二次根式经典总结

一、知识点讲解:

1．二次根式：一般地，式子)0a(,a叫做二次根式.注意：（1）若0a这个条件不成立，则

不是二次根式；(2）是一个重要的非负数,即；≥0.

2．重要公式：(1))0a(a)a(2,（2）)0a(a)0a(aaa2 ；注意使用)0a()a(a2。

3．积的算术平方根：)0b,0a(baab，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求。

4．二次根式的乘法法则：)0b,0a(abba.

5．二次根式比较大小的方法：

(1）利用近似值比大小；

（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；

（3）分别平方，然后比大小.

6．商的算术平方根：)0b,0a(baba，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

7．二次根式的除法法则：

（1）)0b,0a(baba；

（2）)0b,0a(baba；

（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。

8．常用分母有理化因式:aa与，baba与， bnambnam与，它们也叫互为有理化因式。

9．最简二次根式:

（1)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；

（2）最简二次根式中,被开方数不能含有小数、分数,字母因式次数低于2，且不含分母；

(3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；

（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。

10．二次根式化简题的几种类型：(1)明显条件题；（2）隐含条件题；（3)讨论条件题.

11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.

12．二次根式的混合运算:

（1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；

（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如:化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.

二、典型例题：

知识点一 二次根式的定义

形如)0a(,a的式子,叫做二次根式

（1)二次根式中，被开方数必须是非负数。即0a

(2）二次根式是一个非负数，即；≥0。

例题 1.下列式子中，是二次根式的是（ ）

A。- B。

C。

D。x

2、下列各式中15、3a、21b、22ab、220m、144，二次根式的个数是（ ).

A.4 B。3 C。2

D.1

知识点二 二次根式有意义的条件

二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数 即有意义<=>0a

例题 1．①(2010年无锡)使31x有意义的的取值范围是＿＿＿＿

②（2010,安徽芜湖)要使式子2aa有意义,a的取值范围是＿＿＿＿

③（2010·绵阳）要使1213xx有意义，则x应满足＿＿＿＿

知识点三：三个具有非负性的知识点

（1）0a （2）02a （3）0a

例题：若ccbaa69421222，试求222cba的值.

若y=5x+x5+2009，则x+y=

知识点四：最简二次根式

例题1：下列根式中，不是最简二次根式的是( )

A、 B、 C、21 D、

例题：在根式①22ba;②5x;③xyx2；④abc27中,最简二次根式有__________.

知识点五：同类二次根式

例题1:在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）

A、与 B、与31 C、ba2与2ab D、1a与1a

例题2:若最简二次根式abb3与22ab是同类项二次根式，则_____a,_______b。

知识点六:二次根式的性质

例题1：9999)99)(99(xxxx，求123)1(22xxxx的值.

例题2:若ba,两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简222bababa=（ ）

A、b2 B、 C、a2 D、

被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．

化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．

（1）)0()(2aaa （2）)0(0aa

)0(a

（3）aa2

)0(a

知识点七;分母有理化及有理化因式

例题：在化简231时，甲、乙两人的解法如下:

甲：23)23)(23(23231

乙:2323)23)(23()23(23231

对于甲、乙两人的解法，正确的判断是（ ）

A、甲、乙两人的解法都正确 B、甲正确，乙不正确

C、甲、乙两人都不正确 D、甲不正确、乙正确

变式题：小明与小红在化简nmnm时,两人解法如下:

小明：nmnmnmnmnmnmnm))(())((

小红：nmnmnmnmnmnm)())((

对于甲、乙两人的解法，正确的判断是（ )

A、小明、小红两人的解法都正确 B、小明正确，小红不正确

C、小明、小红两人都不正确 D、小明不正确、小红正确

知识点八：根号的外移与内移

例题1:将aa1根号外的移到根号内，得到的值是_______. （1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.

（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式.

因式外移与内移：

（1）被开方数中有的因式能够开得尽，那么就可以用它的算求平方根代替而移到根号外面.

（2）被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面

例题2：把aa11)1(根号内的因式移到外面，得到的值是_________。

知识点九：二次根式的运算

例题1:已知0ba，abba6，则baba的值等于_________。

例题2：计算（1）8)63(3121 （2）32)2145051183(

例题3:在实数范围内分解因式：（1)_____________342x；（2）_____________494y

例题4：比较大小：（1）45_____54 （2）103_____225

例题5：的整数部分是________，小数部分是_________.

三、针对性训练：·

21.1 二次根式：

1。 使式子4x有意义的条件是. (1)二次根式的加减：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．

(2)二次根式的乘法：二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，

即：①).0,0(baabba ②)0,0(baabba

(3)二次根式的除法：通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，并将结果写成最简二次根式.

即：)0,0(bababa，)0,0(bababa

2。 当__________时,212xx有意义。

3。 若11mm有意义,则的取值范围是。

4。 当__________x时,21x是二次根式。

5. 在实数范围内分解因式：429__________,222__________xxx。

6。 若242xx，则的取值范围是。

7。 已知222xx，则的取值范围是。

8. 化简：2211xxx的结果是.

9. 当15x时，215_____________xx.

10。 把1aa的根号外的因式移到根号内等于。

11。 使等式1111xxxx成立的条件是.

12。 若1ab与24ab互为相反数，则2005_____________ab.

13。 在式子230,2,12,20,3,1,2xxyyxxxxy中，二次根式有（ ）

A。 2个 B。 3个

C. 4个 D。 5个

14。 下列各式一定是二次根式的是（ ）

A。 7

B。 32m

C。 21a D. ab

15. 若23a，则2223aa等于（ ）

A。 52a B。 12a C。 25a D. 21a

16。 若424Aa，则A（ ）

A。 24a

B。 22a C. 222a

D。 224a

17。 若1a，则31a化简后为( ）

A。 11aa B. 11aa

C. 11aa D。 11aa