数理统计与概率模型建模

数学建模的主要建模方法

数学建模是指运用数学方法和技巧对复杂的实际问题进行抽象、建模、分析和求解的过程。它是解决实际问题的一个重要工具，在科学研究、工程技术和决策管理等领域都有广泛的应用。数学建模的主要建模方法包括数理统计法、最优化方法、方程模型法、概率论方法、图论方法等。下面将分别介绍这些主要建模方法。

1.数理统计法：

数理统计法是基于现有的数据进行概率分布的估计和参数的推断，以及对未知数据的预测。它适用于对大量数据进行分析和归纳，提取有用的信息。数理统计法可以通过描述统计和推断统计两种方式实现。描述统计主要是对数据进行可视化和总结，如通过绘制直方图、散点图等图形来展示数据的分布特征；推断统计则采用统计模型对数据进行拟合，进行参数估计和假设检验等。

2.最优化方法：

最优化方法是研究如何在给定的约束条件下找到一个最优解或近似最优解的方法。它可以用来寻找最大值、最小值、使一些目标函数最优等问题。最优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等方法。这些方法可以通过建立数学模型来描述问题，并通过优化算法进行求解。

3.方程模型法：

方程模型法是通过建立数学方程或函数来描述问题，并利用方程求解的方法进行求解。这种方法适用于可以用一些基本的方程来描述的问题。方程模型法可以采用微分方程、代数方程、差分方程等不同类型的方程进行建模。通过求解这些方程，可以得到问题的解析解或数值解。 4.概率论方法：

概率论方法是通过概率模型来描述和分析不确定性问题。它可以用来处理随机变量、随机过程和随机事件等问题。概率论方法主要包括概率分布、随机变量、概率计算、条件概率和贝叶斯推理等内容。利用概率论的方法，可以对问题进行建模和分析，从而得到相应的结论和决策。

5.图论方法：

图论方法是研究图结构的数学理论和应用方法。它通过把问题抽象成图，利用图的性质和算法来分析和求解问题。图论方法主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流等内容。图论方法适用于描述和求解一些网络、路径和连接问题，如交通规划、电力网络等。

概率论与数理统计中的数学建模案例

孙建英

【摘 要】Three examples are presented to explain the application of

mathematical modeling in probably and mathematical statistics ,w hich

develops student’s ability ,arouses their learning interest and improves

teaching quality .%通过3个数学建模案例说明数学建模在概率论与数理统计中的应用，培养了学生的应用能力，激发了学习兴趣，提高了教学质量。

【期刊名称】《长春工业大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2014(000)002

【总页数】3页(P224-226)

【关键词】概率论与数理统计;数学建模;案例

【作 者】孙建英

【作者单位】青岛理工大学琴岛学院基础部，山东青岛 266106

【正文语种】中 文

【中图分类】G642

0 引 言

《概率论与数理统计》与《高等数学》、《线性代数》并称为理工类高等本科院校的三大基础学科，它的重要性已不言而喻。尤其是随着计算机的迅猛普及，概率统计在经济、管理、金融、保险、医学、生物等方面的应用更是得到了长足的发展，但是概率论与数理统计中有很多抽象的概念、定理，学生理解起来都比较困难，更别提应用自如了，而且现在很多院校使用的教材从知识的讲解角度来讲，虽无可挑剔，堪为经典，但是案例过于陈旧，数量不足，这就要求高校教师要不断地自我学习，更新案例，使学生深刻体会到概率论与数理统计这门学科强大的生命力和发展动力［1－6］。文中将数学建模的案例和思想引入概率论与数理统计课堂中，教学中从问题到理论，再从理论到应用，让学生体会到“学以致用”的真正含义，从而激发学生的学习兴趣和探索精神。

