气体的等温变化(导)学案 (17)
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第1节 气体的等温变化
课堂合作探究
问题导学
一、封闭气体压强的计算
活动与探究1
气体的压强是气体分子频繁地碰撞器壁而产生的。
在国际单位制中，压强的单位是帕斯卡，符号为Pa 。
气体压强常用的单位还有标准大气压（atm ）和毫米汞柱（mmHg ），1 atm ＝1.01×105 Pa ＝760 mmHg 。
试求甲、乙、丙中各封闭气体的压强p 1、p 2、p 3、p 4。
（已知大气压为p 0，液体的密度为ρ，其他已知条件标于图上，且均处于静止状态）
迁移与应用1
如图所示，一个横截面积为S 的圆筒形容器竖直放置，金属圆板的上表面是水平的，下表面是倾斜的，下表面与水平面的夹角为θ，圆板的质量为M ，不计圆板与容器内壁的摩擦。
若大气压强为p 0，则被圆板封闭在容器中的气体的压强等于（ ）
A ．p 0＋Mg cos θS
B ．p 0cos θ＋Mg S cos θ
C ．p 0＋Mg cos 2 θS
D ．p 0＋Mg
S
1．静止或匀速运动系统中压强的计算方法
（1）参考液片法：选取假想的液体薄片（自身重力不计）为研究对象，分析液片两侧受力情况，建立平衡方程消去面积，得到液片两侧压强相等，进而求得气体压强。
例如，如图中粗细均匀的U 形管中封闭了一定质量的气体A ，在其最低处取一液片B ，由其两侧受力平衡可知（p A ＋ph 0）S ＝（p 0＋p h ＋ph 0）S 。
即p A ＝p 0＋p h 。
（2）平衡法：选与封闭气体接触的液柱（或活塞、汽缸）为研究对象进行受力分析，由F 合＝0列等式求气体压强。
（3）连通器原理：在连通器中，同一种液体（中间液体不间断）的同一水平液面上的压强相等，如图中同一液面C 、D 处压强相等。
2．容器加速运动时封闭气体压强的计算
当容器加速运动时，通常选与气体相关联的液柱、汽缸或活塞为研究对象进行受力分析，然后由牛顿第二定律列方程，求出封闭气体的压强。
如图，当竖直放置的玻璃管向上加速时，对液柱受力分析有：
pS －p 0S －mg ＝ma
得p ＝p 0＋m (g ＋a )S。
二、玻意耳定律的理解及应用
活动与探究2
1．如果画出一定质量气体的等温变化p －V 图象，怎样来比较不同等温过程的温度？
2．在p －1
V
图象中，图线是一条过原点的直线，为什么直线在原点附近要画成虚线？
3．玻意耳定律的适用条件是什么？
4．在玻意耳定律表达式pV ＝C 中，C 是一个常量，该常量与哪些因素有关？
迁移与应用2
一气象探测气球，在充有压强为1.00 atm （即76.0 cmHg ）、温度为27.0 ℃的氦气时，
体积为3.50 m 3。
在上升至海拔6.50 km 高空的过程中，气球内氦气体积逐渐增大，到此高度上的大气压为36.0 cmHg ，气球内部因启动持续加热过程而维持其温度不变。
此后停止加热，保持高度不变。
已知在这一海拔高度气温为－48.0 ℃。
求：氦气在停止加热前的体积。
1．成立条件
玻意耳定律p 1V 1＝p 2V 2是实验定律。
只有在气体质量一定、温度不变的条件下才成立。
2．恒量的意义 p 1V 1＝p 2V 2＝常量C
该常量C 与气体的种类、质量、温度有关，对一定质量的气体，温度越高，该常量C 越大。
3．利用玻意耳定律解题的基本思路
（1）明确研究对象，根据题意确定所研究的是哪部分封闭气体，注意其质量和温度应不变。
（2）明确状态参量，找准所研究气体初、末状态的p 、V 值。
（3）根据玻意耳定律列方程求解。
注意：用p1V1＝p2V2解题时只要同一物理量使用同一单位即可，不必化成国际单位制中的单位。
当堂检测
1．一定质量的气体发生等温变化时，若体积增大为原来的n倍，则压强变为原来的（）
A．2n B．n C．1
n D．
2
n
2．一定质量的气体，在温度不变的条件下，将其压强变为原来的2倍，则（）A．气体分子的平均动能增大
B．气体的密度变为原来的2倍
C．气体的体积变为原来的一半
D．气体的分子总数变为原来的2倍
3．如图所示为一定质量的气体在不同温度下的两条p－1
V图线。
由图可知（）
A．一定质量的气体在发生等温变化时，其压强与体积成正比
B．一定质量的气体在发生等温变化时，其压强与体积成反比
C．T1＞T2
D．T1＜T2
4．长l=1 m的粗细均匀的直玻璃管一端封闭，把它开口向下竖直插入水银中，管的一半露在水银面外，大气压强为76 cmHg，如图所示。
