线性代数课件期末总复习

B
=
6(
A−1
−
E
)−1
=
6
⎜ ⎜
⎛3
⎞ ⎜⎝
=
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
3
6
⎞−1
⎟ ⎟⎟⎠
=
6
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
1 2
1 3
⎞
⎟
⎟
1 6
⎟⎠
⎜⎝
1 ⎟⎠
六、求解非齐次线性方程组的全部解（用 导出组的基础解系表示）. 1.具体的求解问题.
切记----将增广矩阵化为行简化矩阵,然后 给出非齐次的特解. 切记----写出与导出组同解的方程组后， 直观判断导出组的基础解系的个数，再给 出导出组的基础解系,基础解系的个数与自 由变元的个数一致.
⎜
⎝0
1 −1 −1
2 a−3 −2
2 −2 a−3
1
⎟ ⎟
b⎟
−1⎟⎠
⎛1 1 1 1 0 ⎞ ⎛1 1 1 1 0 ⎞
→
⎜ ⎜ ⎜
0 0
1 −1
2 a−3
2 −2
1
⎟ ⎟
b⎟
→
⎜ ⎜ ⎜
0 0
1 0
2 a −1
2 0
1
⎟ ⎟
b +1⎟
⎜ ⎝
0
−1
−2
a−3
−1
⎟ ⎠
⎜ ⎝
0
0
0
a−1
0
⎟ ⎠
当a − 1 ≠ 0,即a ≠ 1时，方程组有唯一解. 当a − 1 = 0,即a = 1,且b ≠ −1时,方程组无解. 当a − 1 = 0,即a = 1,且b = −1时,方程组有无穷多解.
2
2012-12-26
五、含参数的非齐次线性方程组解的讨论.
------将增广矩阵化为阶梯形矩阵后再进行判 断.
------如果方程个数等于未知量的个数，这类 题型可以考虑克莱姆法则做。
判断下列方程组当 a, b为何值时，方程组有唯一解,
无解，无穷多个解。（不必求解)
⎧ x1 + x2 + x3 + x4 = 0
⎪⎪ ⎨ ⎪
−
x2 x2 +
+ 2x3 + 2 (a − 3)x3
x4 = 1 − 2x4
=
b
⎪⎩3 x1 + 2 x2 + x3 + ax4 = −1
⎛1 1 1 1 0 ⎞ ⎛1 1 1 1 0 ⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜
0 0
⎜
⎝3
1 −1 2
2 a−3
1
2 −2 a
1
⎟ ⎟
b⎟ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
−1
⎟ ⎠
→
⎜ ⎜ ⎜
0 0
4.令 Q = (γ 1,γ 2 , ,γ n ).
⎛ ⎜
λ1
⎞ ⎟
5.有
Q
−1
AQ
=
⎜ ⎜
⎟ ⎟
⎜ ⎝
λn
⎟ ⎠
例 求正交矩阵Q, 使 Q−1AQ为对角形矩阵, 其中
⎛ 1 −2 2 ⎞
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
−2 2
−2 4
4 −2
⎟⎟⎟⎠为实对称矩阵.
解: (1) 求A的特征值和特征向量.
λ − 1 2 −2 λ − 1 2 −2
4
2012-12-26
⎛λ −1
λ
E
−
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
2 −2
2 λ+2
−4
−2 ⎞
−4 λ+2
⎟ ⎟⎟⎠
对于λ1 = 2, 解齐次线性方程组(2E − A) X = o,
⎛ 1 2 −2⎞ ⎛ 1 2 −2⎞
2
E
−
A
=
⎜ ⎝⎜⎜
2 −2
4 −4
−4 4
⎟⎟⎟⎠→
⎜ ⎜⎝⎜
0 0
0 0
0 0
⎟ ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
0 0 1
⎟. ⎟
⎟⎟⎠
于是，原方程组的一般解（全部解）为：
γ = γ 0 + c1η1 + c2η2 + c3η3 , 其中，c1,c2 ,c3为任意常数。
2.抽象非齐次方程组的求解问题.
非齐次方程组与其导出组的解之间的关系. 非齐次的解+导出组的解=非齐次的解 非齐次的解-非齐次的解=导出组的解 导出组的解+导出组的解=导出组的解
八、判定方阵A是否可以对角化？如果可以， 求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵.
九、证明题.
三、行列式的计算（高阶，低阶） 低阶行列式在计算的过程中一般采用的方法有： 1、采用行列式的性质将其化为三角形行列式 再计算结果； 2、采用行列式的性质将其化为可以利用按行 或列展开的方法计算的行列式.
