高二数学椭 圆及其标准方程(2)

.
1 cos
∴SPF1F2
1 mnsin
2
b2 sin
1 cos
b2
tan
.
2
法2：由椭圆的焦点三角形面积公式，可得
∴S F1 PF2
b2 tan ∠F1PF2 2
3 tan 30 3 3 3. 3
y
F1
O
P
F2
x
【练习】1、已知
F1,F2
是椭圆 x2 100
y2 64
1 的两个焦点，P是椭圆上一点，
y
M (x,y)
如图， 建立平面直角坐标系,则 F1(c, 0), F2(c, 0).
由定义知：MF1 MF2 2a， 即 ( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a.
•
F1
O
•
F2 x
化简整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ).
上式两边同除以a 2 (a 2
b2 tan ∠F1PF2 2
,可得b2 tan 45
9,∴b
3.
解：设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得
直线AM的斜率为 kAM
y x1
(x
1).
直线BM的斜率为 kAM
y x1
(x
1).
由 kAM 2, 得 kBM
y 2 y ( x 1, y 0), x1 x1
化简得x 3 ( y 0).
因此,点M的轨迹是直线x 3,去掉点(3, 0).
y
(4)mx 2 ny2 1(m 0, n 0, m n)
【及时训练】
(0,±2)
4 A
A
B
D
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2, 0),(2, 0), 并且经过点( 5 , 3),求它的标 22

椭圆的定义 图形 标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 焦点位置的 判断
MF + MF2 = 2a(2a > 2c > 0) 1
y y
a b F co 1
M M
F2 x
F 2
M
o
F 1
x
y2 x2 x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 2 a b a b
Q P ( x0 , y0 )在圆 x 2 + y 2 = 4上
2 2
y M 0
D
P
代 入 法
x
将 x0 = x ,
y 0 = 2 y代入上述方程 x2 + y2 = 1 4
得 x 2 + 4 y 2 = 4即
设点A 的坐标分别为（ ），（5 例4 设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）. 直线AM BM相交于点 AM， 相交于点M 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 − 4 ，求 9 的轨迹方程. 点M的轨迹方程. y
【课前练习】 课前练习】
x2 y 2 过 ， ， 1.(09山东 设椭圆 山东)设椭圆 山东 设椭圆E: 2 + 2 = 1 (a,b>0)过M(2， 2 )， a b N( 6 ,1)两点，O为坐标原点， 两点， 为坐标原点 为坐标原点， 两点 （I）求椭圆E的方程； ）求椭圆 的方程； 的方程 2 2 x y 两点, ， ， 两点 因为椭圆E: 2 + 2 = 1过M(2， 2 )，N( 6 ,1)两点 解:因为椭圆 因为椭圆 a b
PD， 为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD中点 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 的坐标为(x,y)，点P的坐标为 ( x0 , y0 ) 解：设点M的坐标为 设点 的坐标为 ， 的坐标为 则

线段F1 F2 的中点重合，a、b、c 的意义同上，
椭圆的方程形式又如何呢？
o
x
[设计意图] 该问的设置，一方面是为了得出焦点在 y 轴上的 椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生
的直觉思维和数学悟性. 调动了学生学习的主动性和积极性， 通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力.
[设计意图]通过小结，使学生对所学的知识有一个完 整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.
四、教学过程 <布置作业，巩固提高（学有余力的学生全做， 其余学生不做探究题） >
[设计意图] 一方面为了巩固知识，形成技能，培养学生周 密的思维能力，发现教学中的遗漏和不足；另一方面，分 层要求，有利各种层次的学生获得最佳发展，充分培养了 学生的自主学习能力和探究性学习习惯.
3、教学手段：多媒体辅助教学.
通过动态演示，有利于引起学生的学习兴趣， 激发学生的学习热情，增大知识信息的容量，使 内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质 量.
四、教学流程
创 自 师初 自
知
布
设 主 生步 我
识
置
情 探 互运 评
整
作
景 究 动用 价
理
业
， ， ，， ，
，
，
提 形 导强 反
形
巩
出 成 出化 馈
一、教材分析
(五) 教学的重点难点
1. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程 2. 教学难点：椭圆标准方程的推导
二、学情分析
在此之前,学生对坐标法解决几何问题掌握 不够，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生 思维上存在障碍. 在求椭圆标准方程时，会遇到 比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中 代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满 足学习本节的需要，故本节采取缺什么补什么 的办法来补充这些知识.

∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
变式:(1)


已知F1，F2是椭圆 ＋

|PF1|·|PF2|的最大值为
＝1的两个焦点，P是椭圆上的任一点．
；


(2)已知椭圆： ＋


＝(＜＜)的左、右焦点分别为F1，F2 ，P是
椭圆上一点，则|PF1|=3， ∠F1PF2＝60°，则的值为
焦点在x轴上
y
y
M
•
F1
O
M
•
F2
x
•F2
O
x
•F1
方程
共同点
特
点
不同点
x2 y2
y2 x2
2 1 (a b 0)
2 1 (a b 0)
2
2
a
b
a
b
a b 0,且 a 2 b 2 c 2 .
焦点坐标F1 ( c , 0), F2 (c , 0)
焦点坐标F1 (0, c ), F2 (0, c )
，

).
x2 y2
解1: (定义法) 由于椭圆的焦点在x轴上,故可设椭圆方程为 2 2 1 (a b 0).
a
b
由椭圆的定义知c 2,则
5
3 2
5
3 2
2
2
2a ( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 10,
2
2
2
2
∴a 10 ,b 2 a 2 c 2 6.
2a
>
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝_______(常数)且2a_____|F