2018-2019年上海交大附中高三上数学开学考

上海市交大附中高三9月份开学考试注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、填空题.1.方程组的增广矩阵是______．【答案】【解析】试题分析：根据增广矩阵的定义可知为.考点：本小题主要考查增广矩阵的定义和应用.点评：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。

2.若直线的参数方程为，则直线的倾斜角是_______．【答案】【解析】【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程为y+2（x﹣3），求出其斜率，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．【详解】根据题意，直线l的参数方程为，则其普通方程为y+2（x﹣3），其斜率k，则有tanθ，且0°≤θ＜180°，则θ＝120°；故答案为：120°．【点睛】本题考查直线的参数方程，关键是将直线的参数方程变形为普通方程,熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题3._______．【答案】【解析】【分析】利用二项式定理系数的性质，求解分子，然后利用数列极限的运算法则求解即可．【详解】由二项式定理系数的性质可得，．故答案为：．【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力，是基础题4.已知数列的前项的和，则当为正偶数时，______．【答案】【解析】【分析】由已知求得，当n≥2且n为正偶数时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣[2（n﹣1）﹣1]＝2n﹣2n+3，验证a2＝3适合，由此可得当n为正偶数时的a n．【详解】由，得＝1，；当n≥2且n为正偶数时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣[2（n﹣1）﹣1]＝2n﹣2n+3．验证＝3适合上式，∴当n为正偶数时，．故答案为：2n﹣2n+3．【点睛】本题考查数列通项公式，考查利用数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．5.函数是奇函数，那么______．【答案】【解析】【分析】求f（﹣x）＝，再根据f（x）为奇函数，可得出＝-整理化简即可求出a的值．【详解】由题f（﹣x）＝函数是奇函数，∴- f（﹣x）＝，即-解得2,∴故答案为-1【点睛】本题考查奇函数的定义，多项式的运算，多项式相等的充要条件，准确利用定义计算是关键，是基础题6.若函数无最值，则的取值范围是______．【答案】a或a【解析】【分析】由题意函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2）无最值，即f（x）的值域为R，那么（0，+∞）是y＝x2﹣ax+2的值域的子集，即△≥0，可得a的取值范围．【详解】由题意，函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2）无最值，即f（x）的值域为R，那么（0，+∞）是y＝x2﹣ax+2的值域的子集，即△≥0，∴a2﹣8≥0，则a或a；故答案为：a或a．【点睛】本题考查对数型复合函数的值域，考查对数函数的性质，明确真数无最值是突破点，准确利用二次函数的△≥0解决问题是关键，是中档题7.△的内角，，的对边分别为，，，已知△的面积为，，则______．【答案】【解析】【分析】直接利用三角形的面积公式和正弦定理求出sinBsinC的值，进一步利用三角函数关系式的变换即可求出A 的值．【详解】已知△ABC的面积为，则：S△ABC acsinB，整理得：3csinBsinA＝2a，由正弦定理得：3sinCsinBsinA＝2sinA，由于sinA≠0，故：sinBsinC，由于：6cosBcosC＝1，所以：cosBcosC，所以：cosBcosC﹣sinBsinC，所以：cos（B+C），故：cosA，A所以：A．故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.设，是虚数单位，已知集合，，若，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示圆的圆心移动到了（1，1+b）；两圆面有交点即可求解b的取值范围．【详解】由题意，集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示点的轨迹为（1，1+b），半径为2的圆及内部∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点；∴．可得：，故答案：，【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B集合的意义是关键，是中档题9.从双曲线（，）的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若是线段的中点，为坐标原点，则的值是____．【答案】【解析】试题分析：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，，，则，在中，，，所以，又是线段的中点，为中点，所以，所以即，故应填入.考点：1.双曲线的定义；2.直线与圆相切；3.数形结合的应用.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.关于的方程恰有3个实数根，，，则__________．