l经过点（2，1），倾斜角为，且cos3，则直线l 的点斜式方程是2__________2. 将直线y 3( x 2) 绕点(2,0) 旋转 30 0所得的直线方程是________3.在 y 轴上的截距为 -6 ，且与 y 轴订交成450的直线方程是 __________________4.直线 y mx 2m 1恒过必定点,则此点是5. 直线l1: y x 2a 与直线 l 2 : y (a22) x 2 平行，则实数a_______6.求以下直线的斜截式方程 :（1）经过点 A(-1 ， 2) ，且与直线y 3x 1垂直；（2）斜率为 -2 ，且在x轴上的截距为 5.7. 三角形的三个极点是A( 4,0), B(6,7), C (0,3) ,求BC边上的高AD所在的直线的方程 .。