学而思初二数学秋季班第15讲.代数综合.提高班.教师版

学而思八年级数学培优讲义学而思八年级数学培优讲义旨在帮助学生巩固课堂所学知识，提高数学素养，为初中阶段的学习打下坚实基础。

以下是八年级数学培优讲义的部分内容：一、有理数及其运算1. 有理数的分类：整数、分数、正有理数、负有理数、零。

2. 有理数的加法：同号相加，异号相减；绝对值相加，符号决定和的大小。

3. 有理数的减法：减法转化为加法，被减数、减数与差的的关系。

4. 有理数的乘法：符号规律，绝对值相乘。

5. 有理数的除法：除法转化为乘法，商的变化规律。

6. 有理数的乘方：乘方的意义，乘方运算规则。

二、几何知识1.点、线、面的基本概念：点的坐标，线段的平行、垂直，平面的性质。

2.三角形的基本概念：三角形的分类，三角形的边角关系，三角形的判定。

3. 四边形的基本概念：四边形的分类，四边形的对边、对角线、内角和。

4.平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，平行四边形的判定。

5.矩形、菱形、正方形的性质：矩形的对角线相等，菱形的对角线垂直，正方形的性质。

三、函数与方程1.函数的基本概念：函数的定义，函数的图像，函数的性质。

2.一次函数：一次函数的解析式，一次函数的图像，一次函数与直线。

3.方程的基本概念：方程的定义，方程的解法，方程的应用。

4. 一元一次方程：一元一次方程的解法，一元一次方程的应用。

5. 一元二次方程：一元二次方程的解法，一元二次方程的应用。

四、三角形和四边形的几何证明1.三角形的证明：全等三角形的判定，相似三角形的判定。

2. 四边形的证明：平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定。

3.几何证明的方法：综合法、分析法、反证法。

五、统计与概率1.统计的基本概念：数据的收集、整理、分析。

2.频数与频率：频数分布表，频率分布表，概率的基本概念。

3.事件的概率：等可能事件的概率，条件概率，独立事件的概率。

4.统计的应用：平均数、中位数、众数，概率的应用。

通过学习八年级数学培优讲义，学生可以系统地回顾和巩固课堂所学知识，提高自己的数学能力，为初中阶段的学习打下坚实基础。

`【例1】 阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点O ．若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC 、BD 、AD BC +的长度为三边长的三角形的面积．图1图2ADBCOADBCOE小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，得到的BDE △即是以AC 、BD 、AD BC +的长度为三边长的三角形（如图2）． 请你回答：图2中BDE △的面积等于________． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，ABC △的三条中线分别为AD 、BE 、CF ．⑴ 在图3中利用图形变换画出并指明以AD 、BE 、CF 的长典题精练2第二轮复习之 图形变换与动手操作题型一：图形变换图3AFE CD B度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；⑵ 若ABC △的面积为1，则以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于________．（2011北京）【解析】BDE △的面积等于 1 .⑴ 如图.以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形是CFP △. ⑵ 以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于34. 【例2】 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α (0︒ <α <360︒) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角形就是一个旋转角为120︒的旋转对称图形. 如图1，点O 是等边三角形△ABC 的中心, D 、E 、F 分别为AB 、BC 、 CA 的中点, 请你将△ABC 分割并拼补成一个与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.FDEF DBACOABCO图1 图2小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题： 如图3，在等边△ABC 中, E 1、E 2、E 3分别为AB 、 BC 、CA 的中点，P 1、P 2, M 1、M 2, N 1、N 2分别为 AB 、BC 、CA 的三等分点.（1）在图3中画出一个和△ABC 面积相等的新的旋转 对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）； （2）若△ABC 的面积为a ，则图3中△FGH 的面积为 ． （2012海淀二模） 【解析】（1）画图如下：（2）图3中△FGH 的面积为7a.图3H G F CBN 2N 1M 1M 2E 1E 2E 3P 2P 1AAPEFC DBH F GA BCE 1E 2E 3P 1P 2M 1M 2N 1N 2动手操作分为：1、立体图形及展开图；2、骰子问题；3、折纸问题；4、图形的分割；5、图形的剪拼.