【答案】2【解析】【分析】令f（x）＝x2+arcsin（cosx）+a，判断f（x）的奇偶性，由题意可得f（0）＝0，求得a，再由反三角函数的定义和性质，化简函数，求得f（x）＝0的解，即可得到所求和．【详解】令f（x）＝x2+arcsin（cosx）+a，可得f（﹣x）＝（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a＝f（x），则f（x）为偶函数，∵f（x）＝0有三个实数根，∴f（0）＝0，即0a＝0，故有a，关于x的方程即x2+arcsin（cosx）0，可设＝0，且2+arcsin（cos）0，2+arcsin（cos）0，由y＝x2和y arcsin（cosx），当x＞0，且0＜x＜π时，y arcsin（cosx）arcsin（sin（x））（x））＝x，则﹣π＜x＜0时，y arcsin（cosx）＝﹣x，由y＝x2和y arcsin（cosx）的图象可得：它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），则2+2+2＝0+1+1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查函数与方程，函数的奇偶性，反三角函数的定义和性质，函数方程的转化思想，以及化简整理的运算能力，属于中档题．12.由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是____．①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素.【答案】①②④【解析】由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．【详解】若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立；若M＝{x∈Q|x}，N＝{x∈Q|x}；则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立；若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在M和N两个集合中，与M和N的并集是所有的有理数矛盾，故③不可能成立．故答案为：①②④【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查列举法和推理能力，对每个选项举出反例说明是关键，属于基础题．二、选择题。

2018-2019年交大附中高三上开学考一. 填空题1. 方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是 2. 若直线l的参数方程为323x y t ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩，t ∈R ，则直线l 的倾斜角是 3. 022222lim 34n n n n nn C C C →∞++⋅⋅⋅+=- 4. 已知数列{}n a 的前n 项的和212n n n n S n -⎧=⎨⎩为正奇数为正偶数，则当n 为正偶数时，n a = 5. 函数22()(1)(1)x ax f x x x +=+-是奇函数，那么a = 6. 若函数2()lg(2)f x x ax =-+无最值，则a 的取值范围是7. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知△ABC 的面积为23sin a A， 6cos cos 1B C =，则A =8. 设b ∈R ，i 是虚数单位，已知集合{||i|2}A z z =-≤，11{|1i,}B z z z b z A ==++∈，若A B ≠∅ ，则b 的取值范围是9. 从双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -的值为10. 胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列{}n a ，首先，他令11a =，当1n ≥时，他掷一次骰子，若所得点数大于n a ，即令11n n a a +=+，否则，令11n n a a +=-，则40a =的概率为（结果用最简分数表示）11. 关于x 的方程2arcsin(cos )0x x a ++=恰有3个实数根1x 、2x 、3x ，则222123x x x ++=12. 由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q = ，M N =∅ ，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称{,}M N 为戴德金分割，试判断，对于任一戴德金分割{,}M N ，下列选项中，可能成立的是①M 没有最大元素，N 有一个最小元素； ②M 没有最大元素，N 也没有最小元素；③M 有一个最大元素，N 有一个最小元素； ④M 有一个最小元素，N 没有最小元素；二. 选择题13. 已知集合{|1}A x x =>-，则下列选项正确的是（ ）A.0A ⊆B. {0}A ⊆C.A ∅∈D. {0}A ∈14. 在空间直角坐标系O xyz -中，若点P 在第Ⅵ卦限，则与点P 关于y 轴对称的点在（ ）A. 第Ⅰ卦限B. 第Ⅲ卦限C. 第Ⅴ卦限D. 第Ⅶ卦限15. 设A 、B 、C 为实数，则“0ABC <”是“方程22Ax By C +=表示的曲线为双曲线”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件16. 