离散数学~习题1.11.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
⑺p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。
⑴如果3+3=6，则雪是白的。
⑵如果3+3≠6，则雪是白的。
⑶如果3+3=6，则雪不是白的。
⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。
⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。
(假定是10进制)⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。
⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。
解：设p：3＋3＝6。
q：雪是白的。
⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。
⑵原命题符号化为：⌝p→q；该命题是真命题。
⑶原命题符号化为：p→⌝q；该命题是假命题。
⑷原命题符号化为：⌝p→⌝q；该命题是真命题。
⑸p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：p↔q；该命题是假命题。
⑹p：2+3＝5；q：3是无理数；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。
⑺p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。
⑻p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。
习题1.21.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。
⑴(p∧q→r)⑵(p∧(q→r)⑶((⌝p→q)↔(r∨s))⑷(p∧q→rs)⑸((p→(q→r))→((q→p)↔q∨r))。
解：⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。
2.设p：天下雪。
q：我将进城。
r：我有时间。
将下列命题符号化。
⑴天没有下雪，我也没有进城。
⑵如果我有时间，我将进城。
⑶如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。
解：⑴⌝p∧⌝q⑵r→q⑶⌝p∧r→q3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。
⑴r∧q⑵¬ (r∨q)⑶q↔ (r∧¬ p)⑷(q→r)∧(r→q)解：⑴我有时间并且我将进城。
⑵我没有时间并且我也没有进城。
⑶我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。
⑷如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。
4. 试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。
⑴或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。
⑵如果张三和李四都不去，他就去。
⑶我们不能既划船又跑步。
⑷如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。
解：⑴p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：(⌝p∧⌝ q)∨(p∧q)。
⑵p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为：⌝p∧⌝q→r。
⑶p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为：⌝（p∧q）。
⑷p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p→（q↔r）。
5. 用符号形式写出下列命题。
⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城，除非下雨。
⑶仅当你走，我将留下。
解：⑴p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：（⌝p→q）∧（p→r∨s）。
⑵p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：⌝q→p。
⑶p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。
习题1.31.设A、B、C是任意命题公式，证明：⑴A⇔A⑵若A⇔B，则B⇔A⑶若A⇔B，B⇔C，则A⇔C证明：⑴由双条件的定义可知A↔A是一个永真式，由等价式的定义可知A⇔A成立。
⑵因为A⇔B，由等价的定义可知A↔B是一个永真式，再由双条件的定义可知B↔A 也是一个永真式，所以，B⇔A成立。
⑶对A、B、C的任一赋值，因为A⇔B，则A↔B是永真式，即A与B具有相同的真值，又因为B⇔C，则B↔C是永真式，即B与C也具有相同的真值，所以A与C也具有相同的真值；即A⇔C成立。
2.设A、B、C是任意命题公式，⑴若A∨C⇔B∨C, A⇔B一定成立吗？⑵若A∧C⇔B∧C, A⇔B一定成立吗？⑶若¬A⇔¬B，A⇔B一定成立吗？解：⑴不一定有A⇔B。
若A为真，B为假，C为真，则A∨C⇔B∨C成立，但A⇔B 不成立。
⑵不一定有A⇔B。
若A为真，B为假，C为假，则A∧C⇔B∧C成立，但A⇔B不成立。
⑶一定有A⇔B。
3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
