高三数学下期中试题附答案(8)

福建省厦门第一中学2023届高三下学期4月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知一组样本数据1215,,,x x x L ，其中2i x i =（1i =，2，…，15），由这组数据得到另一组新的样本数据 1y ， 2y ，…， 15y ，其中20i i y x =-，则（ ）A ．两组样本数据的样本方差相同B ．两组样本数据的样本平均数相同C ．1y ，2y ，…，15y 样本数据的第30百分位数为10-D ．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为5．π23cos 30d t q æ=-+çè．π3sin 30d t q æö=++ç÷èø．大约经过38秒，盛水．大约经过22秒，盛水四、多选题12．已知抛物线C 的顶点为五、填空题13．写出曲线e 1x y =-与曲线()ln 1y x =+的公切线的一个方向向量______.14．已知函数()f x 的定义域为R ，若()12f x +-为奇函数，且()()13f x f x -=+，则()2023f =_________.15．已知甲、乙两人三分球投篮命中率分别为0.4和0.5，则他们各投两个三分球，至少有一人两球都投中的概率为______．16．足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的B底线宽72AB=码，球门宽8EF=码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得EPFÐ最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处(,)=^时，根据场上形势判断，有OA、OB两条进OA AB OA AB攻线路可供选择．若选择线路OB，则甲带球______码时，到达最佳射门位置．(2)若ABC V 内一点P 满足 AP AC =， BP CP =，求PACÐ.19．chatGPT 是由OpenAI 开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球， chatGPT 的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术，训练分为以下三个阶段.第一阶段：训练监督策略模型.对抽取的prompt 数据，人工进行高质量的回答，获取<prompl ， answer>数据对，帮助数学模型GPT-4更好地理解指令.第二阶段：训练奖励模型，用上一阶段训练好的数学模型，生成k 个不同的回答，人工标注排名，通过奖励模型给出不同的数值，奖励数值越高越好.奖励数值可以通过最小化下面的交叉损失函数得到：µ1Loss ln ni i i y y ==-å， ，其中{}0,1i y Î，µ()0,1i y Î，且µ1n i iy =å.第一阶段：实验与强化模型和算法.通过调整模型的参数，使模型得到最大奖以符合人工的选择取向.(1)若已知某单个样本，共真实分布[][]1210,,,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0y y y y =×××=，共预测近似分布$[][]1210,,,0,0.2,0,0,0.7,0,0,0.1,0,0y y y y =×××=，计算该单个样本的交叉损失函数Loss 的值；(2)某次测试输入的问题中出现语法错误的概率为5%，如果输入问题没有语法错误，chatGPT 的回答被采纳的概率为90%，如果出现语法错误，chatGPT 的回答被采纳的概率为50%.①求chatGPT 的回答被采纳的概率；②已知chatGPT 的回答被采纳，求该测试输入的问题没有语法错误的概率.参考数据：ln 0.69Z =.ln 5 1.609»，ln 7 1.946»20．如图，在四棱锥 P ABCD -中， AB CD ∥， AB AP ^，3AB =，4=AD ，5BC =，6CD =，过AB 的平面a 分别交线段PD ，PC 于E ，F .q =，得，1122PF F F c ==，据椭圆的定义有2122PF a PF a =-=212a =，筒车的角速度2ππ6030w==，令∴πcos cos()30t OB POBOPqÐ=+=∴π23cos30d t qæö=-+ç÷èø，其中又πππ23cos230d t qæö=-+=-ç÷èø2)CD∥，ABË平面PCD，CDÌ平面PCD a，平面a I平面PCD EF=，∴AB∥连接AQ，∵AB CD∥，3AB=，DQ=。

四川省南充市阆中中学2024年高三下学期期中考试（数学试题理）试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()1,2a =-，(),1b x x =-，若()2//b a a -，则x =（ ） A ．13B ．23C ．1D ．32．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π3．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，()2log3a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 满足（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<4．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）5．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．2826．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2B ．0C ．1-D ．17．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ） A ．1112- B 31 C ．221D ．328．已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或39．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知ABC 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=（ ） A ．