已知O 、A 、B 、C 是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数1λ、2λ、3λ，使得1230OA OB OC λλλ++= ，则三个角AOB ∠、BOC ∠、COA ∠（ ）A. 都是钝角B. 至少有两个钝角C. 恰有两个钝角D. 至多有两个钝角三. 解答题17. 如图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点.（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线1AC 与AB 的所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比.18.（1）已知())lg f x ax b =-是定义在R 上的奇函数，求实数a 、b 的值；（2）已知())lg f x ax b =-是定义在R 上的函数，求实数a 的值.19. 某工厂在生产产品时需要用到长度为698mm 的A 型和长度为518mm 的B 型两种钢管，工厂利用长度为4000mm 的钢管原材料，剪裁成若干A 型和B 型钢管，假设裁剪时损耗忽略不计，剪裁后所剩废料与原材料的百分比称为废料率.（1）要使剪裁的废料率小于4.5%，共有几种方案剪裁？请写出每种方案中分别被剪裁A型钢管和B 型钢管的根数；（2）假设一根A 型钢管和一根B 型钢管能成为一套毛坯，假定只能按（1）中的那些方案剪裁，若公厂需要生产320套毛坯，则至少需要采购多少根长度为4000mm 的钢管原材料？最终的废料率为多少？20. 在平面上，给定非零向量b ，对任意向量a ，定义22()||a b a a b b ⋅=- . （1）若(2,3)a = ，(1,3)b =- ，求a ；（2）若(2,1)b = ，证明：若位置向量a 的终点在直线0Ax By C ++=上，则位置向量a 的终点也在一条直线上；（3）已知存在单位向量b ，当位置向量a 的终点在抛物线2:C x y =上时，位置向量a 终点总在抛物线2:C y x '=上，曲线C 和C '关于直线l 对称，问直线l 与向量b 满足什么关系？21. 设函数2()f x ax bx =+，,a b ∈R ，若231()62x f x x --≤≤+对任意x ∈R 成立，且数列{}n a 满足12a =，11()12n n a f a +=-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求证：11231n n a a a a a +-=⋅⋅⋅⋅；（3）求证：20181220181111112018a a a -<++⋅⋅⋅+<.参考答案一. 填空题1.211132-⎛⎫ ⎪-⎝⎭2. 120°3.12-4.223n n a n =-+5.1a =-6. 8a ≥或0a ≤7.3π 8. b ≤9. b a - 10.22711. 2 12. ③二. 选择题 13. B 14. A 15. D 16. B三. 解答题17.（1）；（2）2:3π.18.（1）1a =±，b =2）[1,1]a ∈-.19.（1）方案一：25a b =⎧⎨=⎩，废料率最小为26985518(1)100%0.35%4000⨯+⨯-⨯=； 方案二：42a b =⎧⎨=⎩，废料率最小为46982518(1)100% 4.3%4000⨯+⨯-⨯=； （2）最多可剪裁320套毛坯，最终的废料率为2.72%.20.（1）176(,)55a =- ；（2）证明略；（3）直线l 与向量b 垂直. 21.（1）2()22f x x x =-+；（2）证明略；（3）证明略.。

上海市交大附中高三9月份开学考试一、填空题.1.方程组的增广矩阵是______．【答案】【解析】试题分析：根据增广矩阵的定义可知为.考点：本小题主要考查增广矩阵的定义和应用.点评：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。

2.若直线的参数方程为，则直线的倾斜角是_______．【答案】【解析】【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程为y+2（x﹣3），求出其斜率，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．【详解】根据题意，直线l的参数方程为，则其普通方程为y+2（x﹣3），其斜率k，则有tanθ，且0°≤θ＜180°，则θ＝120°；故答案为：120°．【点睛】本题考查直线的参数方程，关键是将直线的参数方程变形为普通方程,熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题3._______．【答案】【解析】【分析】利用二项式定理系数的性质，求解分子，然后利用数列极限的运算法则求解即可．【详解】由二项式定理系数的性质可得，．故答案为：．【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力，是基础题4.已知数列的前项的和，则当为正偶数时，______．【答案】【解析】【分析】由已知求得，当n≥2且n为正偶数时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣[2（n﹣1）﹣1]＝2n﹣2n+3，验证a2＝3适合，由此可得当n为正偶数时的a n．【详解】由，得＝1，；当n≥2且n为正偶数时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣[2（n﹣1）﹣1]＝2n﹣2n+3．验证＝3适合上式，∴当n为正偶数时，．故答案为：2n﹣2n+3．【点睛】本题考查数列通项公式，考查利用数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．