第4章总体参数估计讲解

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1 ◎第4章 参数估计

※一、单一总体的参数估计※

●（一）估计的含义

●估计：人人都做过。如：

 上课时，你会估计一下老师提问你的概率有多大？

 当你去公司应聘时，会估计你被录用的可能性是多少？

 推销员年初时要估计今年超额完成任务的概率有多大？

◎估计量：用来估计总体参数的样本统计量。如：算术平均数、中位数、标准差、方差等。

●估计的可能性与科学性：数理统计证明，一个“优良”的样本统计量应具备以下特征：

（1）、无偏性。样本估计量的期望值应等于总体参数。无系统偏差。

（2）、有效性。与离散度相联系。在多个无偏估计量中，方差最小的估计量最有效。

（3）、一致性。随着样本容量的增加，可以使估计量越来越靠近总体参数。

（4）、充分性。估计量能够充分利用有关信息，中位数和众数不具备这一点。

※估计的类型包括 ：

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2 1、 点估计：只有一个取值。如样本平均数nxx 就是总体平均数μ的点估计值。

2、区间估计：给出取值范围（值域）。见PPT

▲两种估计类型哪一种更科学？

※ 区间估计的优点在于：它在给出估计区间时，还可以给予一个“可信程度”。例如：销售经理想估计一下明年的出口总值，甲估计是53万美元，乙估计是50—56万美元之间，并可以确切地说“有95%的把握”。显然后者的可信程度大于前者。那么，50—56万美元之间的范围是如何计算的？“有95%的把握”是什么意思？

【引例】：某食品进出口公司向东南亚出口一批花生制品，管理人员从中抽取50包作为样本，计算其平均数为250克。另外，合同规定总体标准差为6克。

如果问这批花生制品的平均重量，可用样本平均数作为总体平均数的最佳估计量：250克。但这是远远不够的，在许多时候，管理人员还想了解“这个估计值的平均误差是多少？”“总体平均数可能落入样本平均数上、下多大范围内？”“ 这个估计值的可靠程度是多少？”

〖1〗由于n=50，根据中心极限定理可作图： n=50，σ=6

〖2〗抽样平均误差：8485.0506nx

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3 〖3〗若用250克这个估计值估计总体

平均数，其平均误差为0.8485。 x

〖4〗若用区间表示估计的值域：这批花生制品的总体平均重量是250±0.8485克之间。

〖5〗总体平均数在250±0.8485克之间的可信度为68.3%。

总体平均数在250±2×0.8485克之间的可信度为95.5%。

总体平均数在250±3×0.8485克之间的可信度为99.7%。

●（二）区间估计中几个常用概念

1、置信度（置信系数）：它是指与一个估计区间相联系的概率，它表示该区间将包括总体参数的可能程度。用1-α表示。置信度越大，估计区间内所包含总体参数的可信度越高。（68.3%、95.45%、99.7%都是置信度）

2、置信区间：与一个“置信度”相联系的估计值的取值范围。用nzx表示（如250±2x）

※250±2x：表示有95.45%的样本平均数构造的区间将包含总体平均数。※

※250±3x：表示有99.73%的样本平均数构造的区间将包含总体平均数。※

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4 3、置信限：与置信区间相联系的界限，包括上限和下限。如上题中下限：250-x，上限：250+x

▲思考题：置信度与置信区间有何关系？

（三）总体平均数的区间估计

1、大样本条件下的区间估计

●（1）、总体标准差σ已知条件下，对总体平均数的区间估计

▲案例1：在【引例】中：食品进出口公司出口一批花生制品，管理人员抽取50包为样本，其平均数为250克。合同规定总体标准差为6克。问：（1）如果置信区间为：250±2x、250±1.96x，总体参数这一范围的把握程度有多大？（2）若用90%的置信系数，则该批食品平均重量是多少？

解：（1）a、250±2×0.8485，与z=2对应的置信度是：

0.4772×2=95.44%；

b、250±1.96×0.8485，与z=1.96对应的置信度是：

0.4750×2=95%。

（2）8485.007.76506nx

与90%对应的Z值是，Z=(1.64+1.65)/2=1.645，置信区间：250±1.645*0.8485，即该批食品的平均重量在248.6—251.396克之间的把握程度是90%。

●课堂练习教材P144，1、2

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5 ▲案例2：某茶叶进出口公司，准备处理一批库存2年的茶叶，出库之前要进行一次检验。检验数据如下；样本容量为64包，样本平均数为每包2公斤，入库记录表明总体标准差为0.2公斤。经理要求在95%的可信度下，估计一下这批茶叶的平均重量在多大范围内？