【例3】 ⑴如图，已知MN 是圆柱底面直径，NP 是圆柱的高.在圆柱的侧面上，过点M 、P 嵌有一圈路径最短的金属丝.现将圆柱侧面沿NP 剪开， 所得的侧面展开图是（ ）A. B. C. D. ⑵在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点)，在每一种翻动方式中，骰子不能后退．开始时骰子如图 ①那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图②所示的位置，此时骰子朝上的点 数不可能．．．是下列数中（ ）A ．5B ．4C ．3D ．1⑶ 如图，矩形纸片ABCD 中，8AB =，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的点为E ，折痕的一端G 点在边BC 上()BG GC <，另一端F 落在矩形的边上，10BG =．①请你在备用图中画出满足条件的图形；典题精练题型二：动手操作PNM P /N /PNMP /N /PNMP /N /PNMM /P /N /PNM②求出折痕GF 的长为 ．备用图（3）G 备用图（2）G DADG 备用图（1）【解析】 ⑴321n -2n ≥）. ⑵ ①正确画出图⑴、图⑵ ②545情况一：如图⑴，当点F 在AB 上时，过点G 作GH AD ⊥，则四边形ABGH 为矩形，∴8GH AB ==，10AH BG ==，设BF x =， 由图形的折叠可知BFG EFG △≌△， ∴10EG BG ==，BF EF x ==，在Rt GEH △中，由勾股定理，得6EH =，∴4AE =． ∵90A ∠=︒，8AF x =-,EF x =，222EF AF AE =+ ∴()22284x x =-+解方程，得 5x .=∴5BF =，∵10BG =，∴2255FG BG BF .=+=情况二：如图⑵,当点F 在AD 边上时，因为四边形HFGE 由四边形ABGF 折叠得到， 由折叠可知，BG EG =，AB EH =，BGF EGF ∠=∠， ∵EF BG ∥，∴BGF EFG ∠=∠，∴EGF EFG ∠=∠， ∴EF EG =，∴BG EF =,∴四边形BGEF 为平行四边形 又∵EF EG =，∴平行四边形BGEF 为菱形 连结BE ，BE 与 FG 互相垂直平分，在Rt EFH △中，10EF BG ==，8EH AB ==， 由勾股定理可得6FH AF ==，∴16AE =， ∴2285BE AE AB =+∴45BO =∴222245FG OG BG BO ==-=.【例4】 ⑴在ABC △中，沿着中位线EF 一刀剪切后，用得到的AEF △和四边形EBCF 可以拼成平行四边形EBCP ，剪切线与拼图如图所示，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并画出图示．①在ABC △中，增加条件 ，沿着 H E F 图（1）G DCBA O E(B)H(A)F图（2）GDCB AA一刀剪切后可以拼成矩形；②在ABC △中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成菱形；③在ABC △中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成正方形；④在ABC △()AB AC ≠中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是： ．⑵在ABC △中，BC a =，BC 边上的高2h a =，沿图中线段DE 、CF 将ABC △剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG ，如图⑴所示．请你解决如下问题： 在A B C '''△中，B C a ''=，B C ''边上的高12h a =．请你设计两种不同的分割方法，将A B C '''△ 沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图⑵、图⑶中，画出分割线及拼接后的图形．【解析】 ⑴ ①方法一：90B ∠=︒，中位线EF ，如图⑴．方法二：AB AC =，中线（或高）AD ，如图⑵．②2AB BC =（或者90C ∠=︒，30A ∠=︒），中位线EF ，如图⑶． ③方法一：90B ∠=︒且2AB BC =，中位线EF ，如图⑷．方法二：AB AC =且90BAC ∠=︒，中线（或高）AD ，如图⑸．④方法一：不妨设B C ∠>∠，在BC 边上取一点D ，作GDB B ∠=∠交AB 于G ，过AC 的中点E 作EF GD ∥交BC 于F ，则EF 为剪切线．如图⑹方法二：不妨设B C ∠>∠，分别取AB 、AC 的中点D 、E ，过D 、E 作BC 的垂线，G 、H 为垂足，在HC 上截取HF GB =，连结EF ，则EF 为剪切线．如图⑺图（1）①②③H F E D B图（4）图（3）图（2）图（1）P(E)C(A)FEBAP(E)FEC(A)BAP(D)D C(A)BAP(E)FEC(A)BA图（3）图(2)A'B 'C'C'B 'A'方法三：不妨设B C ∠>∠，作高AD ，在DC 上截取DG DB =，连结AG ，过AC 的中点E 作EF AG ∥交BC 于F ，则EF 为剪切线．