5.函数是奇函数，那么______．【答案】【解析】【分析】求f（﹣x）＝，再根据f（x）为奇函数，可得出＝-整理化简即可求出a的值．【详解】由题f（﹣x）＝函数是奇函数，∴-f（﹣x）＝，即-解得2,∴故答案为-1【点睛】本题考查奇函数的定义，多项式的运算，多项式相等的充要条件，准确利用定义计算是关键，是基础题6.若函数无最值，则的取值范围是______．【答案】a或a【解析】【分析】由题意函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2）无最值，即f（x）的值域为R，那么（0，+∞）是y＝x2﹣ax+2的值域的子集，即△≥0，可得a的取值范围．【详解】由题意，函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2）无最值，即f（x）的值域为R，那么（0，+∞）是y＝x2﹣ax+2的值域的子集，即△≥0，∴a2﹣8≥0，则a或a；故答案为：a或a．【点睛】本题考查对数型复合函数的值域，考查对数函数的性质，明确真数无最值是突破点，准确利用二次函数的△≥0解决问题是关键，是中档题7.△的内角，，的对边分别为，，，已知△的面积为，，则______．【答案】【解析】【分析】直接利用三角形的面积公式和正弦定理求出sinBsinC的值，进一步利用三角函数关系式的变换即可求出A的值．【详解】已知△ABC的面积为，则：S△ABC acsinB，整理得：3csinBsinA＝2a，由正弦定理得：3sinCsinBsinA＝2sinA，由于sinA≠0，故：sinBsinC，由于：6cosBcosC＝1，所以：cosBcosC，所以：cosBcosC﹣sinBsinC，所以：cos（B+C），故：cosA，A所以：A．故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.设，是虚数单位，已知集合，，若，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示圆的圆心移动到了（1，1+b）；两圆面有交点即可求解b的取值范围．【详解】由题意，集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示点的轨迹为（1，1+b），半径为2的圆及内部∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点；∴．可得：，故答案：，【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B集合的意义是关键，是中档题9.从双曲线（，）的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若是线段的中点，为坐标原点，则的值是____．【答案】【解析】试题分析：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，，，则，在中，，，所以，又是线段的中点，为中点，所以，所以即，故应填入.考点：1.双曲线的定义；2.直线与圆相切；3.数形结合的应用.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，①一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；②一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.关于的方程恰有3个实数根，，，则__________．【答案】2【解析】【分析】令f（x）＝x2+arcsin（cosx）+a，判断f（x）的奇偶性，由题意可得f（0）＝0，求得a，再由反三角函数的定义和性质，化简函数，求得f（x）＝0的解，即可得到所求和．【详解】令f（x）＝x2+arcsin（cosx）+a，可得f（﹣x）＝（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a＝f（x），则f（x）为偶函数，∵f（x）＝0有三个实数根，∴f（0）＝0，即0a＝0，故有a，关于x的方程即x2+arcsin（cosx）0，可设＝0，且2+arcsin（cos）0，2+arcsin（cos）0，＝﹣，由y＝x2和y arcsin（cosx），当x＞0，且0＜x＜π时，y arcsin（cosx）arcsin（sin（x））（x））＝x，则﹣π＜x＜0时，y arcsin（cosx）＝﹣x，由y＝x2和y arcsin（cosx）的图象可得：它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），则2+2+2＝0+1+1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查函数与方程，函数的奇偶性，反三角函数的定义和性质，函数方程的转化思想，以及化简整理的运算能力，属于中档题．12.由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是____．①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素.【答案】①②④【解析】【分析】由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．【详解】若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立；若M＝{x∈Q|x}，N＝{x∈Q|x}；则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立；若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在M和N两个集合中，与M 和N的并集是所有的有理数矛盾，故③不可能成立．故答案为：①②④【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查列举法和推理能力，对每个选项举出反例说明是关键，属于基础题．二、选择题。

