圆锥曲线
一、知识点讲解
一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：
中心在原点，焦点在x 轴上
中心在原点，焦点在
y 轴上
标准方程
)0(122
22>>=+b a b
y a x )0(12
2
22>>=+b a b x a y 图 形
顶 点
),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A --
对称轴
x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2
焦 点
)0,(),0,(21c F c F -
),0(),,0(21c F c F -
焦 距
)0(2||21>=c c F F 222b a c -=
离心率
)10(<<=
e a
c
e （离心率越大，椭圆越扁） 通 径
22b a
（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）
3．常用结论：（1）椭圆)0(12
222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长= （2）设椭圆
)0(122
2
2>>=+b a b
y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ
二、例题讲解。
例1、 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．
分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，
求出参数a 和b （或2
a 和2
b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．
x
O F 1 F 2 P y A 2 B 2 B 1
x
O F 1
F 2 P
y
A 2
A 1
B 1
B 2 A 1
解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122
22>>=+b a b
y a x ．
由椭圆过点()03，P ，
知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92
=a ，故椭圆的方程为19
22=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122
22>>=+b a b
x a y ．
由椭圆过点()03，P ，
知10922=+b a ．又b a 3=，联立解得812=a ，92
=b ，故椭圆的方程为19
8122=+x y ． 例2、 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A
的轨迹．
分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．
（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．
解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，
知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为
()0136
1002
2≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则
()0136
1002
2≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧='='33
y
y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为
()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．
例3、 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3
5
2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=
PF ，3
5
22=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．
从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF
Rt ∆中，2
1
sin 12
21==∠PF PF F PF ，
可求出6
21π
=
∠F PF ，3
526
cos
21=
⋅=π
PF c ，从而3102
22=-=c a b ．
∴所求椭圆方程为
1103522=+y x 或15
1032
2=+y x ． 例4、已知椭圆方程()0122
22>>=+b a b
y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，
θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 2
1
=
∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 2
2
1F F 2
221PF PF +=12PF -·2
24cos c PF =α．①
由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2
得 α
cos 122
21+=⋅b PF PF
． 故αsin 21212
1PF PF S PF F ⋅=∆ αα
sin cos 12212+=b 2tan 2αb =． 三、习题讲解。
一、选择题。
1.圆6x 2
+ y 2
=6的长轴的端点坐标是
A.(-1,0)､(1,0)
B.(-6,0)､(6,0)
C.(-6,0)､(6,0)
D.(0,-6)､(0,6)
2.椭圆x 2
+ 8y 2
=1的短轴的端点坐标是
A.(0,-42)、(0,42
) B.(-1,0)、(1,0) C.(22,0)、(-2,0) D.(0,22)、(0,－22)
3.椭圆3x 2
+2y 2
=1的焦点坐标是
A.(0,－66)、(0,66)
B.(0,-1)、(0,1)
C.(-1,0)、(1,0)
D.(-66,0)、(66
,0)
4.椭圆122
2
2=+a y b x (a >b >0)的准线方程是
A.
2
2
2
b a a y +±
= B.
2
2
2
b a a y -±
= C.
2
2
2
b a b y -±
= D.
222b a a y +±
=
5.椭圆14922=+y x 的焦点到准线的距离是
