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线性代数复习提纲

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线性代数复习提纲复习内容：第一章行列式及空间直角坐标系、第二章矩阵、第三章向量空间、第四章线性方程组重点内容：行列式的相关内容：（1）行列式的性质：全排列及逆序数、行列式的基本性质及其推论。

（2）行列式的展开定理：代数余子式；展开定理（3）克莱姆法则矩阵相关内容（1）矩阵的运算：线性运算、矩阵相乘；矩阵的转置与对称矩阵（2）逆矩阵：逆矩阵的性质；利用伴随矩阵求逆矩阵；矩阵多项式及矩阵方程（3）分块矩阵：分块矩阵的运算（4）矩阵的初等变换：矩阵的三种初等变换；初等矩阵；逆矩阵的初等变换法；初等变换求方程组的解。

（5）矩阵的秩：秩的概念；初等变换求矩阵的秩。

（6）消元法求线性方程组：有解和无解的条件。

（分为齐次和非齐次线性方程组）向量空间的相关内容（1）向量的线性运算；加法运算和数乘运算，运算律（2）向量间的线性关系：线性表示；线性相关；线性无关；判断线性相关和线性无关的方法：定义法和定理法（3）向量组的秩：极大无关组；初等变换就向量组的秩。

线性方程组相关内容（1）线性方程组有解的判定条件：（2）齐次线性方程组：只有零解和有非零解的条件；齐次线性方程组解的结构；（3）非齐次线性方程组：非齐次线性方程组有唯一解和无穷多解的条件；非齐次线性方程组解的结构。

附：部分复习题 一、选择题、四阶行列式1122334400000000a b a b b a b a 的值等于（ ）A 12341234a a a a b b b b -B 12341234a a a a b b b b + C.12123434()()a a b b a a b b -- D. 23231414()()a a b b a a b b -- 2.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n ） 3、已知a ，b 都是非零向量，且满足关系式：︱a —b ︱=︱a+b ︱，则（ ） A. a·b=0 B.a×b=0 C. a+b=0 D.a-b=0 4、若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( )A.21B.2C.4D.8 5.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，则|-2A|=（ ）A.-32B.-4C.4D.326.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（ ）A. A -1B -1C -1B. C -1B -1A -1C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -1 7.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A.α1，α2，α3，α4线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性相关 C.α1可由α2，α3，α4线性表示 D.α1不可由α2，α3，α4线性表示 8.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ）A.1B.2C.3D.4 9.．设A,B 可逆，则1O A B C -⎛⎫ ⎪⎝⎭=( )A. 111O A B BCA ---⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭B. 1111A CB A B O ----⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C. 1111B CA B A O ----⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D 1111O B A A CB ----⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭10.已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ） A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2 B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2 C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0 D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为0 11.下列命题中错误．．的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关 12.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ）A.α1必能由α2,α3，β线性表出B.α2必能由α1,α3，β线性表出C.α3必能由α1,α2，β线性表出D.β必能由α1,α2,α3线性表出 13.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关 14.设A 为m×n 矩阵，m ≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ ）A.小于mB.等于mC.小于nD.等于n 15.设A 是m×n 矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是（ ） A.m≥n B.Ax=b （其中b 是m 维实向量）必有唯一解 C.r （A ）=m D.Ax=0存在基础解系16.下列行列式中，不等于零的是（ ）A.123111-0.5-0.5-0.5B. 1231110.5 1.5 2.5 C. 1531210.54 2.5 D. -11-14-1212-517.12021k k -≠-的充分必要条件是（）A 1k =-B 3k ≠C 13k k ≠-≠且D 13k k ≠-≠或18. 设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT|=( )A.-8B.-2C.2D.8 19.向量a=（1,1,1），b=（1,2,1），c=（1,1,2）的关系正确的是A 共面 B.异面 C.平行 D 重合 20. 设矩阵A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11,B=(1,1),则AB=( )A.0B.(1,-1)C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111121.设A ，B ，C 是n 阶方阵，ABC=E ，则（ ）A ．BAC=EB ．CBA=E C.CAB=E D.ACB=E 22.设 A 为n 阶方阵，A 的行列式|A|=a ≠0，那么*A 等于（）A. aB. 1/aC. 1n a - D na23.设 A,B 均可逆，则1()T AB -⎡⎤⎣⎦等于（ ）A. 11()()T T B A -- B 11()()T T A B -- C. 11()()T T B A -- D. 11()()T T B A -- 24.设矩阵A 的伴随矩阵A *=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321,则A -1= ( )A.21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 B. 21- ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321 C. 21- ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321 D. 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1324 25．设A,B 可逆，则1O A B C -⎛⎫⎪⎝⎭=( )A. 111O A B BCA ---⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭B. 1111A CB A B O ----⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C. 1111B CA B A O ----⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D 1111O B A A CB ----⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭26.设1a =（1，1，-1）, 2a =(1，2，1)，k 为任意实数，则（ ）A. 12a a -线性相关B. 12a a +相关C. 1ka 线性无关D. 12a a -线性无关 27.设1(3,3,3)a =-，2(4,4,4)a =--，3(0,0,0)a =则（ ） A ．123,,a a a 的秩为1 B. 123,,a a a 的秩为2 C ．12,a a 线性无关 D. 123,,a a a 线性无关 28. 设1(2,1,0)a =，2(0,0,0)a =则（ ）A.2a 线性无关B. 1a 线性无关C. 12,a a 线性无关D. 1a 线性相关 29.设A 为n 阶奇异方阵，A 中有一个元素ij a 的代数余子式ij A ≠0，则齐次线性方程组AX=0的基础解系所含解向量的个数为（ ）个。