交大附中高三开学考数学试卷一. 填空题1. 已知集合2{|log 1}A x x =<，1{|0}2x B x x -=<+，则A B = 2. 已知复数z 满足(1i)1i z +=-，则Re z = 3. 已知点(2,1)A ，(3,5)B ，(5,2)C ，则△ABC 面积是4. 若1()21x f x a =+-是奇函数，则实数a = 5. 已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行，则k =6. 已知P 为2214x y -=上动点，O 为坐标原点，M 为OP 中点，则点M 的轨迹方程为 7. 已知平面向量PA 、PB 满足22||||4PA PB +=，||2AB =，设2PC PA PB =+，则||PC ∈8. 已知()3sin()6f x x πω=-（0ω>）和()2cos(2)1g x x ϕ=++的图像的对称轴完全相同，则[0,]2x π∈时()f x 的取值范围是9. 已知α、β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α=10. 关于x 不等式|2|6ax +<解集为(1,2)-，则实数a =11. 甲、乙、丙三人传球，每个人得到球后，等可能地传给其余两人，从甲开始传，设传n 次球后回到甲手中的概率为()P n ，则(1)P n +可用()P n 表示为12. 从1，2，3，⋅⋅⋅，n 这n 个连续正整数中，任取3个不同的数构成等差数列，已知这样的等差数列最多有180个，则n =二. 选择题13. 不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）A. 3个B. 4个C. 6个D. 7个14. 设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则20191222019222a a a ++⋅⋅⋅+的值为（ ） A. 2 B. 0 C. 1- D. 115. 若()|1||2|f x x x a =+++的最小值是3，则实数a 的值为（ ）A. 5或8B. 1-或5C. 1-或4D. 4-或816. 已知异面直线a 、b 成60°角，其公垂线段为EF ，||2EF =，长为4的线段AB 的两端点分别在直线a 、b 上运动，则AB 中点的轨迹为（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 以上都不是三. 解答题17. 已知0a >，1a ≠，0b >，1b ≠，0M >.（1）求证：log log n a a M n M =；（2）求证：log log log a b a M M b=.18. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 、S 分别为棱AD 、DC 、1CC 、11A B 的中点.（1）求证：P 、Q 、R 、S 共面；（2）求直线AB 与平面PQRS 所成角的正弦值.)BA BC cCB CA ⋅=⋅.（1）求角B 的大小；（2）若||6BA BC -=ABC 面积的最大值.20. 给定椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），称圆心在原点O C 的“准圆”，若椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴上一个端点到F （1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）设点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作椭圆C 的切线1l 、2l ，试判断直线1l 、2l 是否垂直，并说明理由；（3）过点(,)22a b 作椭圆C 的“准圆”的动弦MN ，过点M 、N 分别作“准圆”的切线，设两切线交于点Q ，求点Q 的轨迹方程.21. 定义：对任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，称[]x 为x 的整数部分，{}x 为其相应的小数部分，{}[]x x x =-，函数()[]f x x =，(){}g x x =.（1）求方程2[]10x x --=的解；（2）用周期函数定义证明()g x 是周期函数；（3）对数列{}n a ，2n n a =，*n ∈N ，设函数()[][]n n n a x h x a x-=，212(,)n n x a a -∈，令()n h x 值域中元素和为n b ，求数列{}n b 前2019项和.参考答案一. 填空题1. (01)，2. 03. 1124. 125. 3或56. 2241x y -=7. [0,2]8. 3[,3]2-9. 1 10. 4- 11. 1(1)(1())2P n P n +=- 12. 20二. 选择题13. D 14. C 15. D 16. A三. 解答题17.（1）证明略；（2）证明略.18.（1）证明略；（219.（1）4B π=；（2）1)2.20.（1）椭圆方程为2213x y +=，准圆方程为224x y +=；（2）1l 、2l 垂直；（38y +=.21.（1）x =（2）证明略；（3）2019201912(12)2n b =⋅-.。