八年级下册2013年人教版数学 第18章 矩形的性质练习题(含答案和讲解)

八年级数学下册第十八章平行四边形18.2矩形同步练习含解析新版新人教版18.2矩形测试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，过对角线交点O 作OE⊥AC 交AD 于点E ，则AE 的长是（）A.1.6B.2.5C.3D.3.42.如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD3.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD=DE=a ，则AB 的长为（）A.2aB.22aC.3aD.334 a4.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A.310 B.4C.4.5D.55.如图所示，把矩形OABC 放入平面直角坐标系中，点B 坐标为（10，8），点D 是OC 上一动点，将矩形OABC 沿直线BD 折叠，点C 恰好落在OA 上的点E 处，则点D 的坐标是（）A.（59-，512） B.（512-，59） C.（516-，512）D.（-512，516）6.下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（）A.测量两条对角线，看是否相等B.测量两条对角线，看是否互相平分C.用曲尺测量门框的三个角，看是否都是直角D.用曲尺测量对角线，看是否相互垂直7.如果将长为6cm ，宽为5cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（）A.8cmB.52cmC.5.5cmD.1cm8.下列说法错误的是（）A.矩形的对角线互相平分B.有一个角是直角的四边形是矩形C.矩形的对角线相等D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形9.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）A.AO=OCB.AC=BDC.AC⊥BDD.BD平分∠ABC10.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=38°，则∠E的值是（）A.19°B.18°C.20°D.21°二.填空题（每小题3分,共24分）11.如图，在□ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形.12.如图，四边形ABCD是矩形，则∠BAD=度，∠ABC=度，∠BCD=度，∠ADC=度.13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=6，D是AB的中点，则CD= ．14.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，若∠C=55°，则∠ABD=.15.如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是.①∠DCF=21∠BCD；②EF=CF；③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE=3∠AEF.16.四边形ABCD 中，AD∥B C ，∠D=90°，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD 是矩形，那么可添加的条件是 .（不再添加线或字母，写出一种情况即可）17.如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AC=10cm ，点D 为AC 的中点，则BD= cm.18.如图，四边形ABCD 是平行四边形，若∠A= 90°，则四边形ABCD 是矩形.【矩形的判定（定义法）】有一个角是的四边形叫做矩形.解答题（共66分）19.如图，□ABCD 的四个内角的平分线分别交于点E ，G ，F ，H.求证：四边形EFGH 为矩形.20.如图，在梯形ABCD 中，AD=31BC ，E ，F 两点在边BC 上，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC. （1）求证：四边形AEFD 是平行四边形；（2）当AB=DC 时，求证：□AEFD 是矩形.21.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证：四边形EFGH是矩形.22.如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.23.题干长与宽之比为2:1的矩形纸片称为标准纸，请思考并解答下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸，请给予证明.（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB ＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上的点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合.请你探究：矩形纸片ABCD是不是标准纸，请说明理由.（3）不难发现：将一张标准纸按如图3所示的方式一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸，现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=2，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2018次对开后所得标准纸的周长.24.如图，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是矩形.解答题（共34分）25.如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E.（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形ABCD为矩形，请加以证明.人教版八年级下册18.2矩形测试卷一．选择题1.答案：D.解：连结CE.设AE=x，则DE=5-x.∵四边形ABCD为矩形，∴AO=CO，∠CDE=90°.∵EO⊥AC，AO=CO，∴EO所在直线为线段AC的垂直平分线，∴EC=AE=x.∵∠CDE=90°，CD=3，DE=5-x，EC=x，∴(5-x)2+32= x2解得x=3.4.则AE的长为3.4.故选D.2.答案：D.解：可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形.∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.故选D.3.答案：B.解：∵CD⊥AB，CD=DE=a，∴CE=2a.∵点E是AB的中点，∠ACB=90°，∴BE=AE=CE=2a，∴AB=22a.故选B.4.答案：D.解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=6，AB=CD=9，∵点C′是AD边的中点，BC=6，∴DC′=3.由折叠的性质可知，C′F=CF.在Rt△C′DF中，DF2+DC′2=C′F2，即CF2+9=(9-CF)2，解得CF=5.故选D.5.答案：C.解：∵折痕BD是四边形DEBC的对称轴，∴在Rt△ABE中，BE=BC=10，AB=8，AE=BE2?AB2=6，∴OE=4，在Rt△DOE中，DO2+OE2=DE2，∵DE=CD，∴(8-CD)2+42=CD2，∴CD=5，则OD=OC-CD=8-5=3，∴D（0，3）.故选C.6.答案：C.解：A，两条对角线相等的四边形可能是等腰梯形，故错误；B，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；C，利用三个角是直角的四边形是矩形，正确；D，两条对角线互相垂直的四边形可能是菱形，故错误.故选C.7.答案：A.解：根据题意易知最长折痕为长方形对角线的长，根据勾股定理可知，对角线的长为62+52=61≈7.8cm，因此折痕长不可能为8cm.