14B ．12C ．10D ．811．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i --12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024学年湖北省荆门市龙泉中学高三下期中考试（数学试题理）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．33．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．24．已知函数2,0()2,0x xx f x ex x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2(0,)3eB ．2(,0)3e-C．( D．5．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )A．3B．3-C．3±D ．136．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃=B ．R RC B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆7．已知函数()(),12,1xe xf x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭8．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ） A ．312+ B ．512+ C ．32D ．51+9．设复数z 满足31ii z=+，则z =（ ）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 10．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对11．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ）A ．10,10⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 12．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x xf xg x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ） A ．(1,1)-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年赣州市十八县（市）二十四校期中联考高三数学试卷说明：1.全卷满分150分，考试时间120分钟.2.全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.【详解】因为可得，由可得：或，解得：或因为或，所以.故选：C .2. 已知复数，则（ ）A.B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据共轭定义可得，即可根据复数的加减运算得，由模长公式即可求解.【详解】因为，所以，所以故选：D3. 已知命题：，：，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件{}24A x x =∈≤R {}11B x x =∈+>RA B = [)0,2(]2,0-(]0,2[)2,0-,A B 24x ≤22x -≤≤11x +>11x +>11x +<-0x ><2x -{|22},{|2A x x B x x =-≤≤=<-0}x >(0,2]A B ⋂=2i z =-2z z -=2i z =+223i z z -=-2i z =+2(42i)(2i)23i z z -=--+=-2z z -==p ()()21220x x+-<q lg 0x <p qC. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的性质，分别求得的范围，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】因为：，可得，解得，又由，可得，所以是的必要不充分条件.故选：B.4. 已知一个圆柱形容器轴截面是边长为3的正方形，往容器内注水后水面高度为2，若再往容器中放入一个半径为1的实心铁球，则此时水面的高度为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，容器中放入铁球后，总体积为，由此列方程求解即可.【详解】由已知可得圆柱的底面半径为，往容器内注水后水面高度为2，此时放入一个半径为1的实心铁球，铁球的直径为，所以铁球完全没入水中，设此时水面的高度为，则，解得.故选：C5. 已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，则（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】根据函数的图象关于点中心对称得，求得，再利用对称性得.【详解】因为对任意的都有，且，的x p :(21)(22)0x x p +-<220x -<1x <:lg 0q x <01x <<p q 52737027209V V +水球322h 232343π(2π1π()232h ⨯⨯+⨯=⨯⨯7027h =R ()f x ()1,01x ≥()2f x x a =+()0f =2-()f x ()1,0(1)0f =2a =-(0)(2)f f =-x (1)(1)f x f x +=--(1)0f =所以，所以.故选：A6. 已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（ ）A.B. 1C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】求得函数在点处的切线方程，得到切线与坐标轴交点坐标，由面积求得.【详解】易知，，且，所以直线，它与两坐标轴的交点坐标分别为和，可得，又，解得.故选：C7. 