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什么是中国剩余定理？剩余定理详细解法中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。
问物几何？意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
中国剩余定理的证明过程（原创实用版）目录一、引言二、中国剩余定理的概念和背景三、中国剩余定理的证明过程1.求解模数2.求解余数3.构造同余方程4.求解同余方程四、中国剩余定理的应用五、结论正文一、引言中国剩余定理，又称孙子定理，是我国古代数学家孙子提出的一个著名数学定理。
该定理描述了这样一个问题：已知一个整数被若干个正整数（除数）除，所得的余数都相同，求这个整数的最小值。
这个问题在古代被称为“物不知其数”，而中国剩余定理则给出了解决这个问题的方法。
二、中国剩余定理的概念和背景中国剩余定理的表述如下：设整数 a、b、c 分别为除数 d1、d2、d3 的余数，且 d1、d2、d3 两两互质，则存在整数 x、y、z 使得：ax ≡ 1 (mod d1)by ≡ 1 (mod d2)其中，x、y、z 为整数，且 x≥1，y≥1，z≥1。
中国剩余定理的背景可以追溯到古代数学家孙子提出的“物不知其数”问题。
孙子问题描述了这样一个情景：有三个牧羊人，他们分别放牧的三群羊总数相同，但每群羊的数量分别除以 3、5、7 的余数相同。
问：至少有多少只羊？三、中国剩余定理的证明过程为了证明中国剩余定理，我们可以采用两种方法：一种是基于数学归纳法和模运算的证明，另一种是基于鸽巢原理（中国剩余定理的另一种称呼）的证明。
1.求解模数首先，根据题意，我们需要求出除数 d1、d2、d3 的最小公倍数 d。
d 即为所求整数的模数。
2.求解余数根据题意，我们可以得到以下同余方程组：ax ≡ 1 (mod d1)by ≡ 1 (mod d2)cz ≡ 1 (mod d3)我们可以通过扩展欧几里得算法求解这个同余方程组，得到 x、y、z 的值。
3.构造同余方程根据求解得到的 x、y、z，我们可以构造如下同余方程：x = 1 + d1 * r1y = 1 + d2 * r2其中，r1、r2、r3 分别为 x、y、z 除以 d1、d2、d3 的余数。
中国剩余定理计算过程中国剩余定理是数论中的一个重要定理，它在解决一类关于同余方程组的问题中起到了至关重要的作用。
本文将以“中国剩余定理计算过程”为标题，详细介绍中国剩余定理的计算过程，并通过示例来说明其应用。
一、问题引入假设我们有一个同余方程组：x ≡ a1 (mod m1)，x ≡ a2 (mod m2)，...，x ≡ an (mod mn)，其中a1，a2，...，an是给定的整数，m1，m2，...，mn是给定的互质的正整数。
我们的目标是求解出x 的解。
二、中国剩余定理的原理中国剩余定理的核心思想是通过一系列的同余方程组的解来得到整个同余方程组的解。
其原理可以简要概括为以下三个步骤：1. 求出同余方程组中所有模数的乘积n = m1 * m2 * ... * mn；2. 对于每个同余方程，计算mi关于n/mi的乘法逆元Mi；3. 计算解x = (a1 * M1 * n1 + a2 * M2 * n2 + ... + an * Mn * nn) % n，其中ni = n / mi。
三、中国剩余定理的计算过程下面通过一个具体的例子来演示中国剩余定理的计算过程。
例子：求解同余方程组x ≡ 2 (mod 3)，x ≡ 3 (mod 4)，x ≡ 2 (mod 5)。
1. 计算n = 3 * 4 * 5 = 60；2. 分别计算Mi和ni：M1 = n / m1 = 60 / 3 = 20，n1 = M1^-1 ≡ 20^-1 ≡ 2 (mod 3)；M2 = n / m2 = 60 / 4 = 15，n2 = M2^-1 ≡ 15^-1 ≡ 3 (mod 4)；M3 = n / m3 = 60 / 5 = 12，n3 = M3^-1 ≡ 12^-1 ≡ 2 (mod 5)；3. 计算解x：x = (2 * 20 * 2 + 3 * 15 * 3 + 2 * 12 * 2) % 60 = 68 % 60 = 8。
中国剩余定理我国古代著名的数学书《孙子算经》中有这样一道名题“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物有几何？”此乃就是著名的“孙子问题”，俗称“韩信点兵”。
