八年级数学上册 全等三角形(提升篇)(Word版 含解析)
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八年级数学上册 全等三角形（提升篇）（Word版 含解析）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____．
【答案】AD的中点
【解析】
【分析】
【详解】
分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短.
详解：如图，过AD作C点的对称点C′，
根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD
∴△ABP≌△DC′P
∴AP=PD
即P为AD的中点.
故答案为P为AB的中点.
点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
2．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E，F分别在边AB，AC上，将△AEF沿直线EF翻折，点A落在点P处，且点P在直线BC上．则线段CP长的取值范围是____.
【答案】15CP
【解析】
【分析】
根据点E、F在边AB、AC上，可知当点E与点B重合时，CP有最小值，当点F与点C重合时CP有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.
【详解】
如图，当点E与点B重合时，CP的值最小，
此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，
如图，当点F与点C重合时，CP的值最大，
此时CP=AC，
Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP的最大值为5，
所以线段CP长的取值范围是1≤CP≤5，
故答案为1≤CP≤5.
【点睛】
本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.
3．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将
△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．
【答案】2.
【解析】
【分析】
【详解】
过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，
∵∠B=60°，BE=BD=4，
∴△BDE是等边三角形，
∵△B′DE≌△BDE，
∴B′F=12B′E=BE=2，DF=23,
∴GD=B′F=2，
∴B′G=DF=23，
∵AB=10，
∴AG=10﹣6=4，
∴AB′=27．
考点：1轴对称；2等边三角形.
4．如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，过点O作//EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作ODAC于D下列结论：①EFBECF；②点O到ABC各边的距离相等；③1902BOCA；④设ODm，
AEAFn，则AEFSmn；⑤1()2ADABACBC.其中正确的结论是.__________．
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC=90°+12∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=12mn，故④错误，根据HL证明△AMO≌△ADO得到AM=AD，同理可证BM=BN，CD=CN，变形即可得到⑤正确．
【详解】
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣12∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A；故③正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF．
∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA．
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE•OM+12AF•OD=12OD•（AE+AF）=12mn；故④错误；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；
∵AO=AO，MO=DO，∴△AMO≌△ADO（HL），∴AM=AD；
同理可证：BM=BN，CD=CN．
∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=12（AB+AC﹣BC）故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AC，AD=24 cm，则BC的长________cm．
【答案】72
【解析】
【分析】
按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可.
【详解】
解：∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°
∵DA⊥AC，AD=24 cm
∴DC=2AD=48cm，
∵∠BAC=120°，DA⊥AC
∴∠BAD=∠BAC-90°=30°
∴∠B=∠BAD
∴BD=AD=24cm
∴BC=BD+DC=72cm
故答案为72.
【点睛】
本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质，其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.
6．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．
【答案】22
【解析】
【分析】
等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；
【详解】
解：因为4+4=8<9，0<4<9+9=18，
∴腰的不应为4，而应为9，
∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.
故答案为22.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.
7．如图,在ABC中, 90,ACBABD是ABC的轴对称图形,点E在AD上,点F在AC的延长线上.若点B恰好在EF的垂直平分线上,并且5AE,13AF,则DE______．
【答案】4．
【解析】
【分析】
连接BE，BF，根据轴对称的性质可得△ABD≌△ACB，进而可得DB=CB，AD=AC，∠D=∠BCA=90°，再利用线段垂直平分线的性质可得BE=BF，然后证明Rt△DBE≌Rt△CBF可得DE=CF，然后可得ED长．
【详解】
解：连接BE，BF，
∵△ABD是△ABC的轴对称图形，
∴△ABD≌△ACB，
∴DB=CB，AD=AC，∠D=∠BCA=90°，
∴∠BCF=90°，
∵点B恰好在EF的垂直平分线上，
∴BE=BF，
在Rt△DBE和Rt△CBF中
BDBCEBFB
，
∴Rt△DBE≌Rt△CBF（HL），
∴DE=CF，
设DE=x，则CF=x，
∵AE=5，AF=13，
∴AC=AD=5+x，
∴AF=5+2x，
∴5+2x=13，
∴x=4，
∴DE=4，
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了轴对称和线段垂直平分线的性质，关键是掌握成轴对称的两个图形全等．
8．如图，已知ABAC，AD平分BAC，60DEBEBC，若3BE，3DE，则BC=____________．
【答案】33
【解析】
【分析】
延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，作DF∥BC于点F.由已知条件推出△BEM是等边三角形，△FDE是等边三角形，在△DNM中求出NM的长度，即可求出BC的长度.
【详解】
如图，延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，作DF∥BC于点F，
∵ABAC，AD平分BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，
∵60DEBEBC，∴△BEM是等边三角形，
∴△FDE是等边三角形，
∵3BE，3DE，∴33DM，
∵△BEM是等边三角形，∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，∴13322NMDM，
∴3333322BNBMNM，
∴233BCBN.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.
9．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为______．
【答案】47或43或4
【解析】
【分析】
分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．
【详解】