如图⑻图（8）图（7）图（6）图（5）P(F)A(C)ECFG D BP(F)A(C)ECFH GBD EC FGD BP(F)A(C)P(D)D C(A)BA⑵ 答案如下图：【例5】 阅读下列材料：小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 和DA 边上靠近A 、B 、C 、D 的n 等分点，连结AF 、BG 、CH 、DE ，形成四边形MNPQ ．求四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（用含n 的代数式表示）．小明的做法是：先取2n =，如图2，将ABN △绕点B 顺时针旋转90︒至CBN '△，再将ADM △绕点D 逆时针旋转90︒至CDM '△，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是15；然后取3n =，如图3，将ABN △绕点B 顺时针旋转90︒至CBN '△，再将ADM △绕点D 逆时针旋转90︒至CDM '△，得到10个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是410，即25；……请你参考小明的做法，解决下列问题：⑴在图4中探究4n =时四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（在图4上画图并直接写出结果）；⑵图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．(3)(2)(1)M'N'GH GH G BCEFPQM N A BCD EF PQ M NN'M'N MQ PF ED CB A ①③②图（5）A'B 'C'C'B'A'①②②①【解析】 ⑴四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是917.⑵ 如图所示：【例6】 操作探究：一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为 5+（2-）=3．若平面直角坐标系xOy 中的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ，d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． （1）计算：{3，1}+{1，2}；（2）若一动点从点A （1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点B ，再按照“平移量”{-1，2}平移到点C ；最后按照“平移量”{-2，-1}平移到点D ，在图中画出四边形ABCD ，并直接写出点D 的坐标；（3）将（2）中的四边形ABCD 以点A 为中心，顺时针旋转90°，点B 旋转到点E ，连结典题精练H G M'N'A BC DEF PQMN DCB（5）(4)H GAB C D EF P Q MN题型三：新定义AE、BE若动点P从点A出发，沿△AEB的三边AE、EB、BA平移一周．请用“平移量”加法算式表示动点P的平移过程．（2013丰台二模）【解析】（1）{4，3}．（2）①画图②D(0，3).（3）{1，-2}+{1，3}+{-2，-1}．yxO 11yxBACDO 11【例7】 如图1，四边形ABCD 中，AC 、BD 为它的对角线，E 为AB 边上一动点（点E 不与点A 、B 重合），EF ∥AC 交BC 于点F ，FG ∥BD 交DC 于点G ，GH ∥AC 交AD 于点H ，连接HE ．记四边形EFGH 的周长为p ，如果在点E 的运动过程中，p 的值不变，则我们称四边形ABCD 为“Ω四边形”， 此时p 的值称为它的“Ω值”．经过探究，可得矩形是“Ω四边形”．如图2，矩形ABCD 中，若AB =4，BC =3，则它的“Ω值”为 ．图1B FCGD HE A图2D CBA图3ODBA（1）等腰梯形 （填“是”或 “不是”）“Ω四边形”；（2）如图3，BD 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，=34AD AB =，，点C 为»AB 上的一动点，将△DAB 沿CD 的中垂线翻折，得到△CEF ．当点C 运动到某一位置时，以A 、B 、C 、D 、E 、F 中的任意四个点为顶点的“Ω四边形”最多，最多有 个．（2013海淀二模）【解析】 “Ω值”为10．（1）是；（2）最多有5个．训练1. ⑴将如右图所示的圆心角为90︒的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合(接缝粘贴部分忽略不计)，则围成的圆锥形纸帽是（ ）⑵如图是一个等腰直角三角形纸片，按图中裁剪线将这个纸片裁剪成三部分．请你将这三部分小纸片重新分别拼接成：(1)一个非矩形的平行四边形； (2)一个等腰梯形；(3)一个正方形．请画出拼接后的三个图形．【解析】 ⑴B. ⑵训练2. 图⑴、图⑵均为76⨯的正方形网格，点A 、B 、C 在格点上.⑴在图⑴中确定格点D ，并画出以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形，使其为轴对称图形.（画一个即可）⑵在图⑵中确定格点E ，并画出以A 、B 、C 、E 为顶点的四边形，使其为中心对称图形.（画一个即可）（吉林长春）【解析】 ⑴ 有以下答案供参考：思维拓展训练(选讲)图（2）图（1）ABCCBADD A BCCBA⑵ 有以下答案供参考：EEABCCBA训练3. ⑴图⑴是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图⑵将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图⑶所示的大正方形,其面积为842+则图⑶中线段AB 的长为 .