故选A.8.答案：B.解：A.矩形的对角线互相平分，正确；B.直角梯形有一个角是直角，但不是矩形，错误；C.矩形的对角线相等，正确；D.有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确.故选B.9.答案：B.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∵添加AC=BD，∴四边形ABCD是矩形.故选B.10.答案：A.解：连接AC，如图：∵四边形ABCD是距形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠BDA=∠DAC=38°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=38°，即∠E=19°.故选A.填空题11.答案：DC=EB（答案不唯一）.解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC.∵AD=DE，∴DE=BC.∵DE∥BC，DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形.所以根据对角线相等的平行四边形是矩形，我们可以添加一个条件即DC=EB.12.答案：90；90；90；90.解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90度，∠ABC=90度，∠BCD=90度，∠ADC=90度.13.答案：3.解：∵D是AB的中点，∴CD是Rt△ABC的斜边AB的中线，∴CD=12AB=3.14.答案：35°.解：∵∠ABC=90°，D为AC的中点，∴BD=AD=DC，∴∠ABD=∠A，∵∠C=55°，∴∠A=90°-55°=35°，∴∠ABD=35°.15.答案：①②④.解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD.∵在平行四边形ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF.∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，故结论①正确.延长EF，交CD的延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF.∵F为AD中点，∴AF=FD.在△AEF和△DFM中，{∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM，∴△AEF≌△DMF，∴FE=FM，∠AEF=∠M.∵CE⊥AB.∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°.∵FM=EF，∠ECD=90°,∴EF=CF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM.∵MC＞BE，∴S△ECM＞S△BEC.∵S△ECM=S△EFC+S△CFM，S△EFC=S△CFM，∴S△BEC＜2S△EFC.故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x.∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故结论④正确.综上可知，一定成立的是①②④.16.答案：本题答案不唯一，如AB∥CD或AD=BC.解：答案不唯一，可添加AB∥CD.∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形.17答案：5.解：∵D是斜边AC的中点，∴BD是Rt△ABC斜边上的中线，∴BD=12×AC=5.故答案为5.18.答案：直角；平行.解：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.解答题（题5分，共15分）19.证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB∥CD，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD=180°.又∵□ABCD的四个内角的平分线分别交于点E，F，G，H，∴∠BAF+∠ABF=90°，∠GBC+∠GCB=90°，∴ ∠GFE=∠AFB=90°，∠G=90°，同理可证∠GHE=90°，∠E=90°，∴ 四边形EFGH为矩形.20.证明：（1）∵AD∥BC，AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE=AD=13BC，同理，FC=AD=13BC，∴E F=BC-BE-FC=13BC，∴AD∥EF，AD=EF，∴四边形AEFD是平行四边形.（2）∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴DE=AB，AF=DC.∵AB=DC，∴DE=AF，∴平行四边形AEFD是矩形.21.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∵E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，∴AE=OE，OG=CG，OF=BF，OH=DH，∴OE=OG，OF=OH，EG=FH.∵OE=OG，OF=OH，∴四边形EFGH是平行四边形，又∵EG=FH，∴四边形EFGH是矩形．22.解：当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF 是矩形．证明：∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2.又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO.同理，FO=CO，∴EO=FO.又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形.∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4=∠5.∵∠1=∠2，∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°，∴平行四边形AECF是矩形.23.（1）证明：∵矩形纸片ABCD是标准纸，且AB＜BC，∴BCAB=2.由对开的含义知：AF=12BC，∴ABAF=ABBC2=2ABBC=22=2，∴矩形纸片ABEF也是标准纸.（2）解：是标准纸.理由如下：设AB=CD=a，由图形折叠可知DN=CD=DG=a，DG⊥EM，△ABE≌△AFE，∴∠DAE=12∠BAD=45 °，∴△ADG是等腰直角三角形，∴在Rt△ADG中，AD=AG2+DG2=2a，∴ADAB=2，∴矩形纸片ABCD是一张标准纸.（3）解：第一次，周长为：2(1+122)=2+2，第二次，周长为：2(12+122)=1+2，第三次，周长为：2(12+142)=1+22，第四次，周长为：2(14+142)=1+22，第五次，周长为：2(14+182)=2+24，第六次，周长为：2(18+182)=1+24，∴第5次对开后所得标准纸的周长是：2+24，第2018次对开后所得标准纸的周长为：1+221008.24.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=BO=CO=DO.∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四边形EFGH是平行四边形.∵OE+OG=FO+OH即EG=FH，∴四边形EFGH是矩形.解答题（共34分）25.（1）证明：∵AE=CD，EC=DA，AC=AC，∴△DCA≌△EAC.（2）添加AB∥CD（答案不唯一）.理由如下：∵BA=DC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵CE⊥AE，∴∠E=90°．∵△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．。

