第16章 二次根式 小结与复习

第16章二次根式小结复习导学案一、复习导入（一）导入课题:本节课我们一起复习“二次根式”（板书课题）.（二）复习目标:1.复习与回顾本章的重要知识点.2.总结本章的重要思想方法.（三）复习重、难点:重点: 二次根式的性质和运算.难点: 熟练准确的计算.二、分层复习第一层次学习（一）复习指导1.复习内容: P1页到P19页.2.复习时间: 8分钟.3.复习要求: 通过课本和笔记复习和回顾本章的重要知识点.4.复习参考提纲:（1）二次根式: 一般地, 我们把形如的式子叫二次根式.（2）最简二次根式：满足条件①被开方数不含；②被开方数中不含的二次根式, 叫做最简二次根式.（3）二次根式的性质:（a≥0）；(a)2= （a≥0）；2a＝；ab= (a≥0,b≥0),b（4）二次根式的运算:①二次根式的加减：二次根式加减时, 可以先将二次根式, 再将的二次根式进行合并.②二次根式的乘除法:乘法：×= (a≥0,b≥0),除法: = (a≥0,b>0).③二次根式的混合运算：先乘方（或开方）, 再, 最后, 有括号时先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的, 可适当改变运算顺序进行简便运算．（二）自主复习: 学生可参考复习参考提纲进行自学.（三）互助学习:1.师助生: 明了学情；差异指导.2.生助生：相互交流、矫正错误.（四）强化:1.强调公式2a.2.强调本章的数学思想方法.第二层次学习（一）复习指导1.复习内容: 典例剖析, 考点跟踪.2.复习时间: 15分钟.3.复习要求：完成所给例题, 也可查阅资料或和其他同学研讨.4.复习参考提纲:例1 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A.21B.4C.3D.8例2 若 与|x-y-3|互为相反数, 则x+y 的值为( )A.3B.9C.12D.27 例3 计算:()().212120132012+⋅- 例4 计算: (-1)101+(π-3)0+( )-1- .已知a=3+2 , b=3-2 , 求a2b-ab2的值．例6 先化简,再求值: 6)6()3)(3(2+---+a a a a ,其中12-=a . （二）自主复习: 学生完成复习参考提纲中的例题.（三）互助学习:1.师助生: 明了学情；差异指导.2.生助生：学生自主研讨疑难之处.（四）强化:1.点两位学生口答例1.例2；点三位学生板演例3、例4、例5.2.点评其中的易错点.三、评价:1.学生学习的自我评价（围绕三维目标）.2.教师对学生的评价: （1）表现性评价；（2）纸笔评价: 课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.。

第十六章 二次根式复习总结（一）知识归纳（1）二次根式定义：形如式子叫做二次根式。

二次根式的形式定义：①从形式上看，二次根式必须含有二次根号“”。

②被开方数a 可以是数，也可以是含有字母的式子，但a 必须是非负数,否则a 无意义。

③“”的根指数为2,即“ 2”，一般省略根指数2，写作“”.需要注意的是:(1)建议不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上，而应该侧重于理解被开方数是非负数（不要误记为正数）的要求．(2)提醒学生的是“数式通性”：如果被开方数是一个常数，那么它不可以是负数；如果被开方数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式类似）．(3)形如a b （a ≥o ）的式子也是二次根式，b 与a 是相乘的关系，要注意当b 是假分数时不能写成带分数。

二次根式（根号）的双重非负性：)0(,0≥≥a a ；(1)注意：)0(≥a a 的最小值是0.(2)拓展：具有非负性的式子有：)0(0;0;02≥≥≥≥a a a a 若02=++c b a ，则a=b=c=0)0(≥a a（2）二次根式的性质：1、 是一个非负数；2、3、 (a )2＝ a (a ≥0) ；a 2＝||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧(a >0)，(a ＝0)，(a <0).化简二次根式时注意: ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)a b ＝ab (a ≥0，b >0)2a 与2)(a 的对比：① 运算顺序不同：2)(a 是先求算术平方根再平方，2a 是先平方再求算术平方根；② a 的取值不同：2)(a 中a 的取值是0≥a ，而2a 中a 的取值是任意实数；③ 运算结果不同：2)(a =a （0≥a ）；2a =⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a ．总结：求使代数式有意义的字母取值范围的类型：二次根式型：被开方数大于或等于0； 分式型：分母不等于0；复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分。