关于它的解法就是享誉国内外的“孙子定律”或“孙子定理”。
外国人称之为“中国剩余定理”。
一、“孙子定理”某数除以3余2，除以5余3，除以7余2。
这个数最小是多少？它的解题思路是：除以3余2的数要在5和7的公倍数数中去找。
5和7的最小公倍数是35.35÷3=11 (2)35符合除以3余2的条件。
除以5余3的数要在3和7的公倍数中去找，3和7的最小公倍数是21。
但21÷5=4 (1)条件要求是除以5余3，如果是21，余数只能是1，要满足余数是3的条件，就必须使被除数、除数、商、余数同时扩大3倍。
21×3=63则63÷5=12 (3)63符合除以5余3的条件。
除以7余2的数，要在3和5的公倍数中去找。
3和5的最小公倍数是15，条件要求除以7余2，如果是15，余数只能是1，要满足余数是2的条件，被除数、除数、商、余数，必须扩大2倍。
15×2=3030÷7=4 (2)30符合除以7余2的条件。
把1、2、3式的被除数和起来，35+63+30=128加得的结果128符合题目中所提的全部条件。
因为35加上的都是3的倍数，所以它们的和128，除以3的余数，不会改变；对63来讲，它所加上的数都是5的倍数。
因此，它们的和除以5的余数，也不会改变；对30来讲，它所加上的都是7的倍数，因此，它们的和除以7的余数，也不会改变。
由于3、5、7的最小公倍数是105，题目中要求的是满足条件的最小的数，因此128-105=23，这所得的差，除以3、5、7的余数也没变，所以23符合题目中所有条件的最小的一个数。
这就是著名的“孙子定理”，世界称之为“中国剩余定理”。
二、“变更被除数法”约定：将“N”分别除以n1,n2…nk所得的余数依次为r1、r2…rk。
中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国剩余定理。
注释：三数为a b c，余数分别为m1 m2 m3，%为求今年余计算，&&是“且”运算。
孙子定理孙子定理1、分别找出能被两个数整除，而满足被第三个整除余一的最小的数。
k1%b==k1%c==0 && k1%a==1;k2%a==k2%c==0 && k2%b==1;k3%a==k3%b==0 && k3%c==1;2、将三个未知数乘对应数字的余数再加起来，减去这三个数的最小公倍数的整数倍即得结果。
Answer = k1×m1 + k2×m2 + k3×m3 - P×(a×b×c);P为满足Answer > 0的最大整数；或者Answer = (k1×m1 + k2×m2 + k3×m3)%(a×b×c) ;解题思路：令某数为M，令素数为A，B，C，D，…，Z，已知M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z。
求M=？因为A，B，C，D，…，Z为不同的素数，故，B*C*D*…*Z不可能被A整除，有等差数列（B*C*D*…*Z）+（B*C*D*…*Z）N中取A个连续项，这A个连续项分别除以A的余数必然存在0，1，2，3，…，A-1，所以，从这A个连续项中能寻找到除以A余1的数。
再用除以A余1的这个数*a其积必然除以A余a，这个除以A余a 的数，为能够被素数B*C*D*…*Z整除的数，为第一个数；再按同样的道理，从A*C*D*…*Z的倍数中寻找除以B余b的数,该数具备被素数A，C，D，…，Z整除的特性，为第二个数；因为，第一个数除以A余a，第二个数能被素数A，C，D，…，Z整除，即能被A整除，所以，第一个数+第二个数之和，仍然保持除以A余a；同理，第二个数除以B余b，因第一个数能被B整除，所以，第二个数+第一个数之和，仍然保持除以B余b。
中国剩余定理内涵及其简单应用
中国剩余定理是数论中的一个重要定理，它提供了求解一类线性同余方程组的方法。
所谓线性同余方程组，是指一组形如x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), …, x ≡ an (mod mn)的方程，其中x是未知数，a1, a2, …, an是已知数，而m1, m2, …, mn是不同的正整数。
中国剩余定理的内涵是：当所给线性同余方程组的模m1, m2, …, mn 两两互素时，存在唯一解x ≡ X (mod M)，其中X是x的一个解，而M = m1 * m2 * … * mn。
简单来说，中国剩余定理告诉我们，当模数两两互素时，我们可以通过对每个方程求解，再通过一定的运算，得到原方程组的解。