精彩一题 12．【中考·兰州】阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图①，我 们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连 接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.
精彩一题 结合小敏的思路作答： (1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，
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1
相等；相等；互相平 分
2D
6A 7C
3 见习题
4
平行四边形；直角； 四边形
8 见习题 9A
5C
10 见习题
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习题链接 11 见习题 12 见习题
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新知基本功
1．对角线__相__等____的平行四边形是矩形； 对角线__相__等____且___互__相__平__分_____的四边形是矩形．
素质一练通
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.点E，P分别在 AD，BC上，且DE＝BP＝1，AP，BE相交于点H，CE， DP相交于点F.
(1)判断△BEC的形状，并说明理由； 解：△BEC是直角三角形，且∠BEC＝90°. 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠EAB＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2. ∵DE＝1，∴AE＝4.
新知基本功
5．【中考·崇左】如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，
F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，
FH，则图中的矩形共有( C )
A．5个
B．8个
C．9个
D．11个
新知基本功
6．【中考·重庆】下列命题正确的是( A ) A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形

矩形综合知识集结知识元矩形的定义与性质知识讲解矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形.矩形的性质1.平行四边形的性质矩形都具有；2.角：矩形的四个角都是直角；3.边：邻边垂直；4.对角线：矩形的对角线相等；5.矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．例题精讲矩形的定义与性质例1.有一个四边形ABCD是矩形，则下列不一定正确的是（）【解析】题干解析:矩形的概念与性质可得，矩形的对角线不一定垂直。

例2.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=2，则矩形的对角线AC的长是（）C．D．【解析】题干解析:由矩形ABCD的性质得OA=OB,又∠AOB=60°,AB=2，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2,∴AC=4.例3.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=5过对角线交点O作OE AC 交AD于E则AE的长是（）【解析】题干解析:连接EC,∵四边形是ABCD矩形，∴OA=OC, ∵OE AC,设AE=x，在Rt△ECD中，由勾股定理得解得x=3.4.矩形性质的应用知识讲解通过画图，识记矩形的定义及相关性质，根据题意解决问题.例题精讲矩形性质的应用例1.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,,AB=5,则AD的长是（）A．B．【解析】题干解析:四边形ABCD是矩形,又,是等边三角形,,.故选A.例2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）【解析】题干解析:解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB=OC，∴∠OBC=∠ACB=30°，∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．故选：B．例3.如图,在矩形ABCD中, 相交于点O,则图中等腰三角形的个数是_____个.【答案】4【解析】题干解析:四边形ABCD是矩形,,都是等腰三角形例4.矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点，则的周长为______.【答案】12【解析】题干解析:∵四边形ABCD是矩形，AC=8，,是等边三角形的周长是4+4+4=12折叠问题知识讲解对于折叠问题，首先应该明白折叠前后的两部分全等，通过全等得到对应角和对应边相等，遇到求边的问题，通常我们会设X，根据勾股定理来列方程求得。

人教版初二数学8年级下册 第18章（平行四边形）微专题3 矩形的综合训练1.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 对应点E ，BE 交AD 于F.（1）判断△BDF 的形状并证明；（2）若AB=3，BC=4，求S △BDF2.如图，矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，点G 是EF 的中点。

（1）求∠BDG 的度数；（2）写出AB 、AG 、AD 之间的数量关系并证明F EDCB A A B DCE FG G F EC D B A3.如图，矩形ABCD 中，E 在BC 上，CG ⊥BD 于G ，交AE 的延长线于F ，CF=BD ，求∠BAF 。

4.如图，矩形ABCD 中，E 为BC 中点，M 为DA 延长线上一点，MB 、DE 的延长线交于N ，且∠MNC=90°。

（1）求证：AD=2NE ；（2）求证：DM=DN.F GF E D C B ANMED CBA5.如图，点E 是□ABCD 中边BC 的中点，连接AE 并延长,交DC 的延长线于点F .(1) 求证:△ABE ≌△FCE(2)连接AC 、BF ，若∠AEC =2∠ABC ，求证:四边形ABFC 为矩形.6.如图，在 ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，点M,N 分别是BC ，DE 的中点(1) 求证：MN ⊥DE(2)连接ME,MD ,若∠A =60°，求MN DE解的值. A DC B F EE DC B AN M7.如图，矩形ABCD 中，E 为CD 中点，BF 平分∠ABC ，BE ⊥EF(1) ∠AED 的度数（2）求证：GF =2DF .8.（1）如图,在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部，小明将G 延长交DC 于点F ，认为GF=DF ，你同意吗？请说明理由.(2)保持（1）中的条件不变，若DC =2DF ，求AD AB的值；(3)保持（1）中的条件不变，若DC =nDF ，直接写出AD AB 的值为 .F ED C BA G G ED C BA F微专题3 矩形的综合训练1.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 对应点E ，BE 交AD 于F.（1）判断△BDF 的形状并证明；（2）若AB=3，BC=4，求S △BDF（1）证明：∵ AD ∥BC ∴ ∠DBC=∠ADB又 ∵ ∠DBC=∠EBD ∴ ∠EBD=∠ADB∴ △BDF 为等腰三角形（2）解：由（1）知BF=FD ，设AF=x ∴FD=BF=4－x∴ 9＋x 2=（4-x ）2 ∴ x=78 ∴ DF=258∴ S △ADF =12DF·AB=12×258×3=75162.如图，矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，点G 是EF 的中点。