十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，，用七进制表示68这个数就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（ ）A. 1 B. 2 C. 5 D. 6【答案】D 【解析】【分析】由题意将题目转化成除以7的余数问题，用二项式知识求解即可.【详解】由题意知个位数应为除以的余数，因为，除以的余数为.故选：D.20a +=⇒2a =-(0)(2)(42)2f f =-=--=-()e xf x a x =+0a >()()0,0f l l 23=a 1223()f x ()()0,0f 2a =()e 1x f x a '=+(0)1f a '=+(0)f a =:(1)l y a x a =++(,0)1aa -+(0,)a 12213a a a ⨯⨯=+0a >2a =26817275=⨯+⨯+1161161167()()()()111101111111101011116717C 71C 711=-=+⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅⋅-+-768. 如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是（ ）A.B. 2C.D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据题意，得到，求得且，进而得到，进而求得点，代入双曲线方程，化简求得，结合，即可求解.【详解】因为四边形是一个平行四边形，且，可得，即，由双曲线，可得，渐近线方程为，即，可得，且，因为直线，可得，又因为，所以即，代入双曲线方程，可得，整理得，所以，可得，即，C 22221x y a b-=0a >0b >F P C M C OFPM OM OP ⊥C FP OP ⊥PF b =OP a =2(,a abP c c2(,)b ab M c c -C 222b a =e =OFPM OM OP ⊥o 90OPF ∠=FP OP ⊥2222:1x y C a b-=(c,0)F b y x a =0bx ay -=PF b =OP a ==:b OP y x a =2(,)a abP c cMP OF c ==2,a ab M c cc ⎛⎫-⎪⎝⎭2,b ab c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭C 42222221b a b a c b c -=4422b a a c -=()44222b a a a b -=+222b a a -=222b a=所以离心率故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若实数，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C.D.【答案】ABD 【解析】【分析】根据指数函数的性质判断A ，根据对数函数的性质判断B ，利用特殊值判断C，根据幂函数的性质判断D.【详解】因为在定义域上单调递减且，所以，故A 正确；因为在定义域上单调递增且，所以，故B 正确；当时，，故C 不正确；因为上单调递增且，故D 正确.故选：ABD10. 在正三棱柱中，已知，点，分别为和的中点，点是棱上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ）A. 存在点，使得平面 B. 直线与为异面直线C. 存在点，使得D. 存在点，使得直线与平面的夹角为45°【答案】BCDe ==0a b >>0.30.3a b <lg lg a b>1111a b <-->0.3x y =R 0a b >>0.30.3a b <lg y x =()0,∞+0a b >>lg lg a b >10>>>a b 11011a b >>--y =[)0,∞+0a b >>>111ABC A B C -1AA AB =M N 1CC BC P 1AA P 1//B M PBC PN 1CC P 1B M PN ⊥P PN ABC【解析】【分析】作图可知A 错误；B 正确；当点P 与点A 重合时，证明面可得C 正确；当时，由线面角的定义和等腰直角三角形可得D 正确.【详解】A ：如图（1），因为与相交，所以与平面相交，故选项A 错误；B ：如图（1），因为平面，平面，平面，所以直线与为异面直线，故选项B 正确；C ：如图（2），当点P 与点A 重合时，因为，面，面，所以，又，且都在面内，所以面，又面，所以，故选项C 正确；D ：当时，此时为等腰直角三角形，因为面，所以为在面内的投影，所以为所求线面角，所以直线与平面所成的角为，故选项D 正确.PN ^11BB C C AP AN =1B M BC 1B M PBC P ∉11BB C C N ∈11BB C C 1CC ⊂11BB C C PN 1CC PN BC ⊥1BB ⊥ABC PN ⊂ABC 1BB PN ⊥1BB BC B = 11BB C C PN ^11BB C C 1B M ⊂11BB C C 1B M PN ⊥AP AN =PAN △PA ⊥ABC AN PN ABC 45PNA ∠=︒PN ABC o 45故选：BCD.11. 已知函数，其中，，若直线是函数图象的一条对称轴，函数在区间上的值域为，则（ ）A.B.C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】AD 【解析】【分析】利用正弦函数的对称轴求出，即可判断A 选项；结合正弦函数的图象进行分类讨论即可判断B 选项；利用整体代入法结合正弦函数的单调区间即可判断CD选项.【详解】对于A ，由直线是函数图象的一条对称轴，得到.又因为，得到，故A 正确；对于B ，因为，在区间上的值域为，所以或，且，因此.若，则，或.因为，得，此时，当时，，，不符合条件.()()sin f x x ωϕ=+0ω>0πϕ<<π6x ω=()y f x =()f x []π,2π⎡-⎢⎣π3ϕ=76ω=()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭ϕπ6x ω=()y f x =πππ,Z 62n n ϕ+=+∈0πϕ<<π3ϕ=()()sin f x x ωϕ=+[π,2π][-(π)f =(2π)f =πT >2ππ02ωω>⇒<<(π)f =πππ2π33k ω+=+π2ππ2π,Z 33k k ω+=+∈02ω<<13ω=1π()sin()33f x x =+[π,2π]x ∈1π2π[,π]333x +∈()f x ∈若，则，或.