（海淀二模）图（3）图（2）图（1）BA⑵如图⑶，在55⨯的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为斜边向外作等腰直角三角形，去掉居中的那条线段，得到图⑷，请把图⑷中的图形剪拼成正方形，并在图⑷中画出剪裁线，在图⑸中画出剪拼后的正方形．（石景山一模）图（5）图（4）图（3）【解析】215.⑵如图所示：【练习1】 已知ABC △，63ABC ACB ∠=∠=°．如图1所示，取三边中点，可以把ABC △分割成四个等腰三角形．请你在图2中，用另外四种不同的方法把ABC △分割成四个等腰三角形，并标明分割后的四个等腰三角形的底角．．的度数（如果经过变换后两个图形重合，则视为同一种方法）.（海淀二模）【解析】 分割为等腰三角形常用方法:①角分线+平行线.如图⑴和图⑵ ②直角三角形+斜边中线.如图⑶(和图⑴)③顶角为特殊角度108︒的等腰三角形可以无限分割成36︒和72︒为底角的等腰三角形.如图⑷④知一等腰三角形，做此三角形的对称轴，然后再去分割.如图⑸复习巩固图1CBACB AAB C C B AAB C 图254°54°72°54°36°36°36°31.5°31.5°31.5°27°27°27°27°27°27°27°27°27°63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°36°72°54°27°31.5°63°(5)(4)(3)(2)(1)【练习2】 现场学习题问题背景：在ABC △中，AB 、BC 、AC 21317三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图⑴所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积． ⑴请你将ABC △的面积直接填写在横线上．________ 思维拓展：⑵我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．若ABC △2a 、25a 26a (0)a >，请利用图⑵的正方形网格(每个小正方形的边长为a )画出相应的ABC △，并求出它的面积是： ． 探索创新：⑶若ABC △三边的长分别为224m n +、2216m n +、222m n +(0,0,)m n m n >>≠ ，请运用构图法在图⑶指定区域内画出示意图，并求出ABC △的面积为： ．【解析】 ⑴25． ⑵ 面积：23a ．⑶ 面积：3mn ．图（2）A B C 4m 2m 2m n n 2n C B A 图（3）图（3）图（2）图（1）A B C【练习3】 在如图1中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE的斜边2AE b =，且边AD 和AE 在同一直线上． 操作示例：当2b a <时，如图1，在BA 上选取点G ，使BG b =，连结FG 和CG ，裁掉FAG △和CGB △并分别拼接到FEH △和CHD △的位置构成四边形FGCH ．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG △绕点F 逆时针旋转90︒到FEH △的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH BG =，故CHD CBG △≌△，从而又可将CGB △绕点C 顺时针旋转90︒到CHD △的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F 作FM AE ⊥于点M （图略），利用SAS 公理可判断HFM CHD △≌△，易得FH HC GC FG ===，90FHC ∠=︒．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．实践探究：⑴ 正方形FGCH 的面积是__________；（用含a ，b 的式子表示）⑵ 类比图1的剪拼方法，请你就如图2至如图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：当b a ≤时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．⑶ 当b a >时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．【分析】 抓22a b +，结合四边形ABCD 为正方形及给出的图１中的作法，只需满足BG DH =，由全等三角形即可得出CG 和CH 互相垂直平分且相等．再按照提示方法可以证明四边形GCHF 为正方形．【解析】 ⑴ 22a b +； ⑵ 剪拼方法如图2至图4．⑶ 能；剪拼方法如图5（图中BG DH b ==）．先沿FH 剪一刀，将FEH △拼接到图1(2b <a )H G FE DCB A 图２FA B C(E ) DH G F 图４ABC DF图３A BCEHD G C F图５ABDG H a<2b=a FEDC B A图3FD(E )C BA 图2a<2b<2a FEDCBA图3b>b=a 图4ABC DEF图5FEDCB A b>a 图5FE D C BA△即可．FAG△拼接到HDC△；再沿GC剪一刀，将GBC第十八种品格：坚持坚持即是成功有一个少年，拜在一位师傅门下，想学功夫。

