1.2 回归分析（二）
明目标、知重点 1.进一步体会回归分析的基本思想.2.通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度
.
1.常见的非线性回归模型有
幂函数曲线y ＝ax b ，指数曲线y ＝a e bx
.
倒指数曲线e b
x a ，对数曲线y ＝a ＋b ln x .
2.非线性函数可以通过变换转化成线性函数，得到线性回归方程，再通过相应变换得到非线性回归方程
.
探究点一 非线性回归模型
思考1 有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？
答 首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有的函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型. 思考2 如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？
答 可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程.
例1 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
试建立y 与x 解 根据上表中数据画出散点图如图所示.
由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y ＝21c x
c e
的周围，于是令z ＝ln y .
由表中数据可得z 与x 之间的线性回归方程：
z ^
＝0.663＋0.020x ，则有y ^
＝e 0.663＋0.020x .
反思与感悟 根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y ＝21c x
c e 的
周围，其中c 1和c 2是待定参数；可以通过对x 进行对数变换，转化为线性相关关系. 跟踪训练1 在彩色显影中，由经验知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式y ＝b
x
Ae (b <0)表示.现测得试验数据如下：
试求y 对x 的回归方程.
解 由题给的公式y ＝b x
Ae ，两边取自然对数，便得ln y ＝ln A ＋b x
，与线性回归方程相对照，只要取u ＝1
x
，v ＝ln y ，a ＝ln A .就有v ＝a ＋bu .
题给数据经变量置换u ＝1
x
，v ＝ln y 变成如下表所示的数据：
可得ln y ＝0.548－x
，
即y ^
＝e
0.548－
0.146
x
＝e
0.548
·e
－
0.146x
≈1.73e
－
0.146x
，
这就是y 对x 的回归方程. 探究点二 非线性回归分析
思考 对于两个变量间的相关关系，是否只有唯一一种回归模型来拟合它们间的相关关系？ 答 不一定.我们可以根据已知数据的散点图，把它与幂函数、指数函数、对数函数、二次函数图象进行比较，挑选一种拟合比较好的函数，作为回归模型.
例2 对两个变量x ，y 取得4组数据(1,1)，(2,1.2)，(3，1.3)，(4,1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下： 甲 y ＝0.1x ＋1，
乙 y ＝－0.05x 2
＋0.35x ＋0.7，
丙 y ＝－0.8·(0.5)x
＋1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际. 解 甲模型，当x ＝1时，y ＝1.1； 当x ＝2时，y ＝1.2；
当x ＝3时，y ＝1.3；当x ＝4时，y ＝1.4. 乙模型，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝1.2； 当x ＝3时，y ＝1.3；当x ＝4时，y ＝1.3. 丙模型，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝1.2； 当x ＝3时，y ＝1.3；当x ＝4时，y ＝1.35. 观察4组数据并对照知， 丙的数学模型更接近于客观实际.
跟踪训练2 根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快.下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：
根据有关专家预测，到
归模型是下列四种模型中的哪一种 .(填序号)
①y＝ax＋b(a≠0)；②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；③y＝a x(a>0且a≠1)；④y＝log a x(a>0且a≠1).答案①
1.散点图在回归分析中的作用是( )
A.查找个体个数
B.比较个体数据大小关系
C.探究个体分类
D.粗略判断变量是否相关
答案 D
2.变量x与y之间的回归方程表示( )
A.x与y之间的函数关系
B.x与y之间的不确定性关系
C.x与y之间的真实关系形式
D.x与y之间的真实关系达到最大限度的吻合
答案 D
3.变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数r最接近的值为( )
A.1
B.－0.5
C.0
D.0.5
答案 C
4.某矿山采煤的单位成本Y与采煤量x有关，其数据如下：
则Y的相关系数为 .
答案－0.559 3
[呈重点、现规律]
1.对于可确定具有非线性相关关系的两个变量，可以通过对变量进行变换，转化为线性回归
问题去解决.
2.可以通过计算相关系数r 判断模型拟合的好坏程度.
由于2004对应的x ＝55，代入回归直线方程可得y ^
＝1 322.506(百万)，即2004年的人口总数估计为13.23亿.
下面对其进行线性相关性检验：
(1)作统计假设H 0∶x 与y 不具有线性相关； (2)由0.01与n －2＝9的附表中查得r 0.01＝0.735； (3)根据公式得相关系数r ＝0.998； (4)因为|r |＝0.998>0.735，即|r |>r 0.01，
所以有99%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系，回归直线方程为y ^
＝527.591＋14.453x ，用这个方程去估计我国2004年的人口数是有意义的.