解：（公斤）（公斤）049.2025.096.12951.1025.096.12 ,025.0642.096.1 ,475.02/95.0,95.01,2.0,30,6421cczxnznnxx

答：这批茶叶平均重量在1.951—2.049公斤，其可信程度为95%。

●（2）、总体标准差σ未知条件下的区间估计

※总体标准差σ未知条件下，一般用样本标准差S代替总体标准差σ。

▲案例：某项抽样调查中获得如下资料： N可以视为无限总体，n=81，样本平均数为500，样本标准差为90，求：总体平均数可信度为90%的置信区间。

6

6 解：45.51610645.150055.48310645.1500,108190ˆ645.1,500,90,308121ccxnszxsnxx

答：此项调查中，总体平均数的可信度为90%的置信区间是在483.55—516.45之间。

▲ 习题1：一次等级考试，因急于评估试题质量，教师先随机抽取36份试卷批改，平均分是72分，标准差13.2分，系主任要求在90%的可信度下，对全体考生的平均成绩做一个区间估计。解：

62.752.2645.172;38.682.2645.172,2.2362.13645.1,2.13,72,303621cczxnzsxnxx分

▲习题2：某土产畜产公司收购一批烟草，抽取30箱为样本，平均重量为20公斤，标准差为3公斤。求：（1）置信度为95%时，这批烟草的平均重量；（2）置信度为80%时，这批烟草的平均重量。

解：（1）（公斤）（公斤）07.215477.096.12093.185477.096.120ˆ,5477.04772.53303ˆ96.1,95.01,3,20,3021cczxnzsxnxx

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7 （2）

◆ 课后作业：教材P145，3

2、小样本条件下的区间估计

●使用t分布的条件：当样本容量n＜30，且总体标准差σ未知时，用样本标准差S代替总体标准差σ。样本标准差S

计算公式：1)x-(xs s 2xnnssxtxx

▲例1：从大学一年级学生中随机抽取12名学生，其阅读能力得分为28，32，36，22，34，30，33，25，31，33，29，26。试评估一下大学一年级学生阅读能力的总体平均分数。要求置信度分别是95%和99%。

解：步骤：（1）计算样本平均数： 917.29/nxx

（2）计算样本标准差：1.41)(2nxxs

（3）计算平均误差：184.1121.4nssx

（4）确认自由度：df=12-1=11，误差概率：

α=1-0.95=0.05/2=0.025，查表，t=2.201

（5）估计总体平均数置信区间：

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8 523.32311.27 2.606 184.1201.2917.29；上限下限xtsx

解释：有95%的把握程度说大学一年级学生阅读能力平均分数在27.311—32.523分之间。

当α=1-0.99=0.01/2=0.005，查表，t=3.1058

29.917-3.1058×1.184=26.24；29.917+3.1058×1.184=33.59。

▲习题2：一批出口商品出库之前从中抽取14箱，其平均重量为40.5公斤，标准差0.5公斤。主管人员要求在98%的置信系数下，对这批商品的平均重量做个区间估计。

公斤公斤584.401336.06503.25.40;146.401336.06503.25.406503.2,13,01.02/02.098.01;1336.0742.35.0145.021cctdfnx置信系数为98%时，这批商品的平均重量是40.146—40.584公斤。

▲习题3：某公司共有技术开发和中层管理人员600名，公司十分关心他们的身体健康现状，责成有关部门进行了一次睡眠状况抽样调查，获得资料如下表： （单位：小时）

员工每周睡眠 员工 每周睡眠 员工 每周睡眠 员工 每周睡眠

序号 时间 序号 时间 序号 时间 序号 时间

1 50 6 48 11 54 16 50

2 40 7 47 12 56 17 51

3 30 8 45 13 50 18 47

4 38 9 43 14 48 19 48

5 42 10 47 15 48 20 54

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9 试以95%的置信系数对600名技术开发和中层管理人员平均每周的睡眠状况作一个区间估计。

解：），（，，（小时）。）（（小时），63.4997.4335.1093.28.46ˆ093.21912035.120021.6ˆ021.618.46xtxtdfnsnxxsnxxxx

●课堂练习：教材P145，4、5

※ 小样本比例的区间估计可参照平均数的区间估计。

不同条件下总体平均数的区间估（P140）

总体分布 样本容量

σ已知 σ未知

正态分布 大样本

（n≥30） nzx2 nszx2

小样本

（n＜30） ntx2 nstx2

非

正态分布 大样本

（n≥30） nzx2 nszx2

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●（四）、总体比率的区间估计

※ 中心极限定理证明：P不接近0或1，且n很大时，其抽