求进入管中的水银的高度。
5．如图所示，粗细均匀、导热良好、装有适量水银的U型管竖直放置，右端与大气相通，左端封闭气柱长l1＝20 cm（可视为理想气体），两管中水银面等高。
现将右端与一低压舱（未画出）接通，稳定后右管水银面高出左管水银面h＝10 cm。
（环境温度不变，大气压强p0＝75 cmHg）
求稳定后低压舱内的压强（用“cmHg”作单位）。
答案：
课堂·合作探究
【问题导学】
活动与探究1：答案：甲图：p1＝p0－ρgh；乙图：p2＝p0＋ρgh；
丙图：p 3＝p 0＋ρgh 1，p 4＝p 0－ρg （h 1－h 2）。
解析：法一：由于各液体都处于平衡状态，对于密闭气体的压强，可用平衡条件进行求解。
这类题常以封闭气体的液柱或固体为研究对象，封闭气体液柱受到内外气体压力和自身重力相平衡。
图甲以液柱为对象，液柱受3个力，即液柱受重力mg 、上液面受到密闭气体向下的压力p 1S 、下液面受到大气向上的压力p 0S ，其中S 是液柱的横截面积，m 是液柱的质量（m ＝ρhS ）。
由平衡条件得p 0S ＝p 1S ＋mg ＝p 1S ＋ρhSg
则p 1＝p 0－ρgh 。
法二：以甲图中液柱的下液面为研究对象，因液柱静止不动，液面上下两侧的压强应相等。
该液面下侧面受到大气向上的压强p 0，上侧面受到向下的两个压强，一是液柱因自身重力产生的向下压强ρgh ，另一是密闭气体压强p 1，被液体大小不变地传到下液面上，所以下液面的上侧面受到向下的压强为p 1＋ρhg ，根据液面两侧压强相等可得p 0＝p 1＋ρgh
即p 1＝p 0－ρgh
同理可得乙图p 2＝p 0＋ρgh
丙图p 3＝p 0＋ρgh 1，p 4＝p 3－ρgh 2＝p 0－ρg （h 1－h 2）。
迁移与应用1：D 解析：以封闭气体的圆板为研究对象，其受力情况如图所示。
由平衡条件得
p
cos S
·cos θ=p 0S +Mg 解得p =p 0+Mg
S。
活动与探究2：1．答案：利用生活常识知温度升高，压强不变时体积增大，故离原点越远的温度越高。
2．答案：在等温变化过程中，体积不可能无限大，故1
V
和p 不可能为零，所以图线在
原点处附近要画成虚线表示过原点，但此处实际不存在。
3．答案：玻意耳定律的适用条件：（1）被研究的气体质量不变，温度不变；（2）温度不太低，压强不太大。
4．答案：与气体的质量、种类及温度有关。
迁移与应用2：答案：7.39 m 3
解析：气球在升空过程中，气球内部因启动持续加热过程而维持其温度不变，对于内部气体而言是一定质量的气体发生等温变化，符合玻意耳定律的条件，可以用玻意耳定律解决。
在气球上升至海拔6.50 km 高空的过程中，气球内氦气经历一等温过程。
根据玻意耳定律有p 1V 1＝p 2V 2①
上式中，p 1＝76.0 cmHg ，V 1＝3.50 m 3，p 2＝36.0 cmHg ，V 2是在此等温过程末氦气的体积。
由①式得V 2＝7.39 m 3。
②
【当堂检测】
1．C 解析：根据玻意耳定律pV ＝常量，可知C 正确。
2．BC 解析：温度是分子平均动能的标志，由于温度不变，故分子的平均动能不变，据玻意耳定律得
p 1V 1＝2p 1V 2，解得：V 2＝12V 1，ρ1＝m V 1，ρ2＝m
V 2
可得：ρ1＝1
2
ρ2，即ρ2＝2ρ1，故B 、C 正确。
3．BD 解析：一定质量的气体温度不变时，pV ＝常量，所以其p －1
V 图线是过原点的
直线，A 错误，B 正确；对同一部分气体来说，体积相同时，温度越高，压强越大，所以T 1＜T 2，D 正确。
4．答案：0.05 m
解析：设玻璃管的横截面积为S ，以管内气体为研究对象，设进入管中的水银的高度为x 。
初态：p 1＝p 0，V 1＝l ·S
末态：p 2＝p 0＋（l
2
－x ），V 2＝（l －x ）·S
根据玻意耳定律得p 1V 1＝p 2V 2，代入数据解得x ＝0.05 m 。
5．答案：50 cmHg
解析：设U 型管横截面积为S ，右端与大气相通时左管中封闭气体压强为p 1，右端与一低压舱接通后，左管中封闭气体的压强为p 2，气柱长度为l 2，稳定后低压舱内的压强为p 。
左管中封闭气体发生等温变化，根据玻意耳定律得
p 1V 1＝p 2V 2① p 1＝p 0② p 2＝p ＋p h ③ V 1＝l 1S ④ V 2＝l 2S ⑤
由几何关系得h ＝2（l 2－l 1）⑥
联立①②③④⑤⑥式，代入数据得p ＝50 cmHg ⑦。