1 数学建模案例在概率论与数理统计中的应用

数理统计方法

数理统计的任务是以概率论为基础，根据试验的数据，对研究对象的客观规律性作出合理的估计与推断。

§1 数理统计的基本概念

在数理统计中，我们把研究对象的全体称为总体，而把组成总体的每个基本单元称为个体。要了解总体的规律性，必须对其中的个体进行统计、观测，一是对全部个体逐一进行观测，这样做当然对总体有充分的了解，但实际上这种方法往往是行不通的，而且也很不经济；二是随机抽样观测，即从总体X中随机抽取n个个体12(,,,)nXXX进行观测，然后根据样本12(,,,)nXXX来推断总体的性质或规律性，这在实际中是常用的方法。

由于样本是随机抽样的，可以认为来自总体X中一个样本12(,,,)nXXX是一组相互独立且与总体X同分布的随机变量。n称为样本容量，样本12(,,,)nXXX的观测值记为12(,,,)nxxx，样本12(,,,)nXXX的不含任何未知参数的函数12(,,,)nfXXX称为统计量。下述统计量

11niiXXn，2211()1niiSXXn，211()1niiSXXn

分别称为样本均值、样本方差、样本标准差。

根据样本的观测值12(,,,)nxxx，可以绘出样本的频率直方图和累积频率直方图，方法如下：

① 适当选取12min{,,,}naxxx，12max{,,,}nbxxx，将[,]ab等分为m个小区间，称()/dbam为组距；

② 计算12,,,nxxx在各个小区间出现的频率/,1,2,,iipmnim；

③ 计算样本的频率函数()px和累积频率函数()Fx： 120,,,,,2,(),(1),0,,mxapaxadpadxadpxpamdxamdxbamd

112120,,,,,2,(),(1),1,.mxapaxadppadxadFxpppamdxamdxbamd

第　卷第４期　加ｌ０年ｌ２月　沧州师范专科学校学报　Ｊ　Ｉｍａｌ　Ｃａｎ铲ｈｏＩｌ　Ｔｅａｃｈｅｍ’Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｖｏ１．２６，Ｎｏ．４　Ｄｅｅ．２Ｉ）ｌ０　

数学建模思想在概率论与数理统计教学中的融入　

贾庆兰，张伟伟　

（沧州师范学院数学系，河北沧州０６１０３１）　

摘要：从教学内容、教学方法和课后作业的布置三个方面论证了如何在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想，　

指出在概率统计教学中融入数学建模思想将有助于学生学习其理论知识，培养学生运用数学思想和方法解决实际问题　

的能力和意识。　

关键词：数学建模思想；概率论与数理统计；解决实际问题　

中图分类号：０２４２．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８—４７６２（∞１０）（｝４—０１０２—０２　

概率论与数理统计是一门理论性和应用性都很强的学　

科。但是，传统的概率统计教学方法却较多地注重对学生的　

数学推导、计算能力的训练，而忽略了对概率统计思想的讲　

授，结果我们发现学生虽能较好地掌握概率统计的基础知识，　

但一涉及实际问题学生往往不知如何着手分析和解决问题。　

因此，增强学生对于概率统计方法的理解与应用已成为概率　

统计教学的一个重要任务。　

我们熟知，数学建模是通过调查，收集数据、资料，观察　

和研究其固有的特征和内在的规律，抓住问题的主要矛盾，提　

出假设，经过抽象简化，建立反映实际问题的数量的关系，即　

利用数学知识解决实际问题。因而，在概率论与数理统计教　

学中融人数学建模思想，将有助于学生学习其理论知识，培养　

学生运用数学思想和方法解决实际问题的能力和意识，具有　

重要的理论和现实意义。　

１教学内容上数学建模思想的渗透　

我们认为很多学生之所以不能在实践中灵活运用在学　

校学到的数学知识，其根本原因是数学学习仅仅是和教室的　

情景相关联的，而数学建模是让学生体验数学在解决实际问　

题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，　

体验综合运用知识和方法解决问题的过程。因此为了让学