因为，得或或.当时，，当时，，，符合条件.当时，，当时，，，不符合条件当时，，当时，，，不符合条件.综上，当时，，符合条件，故B 错误;对于C ，当时，，所以在区间上不是单调递增，故C 错误；对于D ，当时，，所以在区间上单调递减，故D 正确.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若直线：与圆：交于，两点，则______.【解析】【分析】首先确定圆心和半径，应用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，再由几何法求弦长即可．【详解】由圆，故圆心，半径为，直线，故圆心到直线的距离为，.,(2π)f =π2π3ω+=π2π3k +π2π2π2π,Z 33k k ω+=+∈02ω<<1ω=16ω=76ω=1ω=π()sin(3f x x =+[π,2π]x ∈π4π7π[,333x +∈()[f x ∈-16ω=1π()sin()63f x x =+[π,2π]x ∈1ππ2π[,6323x +∈()f x ∈76ω=7π()sin()63f x x =+[π,2π]x ∈7π3π8π[,6323x +∈()[1,1]f x ∈-1ω=π()sin(3f x x =+π()sin()3f x x =+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π[,]336x +∈()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π5π4π[,363x +∈()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭l 2y x =C 22230x y x +--=A B AB =l 22:(1)4C x y -+=(1,0)C 2r =:20l x y -=l d ==||AB ∴===．13. 如图是一个弓形（由弦与劣弧围成）展台的截面图，是弧上一点，测得，，，则该展台的截面面积是______.【答案】【解析】【分析】设出弓形所在圆的半径为，用扇形面积减去三角形面积即可.【详解】如图：设展台所在的圆的圆心为，半径为，，则，即，，所以展台的面积为故答案为：14. 已知数列是有无穷项的等差数列，，公差，若满足条件：①是数列的项；②对任意的正整数，都存在正整数，使得.则满足这样的数列的个数是______种.【答案】【解析】【分析】设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，由已知，设，则.因为，所以，即数BC BCA BC BC =15ABC ∠=︒45ACB ∠=︒2m 100π3-R O R 1801545120BAC ︒︒︒∠=--=︒220sin BC R BAC ===∠10R =120BOC ∠=︒2211100ππ101010.323⋅-⨯⨯=-100π3-{}n a 10a ≥0d >38{}n a ,m n ()m n ≠k m n k a a a =69x {}n a x d +2x d +{}n a m n k a a a =12(),(2)k k a x x d a x x d =+=+()2121k k a a xd k k d -==-⋅0d ≠21x k k Z =-∈列的每一项均是整数，所以数列的每一项均是自然数，且是正整数. 由题意，设，则是数列中的项，所以是数列中的项.设，则，即.因为，故是的约数，进而分类讨论求解即可.【详解】设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，由已知，设，则由等差数列定义得.因为，所以，即数列的每一项均是整数，所以数列的每一项均是自然数，且是正整数.由题意，设，则是数列中的项，所以是数列中的项.设，则，即.因为，故是的约数.所以.当时，，得，故，共种可能；当时，，得，故，共种可能；当时，，得，故，共种可能；当时，，得，故，共2种可能；当时，，得，故，共2种可能；当时，，得，故，共1种可能；当时，，得，故，共1种可能；当时，，得，故，共1种可能.综上，满足题意数列共有（种）.经检验，这些数列均符合题意.故答案为：.的{}n a {}n a d 38k a =138k a d +=+{}n a 38(38)d ⋅+{}n a 38(38)m a d =⋅+38(38)38383738()m k a a d d m k d -=⋅+-=⨯+=-⋅(38)3837m k d --⋅=⨯*38,N m k Z d --∈∈d 3837⨯x {}n a x d +2x d +{}n a m n k a a a =12(),(2)k k a x x d a x x d =+=+()2121k k a a xd k k d -==-⋅0d ≠21x k k Z =-∈{}n a {}n a d 38k a =138k a d +=+{}n a 38(38)d ⋅+{}n a 38(38)m a d =⋅+38(38)38383738()m k a a d d m k d -=⋅+-=⨯+=-⋅(38)3837m k d --⋅=⨯*38,N m k Z d --∈∈d 3837⨯1,2,19,37,219,237,1937,3837d =⨯⨯⨯⨯，1d =138(1)0a k =--≥1,2,,38,39k =⋯138,37,,2,1,0a =⋯392d =1382(1)0a k =--≥1,2,,18,19,20k =⋯138,36,34,,4,2,0a =⋯2019d =13819(1)0a k =-⨯-≥1,2,3k =138,19,0a =337d =13837(1)0a k =--≥1,2k =138,1a =38d =13838(1)0a k =-⨯-≥1,2k =138,0a =237d =⨯138237(1)0a k =-⨯⨯-≥1k =138a =1937d =⨯1381937(1)0a k =-⨯⨯-≥1k =138a =3837d =⨯1383837(1)0a k =-⨯⨯-≥1k =138a ={}n a 392032211169+++++++=69【点睛】首先根据等差数列概念和已知条件列得出的每一项均是自然数，且是正整数，再利用同样思路，由是数列的项得出是的约数，进而分类讨论得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数（，，），函数和它的导函数的图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）已知，求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由函数与的图象可得，，再通过图象过点，得到（2）根据倍角公式对进行化简即可求解.