二次根式小结与复习基础盘点1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式；（2）形如a b （a ≥0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0.2.二次根式的基本性质（1）a _____0（a ___0）；（2）()2a ＝_____（a ___0）； （3）a a =2＝()()⎩⎨⎧0_____0_____a a ；（4=____________（a ___0，b ___0）；（5=_____________（a ___0，b ___0）. 3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含_______；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都______.4.二次根式的乘、除法则：（1（a ___0，b ___0）；（2=____________（a ___0，b ___0）. 复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2()()⎩⎨⎧<-≥00a a a a 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外； （2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成_________后，如果_______相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_______，然后把___ ______进行合并.复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算.7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先____，再____，最后 ____，有括号的先_____内的.复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式.8.二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.考点呈现考点1 二次根式有意义的条件例1 若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≥34B.x ＞34C.x ≥43D.x ＞43 解析：要使43-x 在实数范围内有意义，必须满足条件43-x ≥0，所以x ≥34，故应选A.方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0.考点2 二次根式的性质例2 下列各式中，正确的是（ ） A.()332-=- B.332-=- C.()332±=± D.332±= 解析：本题利用二次根式的性质=2a ()()⎩⎨⎧<-≥00a a a a进行解答，运用排除法不难知道只有选项B 正确，故应选B.方法总结：()a a =2成立的条件是a ≥0，而在化简()2a 时，先要判断a 的正负情况. 考点3 二次根式的非负性例3 已知32552--+-=x x y ，则xy 2的值为（ ）A.—15B.15C.215-D.215 解析：由52-x ≥0，且x 25-≥0，解得25=x ，所以3-=y ，因此xy 2＝2×25×（—3）＝—15，故应选A.方法总结：二次根式a （a ≥0）具有双重非负性，即a ≥0、a ≥0.考点4 最简二次根式例4 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A.51 B.5.0 C.5 D.50 解析：因为5551=，22215.0==，2550=，所以A 、B 、D 均不是最简二次根式.方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止.考点5 二次根式的运算例5 计算1824-×31＝____. 解析：本题是二次根式的混合运算，必须按法则进行，要注意最后结果的化简问题，即原式＝1824-×31＝2362-×33＝662-＝6. 方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则.考点6 二次根式的化简求值例6 若120142013-=m ，则34520132m m m --的值是_____. 解析：先化简m 的值，得m ＝()()()()2014120141201420131201412014120142013=-+=+-+＋1. 再变形所求代数式34520132m m m --＝()()[]20141201322323--=--m m m m m ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+∙+20141120141201423＝0. 方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.误区点拨一、考虑问题不全面例1 代数式21-x 中，x 的取值范围是______. 错解：根据题意，得2-x ≥0，解得x ≥2，故填x ≥2.剖析：整体观察式子的特点，存在分母，应满足分母不为0的条件；又存在二次根式，应满足被开方数为非负数. 错解只注意被开方数的非负性，而忽略了分式中分母不为0的条件.正解：根据题意，得2-x ＞0，解得x ＞2，故填x ＞2.二、理解性质出错例2 求()23-的值. 错解：()23-＝—3. 剖析：()23-表示()23-的算术平方根，应为正数. 错解由于对二次根式的性质理解不透而犯错.正解：()23-＝9＝3.三、忽略运算顺序例3 计算3312⨯÷. 错解：原式＝212=÷. 剖析：由于乘除是同一级运算，应按照从左到右的顺序进行.正解：原式＝23332=⨯⨯.四、对最简二次根式判断不准例4 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）A.23B.36C.2.1D.49错解：选C.剖析：最简二次根式的被开方数中既不含开的尽方的因式或因数，也不含分母，满足条件的只有B. 错解只看表面形式，不求甚解，C 中被开方数是小数形式，化为分数后，可继续化简.正解：选B.跟踪训练1.根式3-x 中x 的取值范围是（ ）A.x ≥3B.x ≤3C.x ＜3D.x ＞32.下列各式是最简二次根式的是（ ） A.20 B.1.2 C.72 D.51 3.下列各式中，与3是同类二次根式的是（ ） A.18 B.24 C.12 D.94.化简122154+⨯的结果是（ ） A.25 B.36 C.3 D.355.下列运算正确的是（ ） A.25＝±5 B.12734=- C.9218=÷ D.62324=∙ 6.已知：132-=-b a ，3=ab ，则()()11-+b a 的值为（ ） A.3- B.33 C.223- D.13-7.已知三角形三边的长分别为18cm 、12cm 、18cm ，则它的周长为_____cm.8.当m ＜0时，化简mm 2＝____. 9.计算：()2850÷-的结果是_____.10.实数在数轴上的位置如下图所示，化简()221-+-a a ＝_____.11.已知011=-++b a ，则20132013b a +＝____. 12.如果最简二次根式a m a --7与m 2是同类二次根式，则a ＝____，m ＝____. 13.先化简，再求值：()()()633--+-a a a a ，其中215+=a . 14.先化简，再求值：221a a a +-+，其中1007=a . 下图是小亮和小芳的解答过（1）_____的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___________.（3）先化简，再求值：9622+-+a a a ，其中2007-=a .跟踪训练参考答案：1.A2.C3.C4.D5.D6.A7.3226+ 8.—1 9.3 10.32-a 11.0 12.1，313.解：（1）原式＝366322-=+--a a a a ，当215+=a 时，原式＝6×（215+）—3＝56.14.解：（1）小亮；（2）a a -=2（a ＜0）；（3）原式＝()()a a a a -+=-+32322＝a -6＝6—（—2007）＝2013.。