二次根式的化简

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二次根式复习讲义

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：

形如√a(a≥0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，√a才有意义．

【典型例题】

【例1】下列各式1），

其中是二次根式的是_________（填序号）．

举一反三：

1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）

A、a B、10 C、1a D、21a√

2、在、、、、中是二次根式的个数有______个.

【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K]

举一反三：

1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ）

A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4

2、如果代数式mnm1有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

【例3】若y=++2009，则x+y=

解题思路：式子（a≥0）， ，y=2009，则x+y=2014

举一反三：

1、若，则x－y的值为（ ）

A．－1 B．1 C．2 D．3

2、若x、y都是实数，且y=4x233x2，求xy的值 22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaaa2ab1x21x313x43xx5xx5a50,50xx5x11xx2()xy 勤而思教育个性化学习中心

【例4】已知a是5整数部分，b是 5的小数部分，求12ab的值。

举一反三：

1、若3的整数部分是a，小数部分是b，则ba3 。

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性：aa()0是一个非负数．

1 / 5 二次根式的化简及计算

一、学习准备：

1、平方根：如果 x2 = a ，那么x叫做a的平方根。 若0a, 则a的平方根记为 ．

2、算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。若0a, 则a的算术平方根记为_____．

3、填空：①100表示100的_______，结果为_______．

② 4964表示4964的_______，结果为_____．

③ 0.81的算术平方根记为___________，结果为_________．

④计算：81＋36＝__________， 0.04－0.25＝__________．

二、阅读理解

4、二次根式的概念：

对于形如100,81，a这样的式子，我们将符号“a”叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数。在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或零，即被开方数只能是非负数。

5、积的算术平方根

计算49 = . 49 × = ，所以49 49

一般地,abab

(0,0)ab（注意：公式中,ab必须都是非负数）

积的算术平方根，等于 ．

想一想：(4)(9)49成立吗？为什么？(4)(9)应该等于多少？

例1、化简:（1）1681 （2）2000 （3）2715 （4）216(0,0)abab

即时练习：计算（1）49121 （2）18 （3）33x （4）2327mn 2 / 5 6、二次根式的乘法

把公式abab·(0,0)ab，反过来得(0,0)ababab·．即：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘．运用此公式，可以进行二次根式的乘法运算。

例2、计算 （1）147 （2）35210

二次根式的化简求值

【知识梳理】二次根式化简求值就是运用整体代入、分解变形、构造关系式或图形等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形；有时需把待求式化简或变形；有时需把已知条件和待求式同时变形。

【例题精讲】

【例1】设55x，55y，求66yx的值。

【巩固】

1、设12121212yx，，求22yxyx的值。

2、已知321321yx，，求221111yx的值。

【拓展】已知32x，求432565xxxx的值。

【例2】已知21xx，那么191322xxxxxx的值等于______________。

【巩固】

1、若aax1，则24xx的值为（ ）

A.aa1 B.aa1 C.aa1 D.不能确定 2、已知51xx，求1122xxxxxx的值。

【例3】已知ba、是实数，且11122bbaa，问ba、之间有怎样的关系？请推导。

【巩固】已知20082008200822yyxx，求58664322yxyxyx的值。

【例4】已知ba、均为正数，且2ba，求1422baU的最小值

【巩固】求代数式912422xx的最小值。

二次根式化简的基本方法

二次根式是中学代数的重要内容之一，而二次根式的化简是二次根式运算的基础，学好二次根式的化简是学好二次根式的关键。下面给同学们归纳总结了几种方法，帮助大家学好二次根。

一、乘法公式法

例1 计算：

分析：因为2=，所以中可以提取公因式。

解：原式=

=××

=19

二、因式分解法

例2 化简：。

分析：该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采取。但我们发现（x-y）和（x+y-）可以在实数范围内进行因式分解，所以有下列做法。

解：原式=

=

=0.

三、整体代换法

例3 化简。

分析：该代数式的两个分式互为倒数，直接进行运算计算量相当的大。不妨另辟蹊径，设=a，=b则a+b=2，ab=1.

解：原式=

=

= =

=4x+2

四、巧构常值代入法

例4 已知，求的值。

分析：已知形如（x0）的条件，所求式子中含有的项，可先将化为=，即先构造一个常数，再代入求值。

解：显然x0，化为=3.

原式===2.

初中数学重要概念：同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。