【小问1详解】，由图象可以得到：，因为图象过点，，所以，所以，所以.【小问2详解】{}n a d 38{}n a d 3837⨯()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>ππ22ϕ-<<()f x ()f x '()f x ()65fα=π212f α⎛⎫- ⎪⎝⎭'π()2sin(2)6f x x =-2825()f x ()f x '2,2A ω==()f x π(,0)12()65f α=()cos()f x A x ωωϕ=+'2,2A ω==()f x π(,0)12ππ22ϕ-<<π2π12k ϕ⨯+=π6ϕ=-π()2sin(2)6f x x =-由，得，，.16. 已知四棱锥的底面是一个梯形，，，，，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）由题意可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明；（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，作出轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】设的中点分别为，连接.因为，所以.因为，所以.在梯形中，，所以，，，因此，所以，又，平面，6()5fα=π3sin(265α-=π()4cos(26f x x '=-ππ(2)4cos(4)123f αα'-=-2ππ4cos 2(24[12sin (266αα=-=--2825=P ABCD -//AB DC 90ABC ∠=︒4AB BC ==2CD =3PA PD ==PB PC ==PAD ⊥ABCD C PA D --OP OE ⊥OP AD ⊥OP ⊥ABCD O ,OE OP y z x PAD PAC ,AD BC ,O E ,,OP OE PE PA PD =OP AD ⊥PB PC =BC PE ⊥ABCD AD ==2OP ==1()32OE AB DC =+=PE ==222OP OE PE +=OP OE ⊥OP AD ⊥,OE AD ⊂ABCD，所以平面.又因为平面，所以平面平面.【小问2详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，作出轴，建立空间直角坐标系，则.则，，设平面的法向量，，即，令，得到，，即.设平面的法向量，则，则，令，得到，，即..因为二面角是锐二面角，所以二面角.17. 已知函数（）.（1）当时，求函数的单调递增区间；OE AD O ⋂=OP ⊥ABCD OP ⊂PAD PAD ⊥ABCD O ,OE OP y z x O xyz -(2,1,0),(2,3,0),(2,1,0),(0,0,2)A C D P ---(2,1,2),(4,2,0)AP AD =-=-()4,4,0AC =- PAD 111(,,)m x y z =m AP m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11111220420x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩11x =12y =10z =(1,2,0)m =PAC 222(,,)n x y z =n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩222222200x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩21x =21y =212z =1(1,1,2n = cos ,m n ==C PAD --C PA D --()()()()()2ln 22ln 11f x x x a x a x =--+--+a ∈R 0a =()f x（2）若当时，函数取得极大值，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）当时，，对求导，解不等式即可得出答案；（2）对求导，令，求出，分类讨论，和，求出的单调性和最值即可得出的单调性，即可得出答案.【小问1详解】当时，，，由得，所以函数的单调递增区间是；【小问2详解】，，依题意，存在实数且，使得当时，，当时，.记，则（）.记.①当时，，，在区间上单调递减，存在实数且，使得时，，即，单调递减，因此当时，，当时，，函数在时取得极大值.②当时，，因此，3x =()f x a (3,)+∞(2,)+∞0a =()(2)ln(2)f x x x x =---()f x ()0f x '>()f x ()()g x f x '=()g x '2a >2a =2a <()g x ()f x 0a =()(2)ln(2)f x x x x =---()ln(2)(2)f x x x ->'=()0f x '>3x >()f x (3,)+∞2()ln(2)1af x x a x =-+--'(3)0f '=,m n 23m n ≤<<3m x <<()0f x '>3x n <<()0f x '<()()g x f x '=222122(1)14()2(1)(2)(1)a x a x a g x x x x x -+++=-='----2x >2()2(1)14,(3)42h x x a x a h a =-+++=-2a >(3)0h <13a +>()h x (2,1)a +,m n 23m n ≤<<(,)x m n ∈()0h x <()0g x '<()f x '3m x <<()(3)0f x f ''>=3x n <<()(3)0f x f ''<=()f x 3x =2a =(3)0,13h a =+=()(3)0h x h ≥=即，在区间上单调递增，当时，，不是函数的极大值点.③当时，，，函数在区间上单调递增，当时，，即，函数单调递增，即当时，，因此，不是函数的极大值点.