中国剩余定理的应用非常广泛，特别是在密码学和计算机科学中。
例如，当我们需要对一个数进行加密和解密时，可以使用中国剩余定理来进行模运算，从而快速计算得到加密后的结果。
此外，在计算机科学中，中国剩余定理也常用于优化算法和并行计算。
由于中国剩余定理能够将一个大问题拆分成多个小问题并行求解，因此可以显著提高计算效率。
总之，中国剩余定理作为数论中的重要定理，不仅具有深刻的理论意义，还具有广泛的实际应用。
通过它，我们可以快速求解线性同余方程组，加密和解密数据，优化算法等，从而提高计算效率和保护数据安全。
中国剩余定理简介在《孙⼦算经》中有这样⼀个问题：“今有物不知其数，三三数之剩⼆（mod3=2），五五数之剩三（mod5=3），七七数之剩⼆(mod7=2），问物⼏何？”这个问题称为“孙⼦问题”，该问题的⼀般解法国际上称为“中国剩余定理”。
具体解法分下⾯三步：1、找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最⼩数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最⼩数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最⼩数70。
2、⽤15乘以2（2为最终结果除以7的余数），⽤21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，⽤70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗215∗2+21∗3+70∗2得到和233。
3、⽤233除以3、5、7的最⼩公倍数105，得到余数23，这个余数23就是符合条件的最⼩数。
很神奇，是吧？我们逐步剖析。
我们第⼀⽬标是求⼀个数n符合条件，⽽不需最⼩。
我们先假设n1是满⾜mod3=2的任意⼀个数，n2是满⾜mod5=3的任意⼀个数，n1是满⾜mod7=2的任意⼀个数。
如果想要(n1+n2)也mod3=2，n2必须是3的倍数（易证）。
如果想要(n1+n2+n3)也mod3=2，n3也得是3的倍数。
归纳得要想(n1+n2+n3)同时满⾜mod3=2,mod5=3,mod7=2，必须有：1. n1mod3=2 && 5|n1 && 7|n12. n2mod5=3 && 3|n2 && 7|n23. n3mod7=5 && 3|n3 && 5|n3于是只需要在5,7的倍数中找⼀个mod3=2的作为n1，在3,7的倍数中找⼀个mod5=3的作为n2，在3,5的倍数中找⼀个mod7=2的作为n3即可。
解决这个⼩问题孙⼦⼜⽤了⼀个⼩技巧。
就是不是先找mod3=2的，⽽是先找mod3=1的再把它乘2⾃然它就mod3=2了。
中国剩余定理简单公式中国剩余定理，又称孙子定理，是一种用来求解一类模线性方程组的方法。
它的基本思想是将一个复杂的方程组化简成一些简单的方程，并通过求解这些简单方程来得到原方程的解。
中国剩余定理的简单公式可以表示为：假设给定一组模数m1, m2, ..., mn，并且这些模数两两互素（即最大公约数为1），同时给定一组余数a1, a2, ..., an，那么存在一个整数x，满足以下条件：x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)...x ≡ an (mod mn)其中≡表示'同余'关系，即两个数除以某个数的余数相等。
中国剩余定理的求解过程可以按照以下步骤进行：1. 计算模数的乘积M = m1 * m2 * ... * mn。
2. 计算每个模数除以M的余数Mi，即 Mi = M / mi。
3. 计算Mi关于模数mi的乘法逆元ni，即满足 Mi * ni ≡ 1 (mod mi)。
4. 计算解x，即 x = (a1 * Mi * ni + a2 * Mi * ni + ... + an * Mi * ni) % M。
通过以上步骤，就可以得到模线性方程组的解x。
中国剩余定理在密码学、编码理论、计算机科学等领域有着重要的应用。
它可以高效地求解大数模运算问题，同时也可以用来对数据进行加密和解密，保护数据的安全性。
此外，中国剩余定理还可以用来加速计算，提高算法的效率。
总结起来，中国剩余定理是一种非常有用的数学工具，它通过将复杂的方程组转化为简单的方程，大大简化了问题的求解过程。
无论是在理论研究还是实际应用中，中国剩余定理都具有重要的价值和意义。