高阶行列式在计算的过程中利用行列式本身的 特点，采用与低阶类似的方法计算.
λ
E
−
A
=
⎜ ⎝⎜⎜
2 −2
λ+2 −4
−4 λ+2
⎟ ⎠⎟⎟
对于λ2 = −7, 解齐次线性方程组(−7E − A) X = o,
⎛ −8 2 −2⎞ ⎛ 0 −18 −18⎞ ⎛ 0 1 1 ⎞
且 α3 = 3α1 + α2 , α5 = 2α1 + α2 .
八、求正交矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵， 其中A为是对称矩阵.
步骤： 1.求n阶矩阵A的所有特征值 λ1,λ2 , , λm . 2.对每个特征值 λi ,求属于该特征值的线性 无关的特征向量.
3.若每个特征值都是单根，则只需要将属 于不同特征值的特征向量单位化得到向量 组 β1, β2, , βn. 3.若有些特征值都是重根，则只需要将属 于重特征值的特征向量正交化后，将所有 向量单位化得 γ 1,γ 2 , ,γ n .
=
⎜ ⎜⎜⎝
−1 1
4 −1
1 2
16 −4
⎟ ⎟⎟⎠
→
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
5 −2
5 －2
20 －8
⎟ ⎟⎟⎠
→
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 1
1 1
4 4
⎟ ⎟⎟⎠
⎛1 1 4 4⎞
→
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 0
1 0
4 0
⎟ ⎟⎟⎠
所以此时方程有无穷多解
七、求向量组的秩、极大无关组，并将其 余向量用极大无关组表示.
例：判断下列方程组当 K为何值时，方程组有唯一解,
无解，无穷多个解。（不必求解)
⎧ x1 + x2 + kx3 = 4
⎪⎪ ⎨ ⎪
− x1 + kx2 x1 − x2 +
+ x3 2 x3
= k2 = −4
1 ⎪⎩1 k 1 −1 2 1 −1
2
解：D＝ −1 k 1 = 1 1 k = 0 2 k − 2
λ E − A = 2 λ + 2 −4 = 2 λ + 2 −4
−2 −4 λ + 2 0 λ − 2 λ − 2
λ − 1 4 −2
=2 0
λ + 6 −4 = (λ − 2)[(λ − 1)(λ + 6) − 8] 0 λ − 2 = (λ − 2)2(λ + 7)
所以A的特征值为λ1 = 2(二重),λ2 = −7.
x4 x5
⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
⎟ ⎟⎟⎠
,
⎜ ⎜⎜⎝
1 0
⎟ ⎟⎟⎠
,
⎛0⎞
⎜ ⎜⎜⎝
0 1
⎟ ⎟⎟⎠
,
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛5⎞
⎜ ⎜
−2
⎟ ⎟
⎜ ⎜
−2
⎟ ⎟
⎜ ⎜
−6
⎟ ⎟
得导出组的基础解系为：η1
=⎜ ⎜
⎜⎜⎝
1 0 0
⎟ ⎟
,
η2
⎟⎟⎠
=⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 1 0
⎟ ,η3 ⎟ ⎟⎟⎠
=⎜ ⎜
(α1 − α2 ) + (α1 − α3 ) = 2α1 − (α2 + α3 ) = (2, 4, 6, 8)T − (0,1, 2, 3)T = (2, 3, 4, 5)T 为导出组的基础解系. 所以该方程组的通解为
(1, 2, 3, 4)T + c(2, 3, 4, 5)T , c 为任意数.
⎧
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = −1,
例
求非齐次线性方程组
⎪⎪ ⎨
⎪
3 x1 + 2 x2 + x3 + x4 − 3 x5 = −5, x2 + 2 x3 + 2 x4 + 6 x5 = 2,
⎪⎩5 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 3 x4 − x5 = −7.
的全部解(用其导出组的基础解系表示).
得x1 = −2x2 + 2 x3 ,
令
⎛ ⎜ ⎝
x2 x3
⎞ ⎟ ⎠
=
⎛ ⎜⎝
1 0
⎞ ⎟⎠
⎛ ,⎜⎝
0 1
⎞ ⎟⎠
,得属于2的特征向量为
α1 = (−2,1,0)T ,α2 = (2,0,1)T .
显然α1 = (−2,1,0)T ,α2 = (2,0,1)T 不正交.
⎛ λ − 1 2 −2 ⎞
四、矩阵方程的计算
例：设A, B为3阶矩阵，且满足方程 A−1BA = 6A + BA,