综上，实数的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键点在于能够根据极值点的定义，确定函数在左右的单调性，所以对求导，令，求出，分类讨论，和，求出的单调性和最值即可得出在左右的单调性，即可得出答案.18. 某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈.（1）若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为，求随机变量的分布列和期望；（2）一般地，当比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则可以近似看成随机变量，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数的最大值.（参考数据：若，则，，）【答案】（1）分布列见解析，数学期望为. （2）【解析】【分析】（1）因为，由二项分布的概率公式求出随机变量的分布列，再由二项分布的均值公式求出；()0g x '≥()f x '(2,)+∞3x >()0f x '>3x =()f x 2a <(3)0h >13a +<()h x (3,)+∞(3,)x ∈+∞()(3)0h x h >>()0g x '>()f x '3x >()(3)0f x f ''>=3x =()f x a (2,)+∞3x =()f x ()()g x f x '=()g x '2a >2a =2a <()g x ()f x 3x =X X n (),X B n p X Y ()2,Y N μσnp μ=()21np p σ=-1k 2k 12k k <()()12120.50.5P k X k P k Y k ≤≤≈-<≤+k 80%k ()2,X Nμσ ()0.6826P X μσμσ-<≤+≈()220.9544P X μσμσ-<≤+≈()330.9974P X μσμσ-<≤+≈ 2.472~(3,0.8)X B X EX（2）康复的人数为随机变量，则，可得出，由正态分布的对称性结合原则求解即可.【小问1详解】记“一个患有该疾病的病人服用该药一个疗程康复”为事件，则，因此，，，，则的分布列为：的数学期望.【小问2详解】若该药品的有效率为，由（1）得，一个疗程内，使用该药后的康复率也为，记康复的人数为随机变量，则，设，设，所以整数的最大值为19. 已知椭圆：（）的左焦点为，上顶点为，的两顶点，是椭圆上的动点.当为椭圆的左顶点，为椭圆的下顶点时，，且的面积1X 1~(100,0.8)X B 2~(80,4)Y N3σA ()0.80.90.20.40.8P A =⨯+⨯=~(3,0.8)X B 0,1,2,3,X =()()()0330C 0.80.20.008P X ===()()()12131C 0.80.20.096P X ===()()()21232C 0.80.20.384P X ===()()()3333C 0.80.20.512P X ===X X123P0.0080.0960.3840.512X ()30.8 2.4E X =⨯=80%80%1X 1~(100,0.8)X B 21000.880,1000.80.216μσ=⨯==⨯⨯=2~(80,4)Y N ()(0.5)0.9772.P X k P Y k ≥≈>-≥所以10.9544(2)10.97722P Y μσ-≥-≈-=因为，0.52802472,72.5,k k μσ-≤-=-⨯=≤所以即k 72C 22221x y a b+=0a b >>F A APQ △P Q C P C Q C tan PAQ ∠=APQ △.（1）求椭圆的方程；（2）若的平分线经过点，求面积的最大值.【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）由已知条件和椭圆的性质解方程组可得；（2）设直线方程，由点在角平分线上结合到角公式（或斜率公式）可得；然后设设的方程为，直曲联立，用韦达定理表示化简得到和直线经过定点，再代入方程①得到；最后利用弦长公式表示出三角形的面积再结合基本不等式求出最值.【小问1详解】由条件得，解得，所以椭圆的方程为；【小问2详解】由的平分线经过点，得到的斜率都存在，点的坐标为，可设C PAQ ∠F APQ △2212x y +=12:1,:1AP y k x AQ y k x =+=+F 121k k =PQ y kx m =+121k k =m PQ (0,3)N -24k >,122a a b ⎧=⎪⎨⋅=⎪⎩1a b ==C 2212x y +=PAQ ∠F ,AP AQ A (0,1)，点的坐标为.由已知得到直线斜率存在，设的方程为，，联立方程组，得，①，，由，得到，所以，得，根据韦达定理得，化简得，即或.又当时，直线经过点，不符合题意，因此，，直线经过定点，将代入方程①得，由，解得.面积.，，则，当且仅当时取等号，因此.的12:1,:1AP y k x AQ y k x =+=+F (1,0)-121k k =PQ PQ y kx m =+1122(,),(,)P x y Q x y 22,12y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(12)4220k x kmx m +++-=()()()222Δ4412220km k m =-+->2121222422,1212km m x x x x k k--+==++121k k =1212(1)(1)y y x x --=1212(1)(1)kx m kx m x x +-+-=22121212(1)()(1)k x x k m x x m x x +-++-=222222222(1)(4)22(1)121212m k m km m k m k k k----⋅++-=+++2230m m +-=1m =3-1m =PQ A 3m =-PQ (0,3)N -3m =-22(12)12160k x kx +-+=()22Δ14464210k k =-+>24k >APQ △1212S AN x x =⋅-==t =0t >2889922t S t t t==≤=++t =APQ △【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是能利用“的平分线经过点”这个条件得到到角公式或斜率间的关系.PAQ F。