⑴q∧(p→q)→p⑵p→(q∨r)⑶(p∨q)↔(q∨p)⑷(p∧⌝q)∨(r∧q)→r⑸((¬p→(p∧¬q))→r)∨(q∧¬r)解：⑴q∧(p→q)→p的真值表如表1.24所示。
表1.24使得公式q∧(p→q)→p成真的赋值是：00，10，11，使得公式q∧(p→q)→p成假的赋值是：01。
⑵p→(q∨r)的真值表如表1.25所示。
表1.25使得公式p→(q∨r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式p→(q∨r)成假的赋值是：100。
⑶(p∨q)↔(q∨p)的真值表如表1.26所示。
表1.26所有的赋值均使得公式(p∨q)↔(q∨p)成真，即(p∨q)↔(q∨p)是一个永真式。
⑷(p∧⌝q)∨(r∧q)→r的真值表如表1.27所示。
表1.27使得公式(p∧⌝q)∨(r∧q)→r成假的赋值是：100。
⑸((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)的真值表如表1.28所示。
表1.28使得公式((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)成假的赋值是：100。
4.用真值表证明下列等价式：⑴⌝(p→q)⇔p∧⌝q证明：证明⌝(p→q)⇔p∧⌝q的真值表如表1.29所示。
表1.29由上表可见：⌝(p→q)和p∧⌝q的真值表完全相同，所以⌝(p→q)⇔p∧⌝q。
⑵p→q⇔⌝q→⌝p证明：证明p→q⇔⌝q→⌝p的真值表如表1.30所示。
表1.30⑶⌝(p↔q)⇔p↔⌝q证明：证明⌝(p↔q)和p↔⌝q的真值表如表1.31所示。
表1.31由上表可见：⌝(p↔q)和p↔⌝q的真值表完全相同，所以⌝(p↔q)⇔p↔⌝q。
⑷p→(q→r)⇔(p∧q)→r证明：证明p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表如表1.32所示。
表1.32由上表可见：p→(q→r)⇔(p∧q)→r。
⑸p→(q→p)⇔ ⌝p→(p→⌝q)证明：证明p→(q→p)和⌝p→(p→⌝q)的真值表如表1.33所示。
表1.33由上表可见：p→(q→p)和⌝p→(p→⌝q)的真值表完全相同，且都是永真式，所以p→(q →p)⇔⌝p→(p→⌝q)。
⑹⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)证明：证明⌝(p↔q)和(p∨q)∧⌝(p∧q)的真值表如表1.34所示。
表1.34由上表可见：⌝(p↔q)和(p∨q)∧⌝(p∧q)的真值表完全相同，所以⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p ∧q)⑺⌝(p↔q)⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)证明：证明⌝(p↔q)和(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)的真值表如表1.35所示。
表1.35由上表可见：⌝(p↔q)和(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)的真值表完全相同，所以⌝(p↔q)⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)。
⑻p→(q∨r)⇔(p∧⌝q)→r证明：证明p→(q∨r)和(p∧⌝q)→r的真值表如表1.36所示。
表1.36由上表可见：p→(q∨r)和(p∧⌝q)→r的真值表完全相同，所以p→(q∨r)⇔(p∧⌝q)→r。
5. 用等价演算证明习题4中的等价式。
⑴⌝(p→q)⇔⌝(⌝p∨q) (条件等价式)⇔p∧⌝q (德·摩根律)⑵⌝q→⌝p⇔⌝⌝q∨⌝p (条件等价式)⇔q∨⌝p (双重否定律)⇔⌝p∨q (交换律)⇔ p→q (条件等价式)⑶⌝(p↔q)⇔⌝((p→q)∧(q→p)) (双条件等价式)⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)) (条件等价式)⇔(p∧⌝q)∨(q∧⌝p) (德·摩根律)⇔((p∧⌝q)∨q)∧((p∧⌝q)∨⌝p) (分配律)⇔(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) (分配律)⇔(⌝p∨⌝q)∧(q∨p) (交换律)⇔(p→⌝q)∧(⌝q→p) (条件等价式)⇔p↔⌝q (双条件等价式)⑷p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r) (条件等价式)⇔(⌝p∨⌝q)∨r (结合律)⇔⌝(p∧q)∨r (德·摩根律)⇔(p∧q)→r (条件等价式)⑸p→(q→p)⇔⌝p∨(⌝q∨p) (条件等价式)⇔T⌝p→(p→⌝q)⇔p∨(⌝p∨⌝q) (条件等价式)⇔T所以p→(q→p)⇔ ⌝p→(p→⌝q)⑹⌝(p↔q)⇔⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q)) (例1.17)⇔(p∨q)∧(⌝p∨⌝q) (德·摩根律)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q) (德·摩根律)所以⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)⑺⌝(p↔q)⇔⌝((p→q)∧(q→p)) (双条件等价式) ⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)) (条件等价式) ⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q) (德·摩根律) ⑻p→(q∨r)⇔⌝p∨(q∨r) (条件等价式) ⇔(⌝p∨q)∨r (结合律)⇔⌝(p∧⌝q)∨r (德·摩根律)⇔(p∧⌝q)→r (条件等价式)6.试用真值表证明下列命题定律。