A ．i B.j C. 1 D.n30设n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX=0有非零解的充要条件是下面的哪项（ ）A . r=n B. r<n C. r ≥n D. r>n 答案：1—5 DBACD ； 6—10 BBCCC 11—15 CDCDB ； 16—20 DDABD ； 21—25 CCBCC 26—30 DABCB二、计算题1、用行列式的展开定理求解下列行列式2100012100012000002100012n D =解1221001000120012002+20021002100120012n n n D D D --==-(2+1)（-1）同理可得：1233212,,2n n n D D D D D D ---=-=-其中21213,212D D ===所以，3432122324,25,21n n D D D D Dn D D n --=⨯-==-==-=+2 用克莱姆法则求解线性方程组。

123412423412342583692254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ .解+215107513751335313061306=1212=01002120212771277214767712D -------=→⨯-----------21（-）=2233(1)(1)2772+---⨯-⨯=--D1=815193068152120476--=--- D2=2851190610805121076-=----D3=21811396270252146-=-- D4=215813092702151470--=---于是得到12343,4,1,1x x x x ==-=-=3 已知AX=B ，其中412221311A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，132231B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵X解若A 可逆，则1X A B -=,4121310122100102()22122221220101533113131131001124A B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭即102153124X ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭4、求矩阵A 的秩并求A 的一个最高阶非零子式。

已知32050323612015316414A ⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭解3205016-4-1416-4-14323610-431-110-431-1201530-1297-110004-8164140-16128-120004-816-4-140-431-10004-800000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭所以()3r A =，所以必有三节非零子式，同时也是最高阶非零子式，观察行阶梯矩阵可以发现第1，第2，第4列和前3行组成的矩阵秩为3，因此组成的矩阵行列式值必不为0，所以在原矩阵中应该是32525326-=16，则此式即是最高阶非零子式。

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最新整理《线性代数》复习提纲资料

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《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识一．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A||B|；④|kA|=n k|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝E，称A 可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)1-=(B1-)*(A1-)，(A T)1-=(A1-)T；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件：①|A|≠0；②r(A)=n; ③A等价于E;（4）逆的求解伴随矩阵法A1-=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵~)②初等变换法（A:E）⇒(施行初等变换)（E:A1-）5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A1-）B；XB=A，则X=B(A1-)；AXB=C，则X=(A1-)C(B1-)二、行列式1．行列式的定义用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

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线性代数复习提纲第一章 行列式1、行列式的定义：总项数、每一项构成、符号确定方法(附带:逆序、逆序数、奇排列)。

