人教A版高二数学必修五第二章2.5 第1课时 等比数列的前n项和(共17张ppt)

明目标、知重点
(2)当公比 q≠1 时，等比数列的前 n 项和公式是 Sn＝a111－－qqn，
它可以变形为
Sn＝－1－a1 q·qn＋1－a1q，设
A＝ a1 ，上式可写 1－q
成Sn＝ －Aqn＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn
是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的
C.75
D.63
解析 由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48,12,3， 即S21－S14＝3，∴S21＝63.
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1234
4.在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为 Sn＝3n＋k，则实数k＝___－__1___. 解析 当n＝1时，a1＝S1＝3＋k， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k) ＝3n－3n－1＝2·3n－1. 由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2， ∴k＝－1.
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22－2n·2
＝2＋2·
－(2n－1)2n＋2n＋1
＝(3－2n)·2n＋1－6
∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.
反思与感悟 等差数列与等比数列既有类似的部分，又有
区别，要在应用中加强记忆.同时，用好性质也会降低解
题的运算量，从而减少差错.
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明目标、知重点
(2)设 bn＝log2an，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，当S11＋S22＋… ＋Snn最大时，求 n 的值. 解 bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1， ∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴Sn＝n9－ 2 n，∴Snn＝9－2 n，
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Sn a1 a2 a3 an
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1. ⑴
⑴×q, 得
等式两边能否同
qSn a1q a1q2 a1qn2 a1qn除1 以a（1q1n-.q）？⑵
⑴－⑵，得 1 q Sn a1 a1qn ,
当q
1时,
Sn
a（1 1-qn） 1-q
1 q
1 q
(q≠1).
2、等比数列求和公式推导的方法：错位相
减法
11
=? 465 (万元)
第一天有１万， 以后每天比前 一天多１万元， 连续一个月(30
天)
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为
前一天的24倍．
思考：该问题是一个等比数列的求和问题， 对于知
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等比数列an 的首项为a1，公比为q, 求前n项和Sn
Office组件之word2007
n 2.5 等比数列的前 项和
难点：等比数列前n项和公式的推导
1
复习引入
1. 等比数列的定义： an q(n 2, n N , q 0) an1
2. 等比数列通项公式：
an a1 qn1(a1, q 0)
2
新课引入 小故事
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该数列首项是1，公比是2，项数是30
S30
=
1（1-230）=230 1-2
-1
S30 = 230 - 1 = 1073741823 (分)
1073(万元) >465(万元)
不会数学很可怕！！！
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总结：
1、等比数列的前n项和公
{ 式
Sn

由① – ②得： -S30 = 1 – 230
反思： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2 ？ 那乘以3？ 22 ？会达到一样的效果吗？
问题：对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
【新知探究】
探究：设等比数列错位相减法
Sn = a1 + a2 + a3 + …… + an-2 + an-1 + an
即 Sn = a1 + a1q + a1q2 + …… + a1qn-3 + a1qn-2 + a1qn-1
①
qSn =
a1q + a1q2 + a1q3 + …… + a1qn-2 + a1qn-1 + a1qn ②
结合等比数列通项公式，
由① – ②得： (1 – q)Sn = a此1 –时aS1qnn可变形为什么？
问题1 : 探讨等比数列前n项和的多种推导方法， 并整理成小论文，相互交流 问题2 : 求和, Sn 1 2 2 22 3 23 ...... n 2n
【课堂小结】
1. 掌握等比数列的前n项和公式能进行简单应用. ——知三求二 方程思想
a1(1 qn )
Sn
1q
或
a1 anq 1q
【新课引入】
不学数学害死 猴啊！！！
【新知探究】
探究： S30 = 1 + 21 + 22 + …… + 227 + 228 + 229 = ？
S30 = 1 + 21 + 22 + …… + 227 + 228 + 229

课堂练习
练习1：已知等比数列an 中，an 96 ，q 2,
Sn 189 ，则n _________.
练习2： 等比数列 1 , 1 , 1 ,…, 的第5项到第10项 248
的和为______.
例题讲解
例2.已知等比数列 an 中，S3 7 ，S6 63,
求 a9.
解:
S6 63 9 2, q 1.
等比数列 {an},公比为 q ,它的前 n 项和 Sn a1 a2 a3 an1 an，
a2 a1q， a3 a2q， a4 a3q， an an1q，
a2a3 an q(a1 a2 a3 an1).
Sn a1 q(Sn an ). (1 q)Sn a1 anq.
方法拓展3
n为奇数，q 为－1时此 法不适用
a2 a3 an q，
a1 a2
an1
利用等 比定理
a2 a3 an q.
a1 a2 an1
即
Sn a1 Sn an
q.
(1q)Sn a1 anq.
例题讲解
例1.已知等比数列
an 中，a1
4
，q
1， 2
求：S10 .
1. 2
a1 1 q
qn，
令 a1 1 q
A，则Sn
A
A qn.
例题讲an1,的前n项和.
No (2)求和： Sn
1 2
2 4
3 4 8 16
n 2n
.
Image 设 an
n 2n
n
1 2n
，其中n为等差数列，
1 2n
为等比数列，公比为 1 ，利用错位相减法求和.
na1，q 1.
Sn