四点共圆

四点共圆
一、知识点梳理
1、四点共圆的概念
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

性质：①圆内接四边形的对角互补；
②圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。

2、初中阶段四点共圆的常见判定方法
（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。

（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。

（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆。

（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，
PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆。

（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，
PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆。

A
B
C
D
P
A
C
D
P
3、四点共圆的妙用
巧用四点共圆可以帮助我们在解题过程中快速地求角等、边等、相似、边长等问题。

二、例题精练
1、四点共圆的性质
a.例题讲解
1．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：3：2：4 C．1：4：2：3 D．1：2：4：3
2．如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=3∠BAC，则∠ADC的度数为（）
A．100°B．112.5°C．120°D．135°
3．如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=．
4.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长
8．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点F．连接AC，若∠ACD=∠BAD．
（1）求证：DG⊥AB；
（2）若AB=6，tan∠FCB=3，求⊙O半径．
D
C
B
A
b.举一反三
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=140°，连接OC，点P是半径OC 上一点，则∠BPD不可能为（）
A．40°B．60°C．80°D．90°
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC=65°，分别连接AC，BD，若AC=AD，则∠DBC的度数为（）
A．50°B．55°C．65°D．70°
3．如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，∠ADC=90°，AB=7cm，
CD=5cm，AE=4cm，CF=6cm，则阴影部分的面积为cm2．
4．如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．
（1）求证：∠EDF=∠CDF；
（2）求证：AB2=AF•AD；
（3）若BD是⊙O的直径，且∠EDC=120°，BC=6cm，求AF的长．
2、四点共圆的妙用之边角问题
a.例题讲解
1.如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，过点O 作OE⊥AC 交AB 于E,若BC=4，△AOE 的面积为6，则cos∠BOE= .
2.如图，正方形ABCD的中心为O点，面积为25；点P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=3:4，则PB=
3.在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；
（2）AE=DC；
（3）AE与DC的夹角为60°；
（4）△AGB≌△DFB；
（5）△EGB≌△CFB；
（6）BH平分∠AHC；GF∥AC
4.四边形ABCD是正方形，AC 与BD，相交于点O，点E、F 是直线AD上两动点，且AE =DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G ，连接AG ，直线AG 交BE 于点H ．
（1）如图1，当点E 、F 在线段AD 上时，
①求证：∠DAG=∠DCG；
②猜想AG 与BE 的位置关系，并加以证明；
（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO 平分∠BHG；
b.举一反三
1.在ABC ∆的边AB ，BC ，CA 上分别取D ，E ，F ．使得BE DE =，
CE FE =，又点O 是ADF ∆的外心． 求证：O 在DEF ∠的平分线上．
2.如图，已知ABC ∆中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，︒=∠60B ，F 在
AC 上，且AF AE =． 求证：CE 平分DEF ∠．
C
B
3.已知AD 是ABC ∆角平分线交BC 于D ，ABD ACD ABC ∆∆∆、、外心分别是
12O O O 、、,求证12=O O OO
2.如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与
CD 交于点F ．
（1）证明：A 、E 、F 、M 四点共圆；（2）证明：22AB BM BF AC =⋅+．
b.举一反三
1.如图，已知BA 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，割线BD 、BF 分别交⊙O 于C 、E ，连接AE 、CE ． 求证：BD BC BF BE ⋅=⋅．
A
B
B
A
F
三、演练场
1．（2014•东营）如图，四边形ABCD为菱形，AB=BD，点B、C、D、G四
个点在同一个圆⊙O上，连接BG并延长交AD于点F，连接DG并延长交AB于点E，BD与CG交于点H，连接FH，下列结论：
①AE=DF；②FH∥AB；③△DGH∽△BGE；④当CG为⊙O的直径时，
DF=AF．
其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2017•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一
个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP=1，则AE=；
（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
3．（2018•路南区三模）如图1，已知∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4，点P为直线AN上一动点，以BP为边作等边△BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），点O是△BPQ的外心．
（1）当OB⊥AM时，点O∠MAN的平分线上（填“在”或“不在”）；
（2）如图2，当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，求证：点O 在∠MAN的平分线上；
（3）如图2，当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP
交于点C，求证：△ABO∽△ACP；设AP=m，直接写出AC•AO的值（用
含m的式子表示）；
（4）若点D在射线AN上，AD=2，⊙K为△ABD的内切圆，当△BPQ的边BP与⊙K相切时，请直接写出点A与点O的距离．
4．（2018春•历下区期末）如图，已知菱形ABCD边长为4，BD=4，点E从点A出发沿着AD、DC方向运动，同时点F从点D出发以相同的速度沿着DC、CB的方向运动．
（1）如图1，当点E在AD上时，连接BE、BF，试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的前提下，求EF的最小值和此时△BEF的面积；
（3）当点E运动到DC边上时，如图2，连接BE、DF，交点为点M，连接AM，则∠AMD大小是否变化？请说明理由．
5．（2018•泉州二模）如图1，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点E从点B出发，沿BC边运动到点C，连结DE，过点E作DE的垂线交AB于点F．（1）求证：∠BFE=∠ADE；
（2）求BF的最大值；
（3）如图2，在点E的运动过程中，以EF为边，在EF上方作等边△EFG，求边EG的中点H所经过的路径长．
6．（2015秋•南岸区期末）在正方形ABCD中，点E是对角线AC的中点，点F在边CD上，连接DE、AF，点G在线段AF上
（1）如图①，若DG是△ADFD的中线，DG=2.5，DF=3，连接EG，求EG的长；
（2）如图②，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD的中点，连接FH，求证：∠CFH=∠AFD；
（3）如图③，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD上的动点，连接EG．当
点F在边CD上（不含端点）运动时，∠EGH的大小是否发生改变？若不改变，求出∠EGH的度数；若发生改变，请说明理由．。