2、行列式性质：P9—P11六个性质两个推论，按某一行(列)的降阶展开(附带: 余子式、代数余子式)。

3、行列式计算: 一般方法 --化成三角形、降阶展开。

特殊计算：分块三角形--例10）、范德蒙—例12。

4、克拉默法则公式—P22第二章 矩阵及其运算1、概念：矩阵的型(阶)、相等、线性变换。

特殊矩阵：零矩阵、负矩阵、单位矩阵、纯量矩阵、对角矩阵、对称矩阵、逆矩阵、矩阵的行列式、伴随矩阵、奇异矩阵、分块对角矩阵。

2、运算：加法、数乘、转置、矩阵相乘、求伴随矩阵、解矩阵方程。

3、重要定理公式：⑴矩阵乘法：不满足交换律、两个非零矩阵乘积可能为零矩阵、两个对角矩阵的乘积等于以主对角线对应元素乘积为相应元素的对角矩阵。

⑵转置：T T T T T T T T T T A B AB A A B A B A A A ==+=+=)(,)(,)(,)(λλ，O A A O A T =⇔= ⑶方阵的行列式：B A AB A A BA AB A An T ====,,,λλ，A A A A n 111*==--， ⑷伴随矩阵：E A A A AA ==**，*11*)()(--=A A⑸逆矩阵基本公式：*11 0A AA A A =≠⇔-此时有，可逆方阵 ⑹逆矩阵运算公式：T T A A AB AB A A A A )()()(,1)(,)(111111111---------====λλ ⑺二阶方阵逆矩阵公式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-a c b d bc ad d c ba 1)(1 ⑻分块对角矩阵的逆等于每一块分别取逆。

特别的，对角矩阵的逆等于主对角线每个元素取倒数。

⑼一元矩阵多项式)(A f 可以象字母多项式)(x f 那样分解为因式的乘积，并且各因式顺序可以交换。

第三章 矩阵的初等变换1、概念：三种初等行变换（列变换）的定义和相应记号、对应的三种初等矩阵。

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线性代数复习提纲线性代数是数学中的一个基础课程，涵盖了向量空间、线性变换、矩阵理论等内容。

它在计算机科学、物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。

下面是线性代数的复习提纲，帮助你回顾相关的知识点。

一、向量空间1.向量的定义和性质2.向量空间的定义和性质3.子空间的定义和判断条件4.向量的线性相关性与线性无关性5.基和维数的概念二、线性变换1.线性变换的定义和性质2.线性变换的矩阵表示3.线性变换的核与像空间4.线性变换的维数公式5.线性变换的复合与逆变换三、矩阵理论1.矩阵的定义和性质2.矩阵的运算：加法、数乘、乘法3.矩阵的逆与转置运算4.矩阵的秩和行列式5.矩阵的特征值与特征向量四、特殊矩阵和特征值问题1.对称矩阵的性质和对角化2.可逆矩阵与相似矩阵3.正交矩阵与正交对角化4.特征值问题的求解方法五、解线性方程组1.线性方程组的矩阵表示2.高斯消元法与矩阵的初等变换3.初等矩阵的性质与应用4.齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的结构六、向量空间的基变换1.基变换的定义和性质2.过渡矩阵的求解3.变换矩阵的求解与应用4.基变换下的坐标表示和坐标变换公式七、内积空间和正交性1.内积的定义和性质2.内积空间的定义和性质3.正交基和正交投影4.标准正交基和正交矩阵的定义和性质八、二次型与正定性1.二次型的定义和性质2.二次型的矩阵表示和标准化3.正定二次型和半正定二次型的定义和性质4.二次型的规范形和合同变换以上是线性代数的复习提纲，可以通过对每个知识点的回顾、理解和练习来复习线性代数。

在复习过程中，可以结合教材、习题和课堂笔记，通过解题和思考来巩固知识点的掌握。

另外，可以参考相关的教学视频或在线课程来帮助理解和学习线性代数的概念和方法。

最重要的是多做习题，加深对知识点的理解和应用。

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1线性代数复习提纲《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识一．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B 的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件：①|A|≠0；②r(A)=n; ③A->I;（4）逆的求解伴随矩阵法A^-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵~)②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A^-1）5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A^-1）B；XB=A，则X=B(A^-1)；AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1)二、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。