第一次数学危机及其消除
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第一次数学危机及其消除班级：数学131班姓名：翁**
内容摘要：主要论述在数学发展的曲折过程中，无理数的出现导致第一次数学危机的历史事实及这这次危机的消除经过。
关键字：第一次数学危机；毕达哥拉斯；不可共度量；无理数
引言：数学史不仅仅是数学成就的编年记录，数学的发展不是一帆风顺，在更多的情况下是充满犹豫徘徊，甚至危机。
第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自的发现起，到
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公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志。
这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。
第一次数学危机产生的背景
毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年)
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理（即勾股定理）提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？
他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新
数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。
小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这在希腊当时是人们普遍接受的信仰!
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可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的存在
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而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
无理数的发现
毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大发现是证明了毕达哥拉斯定理
即我们所说的勾股定理。
就是指直角三角形三边有如下关系的一个命题，即：(1)
和分别代表直角三角形的两条直角边，表示斜边。
这个学派还
认为满足（1）式的数有无穷多个，并提供了下述三元数组，即若是奇数，并且
,则有: , , (2) 这三元数组只是使（1）式成立的充分条件，而不是必要条件。
当毕达哥拉斯学派进一步致力于等式（1）和等式（2）的研究时，米太旁登的希帕苏斯，发现了在等腰直角三角形中，（1）式中出现了下述结果：(3)
222c b a =+m a =)1(2
12-=m b )1(212+=m c 222c a =a b c 1>m
毕达哥拉斯定理的证明图解：
c b a 2
22=+
如果直角三角形的两条直角边都等于1 时，其斜边的长就恰好等于。
而找不到可以公度的几何实体，这在当时的认识水平下，无疑是一个矛盾。
此外，是否是个数？对于毕达哥拉斯学派来说，这确实是一个可怕的问题。
因为如果承认它是数，就要与“数即万物”中所说的整数发生不可调和的矛盾。
等式(3）所引出的对于毕达哥拉斯学派是一个致命的打击。
“数即万物”的世界观被彻底地动摇了。
由此引发了数学的第一次危机!。
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大约在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了：等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约。
新发现的数由于和之前的所谓“合理存在的数”——即有理数在学派内部形成了对立，所以被称作了无理数。
希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以“淹死”的惩罚.
直角三角形的直角边与其斜边不可通约，这个简单的数学事实的发现使毕达哥拉斯学派的人感到迷惑不解。
它不仅违背了毕达哥拉斯派的信条，而且冲击着当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信仰。
所以，通常人们就把希帕索斯发现的这个矛盾，叫做希帕索斯悖论。
不过存在另外一种说法称，据说, 正五边形的边与对角线之比二分之根号五是最先被发现的无理数。
第一次数学危机的消除：
数学的第一次危机的解决大约在公元前370年，才华横溢的希腊数学家毕达哥拉斯的学生阿契塔和欧多克索斯以及柏拉图给出两个相等的定义从而消除了这次危机。
他们给出的定义与所涉及的量是否有公度无关，其实这也是自然的，因为两个线段的比本来与第三个线段无关。
毕达哥拉斯学派首先给出了以单位长为边的正方形的对角线的长度不能用整数之比来表示的证明方法，证明过程如下： 假设：是有理数，设(p,q 均为自然数，且（p,q ）=1)
所以，
两边平方得：（1） 所以必为2的倍数，故q 必为2的倍数。
因为（p,q ）=1，得p 为奇数。
记，,
把两式代入（1）得：
整理得： 显然左边为奇数右边为偶数，引出矛盾，故为无理数。
222q p 222=p q =q p =2'2')2()122q p =-（为自然数）''(12p p p -=为自然数）''(2q q q =22'21'4'4q p p =+-
《几何原本》中的比例理论
欧几里德的《几何原本》第五卷讲比例，是以欧多克斯的工作为基础的。
有人认为这一卷代表了《原本》的最大成就，因为他在当时的认识水平上消除了有不可公度量引起的数学危机。
其中所给出的比例的定义相当于说：设A ，B ，C ，D 是任意四个量，其中A 和B 同类（即均为线段、角或面积等），C 和D 为同类。
如果对于任何两个正整数m 和n ，关系是否成立，相应地取决于关系是否成立，则称A 与B 之比等于C 与D 之比，即A ，B ，C ，D 四量成比例。
这一定义并未限制涉及的量是可公度的还是不可公度的，因此可以运用它来证明许多早期毕达哥拉斯学派只对可公度量证明了的命题。
nB mA ≤=≥nD mC ≤=≥
戴德金分割
戴德金分割，是将一切有理数的集合划分为两个非空不相交的子集A和B,使得A中的每一个元素小于B中的每一个元素，这时戴德金把这个划分定义为有理数的一个分割（有些分割是有理数产生的，在这样的分割中，要么有最大元素，要么有最小元素·但有些分割却不是）。
假设给定某种方法把所有的有理数分为两个集合，A和B，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，任何一种分类方法称为有理数的一个分割。
对于任一分割, 必有3种可能, 其中有且只有1种成立:
A有一个最大元素a，B没有最小元素。
例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。
B有一个最小元素b，A没有最大元素。
例如A是所有<1的有理数。
B是所有≥1的有理数。
A没有最大元素，B也没有最小元素。
例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。
显然A和B的并集是所有的有理数，因为平方等于2的数不是有理数。
注:：A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因为这样就有一个有理数不存在于A和B两个集合中，与A和B的并集是所有的有理数矛盾。
第3种情况，戴德金称这个分割为定义了一个无理数，或者简单的说这个分割是一个无理数。
前面2种情况中，分割是有理数。
这样，所有可能的分割构成了数轴上的每一个点，既有有理数，又有无理数，统称实数。