1初二秋季·第2讲·提高班·教师版三角形9级 全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一） 三角形7级倍长中线与截长补短倍长中线与截长补短满分晋级漫画释义2倍长中线 与截长补短2初二秋季·第2讲·提高班·教师版定 义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．EDABC其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =． 【解析】 延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ．则CDE BDA △≌△，∴CE AB =，CED BAD ∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CED CAD ∠=∠，∴CE AC =， ∴AB AC =．思路导航例题精讲知识互联网题型一：倍长中线EABCDABCD3初二秋季·第2讲·提高班·教师版【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1； 已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1； 已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．【拓展1】已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90° ∴△ABD ≌△ACD (SAS) ∴AB =AC ．【拓展2】已知△ABC 中，AD ⊥BC ，且BD CD =，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD ⊥BC ，且BD CD =∴AD 所在直线是线段BC 的垂直平分线 根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 故AB =AC ．【例2】 ⑴如图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ． 【解析】 ①正确．∵AB AC =，BD AB =，∴AD =2AC ．②、④正确．延长CE 到F ，使EF CE =，连接BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE EB =． 在EBF △和EAC △中 AE BEAEC BEF CE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩典题精练ABDEDCBA4初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴EBF EAC ≌△△∴BF AC AB BD ===，EBF EAC ∠=∠ ∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 在FBC △和DBC △中 FB DB FBC DBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FBC DBC ≌△△∴2CD CF CE ==，∠FCB =∠DCB 即CD =2CE ，CB 平分∠DCE ．③错误．∵∠FCB =∠DCB ，而CE 是AB 边上中线而不是∠ACB 的角平分线故∠ACE 和∠BCD 不一定相等．⑵如图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．NM ED CBAEDCBA【解析】 点D 、E 为边BC 的三等分点，∴BD =DE =CE 延长AD 至点M ，AE 至点N ，使得DM =AD ，EN =AE ，连接EM 、CN ，则可证明△ABD ≌△MED ，进而可得AB +AE ＞2AD ，再证明△ADE ≌△NCE ，进而可得AD +AC ＞2AE ，将两式相加可得到AB +AE +AD +AC ＞2AD +2AE ，即AB +AC ＞AD +AE ． ∴①②③④均正确．【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FCAEBD5初二秋季·第2讲·提高班·教师版【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连接BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB △≌△， ∴AC GB =，G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，∴EAF AEF BED ∠=∠=∠ ∴G BED ∠=∠，∴BE BG =，∴AC BE =．【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．NABCDMPQ Q PMDCBA【解析】 延长PM 至点N ，使PM =MN ，连结CP 、CN 、DN ．易证△PMQ ≌△NMD ， ∴PB =PQ =DN ，∠PQD =∠NDM ∴PQ ∥DN ，又∵∠BPQ =∠BDN= 90° ∴∠PBQ =∠BDC=∠NDC =45° 再证△BPC ≌△DNC (SAS) 易证△PCN 为等腰直角三角形， 又∵PM =MN ，∴PM ⊥MC ,且PM =CM ．GFEDCBA FE D CBA6初二秋季·第2讲·提高班·教师版定 义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段DCBA在线段AB 上截取AD AC =补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等AB C D延长AC ，使得AD AB =【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大小．（希望杯培训题）D C B AED CB A【解析】 在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∵AE AC =，BAD CAD ∠=∠，AD AD =，∴ACD AED △≌△， ∴C AED ∠=∠，CD DE =，∵AB AC CD =+，AE AC =，∴CD BE DE == ∴40EBD EDB ∠=∠=︒，80C AED ∠=∠=︒例题精讲思路导航题型二：截长补短7初二秋季·第2讲·提高班·教师版D CB AEDCB AD CEBAE DCB A【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．求证：AB BD AC +=． 【解析】方法一：（截长）在AC 上截取AB AE =，连接DE ．在ABD △和AED △中AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =∴ABD AED △≌△∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠ ∴EDC C ∠=∠，∴ED EC =∴AB BD AC +=． 方法二：（补短）延长AB 到点E 使得AC AE =，连接DE ． 在AED △和ACD △中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD = ∴AED ACD △≌△，∴C E ∠=∠ 又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，∴AB BD AC +=．方法三：（补短）延长DB 到点E 使得AB BE =，连接AE 则有EAB E ∠=∠，2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠ 又∵2ABC C ∠=∠，∴C E ∠=∠ ∴AE AC = EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠C DAC ADE =∠+∠=∠∴AE DE =，∴AB BD EB BD ED AE AC +=+=== ∴AB +BD=AC若题目条件或求证结论中含有“a b c =+”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法.【例7】 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．【解析】 方法一：在DC 上取一点E ，使BD DE =，如图1，在ABD △和AED △中，AD BC ⊥，BD ED =，AD AD =．典题精练DC BA8初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴ABD AED △≌△． ∴AB AE =，B AED ∠=∠．又∵AE AB CD BD CD DE EC ==-=-= ∴C EAC ∠=∠，∴2C EAC AED C ∠+∠=∠=∠ ∴2B C ∠=∠．图1E AB CD图2EAB CD方法二：延长DB 到点E ，使BE AB =，如图2， ∴E EAB ∠=∠．∵AB CD BD =-，∴ED CD =．在AED △和ACD △中，AD BC ⊥，ED CD =，AD AD =． ∴AED ACD △≌△． ∴E C ∠=∠． ∵2ABD E ∠=∠ ∴2B C ∠=∠．【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： 截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

学而思各年级数学大纲一年级课次主题1巧算加减法2图形的计数3我会排一排4单数与双数5智趣推理6生活中的数学7付钱的方法8有趣的数字谜9有趣的数阵图10摸彩球11钟表数学(2)12间隔之谜13趣题巧解14感受对称之美15期末测评二年级1巧算加减法2几何计数问题进阶3有趣的周期问题4和差问题5移多补少应用题6推理综合7重叠问题8巧求周长9数阵图10猜猜他几岁11逆向思考12等式加减法13数学广角14经典数学游戏15期末测评三年级课次主题1巧填算符2小数的认识3平行四边形与梯形4年龄问题5带余除法初步6简单统计7点线排布8等差数列初步9页码问题10标数法11图形计数12简易方程13简易方程的应用14路程速度与时间15期末测试主要内容1.利用凑整的方法进行连续几个加数相加的计算；2.对于加减混合的计算，利用带符号搬家进行凑整计算；学习掌握加减法巧算的两个核心基本点：凑整和“抱”符号搬家。

根据所学巧算的方法来进行图形的计数，灵活掌握有规律图形计数方法。

这节课重在向学生渗透简单的排列、组合的数学思想方法，初步培养学生有顺序、全面地思考问题的意识。

认识单数与双数及加减特性，会用单双数思想解决一些实际的生活问题。

通过创设情景，让学生经历对生活中某些现象推理、判断的过程，学会用排序、画表等多种方法进行推理判断。

分析常见的应用题，进一步学习“比多比少”的应用题及简单的重叠问题，灵活运用画图法分析、解应用题。

1.让学生会计算所付人民币的总钱数；2.会根据自己手中人民币的数量来付钱，学习列表法和枚举法。

通过对不同的符号、汉字或字母组成的竖式数字谜的接触，让学生根据竖式的结构特点，寻求突破口、找出“关键位置”来计算未知的数字。

1.通过一些简单的填数字游戏，让学生初步感知数阵，让学生用自己喜欢的方法来巧填数字，培养思维能力；2.引导学生去发现数阵的简单规律以及填数阵的基本方法，通过找数阵中的关键数来找到解决问题的钥匙，在今后的学习中，能把这种方法灵活应用到生活中去。